2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-8.2-空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系【課件】

必備知識·逐點夯實第二節(jié)空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系第八章立體幾何初步、

空間向量與立體幾何核心考點·分類突破【課標(biāo)解讀】【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.借助長方體,在直觀認(rèn)識空間點、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上,抽象出空間點、直線、平面的位置關(guān)系的定義,了解四個基本事實和一個定理.2.能運用基本事實、定理和已獲得的結(jié)論證明空間基本圖形位置關(guān)系的簡單命題.【核心素養(yǎng)】直觀想象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理.【命題說明】考向考法以空間幾何體為載體,考查基本事實及其結(jié)論在判斷位置關(guān)系、交線問題、求角中的應(yīng)用.求異面直線所成的角是高考的熱點,在各個題型中均有所體現(xiàn).預(yù)測2025年高考主要考查與點、線、面位置關(guān)系有關(guān)的命題真假的判斷和求解異面直線所成的角,主要以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).必備知識·逐點夯實知識梳理·歸納1.四個基本事實基本事實1:過不在__________上的三個點,有且只有一個平面.符號:A,B,C三點________?存在唯一的α使A,B,C∈α.基本事實2:如果一條直線上的________在一個平面內(nèi),那么這條直線在這個平面內(nèi).符號:A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α?_____.基本事實3:如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們______________過該點的公共直線.符號:P∈α,且P∈β?α∩β=l,且_____.基本事實4:平行于同一條直線的兩條直線______.符號:a∥b,b∥c?_____.一條直線不共線兩個點l?α有且只有一條P∈l平行a∥c2.基本事實的三個推論推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線____一點,有且只有一個平面.推論2:經(jīng)過兩條______直線,有且只有一個平面.推論3:經(jīng)過兩條______直線,有且只有一個平面.外相交平行3.空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系項目直線與直線直線與平面平面與平面平行關(guān)系圖形語言

符號語言a∥ba∥αα∥β相交關(guān)系圖形語言

符號語言a∩b=Aa∩α=Aα∩β=l項目直線與直線直線與平面平面與平面其他關(guān)系圖形語言

-符號語言a,b是異面直線a?α-微點撥

(1)直線在平面外分直線與平面平行和直線與平面相交兩種情況.(2)兩條直線沒有公共點分直線與直線平行和直線與直線異面兩種情況.4.等角定理如果空間中兩個角的兩條邊分別__________,那么這兩個角相等或______.5.異面直線所成的角(1)定義:已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過空間任意一點O分別作直線a'∥a,b'∥b,把a'與b'所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).(2)范圍:______.對應(yīng)平行互補

常用結(jié)論

1.證明點共線與線共點都需用到基本事實3.2.兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個三角形的內(nèi)角時,容易忽視這個三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直線所成的角,也可能等于其補角.基礎(chǔ)診斷·自測類型辨析改編易錯高考題號14231.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)如果兩個平面有三個公共點,則這兩個平面重合.(

)(2)經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個平面.(

)(3)兩兩相交的三條直線共面.(

)(4)若a,b是兩條直線,α,β是兩個平面,且a?α,b?β,則a,b是異面直線.(

)提示:(1)中的兩個平面可能相交;(2)正確;(3)中的三條直線相交于一點時可能不共面;(4)中的兩條直線可能是平行直線.×√××2.(忽略直線不在平面內(nèi)而致誤)若直線l不平行于平面α,且l?α,則(

)A.α內(nèi)的所有直線與l異面B.α內(nèi)不存在與l平行的直線C.α內(nèi)存在唯一的直線與l平行D.α內(nèi)的直線與l都相交【解析】選B.由題意知,直線l與平面α相交,則直線l與平面α內(nèi)的直線只有相交和異面兩種位置關(guān)系,因而只有選項B是正確的.3.(多選題)(2022·新高考Ⅰ卷)已知正方體ABCD-A1B1C1D1,則(

)A.直線BC1與DA1所成的角為90°B.直線BC1與CA1所成的角為90°C.直線BC1與平面BB1D1D所成的角為45°D.直線BC1與平面ABCD所成的角為45°

4.(必修二P134例1變形式)如圖,在三棱錐A-BCD中,E,F,G,H分別是棱AB,BC,CD,DA的中點,則(1)當(dāng)AC,BD滿足條件

時,四邊形EFGH為菱形;

(2)當(dāng)AC,BD滿足條件

時,四邊形EFGH為正方形.

AC=BDAC=BD且AC⊥BD

核心考點·分類突破考點一基本事實的應(yīng)用[例1]已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為D1C1,C1B1的中點,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求證:(1)D,B,F,E四點共面;【證明】(1)如圖所示,連接B1D1.因為EF是△D1B1C1的中位線,所以EF∥B1D1.在正方體AC1中,B1D1∥BD,所以EF∥BD,所以EF,BD確定一個平面,即D,B,F,E四點共面.[例1]已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為D1C1,C1B1的中點,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求證:(2)若A1C交平面DBFE于R點,則P,Q,R三點共線;【證明】(2)在正方體AC1中,設(shè)A1,C,C1三點確定的平面為α,平面BDEF為β.因為Q∈A1C1,所以Q∈α.又Q∈EF,所以Q∈β,所以Q是α與β的公共點.同理,P是α與β的公共點,所以α∩β=PQ.又A1C∩β=R,所以R∈A1C,R∈α,且R∈β,則R∈PQ,故P,Q,R三點共線.[例1]已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為D1C1,C1B1的中點,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求證:(3)DE,BF,CC1三線交于一點.【證明】(3)因為EF∥BD且EF<BD,所以DE與BF相交.設(shè)交點為M,則由M∈DE,DE?平面D1DCC1,得M∈平面D1DCC1,同理,點M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1=CC1,所以M∈CC1,所以DE,BF,CC1三線交于點M.解題技法共面、共線、共點問題的證明(1)證明共面的方法:先確定一個平面,然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi).(2)證明共線的方法:先由兩點確定一條直線,再證其他各點都在這條直線上.(3)證明線共點問題的常用方法:先證其中兩條直線交于一點,再證其他直線經(jīng)過該點.對點訓(xùn)練1.如圖,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且A,B,C?l,直線AB∩l=M,過A,B,C三點的平面記作γ,則γ與β的交線必經(jīng)過(

)A.點AB.點BC.點C但不過點MD.點C和點M【解析】選D.因為AB?γ,M∈AB,所以M∈γ.又α∩β=l,M∈l,所以M∈β.根據(jù)基本事實3可知,M在γ與β的交線上.同理可知,點C也在γ與β的交線上.所以γ與β的交線必經(jīng)過點C和點M.

【證明】(2)易知FH與直線AC不平行,但共面,所以設(shè)FH∩AC=M,所以M∈平面EFHG,M∈平面ABC.又因為平面EFHG∩平面ABC=EG,所以M∈EG,所以FH,EG,AC共點.考點二

空間兩直線位置關(guān)系的判斷1.空間中有三條線段AB,BC,CD,且∠ABC=∠BCD,那么直線AB與CD的位置關(guān)系是(

)A.平行B.異面C.相交或平行D.平行或異面或相交均有可能【解析】選D.根據(jù)條件作出示意圖,容易得到以下三種情況.如圖可知AB,CD有相交,平行,異面三種情況.2.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為BC,BB1的中點,則下列直線中與直線EF相交的是(

)A.直線AA1 B.直線A1B1C.直線A1D1 D.直線B1C1【解析】選D.根據(jù)異面直線的概念可知直線AA1,A1B1,A1D1都和直線EF為異面直線.因為直線B1C1和EF在同一平面內(nèi),且這兩條直線不平行,所以直線B1C1和直線EF相交.3.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點E,F分別在A1D,AC上,且A1E=2ED,CF=2FA,則EF與BD1的位置關(guān)系是(

)A.相交但不垂直

B.相交且垂直C.異面 D.平行

4.(多選題)如圖是正四面體的平面展開圖,G,H,M,N分別為DE,BE,EF,EC的中點,則在這個正四面體中(

)A.GH與EF平行B.BD與MN為異面直線C.GH與MN成60°角D.DE與MN垂直【解析】選BCD.還原成正四面體A-DEF,如圖所示,其中H與N重合,A,B,C三點重合,易知GH與EF異面,BD與MN異面.連接GM,因為△GMH為等邊三角形,所以GH與MN成60°角.由圖易得DE⊥AF,又MN∥AF,所以MN⊥DE,因此正確的選項是B,C,D.5.(多選題)四棱錐P-ABCD的所有棱長都相等,M,N分別為PA,CD的中點,下列說法正確的是(

)A.MN與PD是異面直線B.MN∥平面PBCC.MN∥ACD.MN⊥PB【解析】選ABD.如圖所示,取PB的中點H,連接MH,HC,由題意知,四邊形MHCN為平行四邊形,所以MN∥平面PBC.設(shè)四邊形MHCN確定平面α,又D∈α,故M,N,D共面,但P?平面α,D?MN,因此