湖南樞所學(xué)校2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷

湖南省多所學(xué)校2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷留意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)，座位號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一冊(cè)、其次冊(cè)占30%，選擇性必修第一冊(cè)占70%。一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.傾斜角為135°，在軸上的截距為1的直線方程是A. B.C. D.2.A. B. C. D.3.下列關(guān)于空間向量的說法中錯(cuò)誤的是A.零向量與隨意向量平行B.隨意兩個(gè)空間向量肯定共面C.零向量是隨意向量的方向向量D.方向相同且模相等的兩個(gè)向量是相等向量4.若方程表示橢圓，則的取值范圍為A. B. C. D.5.空間中有三點(diǎn)，，，則點(diǎn)P到直線MN的距離為A. B. C.3 D.6.某地舉辦“喜迎二十大，奮進(jìn)新時(shí)代”主題攝影競(jìng)賽，9名評(píng)委對(duì)某攝影作品的評(píng)分如下：97，90，，95，92，85，87，90，94.去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，該攝影作品的平均分為91分，后來有1個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無法分辨，以表示，則A.84 B.86 C.89 D.987.已知，分別是雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且位于第一象限，，則的縱坐標(biāo)為A.1 B.2 C. D.8.《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.在如圖所示的鱉臑中，平面，，，E是BC的中點(diǎn)，H是內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（含邊界），且平面ACD，則的取值范圍是A. B. C. D.二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，則A.的圖象關(guān)于軸對(duì)稱 B.的最小正周期是C.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D.在上單調(diào)遞減10.如圖，平面內(nèi)的小方格均為邊長(zhǎng)是1的正方形，A，B，C，D，E，F(xiàn)均為正方形的頂點(diǎn)，P為平面外一點(diǎn)，則A. B.C. D.11.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為M，A，M，B在直線上的投影分別為P，N，Q，則A. B. C. D.12.已知曲線：，則A.曲線圍成的面積為B.曲線截直線所得弦的弦長(zhǎng)為C.曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值為D.曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13.已知向量，，，若，，共面，則__________.14.已知圓和圓的半徑都為1，圓心分別為，，寫出一個(gè)與圓和圓都相切的圓的方程：__________.15.古希臘宏大的數(shù)學(xué)家阿基米德早在2200多年前利用“靠近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.如圖，某種橢圓形鏡子根據(jù)實(shí)際面積定價(jià)，每平方米200元，小張要買的鏡子的外輪廓是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為1.2米且離心率為的橢圓，則小張要買的鏡子的價(jià)格為__________元.（結(jié)果精確到整數(shù)）16.足球起源于中國(guó)古代的蹴鞠嬉戲.“蹴”有用腳蹴、踢的含義，“鞠”最早是外包皮革、內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動(dòng)，如圖所示.已知某“鞠”的表面上有四個(gè)點(diǎn)P，A，B，C，滿意，平面ABC，，若三棱錐的體積為2，則制作該“鞠”的外包皮革面積的最小值為___________.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.（10分）為豐富學(xué)生的校內(nèi)生活，提升學(xué)生的實(shí)踐實(shí)力和綜合素養(yǎng)，培育學(xué)生的愛好愛好，某校安排借課后托管服務(wù)平臺(tái)，開設(shè)書法愛好班.為了解學(xué)生對(duì)這個(gè)愛好班的寵愛狀況，該校隨機(jī)抽取了本校100名學(xué)生，調(diào)查他們對(duì)這個(gè)愛好班的寵愛狀況，得到數(shù)據(jù)如下.寵愛不寵愛合計(jì)男402060女301040合計(jì)7030100（1）從這100名學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，求該學(xué)生是女學(xué)生且寵愛書法愛好班的概率；（2）從該校隨機(jī)抽取1名男學(xué)生和1名女學(xué)生，求這2名學(xué)生中恰有1人寵愛書法愛好班的概率.18.（12分）已知圓經(jīng)過點(diǎn)，，.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)向圓作切線，求切線方程.19.（12分）如圖，在四棱錐中，底面，，，，.（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求平面與平面夾角的余弦值.20.（12分）在銳角中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且.（1）求角的大?。唬?）求的取值范圍.21.（12分）已知雙曲線：的離心率為，且焦點(diǎn)到漸近線的距離為1.（1）求雙曲線的方程；（2）若動(dòng)直線與雙曲線恰有1個(gè)公共點(diǎn)，且與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：的面積為定值.22.（12分）如圖，菱形的邊長(zhǎng)為2，，E為AB的中點(diǎn).將沿DE折起，使A到達(dá)，連接，，得到四棱錐.（1）證明：.（2）當(dāng)二面角在內(nèi)改變時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.高二數(shù)學(xué)試卷參考答案1.B因?yàn)橹本€的傾斜角為135°，所以斜率為-1.因?yàn)橹本€在軸上的截距為1，所以所求直線方程為，即.2.D3.C在直線上取非零向量，把與向量平行的非零向量稱為直線的方向向量，C錯(cuò)誤.4.D因?yàn)榉匠瘫硎緳E圓，所以，，且，解得.5.A因?yàn)?，所以的一個(gè)單位方向向量為.因?yàn)椋渣c(diǎn)到直線的距離為.6.C當(dāng)時(shí)，，則不符合題意；當(dāng)時(shí)，，則不符合題意；當(dāng)時(shí)，，解得.7.C因?yàn)?，所?由雙曲線的定義可得，所以，解得，故的面積為.設(shè)的縱坐標(biāo)為，的面積為，解得.8.B設(shè)F，G分別為AB，BD的中點(diǎn)，連接FG，EF，EG.易得，，因?yàn)槠矫妫矫?，，，所以平面平?因?yàn)槠矫?，所以H為線段FG上的點(diǎn).易得平面，因?yàn)椋云矫妫?因?yàn)?，所以?.因?yàn)?，所?9.BCD將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象，則.則A錯(cuò)誤，B正確.令，，解得，，當(dāng)時(shí)，.則C正確.令，，解得，，則D正確.10.ABD在平面內(nèi)選取兩個(gè)相互垂直的單位向量，，且，則，，，則，.所以，.，.11.ACD拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為.設(shè)直線的方程為，，，則，.聯(lián)立方程組得，則，.因?yàn)?，所以，，所以，所以，故A正確；因?yàn)?，所以，故C正確，B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故D正確.12.ABD當(dāng)，時(shí)，曲線：；當(dāng)，時(shí)，曲線：；當(dāng)，時(shí)，曲線：；當(dāng)，時(shí)，曲線：.畫出曲線，如圖所示.曲線圍成的面積為，A正確.曲線截直線所得弦的弦長(zhǎng)為，B正確.以為圓心作圓與曲線相切，設(shè)其中一個(gè)切點(diǎn)為，則曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值為，C錯(cuò)誤.數(shù)形結(jié)合可得，曲線上到直線距離最大的點(diǎn)在第一象限，到直線的距離，曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為，D正確.13.1因?yàn)?，，共面，所以，即，則，解得，，.14.（或或）與圓和圓都相切的圓如圖所示，分別為，，.15.151設(shè)鏡子的外輪廓對(duì)應(yīng)的橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)分別為米，米，則故小張要買的鏡子的價(jià)格為元.16.如圖所示，取的中點(diǎn)，過作，且，因?yàn)槠矫?，所以平?因?yàn)椋?，所以，所以是三棱錐外接球的球心，為球的半徑.因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以球的半徑，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，所以，故所求表面積的最小值為.17.解：（1）從這100名學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生是女學(xué)生且寵愛書法愛好班的概率為.（2）由題意可知該校男學(xué)生寵愛書法愛好班的頻率為.由題意可知該校女學(xué)生寵愛書法愛好班的頻率為.故所求概率.18.解：（1）設(shè)圓的方程為，則解得，，，所以圓的方程為，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，切線方程為.當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即.由，解得，所以切線方程為，即.綜上所述，所求切線方程為或.19.解：（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，所以，故異面直線與所成角的余弦值為.（2），設(shè)平面的法向量為，則，即令，得.易知是平面的一個(gè)法向量，由，得平面與平面夾角的余弦值為.20.解：（1）由正弦定理可得，即.因?yàn)椋?，?因?yàn)?，所以?因?yàn)椋?（2）.因?yàn)闉殇J角三角形，所以，則.所以，.故的取值范圍為.21.（1）解：設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，一條漸近線的方程為，所以焦點(diǎn)到漸近線的距離為.因?yàn)椋?，，所以雙曲線的方程為.（2）證明：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)，.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，不妨設(shè)直線：，且斜率，聯(lián)立方程組得，由，得，聯(lián)立方程組得.不妨設(shè)直線與的交點(diǎn)為，則.同理可求，所以.因?yàn)樵c(diǎn)