高中數(shù)學(xué)必修二第八章《立體幾何初步》單元訓(xùn)練題(高難度) 55(含答案解析)

必修二第八章《立體幾何初步》單元訓(xùn)練題（高難度）（55）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共5小題，共25.0分）

1.如圖，在正方體ABCO-AiBiGDi中，M,N,P分別是GA，BC,&么的中點(diǎn)，有下列四個(gè)

結(jié)論：

①4P與CM是異面直線；②4P,CM,DDi相交于一點(diǎn)；③MN〃BQ;④MN〃平面B&DQ

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）

A.①④B.②④C.①③④D.②③④

2.在正方體4BCD-4B1GD1中，E為棱&Bi上一點(diǎn)，且4B=2,若二面角少一一E為45。,

則四面體BBiGE的外接球的表面積為（）

17

A.—nB.127TC.9兀D.10兀

3.一個(gè)各面均為直角三角形的四面體有三條棱長為2,則該四面體外接球的表面積為（）

A.6兀B.127rC.327TD.487r

4.己知正三棱柱ABC-&B1G的所有棱長都相等，。是必%的中點(diǎn)，則AO與平面BCGBI所成角

的正弦值為（）

A.在B.2C.叵D.叵

551010

5.已知某圓柱的底面直徑與某圓錐的底面半徑相等，且它們的表面積也相等，圓錐的底面積是圓

錐側(cè)面積的一半，則此圓錐與圓柱的體積之比為（）

A.8:5gB.4:5V3C.2百:5D.4:1175

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共1小題，共4.0分）

6.如圖，在正方體力3。。-41殳的￡）1中，棱長為2,點(diǎn)P在線段BiC上運(yùn)動(dòng)，則正確的命題是（）

A.直線BO】J_平面46。

B.異面直線AP與4。所成角的最小值為45。

C.三棱錐P-&GD的體積為定值

D.正方體內(nèi)切球的體積為47r

三、填空題（本大題共13小題，共65.0分）

7.已知2、B、C三點(diǎn)在球心為。的球面上，AB=AC=2,ABAC=90°,球心。到平面ABC的

距離為VL則球。的表面積為.

8.一個(gè)圓錐恰有三條母線兩兩夾角為60。，若該圓錐的側(cè)面積為38兀，則該圓錐的體積為

9.已知長方體ABCD-&8傳1。1中，4B=AD=1,點(diǎn)M為的中點(diǎn)，且MB1MCr則平面

被長方體4BC。-截得的平面圖形的周長為.

10.已知兩矩形ABCQ與AOEF所在的平面互相垂直，AB=1,若將△OEF沿直線FC翻折，使得

點(diǎn)E落在邊BC上（即點(diǎn)P）,則當(dāng)4。取最小值時(shí)，邊AF的長是；此時(shí)四面體F-ADP的

外接球的半徑是.

11.在三棱錐P-ABC中，AB_L平面PAC,PC=AB=2AC=2,PA=V5.則該三棱錐的外接球。

的表面積為.

12.在三棱錐。一力BC中，已知IAD1平面A8C,且△力BC為正三角形，AD=AB=△，點(diǎn)O為三

棱錐。-4BC的外接球的球心，則點(diǎn)O到棱DB的距離為.

13.如下圖①，在直角梯形A8CD中，/.ABC=Z.CDB=/.DAB=90°,/.BCD=30°,BC=4,點(diǎn)

E在線段CO上運(yùn)動(dòng).如下圖②，沿BE將ABEC折至ABEC',使得平面BEC'J"平面A8EZ),則

14.已知沒有上蓋的圓柱盒高為10c”?，底面周長為32?！?，點(diǎn)A距離下底面3cm.

一只位于圓柱盒外表面點(diǎn)A處的螞蟻想爬到盒內(nèi)表面對(duì)側(cè)中點(diǎn)B處.則螞蟻

需要爬行的最短路程的長為cm.

15.如圖所示，ABCD—4&GD1是棱長為。的正方體，M,N分別是下

底面的棱的中點(diǎn),P是上底面的棱上的一點(diǎn),4P=?，過

P,M,N的平面交上底面于尸Q,Q在C￡＞上，則PQ=.

16.已知正三棱柱ABC-&B1G的六個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，AB=2,

積為_________

17.如圖，在正三棱錐A-BCD中，E,F分別是AB,8c的中點(diǎn),

EF1DE,且BC=1,則正三棱錐4-BCD的體積為

18.三棱錐P-ABC中，AB=PA=PB=2,乙4cB=30。，當(dāng)三棱錐P-ABC體積最大時(shí)，其外接

球半徑為.

19.如圖，已知在長方體ABC。一中，AB=3,AD=4,=5,點(diǎn)E為CQ上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，平面BED1與棱441交于點(diǎn)F,給出下列命題：

①四棱錐/一BED】尸的體積為20；

②存在唯一的點(diǎn)E,使截面四邊形BEDI尸的周長取得最小值2g：

③當(dāng)E點(diǎn)不與C,G重合時(shí)，在棱AO上均存在點(diǎn)G,使得CG〃平面BE%；

④存在唯一的點(diǎn)￡,使得當(dāng)。1平面BED〉且CE=￡.

其中正確的命題是（填寫所有正確的序號(hào)）

四、多空題（本大題共1小題，共4.0分）

20.中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體,

但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以

上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面

體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長為2,則該半正多面體共

有一（1）_個(gè)面，其棱長為_（2）_.（本題第一空2分，第二空3分.）

圖1圖2

五、解答題（本大題共9小題，共108.0分）

21.如圖，在四棱錐P-4BC0中，P41平面ABCD,四邊形A8CZ）是矩形，AP=4D,點(diǎn)M,N分別

是線段PD,AC的中點(diǎn)。求證：

(1)MN〃平面PBC；

(2)PC1AM.

22.如圖，四棱錐P—ABC。中，已知底面ABC。是直角梯形=60^,AB=AD=2CD,

側(cè)面P4D1底面ABC。，且△PAD為等腰直角三角形，乙4PD=90。，M為AP的中點(diǎn).

(1)求證：AD1PB；

(2)求證：CM〃平面P8C.

23.如圖1,在邊長為2的等邊△ABC中，L),E分別為邊AC,48的中點(diǎn).將AADE沿。E折起,

使得AB14D,得到如圖2的四棱錐4--BCDE,連結(jié)BD,CE,且BD與CE交于點(diǎn)H.

A

A2金A：

BCB

圖1圖2

(1)證明：AH1BD-.

(2)設(shè)點(diǎn)8到平面AEZ)的距離為打，點(diǎn)E到平面48。的距離為九2,求今的值.

24.在三棱錐。一4BC中，AB=BC=2近,DA=DC=AC=4,平面40C_L平面A8C,點(diǎn)M在棱

BC上.

(1)若M為BC的中點(diǎn)，證明：BCLDM.

(2)若三棱錐力-的體積為2遍，求M到平面ABD的距離.

25.在四棱錐P-4BC0中，底面A8CD是一直角梯形,484。=90°,AD//BC,AB=AD=a.BC=2a,

PD，底面ABCD.

(1)在線段P￡＞上是否存在一點(diǎn)F,使得PB〃平面Ab,若存在，求出言的值；若不存在，試說

明理由：

(2)在(1)的條件下，若必與CD所成的角為60。，求二面角4-CF-C的余弦值.

26.如圖所示，已知IAC1平面COE,BD//AC,aECD為等邊三角形，F(xiàn)為邊￡?上的中點(diǎn)，且

CD=BD=2AC=2.

(I)求證：CF〃平面ABE；

(口)求證：平面ABE1平面BOE；

(III)求該幾何體E-ABDC的體積.

27.如圖，在四棱錐P—4BCD中，PA1CD,AD//BC,^ADC=/.PAB=90°,BC=CD=\AD.

(/)在平面PAO內(nèi)找一點(diǎn)M,使得直線CM〃平面PA8,并說明理由;

(〃)證明：平面R481平面PBD.

28.如圖，在正方形ABCC中，AB=2,以AC為折痕把△40C折起，得到一個(gè)三棱錐P-4BC.

P(D)

(1)求異面直線AC與PB所成的角;

(2)求三棱錐P-ABC的體積的最大值.

29.在三棱鏈4-BC0中，BC=AC,BD=AD,BEJ.CD于E.

求證：COJ?平面ABE.

【答案與解析】

1.答案：B

解析：

本題考查空間中的線、面位置關(guān)系和線面平行的判斷定理，考查推理能力和空間想象能力，屬于基

礎(chǔ)題.

由空間中的線面位置關(guān)系，逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可.

解：因?yàn)镸,P分別是Ci%,的中點(diǎn)，

所以MP〃4

因?yàn)?1cJ/4C,

所以MP〃/1C,且MP彳AC,所以四邊形PACM為梯形，

AP和CM是相交直線，

又平面A/DDin平面GCDDi=DDr,

所以AP,CM,DD「相交于一點(diǎn)，故①不正確，②正確；

令4CnBD=。，因?yàn)镸,N分別是G5，BC的中點(diǎn)，

所以O(shè)N〃CD//D[M,ON=3CD=DIM,

所以四邊形MN。5為平行四邊形，二MN〃。0i，

???MNC平面幽。1。，。。1u平面BBiDi。，???MN〃平面BB也D,

故③不正確，④正確.

故B.

2.答案：D

解析：

本題考查了正方體的性質(zhì)、線面垂直的判定與性質(zhì)定理、二面角的平面角、球的表面積計(jì)算公式，

考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

連接為C交BQ于0,可得為。1BQ,利用線面垂直的判定定理可得:BCi，平面BiOE,于是SC11E0,

可得而4a0E為二面角％-BCX-E的平面角，進(jìn)而利用球的表面積計(jì)算公式得出結(jié)論.

解：連接BiC交BG于0,如圖：

4，

則Ei。1BG，

易知4/11BC「

B[ODAyBy=By,ByO,AyByU平面B]OE,

則BC11_平面B1OE,EOu平面&OE,

所以8G1FO，

從而NBiOE為二面角/一BQ-E的平面角，

則NBiOE=45°.

因?yàn)?B=2,所以BiE=B[O=V2，

故四面體BBiGE的外接球的表面積為4兀（立/A=107r.

故選：D.

3.答案：B

解析：

本題考查了球的表面積，設(shè)SC中點(diǎn)為O,計(jì)算得。4=OC=OS=OBV3.所以點(diǎn)。是四面體的

外接球球心，且球的半徑為百，即可得出四面體外接球的表面積.

解：由題得幾何體原圖如圖所示，

其中SA1平面ABC,BC_L平面SAB,SA=AB=BC=2,

所以4c=2V2,SC=25/3.

設(shè)SC中點(diǎn)為O,則在直角三角形SAC中，04=0C=0S=國,

在直角三角形SBC中，0B=*=收，

所以04—0C—OS-0B—V3?

所以點(diǎn)。是四面體的外接球球心，且球的半徑為8.

所以四面體外接球的表面積為垢x(4-12寸

故選B.

4.答案：D

解析：

本題考查線面所成角的正弦值求解，考查分析與計(jì)算能力，屬于中檔題.

取48中點(diǎn)E,作EFLBC于F,連接當(dāng)瓦8#,得NE/F即為AO與平

面BCCiBi所成角，即可得到答案.

解：如圖，取AB中點(diǎn)E,作EF1BC于凡

連接B】E,BrF,貝叱EB/即為AD與平面BCC/1所成角,

不妨設(shè)棱長為4,貝l]BF=l,8E=2,

???EF=W,B[E=2V5,

故選。.

5.答案：A

解析:

本題考查圓錐與圓柱的體積之比的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，

考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長為/,求出]=2r,圓錐的高h(yuǎn)=V3r,從而圓錐的體積V=\nr2-^r=

立仃3由題意知圓柱的底面半徑為3設(shè)圓柱的高為由圓錐和圓柱的表面積相等，解得"=

求出圓柱體積V'=乃（今2.|r=：“3,由此能求出此圓錐與圓柱的體積之比.

解：設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長為/,^Anr2=\x\%2nr-l,即，=2r,

所以圓錐的高九1=次廠，圓錐的體積匕=:兀產(chǎn)h]=，?！?,

由題意，知圓柱的底面半徑為;，設(shè)圓柱的高為九2,因?yàn)閳A錐與圓柱的表面積相等，

所以371T2=2兀（J+2;r^0h2>解得八2=|r，

2

2

所以圓柱的體彩=兀（9h2=inr>

故選A.

6.答案：AC

解析：

本題主要考查了線面垂直的判斷，考查了異面直線所成角，考查了空間幾何體的體積，屬于中檔題,

利用相關(guān)定理對(duì)選項(xiàng)逐項(xiàng)判定即可.

解：如圖：

對(duì)A、連接BiD「根據(jù)正方體的性質(zhì),

BB1141c1，B/i1又BB］nB1D1=

A￡i_L平面BiBDD?,BDiU平面BDDi,

41G1BDr,

同理&D1BD1，乂4iDn&G=4i，

.?.BDil.平面AC。，故A正確；

對(duì)8,???公。〃8道，.??直線AP與當(dāng)C所成的角即為異面直線AP與&。所成角,

???△ACBi為正三角形，點(diǎn)P在線段&C上運(yùn)動(dòng)，

直線AP與aC所成的角的取值范圍為［60。,90。］,

即異面直線AP與所成角的取值范圍為［60。,90。］,故8錯(cuò)誤；

對(duì)C,：力1。〃8道，又AQU平面A|C|D.BCC平面A|CQ,

B［C//平面A］C1D,Vp-AiCiD—^C-AiCiD

即三棱錐P—4G。的體積為定值，故C正確；

對(duì)。，正方體棱長為2,則內(nèi)切球半徑為R=l,

則體積V*7rR3,），故O錯(cuò)誤，

?.>M

故選AC.

7.答案：167r

解析：

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球的表面積，其中根據(jù)球半徑，截面圓半徑，球心距，構(gòu)成直角三角形，滿足

勾股定理，求出球的半徑是解答本題的關(guān)鍵.

由已知中球面上有4、B、C三點(diǎn)，AB=AC=2,Z.BAC=90°,我們可以求出平面ABC截球所得

截面的直徑BC的長，進(jìn)而求出截面圓的半徑r,根據(jù)已知中球心到平面ABC的距離，根據(jù)球的半

徑/?=尸不涯，求出球的半徑，代入球的表面積公式，即可得到答案.

解：由已知中ZB="=2,484c=90。，

我們可得BC為平面4BC截球所得截面的直徑，

即2r=y/AB2+AC2=272，

???r=V2>

又?.?球心到平面4BC的距離d=VL

???球的半徑R=Vr2+d2=2.

二球的表面積S=4兀?R2=16TT,

故答案為：167r.

8.答案：、而7T

解析：

本題考查圓錐的側(cè)面積公式與圓錐的體積公式，正弦定理，屬于中檔題.

畫出圖形，結(jié)合正弦定理及圓錐的側(cè)面積求出圓錐的高，即可求出結(jié)果.

解：如圖，設(shè)乙4sB=NBSC=NCSA=60。，

則SA=SB=SC=AB=AC=BC,設(shè)AB=x,

則底面圓的直徑為2R=—^―=段，

SlnoU7$

該圓錐的側(cè)面積為"言X=3倔T,

解得x=3,圖OS=J32—(V3)2=V6,

所以該圓錐的體積為5兀x(V3)2xV6=V67T.

9.答案：2>/54-V2

解析：

本題考查直線與平面的位置關(guān)系，是中檔題.

先根據(jù)兩平面相交得到截面為梯形MNGB,再分別求出梯形MNC】B各邊長，從而得解.

解：取中點(diǎn)N,連接MMNG，

又胡是的中點(diǎn)，則MN〃/

因?yàn)锽CJ/ADi，貝

故平面MBCi被長方體ABCD-力道停1。1截得的平面為梯形MNGB,

設(shè)=a,由4B=AD—1,

可得8cl=皿2+1，BM=+],MG=后+2,MN=+1,

垢=口1吟

由MB1MG得MB?+MCI=

解得a=2.

i*rfcBC1-V5>BM—V2>MN=亨N￡=Jl+：=爭

故梯形MNC]B的周長為或+日+亨+通=2%+VL

故答案為2遮+加.

10.答案：V2;漁

2

解析:

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是空間中的線段計(jì)算，多面體的外接球，由于本題是幾何與代數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用，

運(yùn)算量比較大，而且得到的X,y的關(guān)系比較復(fù)雜，因此要用換元法，簡單表達(dá)式.

由題意可設(shè)凡4=>1),AD=y,我們利用勾股定理分別求出BP,PC,根據(jù)BC=BP+PC,

可以得到x,y的關(guān)系式，利用換元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.四面體尸-HOP的外接球的

球心為。尸的中點(diǎn)，即可求出四面體產(chǎn)一2DP的外接球的半徑.

解：設(shè)FA=尤0>1),AD=y,

:矩形ABCZ)與矩形A￡>￡7:'所在的平面互相垂直，AB=1,FA=x(x>1),AD=y,

FE=FP=AD=BC=y,AB=DC=1.FA=DE=DP=x,

因?yàn)榫匦蜛BC。與矩形4DEF所在的平面互相垂直，且平面4BCD0平面4DEF=AD,凡414。，凡4u

平面ADEF,

所以FAL平面ABCD,又APU平面ABCD,所以F414P;

在RtAOCP中，PC=Vx2-1，

在Rt△/=7!「中，AP={y2-x2,

在Rt△4BP中，BP=yjy2—x2—1:

vBC=BP+PC=yjy2—x2—1+Vx2-1—y<

41

整理得丫2=爰三，令Mu',

因?yàn)閤>l,所以:>1,0<t<1;

o11

則y=m=五芬百

則當(dāng)t=；,即％=企時(shí)，y取最小值2.

因?yàn)镕A14D,FP-LPZ),

所以四面體F-ADP的外接球的球心為。尸的中點(diǎn)，且DF=VF+4=V6，

故四面體尸-ADP的外接球的半徑是在.

2

故答案為：V2:蟲.

2

11.答案：9兀

解析：

本題考查三棱錐的外接球，涉及球的表面積公式，屬于基礎(chǔ)題.

由題意求出相關(guān)線段的長，得出PB的中點(diǎn)即為外接球的球心，得出2R=PB=3,由球的表面積公

式可得答案.

解：因?yàn)槿忮FP-4BC中，AB1￥?PAC,PC=4B=2AC=2,PA=V5,

所以481AC,AB1AP,

由AB=2,PA=V5，和勾股定理可得PB=yJPA2+AB2=3，

由力C=l,AB=2,和勾股定理可得BC=山IC?+力7=而,

再由PC=2,PB=3,可得8C2+PC2=PB2,

所以APCB為直角三角形，且/PCB為直角，

結(jié)合APAB為直角三角形，且NP4B為直角，和圓的性質(zhì)可得PB的中點(diǎn)即為外接球的球心，故

2R=PB=3,

故該三棱錐的外接球0的表面積為S=4TTR2=兀x47?2=97r.

故答案為97r.

12.答案：j

解析:

本題考查了棱錐與外接球的位置關(guān)系，屬于中檔題.

找到三角形A8C的外心0',根據(jù)幾何關(guān)系求解即可.

解：。'為AHBC的中心，M為AO中點(diǎn)，連結(jié)OM,00',A0',

則4/=1,AM得。4=爭作平面OD4交8c于E,交散:于F.

設(shè)平面OD4截得外接球是。0,

D,A,尸是。0表面上的點(diǎn)，

又?.,力。1平面ABC,

則NZMF=90°,

??.■DF是O。的直徑，DF=5

因?yàn)镈41AB,DA=V3.AB=遮，

所以B。=V6>

所以8F=1,AF是。。'的直徑，

連結(jié)BF.

BFIDA,BFLAB,DAC\AB=A,DA,ABc^FffiDAB,

BF_L平面DAB,

:.乙DBF=9。。,作OH"BF,

又DO=OF,

二。，是△DBF的中位線，OH=^BF,故0H=?

故答案為也

13.答案：719-4V3

解析：

本題考查了空間中的距離的最值，設(shè)4EBC=a,求得PC,PB,AQ,由AC,2=PC2+PA2=PC2+

PQ2+(2屋結(jié)合三角函數(shù)的圖象性質(zhì)可得答案.

解：因?yàn)?/p>

在直角梯形ABCZ)中，/.ABC=乙CDB=乙DAB=90°,乙BCD=30°,BC=4,可得BD=2,AB=V3

延長BE于P,使BP與CP垂直，過點(diǎn)A作AQ垂直BE于點(diǎn)Q

設(shè)NE8C=a貝iJPC=4sina,PB=4cosa,

又BQ=V3sinaMQ=Bcosa,

則PQ—PB-BQ=4cosa—V3sina，

因平面BEC'1平面43EO,平面BEC'n平面4BED=BE,C'P1面ABED.APu而ABED,則C，P1AP,

則

AC'2=pU2+p/2=pC2+pQ2+QA2

=16sin2a+(4cosa—V3sina)2+(V3cosa)2=19—4V3sin2a>19—4V3,

當(dāng)。=:時(shí)等號(hào)成立，

故"'的最小值為

故答案為J19一4次.

14.答案：20

解析：

本題考查平面展開最短路徑問題，關(guān)鍵知道圓柱展開圖是長方形，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可求出解，

注意是從圓柱盒外爬到盒內(nèi)，屬于基礎(chǔ)題.

將圓柱側(cè)面展開，得到長方形MNQP,作點(diǎn)B關(guān)于PQ的對(duì)稱點(diǎn)B',構(gòu)造直角三角形4CB',根據(jù)勾

股定理求出=20cm,即是所求.

解：如圖，點(diǎn)B與點(diǎn)B'關(guān)于PQ對(duì)稱，

可得AC=16cm,B'C=12cm,

則最短路程為4B'=V162+122=20cm.

故答案為20.

解析：

本題考查線面平行的性質(zhì)，難度一般.由

MN〃平面ABC。，推出MN〃PQ,易知|DP=OQ=^.

解：：MN〃平面ABCD,MNu平面PMNQ,平面PMNQn平面4BC0=PQ,

■■MN11PQ,易知DP=DQ=g,求出PQ長為.必

故PQ=yJPD2+DQ2=V2DP=左.

故答案為越a.

3

16.答案：等

解析：

本題考查球的截面的性質(zhì)，考查球與正三棱柱的關(guān)系，考查球的表面積運(yùn)算，屬于中檔題.

根據(jù)對(duì)稱性，可得球心0到正三棱柱的底面的距離為L球心。在底面ABC上的射影為底面的中心

0,,求出0'4由球的截面的性質(zhì)，求得半徑。4再由球面。的表面積公式，計(jì)算即可得到.

解：根據(jù)對(duì)稱性，可得球心。到正三棱柱的底面的距離為2,

球心。在底面ABC上的射影為底面的中心0',

則。'4=^x立x2=2，

323

由球的截面的性質(zhì)，可得，。氏=00,2+022,

則有04—14+g—/

則球面O的表面積為4兀?。爐=等

故答案為等.

17.答案：立

24

解析:

本題考查棱錐的體積，是中檔題.解析

先證明三棱錐的三個(gè)頂角都是90。，然后求出側(cè)棱長，再求體積.

解：???AC//EF.EF1DE,

AC1DE

"AC1BD（正三棱錐性質(zhì)）

AC1平面ABD

所以正三棱錐4-BCC是正方體的一個(gè)角，=立

2

正三棱錐4一8。。的體積/=工*3*立、立*立=立

3222224

故答案為五.

24

18.答案：—

3

解析：

本題考查三棱錐的外接球問題，屬于中檔題.

首先根據(jù)已知可得即要使點(diǎn)C到平面P4B的距離最大，只有當(dāng)平面4BC1平面PAB,S.CA=CB時(shí)，

體積最大，進(jìn)而求出結(jié)果.

解:取4B的中點(diǎn)。，連接CD,設(shè)AABC的外接圓的圓心為的外接圓的圓心為F,因?yàn)锳PAB

是邊長為2的等邊三角形，所以△P4B面積確定，

要使三棱錐P-ABC體積最大，即要使點(diǎn)C到平面PAB的距離最大，

只有當(dāng)平面4BC_L平面PAB時(shí)，且點(diǎn)C到邊A8的距離最大，三棱錐的體積最大，

因?yàn)橐?cB=30。，且48=2,△4BC外接圓E的半徑CE為工x―=2,

2sm3O°

所以點(diǎn)C在圓E在平面ABP上方的部分運(yùn)動(dòng)，如圖所示.

當(dāng)點(diǎn)C滿足C4=CB時(shí)，點(diǎn)C到邊4B的距離最大，三棱錐的體積最大.此時(shí)三棱錐的高即為C。的

長，此時(shí)AABC外接圓E的圓心E在CQ上，根據(jù)球的性質(zhì)可知，0E1CE,OF1DF,OF//ED,

故四邊形EOFD為矩形，故OE=DF=-x^x2=^,

323

在RtACE。中，球的半徑為C。=A/CE?+0E?-)4+-=

\33

故答案為叵.

3

19.答案：①②③④

解析：

本題考查四棱錐體積，四邊形的周長的最值，線面平行和線面垂直，屬于中檔題.

根據(jù)棱錐的體積公式，線面平行和線面垂直等知識(shí)點(diǎn)逐一判斷.

解析：

解：

①

+4-BBWi，CC1//AA|-：I'BB|DJ,

AB=3,AD=4,441=5,易得DB=5,易得RtZiABD斜邊8。上的高為蓑，

易得E,尸到平面BBiA的距離為蔡，所以四棱錐Bi-BEDiF的體積為2xqx5x5x：x￡=20；

②將長方體展開，如圖所示，恰好過3點(diǎn)時(shí)，截面的周長為28%，而在△BO%中，BD「

,52+(3+47=標(biāo),所以最小值為2g,由面面平行的性質(zhì)可得四邊形BE。/為平行四邊形,

且E為展開圖中唯一的點(diǎn)，②正確.

③E點(diǎn)不與C,G重合，則F不會(huì)為A,即CG不在面EBDi內(nèi)，可作出CG的平面與EBD1平行，所

以在棱AQ上均有相應(yīng)的G,使得CG//面EBD],故③正確；

④因?yàn)?可得對(duì)角面為正方形，可得當(dāng)。18名，若BElBiC時(shí)，由三垂線定理

可得當(dāng)。1BE,即有名01面EB%在矩形BB￡C中，BE1BrC,所以案=岑,所以CE=喏=三

故④正確；綜上可得：正確為①②③④.

故答案為：①②③④.

20.答案：26

2(V2-1)

解析：

本題考查了幾何體的內(nèi)接多面體，屬中檔題.

中間層是一個(gè)正八棱柱，有8個(gè)側(cè)面，上層是有8+1個(gè)面，下層也有8+1個(gè)面，故共有26個(gè)面；

中間層正八棱柱的棱長加上兩個(gè)棱長的立倍等于正方體的棱長.

2

解：該半正多面體中間層是一個(gè)正八棱柱，有8個(gè)側(cè)面，故該半正多面體共有8+8+8+2=26個(gè)

面；

設(shè)其棱長為x,因?yàn)槊總€(gè)頂點(diǎn)都在邊長為2的正方體上，

則x+芋x+季x=2，解得x=2(&-1).

故答案為26；2(/-1).

21.答案：解：(1)取PC,8c的中點(diǎn)E,F,連結(jié)ME,EF,FN.

M

在△PC。中，M,E為PD,PC的中點(diǎn)，

所以EM〃C。，EM=|CD；

在△ABC中，F(xiàn),N為BC,AC的中點(diǎn)，

所以FN〃AB,FN=^AB.

因?yàn)樗倪呅蜛BC。是矩形，

所以AB〃CD,AB=CD,

從而EM〃/N,EM=FN,

所以四邊形EMNF是平行四邊形，

所以MN〃EF.乂EFu平面P8C,MN<t平面PBC,

所以MN〃平面PBC；

(2)因?yàn)?4_L平面ABCD,CDu平面ABCD,

所以PA1CD.

因?yàn)樗倪呅蜛BC。是矩形，所以ADJ.CD.

又因?yàn)镻4nAD=4PAu平面PAO,力Cu平面PAO,

所以CO_L平面PAO.

又AMu平面PAD,所以CD1AM.

因?yàn)?P=4D,例為P。的中點(diǎn)，

所以AM1PD.

又因?yàn)镻DCCO=O,POu平面PCD,COu平面PC。,

所以AMJL平面PCD.

乂PCu平面PCD,所以PC1AM.

解析：本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，線面平行的判定，考查了邏輯推理能力，屬于中檔題.

⑴取PC,BC的中點(diǎn)E,F,連結(jié)ME,EF,FM根據(jù)三角形中位線定理，易得EM〃CD,EM=

FN//AB,FN=：AB,進(jìn)而得到MN〃平面PBC；

(2)通過證明CD1平面和4M_L平面PCD,可得出PC1AM.

22.答案：證明：(1)因?yàn)椤鱌AD為等腰直角三角形，/.APD=90^,

所以PA=PD.

設(shè)4力的中點(diǎn)為E,連接PE,BE.則PEJ.4D.

因?yàn)榱=4D,^DAB=60s,所以△4BC為等邊三角形，

所以BE1.4。，

因?yàn)镻E,BE交于點(diǎn)E,

所以，2D_L平面P8E,

所以4。1PB；

(2)設(shè)PB的中點(diǎn)為凡連接M凡CF.

^]MF//AB,MF=^AB,

5LCD//AB,CD=\AB,

所以，MF//CD,MF=CD,

所以四邊形MFC。為平行四邊形，所以CF〃DM.

又DM，平面PBC,CFu平面PBC,

所以，DM〃平面PBC.

解析：本題考查線面垂直的判定和性質(zhì)，考查線面平行的判定，屬中檔題.

(1)設(shè)4。的中點(diǎn)為E,由已知證明PE14D,BELAD,得4。工平面PBE,從而完成證明;

(2)設(shè)PB的中點(diǎn)為凡證明四邊形MFC。為平行四邊形，得CF〃CM,再根據(jù)線面平行的判定定理

完成證明.

23.答案：(1)證明：在圖1中，因?yàn)闉椤鰽BC為等邊三角形，

且。為邊AC的中點(diǎn)，所以

在△BCD中，BD1CD,BC=2,CD=1,所以BO=V5，

因?yàn)?。，E分別為AC,AB的中點(diǎn)，所以ED〃BC,

在圖2中，有需=寥=3所以DH=*O=更，

ntfHLZ33

因?yàn)?8J.40,所以為直角三角形，

因?yàn)?。=1,BD=V3,所以cos乙4DB=絲=逅，

BD3

在△ADH中，由余弦定理得，

AH2=AD2+DH2-2AD-DHcos^ADB

=1+」2xlx祖x更一，

3333

所以A“=漁，

3

在△力DH中，因?yàn)?"2+0“2=|+[=1=4。2,所以AHJ.BZ)；

(2)解：因?yàn)?腺-ABD，所以5SAEO/I]=§SABOh2，

所以F=泮，

n2^AED

因?yàn)椤?ED是邊長為1的等邊三角形，所以Sg￡D=，，

在RtAABD中，BD=V3.AD=1,則4B=魚，

所以又旗。=白，所以￡=竽，

所以F的值為2.

九23

解析：本題主要考查了余弦定理，三棱錐的體積公式，屬于中檔題.

(1)計(jì)算出8力的長，?！钡拈L，COSAADB的值，由余弦定理可得A”的長，由勾股定理可得結(jié)果.

(2)因?yàn)閂g.AED=所以三54￡￡)九1=九2,所以,=s'"'求出SfED，SFBD得值,可得

33n2^AED

結(jié)果.

24.答案：(1)證明：取AC的中點(diǎn)O,連接08、0D,

因?yàn)镈A=DC,所以0D14C.

又因?yàn)槠矫鍭DC_L平面ABC,且平面4DCn平面ABC=4C,。0u平面AQC,所以。。J?平面ABC,

所以。01OB.

^^JAB2+BC2=AC2,所以4B1BC,

所以O(shè)B=OC,所以21OBD三/OCD,

所以CB=DC,且M為8c的中點(diǎn)，

所以BC1DM.

(2)解:V_=^DOBC-AB=^-,

DABCO3

所以%TBM=^—2遮=苧?

在小ABD^,SA,1SD=1X2V2X心一(a)2=2夕，

設(shè)M到平面48。的距離為幾

則卜JABD，hVDABM，解得力=—?

?37

所以加到平面ABD的距離為先.

7

解析：本題考查了線面垂直的性質(zhì)、面面垂直的性質(zhì)和空間中的距離，是中檔題.

(1)先由平面ADC_L平面ABC,得。01平面ABC,則0010B.由勾股定理逆定理得4B1BC,又

OB=0C,所以ZOBD三ZJOCD,所以DB=DC,由三線合一可得BC1DM.

(2)先得出，設(shè)M到平面AB。的距離為力，由等體積法；S&ABD-hVDABM,可得九

O

25.答案：解：(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，0(0,0,0),4(0,a,0),B(a,a,0),C(a,-a,0),設(shè)

PD=b,則P(0,0,b),假設(shè)存在點(diǎn)R使P8〃平面ACR

F(O,O,A6)(O<A<1),

設(shè)平面ACT7的一個(gè)法向量為元=(%,y,z),

AC=(a,-2a,0),FA=(0,a,~PB=(a,a,—b)，則

n-AC=ax-2ay=0用.

一—，取y=1,則x=2,z=*

n-FA=ay-Abz=0

??.五=(2,1,粉，要使PB〃平面ACR則而，即日?麗=0,

2Q+a-=0,A=g所以會(huì)=2.

A3DF

(2)可=(0,a,—b)，DC=(a,-a,0).因?yàn)?與CO所成的角為60。，

所以

IPX-D^Ia2.

c“7i()=cos<PA,De>----；——J=-R——■=-=-'則，

I|PA|j5C|\/a2+-v^a2

由(1)知平面ACF的一個(gè)法向量為日=(2,1,3),

因?yàn)閦_BAO=90°,AB=AD=a,BC=2a,：.CD-y/2a<BD=V2a>

BC2=CD2+BD2,BDLCD,又PD1底面ABD,PD1BD,

CDCPD=D,則8。1平面CDF,

所以取平面CD尸的一個(gè)法向量麗=(a,a,0)，則

—、n-DB3a3y/7

cos<n,DB>=i-=-7="k=—

\n\\DB\V14xV2a14

所以二面角A-CF-。的余弦值為竺.

14

解析：本題考查空間向量判定空間線面平行的位置關(guān)系以及空間向量求異面直線所成的角以及二面

角，屬于中檔題.

(1)建立空間直角坐標(biāo)系，得到相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，假設(shè)存在點(diǎn)凡使PB〃平面ACF,求出平面ACF的

一個(gè)法向量為元=(2,1,/)，根據(jù)線面平行，得到五.方=0,由此得到方程，解得；1=｝得到

竺=2.

DF

(2)先根據(jù)PA與C。所成的角為60。，得到a=b,再求出兩個(gè)平面的法向量，求出法向量夾角的余

弦值，進(jìn)而得到二面角A-CF-。的余弦值.

26.答案：(I)證明：取BE的中點(diǎn)G,連接AG,FG,

則AC裳BD，：.FG&AC，

???四邊形4GFC為平行四邊形，

CF//AG.

?：CFC平面ABE,AGu平面ABE,

??.CF〃平面ABE.

(H)證明：:△EC。為等邊三角形，F(xiàn)為OE中點(diǎn)，

CFLED.

"ACCDE,BD//AC,

BD_L平面CDE,

vCFu平面CDE,

CFA.BD,

■：EDCtBD=D,EDu平面BDE,