高中數(shù)學(xué)《組合與組合數(shù)公式》導(dǎo)學(xué)案

1.2.2組合

第1課時組合與組合數(shù)公式

卜課前自主預(yù)習(xí)

R知識導(dǎo)學(xué)

知識點1組合的定義

從n個不同元素中取出加個元素畫一合成一組,叫做從n個不同元素

中取出機(jī)個元素的一個組合.

知識點匚組合與組合數(shù)公式

從〃個不同元素中取出&〃）個元素的

組合數(shù)

回所有不同組合的個數(shù)，叫做從〃個不同元素

定義

中取出〃，個元素的組合數(shù)

表示法的

A小

乘積式

組合數(shù)〃（刀一1）（〃-2）…（〃-7〃+1）

ml

公式

階乘式畫C：=〃"（〃一m）!

性質(zhì)c;=趣c「c+1=+L

①〃,6N'且"i&n；

備注

②規(guī)定：《=聞1

H知識拓展

組合的定義包含兩個基本內(nèi)容：一是“取出元素”；二是“合成一組”，表

示與元素的順序無關(guān)，排列與組合的相同點是從n個不同元素中任取m個元素,

不同點是組合是“不管元素的順序合成一組”，而排列是要求元素按照一定的順

序排成一列.因此區(qū)分某一問題是組合還是排列，關(guān)鍵是看取出的元素有無順序.

組合數(shù)的兩個性質(zhì)，性質(zhì)1反映了組合數(shù)的對稱性，在加：號時，通常不直接

計算C；而改為Cr"，對于性質(zhì)2,C'+i=C；+C；尸要會正用、逆用、變形用.

H自診小測

1.判一判(正確的打“，錯誤的打“X”)

(1)從a,b,c三個不同的元素中任取兩個元素的一個組合是C，.()

(2)從1,3,5,7中任取兩個數(shù)相乘可得C：個積.()

(3)1,2,3與3,2,1是同一個組合.()

(4)Cs=5X4X3=60.()

答案(1)X(2)V(3)V(4)X

2.做一做

(1)從6名學(xué)生中選出3名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽的不同選法種數(shù)是.

⑵C%=.

⑶■+廢9=.

答案⑴20(2)190(3)161700

解析(1)由組合數(shù)公式知乂?！猍=20.

JAZA1

,o,20X19

===

(2)C2O-C202x119°，

3,23100X99X98

(3)d9+C^9=doo==161700.

卜課堂互動探究

探究1組合的有關(guān)概念

例1給出下列問題：

(1)從a,b,c,d四名學(xué)生中選2名學(xué)生完成一件工作，有多少種不同的選

法？

(2)從a,b,c,d四名學(xué)生中選2名學(xué)生完成兩件不同的工作，有多少種不

同的選法？

(3)a,b,c,d四支足球隊之間進(jìn)行單循環(huán)比賽，共需賽多少場？

(4)a,b,c,d四支足球隊爭奪冠亞軍，有多少種不同的結(jié)果？

(5)某人射擊8槍，命中4槍，且命中的4槍均為2槍連中，不同的結(jié)果有多

少種？

(6)某人射擊8槍，命中4槍，且命中的4槍中恰有3槍連中，不同的結(jié)果有

多少種？

在上述問題中，哪些是組合問題？哪些是排列問題？

［解］(1)2名學(xué)生完成的是同一件工作，沒有順序，是組合問題.

(2)2名學(xué)生完成兩件不同的工作，有順序，是排列問題.

(3)單循環(huán)比賽要求每兩支球隊之間只打一場比賽，沒有順序，是組合問題.

(4)冠亞軍是有順序的，是排列問題.

(5)命中的4槍均為2槍連中，為相同的元素，沒有順序，是組合問題.

(6)命中的4槍中恰有3槍連中，即連中3槍和單中1槍，有順序，是排列問

題.

拓展提升

判斷是否為組合問題，關(guān)鍵是判斷問題是否與順序有關(guān)，可以結(jié)合條件理解,

也可以選擇一個結(jié)果，交換這個結(jié)果中兩個元素先后順序，看是否對結(jié)果產(chǎn)生影

響，若無新變化，則是組合問題.總之，與順序有關(guān)是排列問題，若與順序無關(guān),

則是組合問題.

［跟蹤訓(xùn)練1］判斷下列問題是排列問題，還是組合問題.

(1)從集合4={-1,1,10,8,6,4}中任取兩個數(shù)相加，得到的和共有多少個？

(2)從集合A={-1,1,10,8,6,4}中任取兩個數(shù)相除，得到的商共有多少個？

(3)從a,b,c,4這四名同學(xué)中任取兩名同學(xué)去參加某一活動，共有多少種

不同的選法？

(4)四個人互發(fā)一個電子郵件，共寫了多少個電子郵件？

解(1)從集合A中取出兩個數(shù)后，改變兩個數(shù)的順序，其和不變.因此此間

題，只與取出的元素有關(guān)，與元素的順序無關(guān)，故是組合問題.

(2)從集合A中取出兩個數(shù)相除，若改變其分子、分母的位置，其結(jié)果就不同，

因此其商的值與元素的順序有關(guān)，是排列問題.

(3)由于從4名同學(xué)中取出的兩名同學(xué)參加的同一項活動，沒有順序，因此是

組合問題.

(4)四人互發(fā)電子郵件，由于發(fā)信人與收信人是有區(qū)別的，與順序有關(guān)，是排

列問題.

探究2組合數(shù)及組合數(shù)性質(zhì)的運用

例2⑴計算：do-C?-Al；

(2)已知第一詆=菽^，求C窘

(3)求C獷"+C豺+〃的值;

(4)證明：〃?C；=〃C=，.

』-4a10X9X8X7

［解］(1)原式=C%—A,=-7^T^VT—7X6X5=210—210=0.

4八J八Z入1

加(5.團(tuán))！加！(6—〃2)!

(2)原方程可化為

5!6!

7義(7一加)！加！

10X7!

M(5-〃)！加(6-")(5—附！

即，

5!6X5!

7Xm!(7—"?.)(6—，")(5一加)！

10X7X6X5!

.6—m(7——)(6—勃)

,」―6=60'

即〃F—23"?+42=0,解得加=2或21(不符合題意,舍去).

?*.(3?=(?與=28.

’38—〃W3〃，

(3)7一,/.9.5^n^l0.5,

13后21+〃，

VnGN*,二〃=10,

?廠38—?八3/z-^28?z-^3030!31!

??。3〃十。21+〃一。30十。31-28!-2!+30!-1!=466-

n!

(4)證明：〃2C：=zn?

m!(n-m)!

_____〃?(.-1)!

(m—1)!(n—jn)!

=____(〃T"_____=nCm-i

(m-1)!(n—m)!"l'

拓展提升

(1)像排列數(shù)公式一樣，公式

拉(〃一1)(〃—2)…(幾一〃+1)nl

c;：=般用于計算；而公式C；,=加(］力及

ml

A,n

C；'=$;一般用于證明、解方程(不等式)等.

(2)在解決與組合數(shù)有關(guān)的問題時，要注意隱含條件"mW〃且/”，〃WN*”的

運用.如本例(3).

(3)要注意公式A/=C；A7的逆向運用，如本例(1)中可利用簡

化計算過程.

(4)本例(4)所推導(dǎo)的結(jié)論“mC；=〃C=，”以及它的變形公式是非常重要的公

式，應(yīng)熟練掌握.

［跟蹤訓(xùn)練2］⑴①求值:CL+C精;

②求證：C；：=吧」CTL

n-m

(2)計算:①ci+c貌).仁；

②c2+c；+cg+cg+c廿0；

③C；；+rCTL

“5一〃

5—〃20,

解⑴①q-解得4W〃W5.

n9—十1,

、9—GO,

又因為“WN",所以〃=4或n=5.

當(dāng)〃=4時，原式=C：+C?=5,

當(dāng)〃=5時，原式=C?+Cg=16.

nJ〃?+14m~\~1n!

②證明：因為C；=正(廣辦，

n-m〃(/7?+1)!(n—m)(n—m—1)!

n!

ml(n-m)!，

m-4-1

1

所以c；"=n-_-mar.

…h(huán)上3,8X7X6,100X99

(2)①原式=3+cX)Xl="oxi+oxi

JAZzx1ZA1

=56+4950=5006.

②原式=2(C?+C；+C3=2(C》+C3=2X(6+|^

=32.

③原式=C：+1?C：=(〃+1)〃=〃~+〃.

探究3簡單的組合問題

例3現(xiàn)有10名教師，其中男教師6名，女教師4名.

(1)從中選2名去參加會議，有多少種不同的選法？

(2)從中選出2名男教師或2名女教師去外地學(xué)習(xí)，有多少種不同的選法？

(3)從中選出男、女教師各2名去參加會議，有多少種不同的選法？

［解］(1)從10名教師中選2名去參加會議的選法種數(shù)，就是從10個不同元

素中取出2個元素的組合數(shù)，即有渣0==*=45種不同的選法.

ZA1

(2)可把問題分兩類：第1類，選出2名男教師，有C看種方法；第2類，選出

2名女教師，有廢種方法,即共有C看+戲=21種不同的選法.

(3)從6名男教師中選2名的選法有C卷中，從4名女教師中選2名的選法有

以種，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有C看?甫=若乂言=90種不同的選法.

拓展提升

解簡單的組合應(yīng)用題時，首先要判斷它是不是組合問題，組合問題與排列問

題的根本區(qū)別在于：排列問題與取出的元素之間的順序有關(guān)，而組合問題與取出

元素的順序無關(guān).其次要注意兩個基本原理的運用，即分類與分步的靈活運用，

在分類與分步時，一定要注意有無重復(fù)和遺漏.

［跟蹤訓(xùn)練3］在一次數(shù)學(xué)競賽中，某學(xué)校有12人通過了初試，學(xué)校要從中

選出5人參加市級培訓(xùn).在下列條件下，有多少種不同的選法？

(1)任意選5人；

(2)甲、乙、丙三人必須參加；

(3)甲、乙、丙三人不能參加；

(4)甲、乙、丙三人只能有1人參加.

解(1)從中任取5人是組合問題，共有C；2=792種不同的選法.

(2)甲、乙、丙三人必須參加，則只需要從另外9人中選2人，是組合問題，

共有C方=36種不同的選法.

(3)甲、乙、丙三人不能參加，則只需從另外的9人中選5人，共有Cj=126

種不同的選法.

(4)甲、乙、丙三人只能有1人參加，可分兩步：先從甲、乙、丙中選1人，

有C：=3種選法；再從另外9人中選4人，有Cg種選法.共有C；C；=378種不同

的選法.

?那港加

1.知識框圖2.要點分析

(1)排列與組合的聯(lián)系與區(qū)別

①聯(lián)系:二者都是從〃個不同的元素中取"乂相《加個

元素；

②區(qū)別:排列問題中元素有序?組合問題中元素?zé)o序.

(2)關(guān)于組合數(shù)的計算

①涉及具體數(shù)字的可以直接用公式C，=M=

-----------正------------計算；

②涉及字母的可以用階乘式&■=,“！(：匕,“！計算?

卜隨堂達(dá)標(biāo)自

1.下列問題不是組合問題的是()

A.10個朋友聚會，每兩人握手一次，一共握手多少次？

B.平面上有2015個不同的點，它們中任意三點不共線，連接任意兩點可以

構(gòu)成多少條線段？

C.集合｛3,a2,的，…，即｝的含有三個元素的子集有多少個？

D.從高三(19)班的54名學(xué)生中選出2名學(xué)生分別參加校慶晚會的獨唱、獨

舞節(jié)目，有多少種選法？

答案D

解析組合問題與次序無關(guān)，排列問題與次序有關(guān)，D項中，選出的2名學(xué)

生，如甲、乙，其中“甲參加獨唱、乙參加獨舞”與“乙參加獨唱、甲參加獨舞”

是兩個不同的選法，因此是排列問題，不是組合問題，選D.

2.若C，+|—C=C3則〃等于()

A.12B.13C.14D.15

答案C

解析e+i=C，+d=C'”二〃+1=7+8,〃=14,故選C.

3.把三張游園票分給10個人中的3人，分法有()

A.A；o種B.C；o種

C.C；oA；o種D.30種

答案B

解析三張票沒區(qū)別，從10人中選3人即可，即C；o,故選B.

4.若C\C2,則〃的集合是.

答案[6,7,8,9｝

解析VC^>d,

fd>d,匕廠《'I…，

.?.<4!(72—4)!6!(M—6)!=

.心6

n?19〃-10<0,—1<?<10,

-

n^6[〃26.

二〃=6,7,8,9.

：.n的集合為｛6,7,8,9｝.

5.在6名內(nèi)科醫(yī)生和4名外科醫(yī)生中，現(xiàn)要組成5人醫(yī)療小組送醫(yī)下鄉(xiāng)，依

下列條件各有多少種選派方法？

(1)有3名內(nèi)科醫(yī)生和2名外科醫(yī)生；

(2)既有內(nèi)科醫(yī)生，又有外科醫(yī)生.

解(1)先選內(nèi)科醫(yī)生有C薪中選法，再選外科醫(yī)生有CZ種選法，故有C史之=

120種選派方法.

(2)既有內(nèi)科醫(yī)生，又有外科醫(yī)生，正面思考應(yīng)包括四種情況，內(nèi)科醫(yī)生去1

人，2人,3人,4人，有C*4+CD+C2人+C紀(jì);=246種選派方法.

若從反面考慮，則有C；o—或=246種選派方法.

卜課后課時精練

A級：基礎(chǔ)鞏固練

一、選擇題

1.已知組合數(shù)叱=6,則在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)以點(x,y)為頂點的圖形是

()

A.三角形B.平行四邊形

C.梯形D.矩形

答案A

解析當(dāng)尤=6,y=l；x=6,y=5；x=4,y=2時，C；：=6,所以滿足題意

的點有(6,1),(6,5),(4,2),共3個，可構(gòu)成三角形.故選A.

2.從2,3,…，8中任意取三個不同的數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，要

求個位數(shù)最大，百位數(shù)最小，則這樣的三位數(shù)的個數(shù)為()

A.35B.42C.105D.210

答案A

解析由于取出三個數(shù)字后大小次序已確定，只需把最小的數(shù)字放在百位，

最大的數(shù)字放在個位，剩下的數(shù)字放在十位，因此滿足條件的三位數(shù)的個數(shù)為出

7X6X5

=----------=35

3X2X1

3.若A)=6C＞則〃2的值為()

A.6B.7C.8D.9

答案B

772?III

解析由A)=6C*得^=6-.|q］，即7=7,解得m=l.

(/??—3)!4!(m—4)!m—34

4.從6名男生和3名女生中選出4名代表，其中必須有女生，則不同的選法

種數(shù)為()

A.168B.45C.60D.111

答案D

解析選出的代表中女生有1,2,3名時，男生相應(yīng)有3,2,1名，則不同的選法

種數(shù)為c|cHc5Ci+c^c1=m.

5.C3+C4+C5+C64-----卜C魏=()

A.C2020B.C2021C,C2022D.C2023

答案D

解析原式=cZ+cl+cg+c%+…+c貂毅=c!+cg+c寵+…+c弗?=或十

出+…十廢朧=???=廉踢+c粕胱=震。23.故選D.

二、填空題

6.設(shè)集合A={0,Z，。3,。4,a5},則集合A中含有3個元素的子集共有

個.

答案10

解析從5個元素中取出3個元素組成一組就是集合A的子集，則共有Ci=

■個子集.

7.以下四個式子：

①&'=斗；②邸=〃A：1；③C”C}”=山；@，"=陪配1

其中正確的個數(shù)是.

答案4

解析①式顯然成立；

②式中A：=〃（〃一1）（〃一2）…（〃一機(jī)+1）,=（〃一1）（〃—2）…（〃一機(jī)+1）,所

以A；；=〃A；；耳，故②式成立；

對于③式筆哆畀=誓，故③式成立；

VxflflI?*XK/JIIfit

對于④式c器=（〃：|尸,=唔故④式成立.

（m+1）!m+1

8.7名志愿者中安排6人在周六、周日兩天參加社區(qū)公益活動.若每天安排

3人，則不同的安排方案共有種.（用數(shù)字作答）

答案140

解析第1步，從7名志愿者中選出3人在周六參加社區(qū)公益活動，有色種

不同的選法；第2步，從余下的4人中選出3人在周日參加社區(qū)公益活動，有C：

種不同的選法.

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有G或=140種不同的安排方案.

三、解答題

9.⑴解方程:3厘=5A、4；

（2）解不等式:2G*3c媼；

（3）計算C*"+C繆:+上品+…+C/".

解（1）由排列數(shù)和組合數(shù)公式，原方程可化為

(L3)!(，L4)!

土(x—7)!4!一>(x—6)!'

則與嘰啖,

即為(x—3)(x—6)=40.

.?.尤2—9x—22=0,解得x=ll