第03講 多邊形及其內(nèi)角和（解析版）-初中數(shù)學(xué)暑假自學(xué)課講義（8年級(jí)人教版）

第03講多邊形及其內(nèi)角和【人教版】·模塊一多邊形·模塊二多邊形的內(nèi)角和·模塊三課后作業(yè)模塊一模塊一多邊形1.多邊形的定義在平面內(nèi)，由一些線(xiàn)段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.

2.正多邊形各個(gè)角都相等、各個(gè)邊都相等的多邊形叫做正多邊形.如正三角形、正方形、正五邊形等．3.多邊形的對(duì)角線(xiàn)連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線(xiàn)段，叫做多邊形的對(duì)角線(xiàn).【要點(diǎn)】①?gòu)膎邊形一個(gè)頂點(diǎn)可以引(n－3)條對(duì)角線(xiàn)，將多邊形分成(n－2)個(gè)三角形；②n邊形共有n(n-3)2條對(duì)角線(xiàn)【考點(diǎn)1多邊形及其概念】【例1.1】下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．多邊形是平面圖形，平面圖形不一定是多邊形B．四邊形由四條線(xiàn)段組成，但四條線(xiàn)段組成的圖形不一定是四邊形C．多邊形是一個(gè)封閉圖形，但封閉圖形不一定是多邊形D．多邊形是三角形，但三角形不一定是多邊形【答案】D【分析】根據(jù)四邊形的定義以及多邊形的定義對(duì)各小題分析判斷即可得解．【詳解】解：A．由不在同一直線(xiàn)上的幾條線(xiàn)段首尾順次相連所組成的封閉平面圖形叫多邊形，所以多邊形是平面圖形，平面圖形不一定是多邊形，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；B．在同一平面內(nèi)，由四條線(xiàn)段首尾順次相接組成的封閉圖形是四邊形，四邊形由四條線(xiàn)段組成，但四條線(xiàn)段組成的圖形不一定是四邊形，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；C．多邊形是一個(gè)封閉圖形，但封閉圖形不一定是多邊形，例如圓，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；D．多邊形構(gòu)成要素：組成多邊形的線(xiàn)段至少有3條，三角形是最簡(jiǎn)單的多邊形，本選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形的定義以及多邊形的定義，屬于基礎(chǔ)題，注意基礎(chǔ)概念的熟練掌握．【例1.2】下列圖中不是凸多邊形的是（）A． B． C．D．【答案】A【詳解】根據(jù)凸多邊形的概念，如果多邊形的邊都在任何一條邊所在的直線(xiàn)的同旁，該多邊形即是凸多邊形．否則即是凹多邊形，故A不是凸多邊形；B是凸多邊形；C是凸多邊形；D是凸多邊形.故選A.【變式1.1】在四邊形ABCD中，邊AB的對(duì)邊是（

）A．BC B．AC C．BD D．CD【答案】D【分析】根據(jù)多邊形的定義判斷即可．【詳解】在四邊形ABCD中，邊AB的對(duì)邊是CD．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的定義，屬于基礎(chǔ)題，比較簡(jiǎn)單．【變式1.2】如圖4-2，作出正五邊形的所有對(duì)角線(xiàn)，得到一個(gè)五角星，那么，在五角星含有的多邊形中（

）A．只有三角形 B．只有三角形和四邊形C．只有三角形、四邊形和五邊形 D．只有三角形、四邊形、五邊形和六邊形【答案】C【分析】由正五邊形的性質(zhì)和五角星的特點(diǎn)得出五角星含有的多邊形中，有三角形、四邊形和五邊形.【詳解】解：根據(jù)題意得：在五角星含有的多邊形中,有三角形、四邊形和五邊形,故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了正五邊形的性質(zhì)、五角星的特點(diǎn),熟練掌握正五邊形的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)2多邊形的對(duì)角線(xiàn)】【例2.1】從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫(huà)出4條對(duì)角線(xiàn)，則該多邊形的邊數(shù)為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】根據(jù)從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以作對(duì)角線(xiàn)的條數(shù)公式n-3求出邊數(shù)即可得解．【詳解】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，由題意，得：n-3=4，∴n=7，∴該多邊形的邊數(shù)為7；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的對(duì)角線(xiàn)：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線(xiàn)段，叫做多邊形的對(duì)角線(xiàn)．掌握n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出n-3條對(duì)角線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．【例2.2】一個(gè)多邊形從同一個(gè)頂點(diǎn)引出的對(duì)角線(xiàn)，將這個(gè)多邊形分成5個(gè)三角形．則這個(gè)多邊形有______條邊．【答案】7【分析】根據(jù)過(guò)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線(xiàn)，將這個(gè)多邊形分成n-2個(gè)三角形，即可求解得到答案．【詳解】解：設(shè)多邊形有n條邊，則n-2=5，解得：n=7．所以這個(gè)多邊形有7條邊，故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的對(duì)角線(xiàn)，掌握多邊形對(duì)角線(xiàn)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【例2.3】（1）從一個(gè)五邊形的同一頂點(diǎn)出發(fā)，分別連接這個(gè)頂點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)，可以把這個(gè)五邊形分成_______個(gè)三角形.若是一個(gè)六邊形，可以分割成_______個(gè)三角形.n邊形可以分割成______個(gè)三角形.（2）若將n邊形內(nèi)部任意取一點(diǎn)P，將P與各頂點(diǎn)連接起來(lái)，則可將多邊形分割成多少個(gè)三角形？（3）若點(diǎn)P取在多邊形的一條邊上（不是頂點(diǎn)）,再將P與n邊形各頂點(diǎn)連接起來(lái)，則可將多邊形分割成多少個(gè)三角形？【答案】（1）3，4，(n-2)；（2）n個(gè)；（3）(n-1)個(gè).【分析】（1）由四邊形，五邊形，六邊形可得出規(guī)律，從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，連接這個(gè)點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)，可以把一個(gè)多邊形分割成（n-2）個(gè)三角形，依此作答；（2）多邊形內(nèi)一點(diǎn)，可與多邊形頂點(diǎn)連接n條線(xiàn)段，構(gòu)造出n個(gè)三角形；（3）若P點(diǎn)取在一邊上，則可以與其他頂點(diǎn)連接出n-2條線(xiàn)段，可以分n邊形為（n-1）個(gè)三角形．【詳解】(1)從一個(gè)五邊形的同一頂點(diǎn)出發(fā)，分別連接這個(gè)頂點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)，可以把這個(gè)五邊形分成5-2=3個(gè)三角形；若是一個(gè)六邊形,可以分割成6-2=4個(gè)三角形；……，依次類(lèi)推，n邊形可以分割成(n-2)個(gè)三角形.故答案為：3，4，(n-2)；(2)n邊形共有n條邊，n個(gè)頂點(diǎn)，將n邊形任意一條邊的兩頂點(diǎn)與點(diǎn)P相連，得到的三角形是唯一的，故可知此多邊形被分割為n個(gè)三角形；(3)若點(diǎn)P取在多邊形的一條邊上（不是頂點(diǎn)），再將P與n邊形各頂點(diǎn)連接起來(lái)，則可將多邊形分割成（n-1）個(gè)三角形.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)角線(xiàn)分多邊形的三角形個(gè)數(shù)問(wèn)題，根據(jù)前幾個(gè)圖形的特點(diǎn)尋找規(guī)律是關(guān)鍵.【變式2.1】若一個(gè)多邊形無(wú)對(duì)角線(xiàn)，則這個(gè)多邊形是_______________【答案】三角形【分析】由多邊形的對(duì)角線(xiàn)的定義可得答案．【詳解】解：一個(gè)多邊形無(wú)對(duì)角線(xiàn)，則這個(gè)多邊形是三角形，故答案為：三角形【點(diǎn)睛】本題考查的是多邊形的對(duì)角線(xiàn)的含義，熟記圖形特點(diǎn)與對(duì)角線(xiàn)的定義是解本題的關(guān)鍵．【變式2.2】已知：從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)共有4條對(duì)角線(xiàn)；從m邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的所有對(duì)角線(xiàn)把m邊形分成6個(gè)三角形；正t邊形的邊長(zhǎng)為7，周長(zhǎng)為63．求(n-m)t【答案】-1【分析】根據(jù)題意，由多邊形的性質(zhì)，分析可得答案．【詳解】依題意有n=4+3=7，m=6+2=8，t=63÷7=9，則(n﹣m)t=(7﹣8)9=﹣1．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的性質(zhì)，從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，能引出(n﹣3)條對(duì)角線(xiàn)，一共有nn-32條對(duì)角線(xiàn)，經(jīng)過(guò)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線(xiàn)把多邊形分成(n﹣2)【考點(diǎn)3正多邊形】【例3.1】下列圖形中，是正多邊形的是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．長(zhǎng)方形 D．正方形【答案】D【詳解】A選項(xiàng)，直角三角形有一個(gè)內(nèi)角是直角，其他兩個(gè)內(nèi)角都是銳角，即直角三角形的三個(gè)內(nèi)角不都相等，故不是正多邊形；B選項(xiàng)，等腰三角形的三條邊不一定都相等，所以不是正多邊形；C選項(xiàng)，長(zhǎng)方形的四個(gè)角都是直角，但是四條邊不一定都相等，故不是正多邊形；D選項(xiàng)，正方形四個(gè)內(nèi)角都相等，且四條邊都相等，所以是正多邊形．【例3.2】對(duì)于正多邊形，下列說(shuō)法正確的是（

）A．正多邊形的邊都相等，內(nèi)角都相等；B．各邊相等的多邊形是正多邊形；C．各角相等的多邊形是正多邊形；D．由正多邊形構(gòu)成的多邊形是正多邊形；【答案】A【分析】A.由正多邊形的性質(zhì)可得B.舉反例判斷即可C.舉反例判斷即可D.舉反例判斷即可【詳解】A.由正多邊形的性質(zhì)：各邊相等，各角相等，正確B.菱形不是正方形，錯(cuò)誤C.矩形不是正方形，錯(cuò)誤D.正方形與邊長(zhǎng)相等的等邊三角形拼成的五邊形不是正多邊形，錯(cuò)誤故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的定義：平面內(nèi)各邊相等，各角相等的多邊形是正多邊形，準(zhǔn)確理解定義及性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【例3.3】如圖，要把邊長(zhǎng)為12的正三角形紙板剪去三個(gè)小正三角形，得到正六邊形，則剪去的小正三角形的邊長(zhǎng)是多少？【答案】4【分析】根據(jù)小正三角形和正六邊形的各邊都分別相等，且每個(gè)小正三角形與正六邊形均有公共邊進(jìn)行計(jì)算即可；【詳解】小正三角形和正六邊形的各邊都分別相等，且每個(gè)小正三角形與正六邊形均有公共邊，∴AD=DK=KB.又∵AD+DK+KB=12∴3AD=12，∴AD=4，即剪去的小正三角形的邊長(zhǎng)是4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)應(yīng)用，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式3.1】已知正多邊形的周長(zhǎng)為56，從其一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)共有4條對(duì)角線(xiàn)，求這個(gè)正多邊形的邊長(zhǎng)．【答案】這個(gè)多邊形的邊長(zhǎng)為8．【分析】根據(jù)從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)共有4條對(duì)角線(xiàn)，求出這是正七邊形即可求出邊長(zhǎng).【詳解】∵過(guò)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)共有4條對(duì)角線(xiàn)，故該多邊形邊數(shù)為4+3＝7，設(shè)這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則7x＝56，解得：x＝8∴這個(gè)多邊形的邊長(zhǎng)為8．【點(diǎn)睛】本題考查了正n邊形的對(duì)角線(xiàn)和周長(zhǎng),屬于簡(jiǎn)單題,熟悉正多邊形對(duì)角線(xiàn)的求法是解題關(guān)鍵.【變式3.2】下列圖形中，正多邊形的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【詳解】由正多邊形的性質(zhì)可得圖①②④都是正多邊形，故選C.【變式3.3】如圖所示，①中多邊形（邊數(shù)為12）是由正三角形“擴(kuò)展”而來(lái)的，②中多邊形是由正方形“擴(kuò)展”而來(lái)的，…，依此類(lèi)推，則由正n邊形“擴(kuò)展”而來(lái)的多邊形的邊數(shù)為_(kāi)_．【答案】n（n+1）．【分析】根據(jù)前幾個(gè)圖形的邊數(shù)計(jì)算可知正n邊形“擴(kuò)展”而來(lái)的多邊形的邊數(shù)為n（n+1）．【詳解】解：∵①正三邊形“擴(kuò)展”而來(lái)的多邊形的邊數(shù)是12=3×4，②正四邊形“擴(kuò)展”而來(lái)的多邊形的邊數(shù)是20=4×5，③正五邊形“擴(kuò)展”而來(lái)的多邊形的邊數(shù)為30=5×6，④正六邊形“擴(kuò)展”而來(lái)的多邊形的邊數(shù)為42=6×7，∴正n邊形“擴(kuò)展”而來(lái)的多邊形的邊數(shù)為n（n+1）．故答案為n（n+1）．【點(diǎn)睛】此題主要考查圖形的規(guī)律探索，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)圖形的規(guī)律變化，再進(jìn)行計(jì)算.模塊二模塊二多邊形的內(nèi)角和1.多邊形的內(nèi)角和公式n邊形的內(nèi)角和為(n－2)·180°(n≥3，n是正整數(shù))．

2.多邊形的多邊形外角和n邊形的外角和恒等于360°，它與邊數(shù)的多少無(wú)關(guān).

3.多邊形的邊數(shù)與內(nèi)角和、外角和的關(guān)系n邊形的內(nèi)角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整數(shù))，可見(jiàn)多邊形內(nèi)角和與邊數(shù)n有關(guān)，每增加1條邊，內(nèi)角和增加180°.【考點(diǎn)1多邊形的內(nèi)角和】【例1.1】如圖，足球圖片中的一塊黑色皮塊的內(nèi)角和是（

）A．720° B．540° C．360° D．180°【答案】B【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求出即可．【詳解】解：∵黑色皮塊是正五邊形，∴黑色皮塊的內(nèi)角和是5-2×180°=540°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，能熟記多邊形的內(nèi)角和公式是解此題的關(guān)鍵，邊數(shù)為n的多邊形的內(nèi)角和為n-2·180°【例1.2】一塊四邊形ABCD玻璃被打破，如圖所示．小紅想制做一模一樣的玻璃，經(jīng)測(cè)量∠A=120°，∠B=60°，∠C=150°，則∠D的度數(shù)（A．115° B．65° C．75° D．30°【答案】D【分析】根據(jù)四邊形內(nèi)角和求解即可．應(yīng)該是【詳解】解：∵∠A=120°，∠B=60°，∠C=150°，四邊形內(nèi)角和為∴∠D=360°-120°-60°-150°=30°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形內(nèi)角和，熟記知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．【例1.3】小紅在求一個(gè)凸n邊形的內(nèi)角和時(shí)，多算了一個(gè)角，求得的內(nèi)角和為1920°(1)多算進(jìn)去的那個(gè)內(nèi)角為多少度？(2)求這個(gè)多邊形的邊數(shù)？【答案】(1)120度(2)12邊【分析】（1）根據(jù)多邊形的內(nèi)角和應(yīng)為180的整數(shù)倍即可求解；（2）根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式即可進(jìn)行求解．【詳解】（1）解：∵1800°<1920°<1980°，∴多算進(jìn)去的內(nèi)角度數(shù)：1920°-1800°=120°；（2）右（1）可知，多算進(jìn)去的內(nèi)角為120°，∴這個(gè)多邊形的內(nèi)角和為：1920°-120°=1800°，(n-2)×180°=1800°，解得：∴這個(gè)多邊形邊數(shù)為12．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是掌握多邊形的內(nèi)角和為180的整數(shù)倍以及多邊形的內(nèi)角和公式．【變式1.1】一個(gè)n邊形的所有內(nèi)角和等于540°，則n的值等于__．【答案】5【分析】已知n邊形的內(nèi)角和為540°，根據(jù)多邊形內(nèi)角和的公式易求解．【詳解】解：依題意有n-2?180°=540°解得n=5．故答案為：5．【點(diǎn)睛】主要考查的是多邊形的內(nèi)角和公式，本題的難度簡(jiǎn)單．掌握多邊形的內(nèi)角和為n-2?180°【變式1.2】在△ABC中，∠C=55°，按圖中虛線(xiàn)將∠C剪去后，∠1+∠2等于___°．【答案】235【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和可以計(jì)算出∠A+∠B的度數(shù)，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°可算出∠1+∠2的結(jié)果．【詳解】解：∵△ABC中，∠C=55°，∴∠A+∠B=180°-∠C=125°，∵∠A+∠B+∠1+∠2=360°，∴∠1+∠2=360°-125°=235°，故答案為：235．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形內(nèi)角和以及多邊形內(nèi)角和，關(guān)鍵是掌握多邊形內(nèi)角和定理：(n-2)×180°．【變式1.3】一個(gè)多邊形的邊數(shù)由5增加到11，則內(nèi)角和增加的度數(shù)是__________【答案】1080°【分析】根據(jù)n邊形的內(nèi)角和定理分別得到兩個(gè)多邊形的內(nèi)角和，再相減即可求解．【詳解】(11-2)×180°-(5-2)×180°=9×180°-3×180°=6×180°=1080°．故內(nèi)角和增加的度數(shù)為1080°．故答案為：1080°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理，多邊形的邊數(shù)每增加一條，內(nèi)角和就增加180度．【考點(diǎn)2多邊形的外角和】【例2.1】若正多邊形的一個(gè)外角為60°，則這個(gè)正多邊形是（

）．A．正六邊形 B．正五邊形 C．正方形 D．等邊三角形【答案】A【分析】根據(jù)正多邊形的性質(zhì)和多邊形的外角和即可得．【詳解】任意一個(gè)多邊形的外角和均為360°，由正多邊形的性質(zhì)可知，其每一個(gè)外角都相等，設(shè)這個(gè)正多邊形為正n邊形，則60°n=360°，解得n=6，即這個(gè)正多邊形為正六邊形，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的性質(zhì)和多邊形的外角和，熟記正多邊形性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【例2.2】如圖，CG是正六邊形ABCDEF的邊BC上的延長(zhǎng)線(xiàn)，∠DCG的度數(shù)是______．【答案】60°/60度【分析】利用多邊形的外角和為360°，正多邊形的每個(gè)外角相等，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：CG是正六邊形ABCDEF的邊BC上的延長(zhǎng)線(xiàn)，∴∠DCG是正六邊形ABCDEF的一個(gè)外角，∴∠DCG=360°÷6=60°；故答案為：60°．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的外角．熟練掌握正多邊形的外角和為360°，正多邊形的每個(gè)外角相等，是解題的關(guān)鍵．【例2.3】如下圖，∠1，∠2，∠3，∠4是五邊形ABCDE的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝68°，則∠AED的度數(shù)是（

）A．88° B．98° C．92° D．112°【答案】C【分析】根據(jù)多邊形的外角和定理即可求得與∠AED相鄰的外角，從而求解．【詳解】解：根據(jù)多邊形外角和定理得到：∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝360°，∴∠5＝360°﹣4×68°＝88°，∴∠AED＝180°﹣∠5＝180°﹣88＝92°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的外角和定理：多邊形的外角和等于360°．【變式2.1】如圖，在正六邊形ABCDEF中，延長(zhǎng)BA，EF交于點(diǎn)O，則∠BOE=【答案】60【分析】根據(jù)多邊形的外角和為360°，求出正六邊形的每個(gè)外角的度數(shù)，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求出結(jié)果．【詳解】解：∵六邊形ABCDEF為正六邊形，多邊形的外角和為360°，∴∠OAF∴∠BOE故答案為：60．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的外角和，三角形的內(nèi)角和，根據(jù)多邊形外角和求出∠OAF【變式2.2】如圖，小明在操場(chǎng)上從A點(diǎn)出發(fā)，沿直線(xiàn)前進(jìn)10米后向左轉(zhuǎn)40°，再沿直線(xiàn)前進(jìn)10米后，又向左轉(zhuǎn)40°，照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地A點(diǎn)時(shí)，一共走了_________米．【答案】90【分析】根據(jù)題意可得小明所走的路線(xiàn)為一個(gè)正多邊形，根據(jù)多邊形的外角和即可求出答案．【詳解】解：根據(jù)題意得：小明第一次回到出發(fā)地A點(diǎn)時(shí)，他一共轉(zhuǎn)了360°，且每次都是向左轉(zhuǎn)40°，∵360°÷40°=9，∴小明共轉(zhuǎn)了9次，∵一次沿直線(xiàn)前進(jìn)10米，∴他第一次回到出發(fā)地A點(diǎn)時(shí)，一共走了10×9=90米．故答案為：90．【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)多邊形的外角和解決實(shí)際問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是能夠理解題意，熟知多邊形的外角和是360°．【變式2.3】如圖，正十邊形與正方形共邊AB，延長(zhǎng)正方形的一邊AC與正十邊形的一邊ED，兩線(xiàn)交于點(diǎn)F，設(shè)∠AFD=x°，則x的值為（

）．A．15 B．18 C．21 D．24【答案】B【分析】延長(zhǎng)AB交DF于H，根據(jù)正多邊形的外角為360°n，結(jié)合三角形的外角性質(zhì)可求得∠AHF=72°，再根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余求解【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)AB交DF于H，則∠HBD=∠HDB=360°∴∠AHF=∠HBD+∠HDB=72°，∵∠BAC=90°，∴∠AFD=90°-∠AHF=18°，即x=18，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的外角、三角形的外角性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，熟知正多邊形的外角計(jì)算公式是解答的關(guān)鍵．【考點(diǎn)3多邊形的內(nèi)角和與外角和的綜合應(yīng)用】【例3.1】一個(gè)多邊形外角和是內(nèi)角和的15，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是________【答案】12【分析】設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意得多邊形的內(nèi)角和是外角和的5倍，列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意得多邊形的內(nèi)角和是外角和的5倍，∴360×5=n-2解得：n=12，所以這個(gè)多邊形的邊數(shù)為12．故答案為：12．【點(diǎn)睛】題目主要考查一元一次方程的應(yīng)用及多邊形的內(nèi)角和與外角和等，理解題意，列出方程是解題關(guān)鍵．【例3.2】若一個(gè)三角形的外角和為a，一個(gè)五邊形的內(nèi)角和為b，則a，b的關(guān)系是（

）A．a(chǎn)=b B．b-a=90° C．b=2a D．b-a=180°【答案】D【分析】任意多邊形的外角和為360°，n邊形的內(nèi)角的和等于:(n-2)×180°(n≥3且n為整數(shù))，而計(jì)算即可．【詳解】∵任意多邊形的外角和為360°，∴a=360°,∵∴b-a=180°故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查的是多邊形的內(nèi)角和與外角和，掌握任意多邊形的外角和為360°和多邊形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵．【例3.3】如圖，正五邊形ABCDE，BG平分∠ABC，DG平分正五邊形的外角∠EDF，則∠G＝（

）A．45° B．54° C．60° D．64°【答案】B【分析】先求出正五邊形的一個(gè)外角，再求出內(nèi)角度數(shù)，然后在四邊形BCDG中，利用四邊形內(nèi)角和求出∠G．【詳解】∵正五邊形外角和為360°，∴外角∠EDF=∴內(nèi)角∠ABC=∠C=∠CDE=180°-72°=108°，∵BG平分∠ABC，DG平分正五邊形的外角∠EDF，∴∠CBG=12∠ABC=54°，在四邊形BCDG中，∠CBG+∠C+∠CDE+∠EDF+∠G=360°，∴∠G=360°-∠CBG+∠C+∠CDE+∠EDF故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查多邊形角度的計(jì)算，正多邊形可先計(jì)算外角，再計(jì)算內(nèi)角更加快捷簡(jiǎn)便，掌握正多邊形的內(nèi)角和與外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3.1】一個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都相等，且每個(gè)內(nèi)角與相鄰?fù)饨嵌葦?shù)比均為7:2，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是【答案】9【分析】設(shè)每個(gè)內(nèi)角為7x°，每個(gè)外角為2x°，先根據(jù)多邊形的內(nèi)角和外角的關(guān)系，求出一個(gè)外角的度數(shù)，再根據(jù)多邊形的外角和是360°，從而代入公式求解即可．【詳解】解：設(shè)每個(gè)內(nèi)角為7x°，每個(gè)外角為2x°，根據(jù)題意得：7x°+2x°=180°，解得x=20，故每個(gè)外角為2×20°=40°，360°÷40°=9，故這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是9，故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是多邊形的內(nèi)角與外角，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．【變式3.2】一個(gè)正多邊形的邊長(zhǎng)為2，每個(gè)內(nèi)角為135°，則這個(gè)多邊形的周長(zhǎng)是()A．8 B．14 C．16 D．20【答案】C【分析】一個(gè)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，根據(jù)內(nèi)角與外角互為鄰補(bǔ)角，因而就可以求出外角的度數(shù)，根據(jù)任何多邊形的外角和都是360度，利用360除以外角的度數(shù)就可以求出外角和中外角的個(gè)數(shù)，求得多邊形的邊數(shù)，即可得到結(jié)論．【詳解】∵正多邊形的每個(gè)內(nèi)角為135°，∴每個(gè)外角是180°-135°=45°，∵多邊形的邊數(shù)為：360÷45=8，則這個(gè)多邊形是八邊形，∴這個(gè)多邊形的周長(zhǎng)=2×8=16，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形內(nèi)角與外角：n邊形的內(nèi)角和為（n-2）×180°；n邊形的外角和為360°．【變式3.3】一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為α，外角和為β，則α=2β的多邊形的是（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【答案】D【分析】任意多邊形的外角和為360°，然后利用多邊形的內(nèi)角和公式計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n．根據(jù)題意得：n-2×180°=2×360°解得：n=6．故多邊形的是六邊形．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是多邊形的內(nèi)角和和外角和，掌握任意多邊形的外角和為360°和多邊形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵．【變式3.4】已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比外角和多900°，并且這個(gè)多邊形各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)都相等．這個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角是多少度？【答案】140°【分析】本題先由題意得出等量關(guān)系，即這個(gè)多邊形的內(nèi)角和比它的外角和多900°，由此列出方程解出邊數(shù)，進(jìn)一步可求出它每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．【詳解】解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，依題意，得：n-2·180°=360°+900°解得：n=9，∵這個(gè)多邊形各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)都相等，∴這個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角是：9-2×180°÷9=140°∴這個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角是140度．【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的內(nèi)角和定理與外角和．多邊形內(nèi)角和定理：n-2·180°（n≥3且n為整數(shù)）；多邊形的外角和等于360°模塊三模塊三課后作業(yè)1．如圖所示的圖形中，屬于多邊形的有A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【答案】A【詳解】解：根據(jù)多邊形的定義：平面內(nèi)不在同一條直線(xiàn)上的幾條線(xiàn)段首尾順次相接組成的圖形叫多邊形．顯然只有第一個(gè)、第二個(gè)、第五個(gè)符合題意．故選A．2．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．五邊形有5條邊，5個(gè)內(nèi)角，5個(gè)頂點(diǎn)；B．四邊形有2條對(duì)角線(xiàn)；C．連接對(duì)角線(xiàn)，可以把多邊形分成三角形；D．六邊形的六個(gè)角都相等；【答案】D【分析】運(yùn)用多邊形的定義及其內(nèi)角、對(duì)角線(xiàn)等知識(shí)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【詳解】解：A、五邊形有5條邊，5個(gè)內(nèi)角，5個(gè)頂點(diǎn)，原選項(xiàng)正確，故不符合題意；B、四邊形有2條對(duì)角線(xiàn)，原選項(xiàng)正確，故不符合題意；；C、連接對(duì)角線(xiàn)，可以把多邊形分成三角形，原選項(xiàng)正確，故不符合題意；D、六邊形的六個(gè)角不一定相等，只有正六邊形的六個(gè)內(nèi)角相等，原選項(xiàng)錯(cuò)誤，故符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的定義及其內(nèi)角、對(duì)角線(xiàn)等知識(shí)點(diǎn)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握多邊形的定義．3．從一個(gè)多邊形的某個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別連接這個(gè)頂點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)，可以把這個(gè)多邊分成10個(gè)三角形，則這個(gè)多邊形是（

）邊形A．十 B．十一 C．十二 D．十三【答案】C【分析】從一個(gè)n邊形的某個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引（n?3）條對(duì)角線(xiàn)，把n邊形分為（n?2）的三角形．【詳解】解：由題意可知，n?2＝10，解得n＝12．∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)為12．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了多邊形，關(guān)鍵是掌握從一個(gè)n邊形的某個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以把n邊形分為（n?2）的三角形．4．下列多邊形中，內(nèi)角和為540°的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)n邊形的內(nèi)角和公式為n-2×180°【詳解】解：∵n邊形的內(nèi)角和公式為n-2×180°∴當(dāng)n-2×180°=540°°則n=5．∴四邊形的內(nèi)角和等于540°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和，熟練掌握多邊形內(nèi)角和公式是解題關(guān)鍵．5．如圖1所示的是被稱(chēng)作“通州八景”之一的燃燈佛舍利塔，它巍峨挺拔，雄偉壯觀，始建于北周年間，是北京地區(qū)建造年代最早、最高大的佛塔之一．燃燈佛舍利塔為八角形十三層磚木結(jié)構(gòu)密檐式塔，十三層均為正八邊形磚木結(jié)構(gòu)，圖2所示的正八邊形是其中一層的平面示意圖，其內(nèi)角和為（

）A．135° B．360° C．1080° D．190°【答案】C【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和計(jì)算公式求解即可．【詳解】解：180°×8-2∴圖2所示的正八邊形是其中一層的平面示意圖，其內(nèi)角和為1080°，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形內(nèi)角和定理，熟知多邊形內(nèi)角和計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵：對(duì)于n邊形，其內(nèi)角和為180°×n-26．已知一個(gè)多邊形內(nèi)角和為1080°，則這個(gè)多邊形可連對(duì)角線(xiàn)的條數(shù)是（

）A．10 B．16 C．20 D．40【答案】C【分析】先根據(jù)多邊形內(nèi)角和計(jì)算公式求出這個(gè)多邊形是八邊形，再根據(jù)多邊形對(duì)角線(xiàn)計(jì)算公式求解即可．【詳解】解：設(shè)這個(gè)多邊形為n邊形，由題意得，180×n-2∴n=8，∴這個(gè)多邊形為八邊形，∴這個(gè)多邊形可連對(duì)角線(xiàn)的條數(shù)是8×8-3故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形內(nèi)角和定理，多邊形對(duì)角線(xiàn)計(jì)算公式，熟知n邊形的對(duì)角線(xiàn)條數(shù)是nn-37．如圖，在正五邊形ABCDE中，以AB為邊向內(nèi)作正△ABF，則∠EAF度數(shù)為（

）A．30° B．48° C．45° D．60°【答案】B【分析】先根據(jù)題意求出∠EAB的度數(shù)，再由等邊三角形的性質(zhì)可知∠FAB=60°，據(jù)此可得出結(jié)論．【詳解】解：∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠EAB=1∵△ABF是等邊三角形，∴∠FAB=60°，∴∠EAF=∠EAB-∠FAB=48°．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查正多邊形的計(jì)算問(wèn)題、等邊三角形的性質(zhì)，掌握正多邊形定義及內(nèi)角和公式、等邊三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用是解題關(guān)鍵．8．從十六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的所有對(duì)角線(xiàn)，把這個(gè)十六邊形分成__________個(gè)三角形．【答案】14【分析】從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)有n-3條對(duì)角線(xiàn)，共分成了n-2個(gè)三角形．【詳解】解：當(dāng)n=16時(shí)，16-2=14，即可以把這個(gè)十六邊形分成了14個(gè)三角形，故答案為：14．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的對(duì)角線(xiàn)，熟記相關(guān)公式是解題的關(guān)鍵，如果記不住公式，可以從四邊形、五邊形開(kāi)始，畫(huà)圖探索規(guī)律．9．一個(gè)n邊形，若其中(n－1)個(gè)內(nèi)角的和為800°，則n＝________．【答案】7【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式（n﹣2）?180°可知多邊形的內(nèi)角和是180°的倍數(shù)，然后用800°÷180°所得商的整數(shù)部分加1就是（n﹣2）的值，由此可求得答案．【詳解】解：800°÷180°＝4……80°，∵除去了一個(gè)內(nèi)角，∴n﹣2＝4+1＝5，∴n＝5+2＝7，故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式，根據(jù)公式利用多邊形的內(nèi)角和是180°的倍數(shù)是解題的關(guān)鍵．10．若一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，得到的新多邊形為十五邊形，則原來(lái)的多邊形邊數(shù)為_(kāi)_____．【答案】14或15或16【分析】分三種情況進(jìn)行討論，得出答案即可．【詳解】解：如圖，一個(gè)多邊形減去一個(gè)角后，比原來(lái)多邊形少了一條邊，∴此時(shí)原多邊形的邊數(shù)為15+1=16；如圖，一個(gè)多邊形減去一個(gè)角后，與原來(lái)多邊形的邊數(shù)相同，∴此時(shí)原多邊形的邊數(shù)為15；如圖，一個(gè)多邊形減去一個(gè)角后，比原來(lái)多邊形多了一條邊，∴此時(shí)原多邊形的邊數(shù)為15-1=14；綜上分析可知，原來(lái)的多邊形邊數(shù)為14或15或16．故答案為：14或15或16．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的邊數(shù)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，注意進(jìn)行分類(lèi)討論．11．如圖，七邊形ABCDEFG中，AB，ED的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)O，若∠1，∠2，∠3，∠4的和等于230°，則∠BOD的度數(shù)為_(kāi)_____．【答案】50°/50度【分析】延長(zhǎng)BC交OD于點(diǎn)H，根據(jù)∠1+∠2+∠3+∠4=230°,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=360°，得到∠5+∠6+∠7=130°，結(jié)合∠BHO=∠6+∠7，得到∠BHO+∠5=130°，結(jié)合∠BHO+∠5+∠BOD=180°計(jì)算即可．【詳解】如圖，延長(zhǎng)BC交OD于點(diǎn)F，因?yàn)椤?+∠2+∠3+∠4=230°,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=360°，所以∠5+∠6+∠7=130°，因?yàn)椤螧HO=∠6+∠7，所以∠BHO+∠5=130°，因?yàn)椤螧HO+∠5+∠BOD=180°，所以∠BOD=180°-∠BHO+∠5故答案為：50°．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的外角和定理，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理