高中數(shù)學(xué)2輪16 四 概率與統(tǒng)計(jì)

專題四概率與統(tǒng)計(jì)

小題專項(xiàng)統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例、概率(理、新教材)

命I題I分I析

統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例、概率的選擇題、填空題涉及的內(nèi)容較為簡(jiǎn)單，主要有概率、抽樣方法、統(tǒng)計(jì)

圖表的應(yīng)用、用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體、線性回歸及統(tǒng)計(jì)案例。試題屬基礎(chǔ)題，分值一般為5分。

明確考點(diǎn)扣準(zhǔn)要點(diǎn)

必備知識(shí)

一、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例

1.抽樣方法

抽樣方法包括簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣。三種抽樣方法都是等概率抽樣，體現(xiàn)了抽

樣的公平性，但又各有其特點(diǎn)和適用范圍。

2.統(tǒng)計(jì)中的四個(gè)數(shù)字特征

(I)眾數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)。

(2)中位數(shù)：樣本數(shù)據(jù)中，將數(shù)據(jù)按大小順序排列，位于最中間的數(shù)據(jù)。如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù),

就取中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為中位數(shù)。

(3)平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即\=[(即+也+…+兌)。

(4)方差與標(biāo)準(zhǔn)差。

I___

$2=/修-X>+(%2-Xy-|-----F(X?—X月，

—1)2+3-x)2H------F(x,—X)2]o

3.直方圖的兩個(gè)結(jié)論

頻率

(1)小長(zhǎng)方形的面積=組距乂始版=頻率。

(2)各小長(zhǎng)方形的面積之和等于1。

4.回歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn)

AAA——AAA

⑴回歸直線產(chǎn)法+。經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心(X,川，若X取某一個(gè)值代入回歸直線方程產(chǎn)隊(duì)+a中，

可求出y的估計(jì)值。

(2)獨(dú)立性檢驗(yàn)。

對(duì)于取值分別是｛即，及｝和｛W，九｝的分類變量X和丫，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表是：

yiy2總計(jì)

X\aba+b

X2cdc+d

總計(jì)a~\-cb+dn

則—m+頌；鬻%)(計(jì)下其中"j+A+c+d為樣本容量)。

二、概率

1.概率模型公式及相關(guān)結(jié)論

(1)古典概型的概率公式。

AA、m事件A中所含的基本事件數(shù)

"A)一〃一試驗(yàn)的基本事件總數(shù)°

(2)幾何概型的概率公式。

叫構(gòu)成事件4的區(qū)域長(zhǎng)度(面積或體積)

”⑷一試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度(面積或體積)°

(3)條件概率。

在A發(fā)生的條件下8發(fā)生的概率：P(B|A)=鏢。

(4)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率：若A,8相互獨(dú)立，則尸(AB)=P(A)-P(8)。

(5)若事件A,B互斥,則P(AUB)=P(A)+P(B),

P(A)=1-P(A)O

2.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布

如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是p,那么它在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率為

Pn伏尸&爐(1-p)"%&=0,1,2,…，也用X表示事件A在〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)，則X

服從二項(xiàng)分布，即X?8(〃，P)且P(X=&)=，/(l—p)"F。

3.超幾何分布

在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取"件，其中恰有X件次品，則P(X=%)=0^b,k=0」,2,…,

v-A'

/n,其中〃?=〃?加{M,〃},且〃WMMSN,n,M,NGN\此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布。超

幾何分布的模型是不放回抽樣，超幾何分布中的參數(shù)是M,N,n。

4.離散型隨機(jī)變量的均值、方差

(1)離散型隨機(jī)變量X的分布列為

XX2???XiX”

PPiP2???Pi???Pn

離散型隨機(jī)變量X的分布列具有兩個(gè)性質(zhì)：

①.20,i=1,2,3,…，n；

②％=1。

i=i

(2)E(X)=xipi+x*2H------Fx/pH------Fx必稱為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望。

D(X)=f(w—E(X))2pi稱為隨機(jī)變量X的方差。

尸I

(3)數(shù)學(xué)期望、方差的性質(zhì)。

2

①E3X+3)=aE(X)+4D(aX+b)=aD(X)0

②X?4(〃，p),則七(%)=叩，D(X)=np[\-p).

③X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)=p,D(X)=p(l-p)。

精析精研重點(diǎn)攻關(guān)

考向突破

考向一用樣本估計(jì)總體

[例I](1)(2021?長(zhǎng)春市質(zhì)量監(jiān)測(cè))黨的十八大以來(lái)，我們?cè)诿撠毠?jiān)領(lǐng)域取得了前所未有的

成就，農(nóng)村貧困人口大幅減少，困擾中華民族幾千年的絕對(duì)貧困問(wèn)題，取得歷史性成就，同時(shí)為全

球減貧事業(yè)作出了重要貢獻(xiàn)。202()年為脫貧攻堅(jiān)收官之年，下圖為2013年至2019年每年我國(guó)農(nóng)村

減貧人數(shù)的條形圖。

減貧人數(shù)/萬(wàn)人

8OO

6OO

4OO

2OO

0OO

8OO

6OO

4OO

2OO

O

根據(jù)該條形圖分析，下述結(jié)論：

①平均每年減貧人數(shù)超過(guò)1300萬(wàn)人；

②每年減貧人數(shù)均保持在1100萬(wàn)人以上；

③打破了以往隨著脫貧工作深入推進(jìn)，難度越來(lái)越大，減貧人數(shù)逐年遞減的規(guī)律；

④減貧人數(shù)的中位數(shù)是1240萬(wàn)人。

正確的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2

C.3D.4

解析對(duì)于①，由題圖，得平均每年減貧人數(shù)為:義(1650+1232+1442+1240+1289+1386

+1109)21335(萬(wàn)人)，故①正確；對(duì)于②，由題圖知減貧人數(shù)最少的一年為2019年，減貧人數(shù)為1

109萬(wàn)人，故②正確；對(duì)于③，由題圖易知減貧人數(shù)在2016—2018年逐年遞增，故③正確；對(duì)于④,

由題圖知，減貧人數(shù)的中位數(shù)為1289萬(wàn)人，故④不正確。綜上所述，正確的有3個(gè)，故選C。

答案C

(2)學(xué)校為了了解新課程標(biāo)準(zhǔn)提升閱讀要求對(duì)學(xué)生閱讀興趣的影響情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生

進(jìn)行調(diào)查。根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制學(xué)生周末閱讀時(shí)間的頻率分布直方圖如圖所示：

頻率

組距

將閱讀時(shí)間不低于30分鐘的學(xué)生稱為“閱讀新”，則下列結(jié)論正確的是（）

A.抽樣表明，該校約有一半學(xué)生為閱讀霸

B.該校只有50名學(xué)生不喜歡閱讀

C.該校只有50名學(xué)生喜歡閱讀

D.抽樣表明，該校有50名學(xué)生為閱讀霸

解析根據(jù)頻率分布直方圖可列下表：

閱讀

時(shí)間10,10)[10,20)120,30)[30,40)140,50)[50,60]

/分鐘

抽樣人

10182225205

數(shù)/名

抽樣100名學(xué)生中有50名為閱讀霸，占一半，據(jù)此可判斷該校約有一半學(xué)生為閱讀霸。

答案A

（3）（2021?成都診斷性檢測(cè)）甲、乙兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)生產(chǎn)一種零件，10天中，兩臺(tái)機(jī)床每天生產(chǎn)出的

次品數(shù)分別是:

甲0102203124

乙2211121101

X,,X2分別表示甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，.心.0分別表示甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差，則下列選

項(xiàng)正確的是（）

A.X1=X2?曲>或B.X\>X2^

C.X!<X2>D.X\>X

y—°+1+0+2+2+0+3+1+2+43—

角A牛析由題表中數(shù)據(jù)，得xi=-------------話-------------=2，x2=

2+2+1+1+1+2+1+1+0+16//——..,_

-------------訪-------------=",所以X|>X2。又由題表中數(shù)據(jù)知，甲組,數(shù)據(jù)比乙組數(shù)據(jù)的波動(dòng)

幅度大，所以肝>4。故選B。

答案B

方法悟通

（1）用頻率分布直方圖估計(jì)總體的數(shù)字特征應(yīng)注意以下幾點(diǎn)。

①―頻率分布直方圖的縱軸是頻率矗，而不是頻率。

②在頻率分布直方圖中，每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積才是相應(yīng)區(qū)間的頻率。

③最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是眾數(shù)。

④平分頻率分布直方圖的面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是中位數(shù)。

（2）對(duì)于其他的統(tǒng)計(jì)圖表，要注意結(jié)合問(wèn)題背景分析其所表達(dá)的意思，進(jìn)而解決所給問(wèn)題。

【變式訓(xùn)練1］（1）某保險(xiǎn)公司為客戶定制了5個(gè)險(xiǎn)種：甲，一年期短險(xiǎn)；乙，兩全保險(xiǎn)；丙，

理財(cái)類保險(xiǎn)；丁，定期壽險(xiǎn)；戊，重大疾病保險(xiǎn)。各種保險(xiǎn)按相關(guān)約定進(jìn)行參保與理賠°該保險(xiǎn)公

司對(duì)5個(gè)險(xiǎn)種參保客戶進(jìn)行抽樣調(diào)查,得出如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖，以下四個(gè)選項(xiàng)中，說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

81

?54周歲

參保人數(shù)比例

①

A.54周歲以上客戶人數(shù)最少

B.18?29周歲客戶參?？傎M(fèi)用最少

C.丁險(xiǎn)種更受客戶青睞

D.30周歲以上的客戶約占參?？蛻舻?0%

解析由參保人數(shù)比例圖可知，54周歲以上客戶人數(shù)最少，30周歲以上的客戶約占參?？蛻舻?/p>

80%,所以A,D項(xiàng)中說(shuō)法均正確；由參保險(xiǎn)種比例圖可知，丁險(xiǎn)種更受客戶青睞，所以C項(xiàng)中說(shuō)

法正確：由不同年齡段人均參保費(fèi)用圖可知，18?29周歲客戶人均參保費(fèi)用最少，但18?29周歲客

戶所占比例為20%,所以總費(fèi)用不一定最少。故選B。

答案B

(2)甲、乙、丙三名同學(xué)在軍訓(xùn)的實(shí)彈射擊中各射擊10發(fā)子彈，三人的射擊成績(jī)?nèi)绫怼?|,52,

S3分別表示甲、乙、丙三名同學(xué)這次射擊成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差，貝")

環(huán)數(shù)7環(huán)8環(huán)9環(huán)10環(huán)

甲的頻數(shù)2332

乙的頻數(shù)1441

丙的頻數(shù)3223

A.Sy>S\>S2B.S2>S1>53

C.S1>S2>$3D.

————1

解析解法一：設(shè)工i,工2,分別為甲、乙、丙射擊成績(jī)的平均數(shù)，XI=JQX(7X2+8X3

+9X3+10X2)=8.5,4=^X[2X(7-8,5)2+3X(8-8.5)2+3X(9-85)2+2X(10-8.5)2]=1.05,同理可

得，A-2=-j^X(7X1+8X44-9X4+10X1)=8.5,4=0.65,x3=8.5,55=1.45,所以門爾〉也

解法二：乙的數(shù)據(jù)比較集中，方差最小，標(biāo)準(zhǔn)差最小；丙的數(shù)據(jù)比較分散，方差最大，標(biāo)準(zhǔn)差

最大。

答案A

(3)某學(xué)校共有1000名學(xué)生，其中男生400人，為了解該校學(xué)生在學(xué)校的月消費(fèi)情況，采取分

層抽樣的方法隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，月消費(fèi)金額(單位：7匕)分布在450?95()之間。根據(jù)

調(diào)查的結(jié)果繪制的學(xué)生在校月消費(fèi)金額的頻率分布直方圖如圖所示。

則圖中。的值為，估計(jì)該校學(xué)生月消費(fèi)金額的平均數(shù)為元(同一組中的數(shù)據(jù)用

該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)。

解析由題意知100X(0.0015+。+0.0025+0.0015+0.0010)=1,解得。=0.0035,該校學(xué)生

月消費(fèi)金額的平均數(shù)x=500X015+600X0.35+700X0.25+800><0.15+900X0.1=670(元)。

答案0.0035670

考向二相關(guān)關(guān)系與獨(dú)立性檢驗(yàn)

【例2】(1)已知一組樣本數(shù)據(jù)3，對(duì)，3,”),6,丁)，…，(彳6,并)，用最小二乘法得到其

線性回歸方程為y=-2x+4,若即，處，…，乂,的平均數(shù)為1，則yi+yz+y3H-----1->,6=()

A.10B.12

C.13D.14

解析回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心（工,），），因?yàn)閄=1,所以），=一2義1+4=2,所以），1+以+

工+…+），6=6X2=I2。故選B。

答案B

（2）為了判斷高中生是否選修理科與性別的關(guān)系，現(xiàn)隨機(jī)調(diào)查了50名學(xué)生，得到如下的2X2列

聯(lián)表：

選修理科選修文科總計(jì)

男131023

女72027

總計(jì)203050

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，得至IJ根的觀測(cè)值仁蜀10-4.844,若尸（爛一3.841片0.05,

外公25.024）比0.025,則認(rèn)為高中生是否選修理科與性別有關(guān)系出錯(cuò)的可能性約為（）

A.2.5%B.5%

C.1%D.10%

解析因?yàn)?.844>3.841,P（心23.841）-0.05,所以認(rèn)為是否選修理科與性別有關(guān)系出錯(cuò)的可能

性約為5%<.

答案B

方法悟通

（1）在分析兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系時(shí)，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖來(lái)確定兩個(gè)變量之間是否具有相

關(guān)關(guān)系，若具有線性相關(guān)關(guān)系，則可通過(guò)線性回歸方程估計(jì)和預(yù)測(cè)變量的值；回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的

中心（元，y）,應(yīng)引起關(guān)注。

（2）獨(dú)立性檢驗(yàn)問(wèn)題，要確定2X2列聯(lián)表中的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，然后代入片求解即可。

【變式訓(xùn)練2）（1）節(jié)能降耗是企業(yè)的生存之本，所以要樹立?種“點(diǎn)點(diǎn)滴滴降成本，分分秒

秒增效益”的節(jié)能意識(shí)，以最好的管理來(lái)實(shí)現(xiàn)節(jié)能效益的最大化。為此某國(guó)企進(jìn)行節(jié)能降耗技術(shù)改

造，下面是該國(guó)企節(jié)能降耗技術(shù)改造后連續(xù)五年的生產(chǎn)利潤(rùn)：

年號(hào)412345

年生產(chǎn)利潤(rùn)），/千萬(wàn)元0.70.811.11.4

預(yù)測(cè)第8年該國(guó)企的年生產(chǎn)利潤(rùn)約為（）

n

AAAAZaLx）G'Ly）

（參考公式及數(shù)據(jù)：回歸直線產(chǎn)加+a的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為匕」--------Z——

￡（Xi-X）2

/-I

n

^jayi-nxy

j=?A-A—5—

=~―，a=y?力加一5xy=1.7,5x2=10)

i-i

i-1

A.1.88千萬(wàn)元B.2.21千萬(wàn)元

C.1.85千萬(wàn)元D.2.34千萬(wàn)元

解析由已知可得［此"產(chǎn)-0.7+0.84-1+1.1+1.41.7

y=---------<---------=1,6=弁=0.17,則t

A-A一

a=y-bx=1-0.17X3=0.49,所以年生產(chǎn)利泗與年號(hào)的回歸方程為y=0.17x+0.49,當(dāng).1=8時(shí)，

A

y=0.17X8+0.49=1.85。故選C。

答案C

（2）隨機(jī)采訪50名觀眾對(duì)某電視節(jié)目的滿意度，得到如下列聯(lián)表：

單位：人

滿意不滿意總計(jì)

男102030

女15520

總計(jì)252550

附表和公式如下:

尸（K2/）0.10()0.0500.0100.001

ko2.7063.8416.63510.828

?=5+3（。+酒（。+。）（。+或'其中力+。+"為樣本容量。

根據(jù)以上數(shù)據(jù)可知（）

A.有95%的把握認(rèn)為對(duì)電視節(jié)目的滿意度與性別無(wú)關(guān)

B.有99%的把握認(rèn)為對(duì)電視節(jié)目的滿意度與性別無(wú)關(guān)

C.有99%的把握認(rèn)為對(duì)電視節(jié)目的滿意度與性別有關(guān)

D.有95%的把握認(rèn)為對(duì)電視節(jié)目的滿意度與性別有關(guān)

解析由于K』.合力吃8.333>6.635,所以有99%的把握認(rèn)為對(duì)電視節(jié)目的滿

ZJAZD入JUAZU

意度與性別有關(guān)，故選Co

答案c

考向三古典概型與幾何概型

[例3]（1）（2021?銀川市質(zhì)量檢測(cè)）在脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)中，某單位擬派出甲、乙、丙、丁四名同志

到三個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)參加精準(zhǔn)扶貧工作，每名同志只去一個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少安排一名同志，則甲、乙分

到同一個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)的概率等于（）

A-6B-8

C-LD±

J1218

解析先將四名同志中的兩名捆綁在一起，然后和余下的兩名同志任意分配到三個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，共有

CjA?=36（種）安排方法，其中甲、乙分到同一個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)的安排方法有A$=6（種），所以所求概率為嘏=1。

故選Ao

答案A

2*xV0

1,；且

）1，x>0,

[1.2卜發(fā)生的概率為（）

A-8B-8

C.1D.1

oz

Qx,.rWO,fl]

解析設(shè)事件M為"），=八且5,2”。易知該分段函數(shù)是一個(gè)增函數(shù)，則

（x4-l,x>0,L2J

xWO,x>0,

）

故《11—（—11

解得一1W%W1,所以該事件發(fā)生的稷率〉c=；。故

呆2y2,8+1W2,2—（—2）2

選D。

答案D

方法悟通

幾何概型問(wèn)題與古典概型問(wèn)題求解的思路是相同的，但應(yīng)注意古典概型適用于試驗(yàn)結(jié)果有限的

事件，而幾何概型適用于試驗(yàn)結(jié)果無(wú)限的事件。對(duì)于兩個(gè)區(qū)域A,B,且AU-當(dāng)區(qū)域8是線段（角、

平面圖形、立體圖形）時(shí)，點(diǎn)P落在區(qū)域A內(nèi)的概率與線段的長(zhǎng)度（角的度數(shù)、平面圖形的面積、立

體圖形的體積）有關(guān)時(shí)，可以選擇長(zhǎng)度（角度、面積、體積）作為區(qū)域的測(cè)度。記點(diǎn)。落在區(qū)域4內(nèi)為

—…-曰…構(gòu)成事件M的長(zhǎng)度（角度、面積、體積）

事件也川其概率的計(jì)算/.式曲2?一試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的長(zhǎng)度（角度、面積、體積）。

【變式訓(xùn)練3】（1）（2021?廣東惠州第三次調(diào)研）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制

了一副“弦圖”，后人稱其為趙爽弦圖。如圖是在趙爽弦圖的基礎(chǔ)上創(chuàng)作出的一個(gè)“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，

其中正方形ABCO內(nèi)部為趙爽弦圖，正方形ABCO外部四個(gè)陰影三角形稱為“風(fēng)葉”?，F(xiàn)從該“風(fēng)

葉”的8個(gè)頂點(diǎn)中任取2個(gè)頂點(diǎn)，則2個(gè)頂點(diǎn)取自同一片“風(fēng)葉”的概率為（）

解析從該“風(fēng)葉”的8個(gè)頂點(diǎn)中任取2個(gè)頂點(diǎn)，不同的情況有3=28（種）。其中2個(gè)頂點(diǎn)取

自同一片“風(fēng)葉”的情況有4G=12（種）。故所求概率為P=S=,。故選A。

ZoI

答案A

（2）（2021?湖北新高考適應(yīng)性測(cè)試）如果3個(gè)正整數(shù)按照一定順序可以組成一個(gè)等比數(shù)列，則稱這

3個(gè)數(shù)為一組“等比數(shù)”（如1,2,4為一組“等比數(shù)”）。從1,2,3,456,7,8,9中任取3個(gè)不同的數(shù)，則

這3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組“等比數(shù)”的概率為（）

A-42B.表

C-LD工

—21u'84

解析從9個(gè)數(shù)中任取3個(gè)不同的數(shù)，有C$=84（種）情況，其中，構(gòu)成一組“等比數(shù)”的情況

41

有{1,2,4},{1,3,9},{2,4,8},{4,6,9},共4種,故這3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組“等比數(shù)”的概率?=同二行。

故選C。

答案C

（3）（2021?安徽示范高中培優(yōu)聯(lián)考）明朝著名易學(xué)家來(lái)知德以其太極圖解釋一年、一日之象的圖

式。如圖是來(lái)氏一日氣象圖，其大圓半徑為4,大圓內(nèi)部的同心小圓半徑為1,兩圓之間的圖案是對(duì)

15兀

積為:X（S]—S2）=*三，所以在大圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，該點(diǎn)取自黑色區(qū)域的概率P=y^=1|。

較°案柒—32

考向四條件概率

[例4]（2021?四川仁壽一中第一次調(diào)研）現(xiàn)從4名男醫(yī)生和3名女醫(yī)生中隨機(jī)抽取兩人加入

“援鄂醫(yī)療隊(duì)”，用4表示事件“抽到的兩名醫(yī)生性別相同”，用3表示事件“抽到的兩名醫(yī)生都

是女醫(yī)生”，則P（B|A）=（）

4

-

B.7

1

解析解法一：由已知得P（A）=C*G=/_=,p（A8）=方=/=；,則P（解4）=,黑）=,=；。

7

故選A。

解法二：P（B|A）=^=否%故選A。

答案A

方法悟通

解本題的關(guān)鍵點(diǎn)有兩處。一是注意積事件的概率的求解：若事件A、事件3是相互獨(dú)立事件，

則P(AB)=P(A)P(B)。二是注意P(8|A)與P(A8)的區(qū)別：P(8|A)表示在事件A發(fā)生的條件下，事件B

發(fā)生的概率，P(4B)表示事件A和事件B同時(shí)發(fā)生的概率。

【變式訓(xùn)練4](1)某教師準(zhǔn)備對(duì)一天的五節(jié)課進(jìn)行課程安排，要求語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)、物理、

化學(xué)每科分別要排?節(jié)課，則數(shù)學(xué)不排第?節(jié)課，物理不排最后?節(jié)課的情況下，化學(xué)排第四節(jié)課

的概率是()

3「3

A-20B-13

C?D旦

J3928

解析記事件A為“數(shù)學(xué)不排第一節(jié)課，物理不排最后一節(jié)課”.事件8為“化學(xué)排第四節(jié)課”，

則P(A)=A4+?A34,p(A8)=占土故P(8|A)=，窗鼻。故選Co

答案C

(2)非洲成員代表團(tuán)團(tuán)長(zhǎng)及相關(guān)的人員參加了中非合作論壇北京峰會(huì)，會(huì)后某記者在場(chǎng)地外隨機(jī)

進(jìn)行采訪，假設(shè)第一次采訪到的人恰好是參會(huì)的代表團(tuán)團(tuán)長(zhǎng)的概率為0.7,連續(xù)兩次采訪到的人都是

代表團(tuán)團(tuán)長(zhǎng)的概率為0.6,則在第一次采訪到的人是代表團(tuán)團(tuán)長(zhǎng)的條件卜，第二次采訪到的也是代表

團(tuán)團(tuán)長(zhǎng)的概率為。

解析記第一次采訪到的人是代表團(tuán)團(tuán)長(zhǎng)為事件4,第二次采訪到的人是代表團(tuán)團(tuán)長(zhǎng)為事件8,

則P(A)=0.7,P(A8)=0.6,則P(磯4)=勺照=5。

答案

考向五相互獨(dú)立事件與二項(xiàng)分布

【例5】(1)某校為了增強(qiáng)學(xué)生的記憶力和辨識(shí)力，組織了一場(chǎng)比賽。A,3兩隊(duì)各由4名選手

組成，每局兩隊(duì)各派一名選手參加比賽，比賽分為四局。除第三局勝者得2分外，其余各局勝者均

得1分，每局的負(fù)者得0分。假設(shè)每局比賽A隊(duì)選手獲勝的概率均為爭(zhēng)且各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，

則比賽結(jié)束時(shí)A隊(duì)的得分高于B隊(duì)的得分的概率為()

1652

AA,27Bo,81

「20n7

C-27D-9

解析A隊(duì)的得分高于B隊(duì)的得分的情況有三種：A隊(duì)的得分為5分，A隊(duì)的得分為4分，4隊(duì)

的得分為3分隊(duì)的得分為5分的概率為《卜=普,A隊(duì)的得分為4分的概率為C5x[|px|x2=^,

Wo1\J)jjZ/

A隊(duì)的得分為3分的概率為C1X,X曲x%c怖因此所求概■率為您+附+券=知故選

jJ3)Jo1o1Z/olZ/

Co

答案c

(2)一個(gè)箱子中裝有形狀完全相同的5個(gè)白球和〃(〃￡N,)個(gè)黑球。現(xiàn)從中有放網(wǎng)地摸取4次，每

次都是隨機(jī)摸取1個(gè)球，設(shè)摸得白球的次數(shù)為X,若D(X)=l,則￡(%)=()

A.1B.2

C.3D.4

解析設(shè)每次隨機(jī)摸取I個(gè)球，取到白球的概,率為由題意知，X?8(4,〃)，因?yàn)椤?gt;(X)=4p(l

—p)=l,所以〃=；,則E(X)=4p=4X；=2。故選B。

答案B

方法悟通

(1)求復(fù)雜事件的概率，要正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成，看復(fù)雜事件是能轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥的事

件的和事件還是能轉(zhuǎn)化為幾個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的積事件，然后用概率公式求解。

(2)求隨機(jī)變量均值與方差的關(guān)鍵是正確求出隨機(jī)變量的分布列，若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則

可直接使用公式求解。

【變式訓(xùn)練5](1)某市為了加強(qiáng)疫情的防控力度，舉全市之力入戶上門排查確診的新冠肺炎

患者、疑似的新冠肺炎患者、無(wú)法明確排除新冠肺炎的發(fā)熱患者和與確診患者的密切接觸者“四類”

人員，強(qiáng)化網(wǎng)格化管理，不落一戶、不漏一人。在排查期間，一戶6口之家被確認(rèn)為“與確診患者

的密切接觸者”，這種情況下醫(yī)護(hù)人員要對(duì)其家庭成員隨機(jī)地逐一進(jìn)行核酸檢測(cè)，若出現(xiàn)陽(yáng)性，則

該家庭為“感染高危戶”。設(shè)該家庭每個(gè)成員檢測(cè)呈陽(yáng)性的概率均為且相互獨(dú)立，該家庭

至少檢測(cè)了5個(gè)人才能確定為“感染高危戶”的概率為加)，當(dāng)°=〃0時(shí)，加)最大，則m=()

A.1邛B.當(dāng)

C.1D.1一日

解析設(shè)檢測(cè)5個(gè)人確定為“感染高危戶”為事件A,檢測(cè)6個(gè)人確定為“感染高危戶”為事

件8,則p(A)=p(l-p>,P(B)=p(l-p)5,即加)=雙1-p)4+〃(l-p)5=M2—〃)(1一〃)4。設(shè)％=1—

p>0,則g(x)=(l—x)(l+/？=(1—X[(2—2A2)X>7X>2]X—x9'>?=/'當(dāng)且僅當(dāng)

2一"=總即工=半時(shí)取等號(hào)，此時(shí)〃=po=l—半。故選A。

答案A

(2)(2021?綿陽(yáng)市診斷性考試)已知某科技公司員工發(fā)表論文獲獎(jiǎng)的概率都為p,且各員工發(fā)表論

文是否獲獎(jiǎng)相互獨(dú)立。若X為該公司的6名員工發(fā)表論文獲獎(jiǎng)的人數(shù)，D(X)=0.96,鳳X)>2,則〃=

14

解析由已知可得X?8(6,p),則O(X)=6p(l—p)=0.96,即25戶一25p+4=0,解得或予

I144244

若〃=§,則E(X)=6X鏟2,不符合題意；若p=g,則E(X)=6Xg=w>2,符合題意。故〃=§。

4

答案5

考向六正態(tài)分布

【例6】(1)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布M0』)，隨機(jī)變量丫服從正態(tài)分布MI,I)，且P(X>1)

=0.1587,則尸(1<比2)=()

A.0.1587B.0.3413

C.0.8413D.0.6587

解析設(shè)2=丫一1,因?yàn)閅?N(T,1),所以Z?N(0,1),所以P(l<y<2)=P(0<Z<l)=0.5-P(Z>l)

=0.5-0.1587=0.3413。故選B。

答案B

(2)100()名學(xué)生的成績(jī)近似服從正態(tài)分布MIOOJOO),則成績(jī)?cè)?20分以上的學(xué)生人數(shù)約為

(注：正態(tài)總體M4，M)在區(qū)間a一o,〃+0),(//—2(7,"+2。)，(〃-3o,"+3o)內(nèi)取值的概

率分別為0.683,0.954,0.997)。

解析因?yàn)?000名學(xué)生成績(jī)近似服從正態(tài)分布Ml。。，100),所以"=100,o=10,成績(jī)?cè)赼

-2o,〃+2o)=(80/20)的人數(shù)約為1000X0.954=954。所以成績(jī)?cè)?20分以上的人數(shù)約為^X(l000

-954)=23。

答案23

方法悟通

本題(1)考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，主要考查正態(tài)曲線的對(duì)稱性；一般地，X

服從正態(tài)分布，正態(tài)分布一般記為〃)，"為正態(tài)分布的均值(均值就是對(duì)稱軸)，。是正態(tài)分布

的標(biāo)準(zhǔn)差；本題屬于基礎(chǔ)題。

本題(2)求解此類題的關(guān)鍵：一是〃，/所反映的變量的特征；二是正態(tài)曲線和x軸之間的平面

圖形的面枳為1；三是正態(tài)曲線的對(duì)稱性。對(duì)于求特殊區(qū)間的概率的問(wèn)題，要將所求區(qū)間的概率向三

個(gè)特殊區(qū)間的概率P(/i—+2a)>P(/L3(7<XW〃+3(7)轉(zhuǎn)化，然后利用特定

值求出相應(yīng)的概率。

【變式訓(xùn)練6】(2021?昆明市診斷測(cè)試)隨著《生物多樣性公約》第十五次締約方大會(huì)(COP15)

重新確定于2021年5月17日至30日在云南省昆明市舉辦，“生物多樣性”的目標(biāo)、方法和全球通

力合作，又成為國(guó)際范圍的熱點(diǎn)關(guān)注內(nèi)容。昆明市市花為云南山茶花，又名滇山茶，原產(chǎn)云南，國(guó)

家二級(jí)保護(hù)植物。為了監(jiān)測(cè)滇山茶的生長(zhǎng)情況，從不同林區(qū)隨機(jī)抽取100株滇山茶測(cè)量胸徑。(單位：

厘米)作為樣本，通過(guò)數(shù)據(jù)分析得到。?M12.5452),若將0221.5的植株建檔重點(diǎn)監(jiān)測(cè)，據(jù)此估算

2000()株滇山茶建檔的約有株。

附：若X?N@,屋)，則/>3—戶*號(hào)<+040.6827,P(/L2CT<XW〃+2。)=0.9545。

解析因?yàn)椤?M12.5,4.52),所以〃=12.5,〃=4.5,所以P(O221.5)=P(D2〃+2c)=

1一戶/一2doW"+2o)1-0.9545

------------------------y-----------=0.02275,

22由樣本估計(jì)總體的思想得20000株滇山茶建檔的約

有0.02275X2()000=455(林)。

答案455

練真題明確考向

回味高考

1.(2021?全國(guó)甲卷)為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家

庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：

根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是()

A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%

B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10%

C.估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過(guò)6.5萬(wàn)元

D.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至&5萬(wàn)元之間

解析對(duì)于A,根據(jù)頻率分布直方圖可知，家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率約為(0.02+

0.04)XlX100%=6%,故A正確：對(duì)于B,根據(jù)頻率分布直方圖可知，家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元

的農(nóng)戶比率約為(0.04+0.02+0.02+0.02)XlX100%=10%,故B正確；對(duì)于C,根據(jù)頻率分布直方

圖可知，該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值約為3X0.02+4X().04+5X0.10+6X0.14+7X0.20+8X0.20

+9X0.10+10X0.10+11X0.04+12X0.02+13X0.02+14X0.02=7.68(萬(wàn)元)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,

根據(jù)頻率分布直方圖可知，家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間的農(nóng)戶比率約為(0.10+0.14+0.20

+0.20)X1X100%=64%>50%,故D正確。

答案C

2.(2021?全國(guó)甲卷)將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為()

解析解法一(將4個(gè)1和2個(gè)。視為完全不同的元素)：4個(gè)1分別設(shè)為1A,1及1C1R2個(gè)0分

別設(shè)為0A0B,將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行有A2種排法，將排成一行有A：種排法，

A-JA??

再將0A,0B插空有Ag種排法，所以2個(gè)0不相鄰的概率P=~~p=^o

解法二(含有相同元素的排列)：將4個(gè)1和2個(gè)0安排在6個(gè)位置，則選擇2個(gè)位置安排0,共

有C科中排法：將4個(gè)1排成一行，把2個(gè)0插空，即在5個(gè)位置中選2個(gè)位置安排0,共有Cg種排

Cl2

法。所以2個(gè)。不相鄰的概率。=.=審

答案C

3.(2021?全國(guó)乙卷)在區(qū)間(0,1)與(1,2)中各隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則兩數(shù)之和大于:的概率為()

7「23

AA.§B.52

-92

J329

解析在區(qū)間(0,1)中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，記為x,在區(qū)間(1,2)中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，記為y,兩數(shù)之和大

0<x<l,

l<V<2,在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(x,y)構(gòu)成的區(qū)域是邊長(zhǎng)為I

)&+曷。

的正方形區(qū)域(不含邊界)，事件4“兩數(shù)之和大于即中，點(diǎn)(x,y)構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部

分（不含邊界）,

答案B

4.（2020.全國(guó)I卷）某校一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x（單位：℃）的關(guān)

系，在20個(gè)不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（如y）（i=l,2，…，20）得到下面的散

點(diǎn)圖：

由此散點(diǎn)圖，在10℃至40℃之間，下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的

回歸方程類型的是（）

A.y=a+bxB.y=a+bx2

C.y=〃+加'D.y=〃+Z?lnx

解析根據(jù)散點(diǎn)圖，用光滑的曲線把圖中各點(diǎn)依次連起來(lái)（圖略），由圖并結(jié)合選項(xiàng)可排除A,B,

C,故選D。

答案D

5.（2020?全國(guó)III卷）在一組樣本數(shù)據(jù)中，123,4出現(xiàn)的頻率分別為小，小，⑶，出，且5=1,

則下面四種情形中，對(duì)應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的?組是（）

A.〃]=〃4=0.1,p2=P3=0.4

B.pi=p4=0.4,p2=P3=0.1

C.pi=“4=0.2,0=p3=O.3

D.p\—/?4—0.3>〃2=p3=0.2

解析觀察法，比較A,B,C,D四項(xiàng)，B數(shù)據(jù)最分散，所以B的標(biāo)準(zhǔn)差最大。故選B。

答案B

6.（2019?全國(guó)I卷）甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場(chǎng)四勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝利時(shí)，該隊(duì)獲

勝，決賽結(jié)束）。根據(jù)前期比賽成績(jī)，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主”。設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取

勝的概率為0.6,客場(chǎng)取勝的概率為0.5,且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4：1獲勝的概率是

解析記事件M為甲隊(duì)以4：1獲勝，則甲隊(duì)共比賽五場(chǎng)，且第五場(chǎng)甲隊(duì)獲勝，前四場(chǎng)甲隊(duì)勝

三場(chǎng)負(fù)一場(chǎng)，所以尸（M）=0.6X（OS?XOS?X2+0.6義0.4XOS?X2）=0.18。

答案0.18

7.（2021.浙江高考）袋中有4個(gè)紅球，加個(gè)黃球，〃個(gè)綠球?，F(xiàn)從中任取兩個(gè)球，記取出的紅球

數(shù)為備若取出的兩個(gè)球都是紅球的概率為右一紅一黃的概率為:，則m-n=,E?=

p2|2I

解析由題意可得，P（4=2）