2020高中數(shù)學(xué) 第六章 平面向量初步

6.3平面向量線性運(yùn)算的應(yīng)用

目段國(guó)國(guó)

考點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

通過(guò)本節(jié)課學(xué)習(xí)理解向量在處

理有關(guān)平面幾何問(wèn)題中的優(yōu)越數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建

幾何應(yīng)用

性并體會(huì)向量在幾何和現(xiàn)實(shí)生模

活中的意義

運(yùn)用向量的有關(guān)知識(shí)（向量加減

數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建

物理應(yīng)用法與向量數(shù)量積的運(yùn)算法則等）

模

解決簡(jiǎn)單的物理問(wèn)題

預(yù)習(xí)案，??尊圖

?問(wèn)題導(dǎo)學(xué)

預(yù)習(xí)教材P168—P170的內(nèi)容，思考以下問(wèn)題：

1.平面向量是如何體現(xiàn)在幾何問(wèn)題中的？

2.平面向量是如何體現(xiàn)在物理問(wèn)題中的？

?海知初麻?

1.用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的步驟

⑴轉(zhuǎn)化：建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及

的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題.

⑵運(yùn)算：通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、

夾角等問(wèn)題.

(3)翻譯:把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.

2.向量方法解決物理問(wèn)題的步驟

⑴問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，把物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題.

(2)模型的建立，建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型.

(3)參數(shù)的獲取，求出數(shù)學(xué)模型的相關(guān)解.

(4)問(wèn)題的答案，回到物理現(xiàn)象中，用已經(jīng)獲取的數(shù)學(xué)結(jié)果去解

釋一些物理現(xiàn)象.

?自國(guó)胤則?

n已知向量夕=(—2,㈤與向量b=(1—5，1)平行，則實(shí)數(shù)g

的值為()

A.-1B.1

C.2D.-1或2

1m

解析：選D。由二;=一萬(wàn)，得功=—1或g=2,故選D.

0已知三個(gè)力￡=(—2,—1),￡=(-3,2),4-(4-3)同時(shí)作

用于某物體上一點(diǎn)，為使物體保持平衡，現(xiàn)加上一個(gè)力￡,則￡等

于()

A.(―1,—2)B.(1,-2)

c.(-1,2)D.(1,2)

解析：選D.由物理學(xué)知識(shí)知，要使物體保持平衡，則有一工=

/+￡+￡=(—2,-1)+(—3,2)+(4,-3)=(—1,-2),

所以￡=(1,2).

故選D.

?如圖，已知點(diǎn)4(4,0),8(4,4),CQ,6),則4。與08的交點(diǎn)

夕的坐標(biāo)為

B

解析:設(shè)點(diǎn)〃(與力則錯(cuò)誤!=6，0,

錯(cuò)誤！=(4,4),錯(cuò)誤！=(x—4,y—0)=(x—4,y),錯(cuò)誤！=(2—4,6—

0)=(—2,6),由錯(cuò)誤!與錯(cuò)誤!共線得4x—4尸=0①，

由錯(cuò)誤!與錯(cuò)誤!共線得6(x—4)—(一2)了=0②，

聯(lián)立①②，解得x=3,尸3,即點(diǎn)夕的坐標(biāo)為(3,3).

答案：(3,3)

面如圖，已知兩個(gè)力的大小和方向，則合力的大小為N;

若用坐標(biāo)表示合力孤則F=.

解析:由圖可知月=(2,3),F2=(3,1),

則合力戶=氏+￡=(2,3)+(3,1)=(5,4),

所以|戶|=錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!。

答案：yfi(5,4)

?探究案，盼翁目⑧解惑?探究?突破?

探究點(diǎn)④

向量在平面幾何中的應(yīng)用

m已知。,左,刀是平面上不共線的三點(diǎn)，直線48上有一點(diǎn)c,

滿足2錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤！=0。

（1）用錯(cuò)誤！,錯(cuò)誤!表示錯(cuò)誤！；

⑵若點(diǎn)。是。夕的中點(diǎn)，證明四邊形OC4。是梯形.

【解】（1）因?yàn)?錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤!=0,

所以2（錯(cuò)誤!一錯(cuò)誤!）+（錯(cuò)誤!一錯(cuò)誤!）=0,

2錯(cuò)誤！一2錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！一錯(cuò)誤！=0,

所以錯(cuò)誤！=2錯(cuò)誤！一錯(cuò)誤!.

（2）證明：如圖，由題得,/!=錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤!

=一錯(cuò)誤!錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤?。?錯(cuò)誤！一錯(cuò)誤?。?

結(jié)合（1）知，錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!。

所以錯(cuò)誤！II錯(cuò)誤!，即DAII0G故四邊形0c4。是梯形.

錯(cuò)誤！

用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的步驟

跟蹤訓(xùn)練］如圖，在直角梯形中，錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!錯(cuò)誤！，錯(cuò)誤!=2錯(cuò)誤！，

且錯(cuò)誤!=緡誤!+端誤！，則2r+3s=（

A.1

C.3D.4

解析：選C。根據(jù)圖形由題意可得

錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤!錯(cuò)誤！

=錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤?。ㄥe(cuò)誤！+錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤?。?/p>

=錯(cuò)誤!錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤?。ㄥe(cuò)誤！+錯(cuò)誤!）

=錯(cuò)誤!錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤!（錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤!錯(cuò)誤?。?/p>

=錯(cuò)誤!錯(cuò)誤！十錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!.

因?yàn)殄e(cuò)誤！=儲(chǔ)誤！+理誤！，

所以？=錯(cuò)誤!,S=錯(cuò)誤！,

所以2r+3s=1+2=3.

探究點(diǎn)團(tuán)__________________________

向量在物理中的應(yīng)用（速度）

麗某人騎車以2km/h的速度向東行駛，感到風(fēng)從正北方向吹

來(lái)，而當(dāng)速度為2akm/h時(shí)，感到風(fēng)從東北方向吹來(lái)，試求實(shí)際風(fēng)

速和方向.

【解】設(shè)此人行駛速度為多則無(wú)風(fēng)時(shí)此人感覺(jué)到風(fēng)

速為一處又設(shè)實(shí)際風(fēng)速為v,

由題意知，此人所感到的從正北方向吹來(lái)的風(fēng)速為（P—a）,

如圖所示，令錯(cuò)誤!=-N,錯(cuò)誤!=-2a,

由于⑶+錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤！，故錯(cuò)誤!=0一2

又錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!，故錯(cuò)誤!=0—2。，即此人的速度是原來(lái)的2倍

時(shí)所感到的風(fēng)速，由題意得/期。=45°,PALBO,BA^AO,從

而△瓦絲為等腰三角形，

所以PB=PO"POA=/APO=45°,

所以錯(cuò)誤!a,|v|=錯(cuò)誤!2km/h。

故實(shí)際吹來(lái)的風(fēng)是風(fēng)速為錯(cuò)誤!akm/h的西北風(fēng).

錯(cuò)誤!

物理中的矢量主要有力、速度、位移，一般求功、動(dòng)量及前面的

三種只需根據(jù)它們的運(yùn)算特征作出幾何圖形，即可利用向量求解.

國(guó)跟蹤訓(xùn)練;已知船在靜水中的速度大小為5m/s,且船在靜水中的

速度大小大于水的速度大小，河寬為20m,船垂直到達(dá)對(duì)岸用的時(shí)

間為5s,試用向量的減法來(lái)求水流的速度大小.

解：設(shè)船在靜水中的速度為匕，水流速度為功，船

的實(shí)際速度為巧，建立如圖坐標(biāo)系.

|匕|=5m/s,|匕|=錯(cuò)誤!=4m/s,則

%=(0,4),匕=(一3,4),藝=巧一匕=(0,4)一(一3,4)=(3,

0).

所以I方|=3m/s。即水流的速度大小為3m/s。

探究點(diǎn)

向量在物理中的應(yīng)用（力）

他網(wǎng)如圖，一物體受到兩個(gè)大小均為60N的力的作用，兩力的夾

角為60°且有一力方向水平，求合力的大小及方向.

B

【解】以。4，錯(cuò)誤!為鄰邊作平行四邊形OACB,

則錯(cuò)誤!即為合力.由已知可得△04。為等腰三角形,

且/CO4=30°，過(guò)4作于點(diǎn)。則在Rt/XOAD中，|

錯(cuò)誤！|=|錯(cuò)誤！|?cos30°=60X錯(cuò)誤！=30錯(cuò)誤！,故|錯(cuò)誤！|=2|錯(cuò)誤！|=60

錯(cuò)誤!，即合力的大小為60錯(cuò)誤！N,方向與水平方向成30°角.

錯(cuò)誤！

用向量方法解決物理問(wèn)題的步驟

(1)轉(zhuǎn)化：把物理問(wèn)題中的相關(guān)量用向量表示，轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)

題的模型.

(2)運(yùn)算：通過(guò)向量的運(yùn)算使問(wèn)題得以解決.

(3)還原：把結(jié)果還原為物理問(wèn)題.

匐I跟蹤訓(xùn)練;如圖所示，若物體的重量為4-_____?G,且被兩根

不等長(zhǎng)的繩子吊起，繩子兩端點(diǎn)力和8保持同一高

度，繩子與豎直方向的夾角分別為"和產(chǎn)，試求拉力片,

月的大小.

解：以力的作用點(diǎn)。為原點(diǎn)，水平方向?yàn)閄軸，豎直苗?L

方向?yàn)閥軸建立平面直角坐標(biāo)系，將近，用分別分解為水平

方向和豎直方向上的力耳J；”片,馬，如圖所示，

所以瓦什用=打，鼻葉瑪=丹.則由受力平衡知物體在水平方

向和豎直方向上所受的合力分別為0,得

錯(cuò)誤！所以錯(cuò)誤!

解得錯(cuò)誤！

兩根繩子的拉力耳，石的大小分別為

錯(cuò)誤！,錯(cuò)誤！。

測(cè)評(píng)案，?像侈臉

1.已知點(diǎn)4(2,3),8(—2,6),Q6,6),D(10,3),則以48。

為頂點(diǎn)的四邊形是()

A.梯形

B.鄰邊不相等的平行四邊形

C.菱形

D.兩組對(duì)邊均不平行的四邊形

解析：選B.因?yàn)殄e(cuò)誤!=(8,0),錯(cuò)誤!=(8,0),所以錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!，因?yàn)殄e(cuò)誤!=

(4,—3),所以|錯(cuò)誤！|=5,而I錯(cuò)誤!1=8,故為鄰邊不相等的平行

四邊形.

2.已知作用在點(diǎn)4的三個(gè)力￡=(3,4)￡=(2,-5),￡=(3,

1),且4(1,1),則合力UA+6+E的終點(diǎn)坐標(biāo)為()

A.(9,1)B.(1,9)

C.(9,0)D.(0,9)

解析：選A.U￡+￡+￡=(3,4)+(2,-5)+(3,1)=(8,0),

設(shè)終點(diǎn)為刀(x,力，則(x—1,y—1)=(8,0),

所以錯(cuò)誤!所以錯(cuò)誤!所以終點(diǎn)坐標(biāo)為(9,1).

3.坐標(biāo)平面內(nèi)一只小螞蟻以速度r=(l,2)從點(diǎn)4(4,6)處移

動(dòng)到點(diǎn)8(7,12)處，其所用時(shí)間為

解析:設(shè)所用時(shí)間為「，則

錯(cuò)誤!=何即(3,6)=<1,2),所以1=3.

答案:3

應(yīng)用案，?回O錨強(qiáng)化.培優(yōu)-通關(guān)*[A基礎(chǔ)

達(dá)標(biāo)]

1.人騎自行車的速度是匕，風(fēng)速為功，則人的實(shí)際速度為()

匕+功

A.v}—v2B.

C.|Vil—IV2IDo錯(cuò)誤!

解析：選B.由向量的加法法則可得人的實(shí)際速度為匕+功。注

意速度是有方向和大小的,是一個(gè)向量.

2.當(dāng)兩人提起重量為G的旅行包時(shí)，夾角為夕,兩人用力大小

都為|尸|,若|尸|=|G|,則9的值為(

A.30°B.60°

C.90°D.120°

解析：選D.由題意作出示意圖，由|戶|=|G|知

都是等邊三角形，所以9=120°.

C

3.河水的流速為5m/s,一艘小船想以12m/s的速度沿垂直河

岸方向駛向?qū)Π叮瑒t小船的靜水速度大小為（）

A.13m/sB.12m/s

C.17m/sD.15m/s

解析:選A.設(shè)小船的靜水速度為％,

河水的流速為V2,

靜水速度與河水速度的合速度為V,

為了使航向垂直河岸，船頭必須斜向上游方向，

即靜水速度匕斜向上游方向，河水速度必平行于河岸，

靜水速度與河水速度的合速度。指向?qū)Π叮?/p>

即靜水速度|匕I=錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!=13（m/s）.

4.已知四邊形各頂點(diǎn)坐標(biāo)是4錯(cuò)誤!，礴誤!，CW誤!，Dt誤!，

則四邊形48。是（）

A.梯形B.平行四邊形

C.矩形D.菱形

解析：選A。因?yàn)殄e(cuò)誤!=錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!=(3,4),

所以錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!錯(cuò)誤！，所以錯(cuò)誤！//錯(cuò)誤！，ABIIDC.

又|錯(cuò)誤！|=錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！，|錯(cuò)誤！|=錯(cuò)誤！=5,

所以I錯(cuò)誤!I中I錯(cuò)誤！|,所以四邊形力8a＞是梯形.

5.用兩條成120°角的等長(zhǎng)繩子懸掛一個(gè)燈具，已知燈具重量

為10N,則每根繩子的拉力大小為No

解析：如圖，由題意，得/力OC=/008=60°,|錯(cuò)誤!1=10,

則I錯(cuò)誤！I=1錯(cuò)誤！|=10,即每根繩子的拉力大小為10N.

答案：10

6.如圖，設(shè)〃為△力及？?jī)?nèi)一點(diǎn)，且2錯(cuò)誤!+2錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤!=0,則

ABP?S/^ABC

解析：設(shè)*8的中點(diǎn)是。.

因?yàn)殄e(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=2錯(cuò)誤！=一錯(cuò)誤!錯(cuò)誤！,

所以錯(cuò)誤！=一錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!,

所以P為。的五等分點(diǎn),

所以AABP的面積為△4AS的面積的錯(cuò)誤!。

答案：錯(cuò)誤！

7.某物體做斜拋運(yùn)動(dòng)，初速度|%)|=10m/s,與水平方向成

60°角，不計(jì)空氣阻力，則該物體在水平方向上的速度是

____________m/s.

解析：

■60。.：

設(shè)該物體在豎直方向上的速度為匕，水平方向上的速度為必，

如圖所示，由向量求和的平行四邊形法則及直角三角形的知識(shí)可知,

|V21—I%Icos60°=10X錯(cuò)誤!=5(m/s),即該物體在水平方向上的

速度是5m/so

答案：5

8.已知在平行四邊形48。中,石戶是對(duì)角線4c上的兩點(diǎn)，且

4H=/。=錯(cuò)誤!4C,試用向量方法證明四邊形。石斯也是平行四邊

形.

DC

AR

證明:設(shè)錯(cuò)誤!=N,錯(cuò)誤！=6,則錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!一錯(cuò)誤！

=錯(cuò)誤!錯(cuò)誤！—Z=錯(cuò)誤!6—錯(cuò)誤a

錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！一錯(cuò)誤！

=6一錯(cuò)誤!錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!6一錯(cuò)誤!當(dāng)

所以DE,一=錯(cuò)誤！，

且。，E,F,6四點(diǎn)不共線，所以四邊形。跳尸是

平行四邊形.

9.如圖，平行四邊形488中，E,尸分別是力

48的中點(diǎn)，G為BE與DF的爻點(diǎn)、.若錯(cuò)誤!=當(dāng)錯(cuò)誤!=6.

⑴試以N,6為基底表示錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!；

(2)求證：A,GC三點(diǎn)共線.

解：(1)錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！一錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!6—2,

錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！一錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!b.

⑵證明：因?yàn)椋珿,尸三點(diǎn)共線，則錯(cuò)誤!=/1錯(cuò)誤!,

即錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！+/L錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!/lz+(l—/I)瓦

因?yàn)?,G,石三點(diǎn)共線，則錯(cuò)誤!=//錯(cuò)誤!，

即錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！+〃錯(cuò)誤！=(1—//)2+錯(cuò)誤!

由平面向量基本定理知錯(cuò)誤!解得/1=〃=錯(cuò)誤!,

所以錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!(2+6)=錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!，

所以4G,c三點(diǎn)共線.

[B能力提升]

10.在△480中，。為△/L&7所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!

+錯(cuò)誤!錯(cuò)誤！,則錯(cuò)誤！=()

A.錯(cuò)誤!Bo錯(cuò)誤!

C.錯(cuò)誤!Do錯(cuò)誤!

解析：選D。如圖所示,

由錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!得,

點(diǎn)。在平行于48邊的中位線上，

所以錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!。

11.一纖夫用牽繩拉船沿直線方向前進(jìn)60m,若牽繩與行進(jìn)方

向夾角為30°，纖夫的拉力為50N,則纖夫?qū)Υ龅墓?/p>

Jo

解析：所做的功K=60X50Xcos30°=1500錯(cuò)誤！(J).

答案：1500錯(cuò)誤！

12.已知點(diǎn)4(小，1),8(0,0),C；錯(cuò)誤!,0),/34c的平分線4E

與改7相交于點(diǎn)四誤!，則錯(cuò)誤!=%錯(cuò)誤!，其中2等于.

解析：由錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!=2,得|錯(cuò)誤！|=2|錯(cuò)誤！|(如圖).

從而|錯(cuò)誤！|=3|錯(cuò)誤！I,又錯(cuò)誤!與錯(cuò)誤!方向相反,

所以錯(cuò)誤!=一3錯(cuò)誤!，所以2=—3。

答案：一3

13o如圖所示，小船被繩索拉向岸邊，船在水中運(yùn)

動(dòng)時(shí)設(shè)水的阻力大小不變，那么小船勻速靠岸的過(guò)程一

中，下列