知識(shí)點(diǎn)-集合與常用邏輯用語(yǔ)

知識(shí)點(diǎn)一一集合與常用邏輯用語(yǔ)

【知識(shí)梳理】

一、集合及其運(yùn)算

1.集合與元素

(1)集合中元素的三個(gè)特征：確定性、互異性、無(wú)序性.

(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于兩種,用符號(hào)且或?qū)W表示.

(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法.

(4)常見(jiàn)數(shù)集的記法

集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

符號(hào)NN*（或N+）ZQR

2.集合間的基本關(guān)系

關(guān)系自然語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言Venn圖

集合A中所有元素都在集合B中(即若A￡B

子集

xGA,貝iJxWB)（或B3A）

或0?譏)

集合A是集合8的子集，且集合B中

真子集

至少有一個(gè)元素不在集合4中(或冷A)

集合A,B中的元素相同或集合A,B

集合相等4=8

互為子集

3.集合的基本運(yùn)算

運(yùn)算自然語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言Venn圖

由屬于集合4且屬于集合8

交集AnB={4xe4且XG8}

的所有元素組成的集合

由所有屬于集合A或?qū)儆诩?/p>

并集AUB={4rdA或xeg}

合B的元素組成的集合?

由全集U中不屬于集合A的

補(bǔ)集[uA={x|xCU且依4}

所有元素組成的集合D

【知識(shí)拓展】

1.若有限集A中有〃個(gè)元素，則集合A的子集個(gè)數(shù)為真子集的個(gè)數(shù)為2"—1.

2.A￡B^AClB=A^>AUB=B.

3.4CQ4)=g；AUQA)=D；[U([°A)=A.

二、命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件

1.四種命題及相互關(guān)系

2.四種命題的真假關(guān)系

(1)兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性;

(2)兩個(gè)命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性沒(méi)有關(guān)系.

3.充分條件與必要條件

(1)如果p=g,則〃是q的充分條件,同時(shí)°是〃的必要條件;

(2)如果p=q,但q》p,則D是q的充分不必要條件:

(3)如果p=q,且q=p,則〃是g的充要條件;

(4)如果q=p,且則D是q的必要不充分條件:

(5)如果p方］，且夕彳力，則p是q的既不充分也不必要條件.

【知識(shí)拓展】

1.兩個(gè)命題互為逆否命題，它們具有相同的真假性.

2.若4={》以X)}，B={x|q(x)},則

(1)若418,則p是q的充分條件；

(2)若A28,則p是g的必要條件；

(3)若A=B,則p是q的充要條件；

(4)若則p是q的充分不必要條件；

(5)若則p是q的必要不充分條件；

(6)若A聿B且則p是q的既不充分也不必要條件.

【易錯(cuò)提醒】

1.描述法表示集合時(shí)，一定要理解好集合的含義——抓住集合的代表元素.如：*僅=lgx}——函數(shù)的定

義域；{yly=lgx}-----函數(shù)的值域；{(x,y)僅=lgx}------函數(shù)圖象上的點(diǎn)集.

2.易混淆0,0,{0}：0是一個(gè)實(shí)數(shù)；。是一個(gè)集合，它含有0個(gè)元素；{0}是以0為元素的單元素集合,

但是0陣0,而0={0}.

3.集合的元素具有確定性、無(wú)序性和互異性，在解決有關(guān)集合的問(wèn)題時(shí)，尤其要注意元素的互異性.

4.空集是任何集合的子集.由條件AUB,AC8=A,AUB=B求解集合A時(shí)，務(wù)必分析研究A=。的情況.

5.區(qū)分命題的否定與否命題，已知命題為“若p,則則該命題的否定為“若p,則F"，其否命題

為''若一/?,則F”.

6.對(duì)充分、必要條件問(wèn)題，首先要弄清誰(shuí)是條件，誰(shuí)是結(jié)論.

【必會(huì)習(xí)題】

1.已知集合4={1,3,yfm},B={\,m],AUB=A,則zn等于()

A.0或小B.0或3C.1或小D.1或3

答案B

解析\'AUB=A,：.B^A,洞,.".ni=1或m=3或

由集合中元素的互異性易知m=0或/72=3.

2.設(shè)集合A={x[l<x<2},B^{x\x<a],若AUB,則。的取值范圍是（)

A.伍|心2}B.{?|aWl}C.{“|心1}D.{3“W2}

答案A

解析若4U8,則a22,故選A.

3.已知集合例={x|-3<x<5},N={x|x<-5或x>5},則MUN等于()

A.{x|-3<x<5}B.{x|-5<x<5}C.{xpv<—5或x>—3}D.{x|x<—3或x>5}

答案C

解析在數(shù)軸上表示集合M、N,則MUN={4r<-5或x>-3},故選C.

NN

M

05

4.滿足條件{a}UAU{a,6c}的所有集合A的個(gè)數(shù)是（)

A.1B.2C.3D.4

答案D

解析滿足題意的集合A可以為{4},{a,b},{a,c},{a,b,c）,共4個(gè).

5.已知集合U=R（R是實(shí)數(shù)集），A={x|-lWx〈l},8={x*—2x<0},則AU（Cg）等于（）

A.[-1,0]B.[1,2]C.[0,1]D.(一8,1]U[2,+8)

答案D

解析3={衛(wèi)/一2x<0}=(0,2),

AU([t，B)=[-lJ]U(-oo,0]U[2,+8)=(—8,]]U[2,+8),故選D.

6.“x<0”是“l(fā)n(x+l)<0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

答案B

解析ln（x+l）<0,解得

.\-l<x<0,所以“x<0”是"一14<0”的必要不充分條件.

7.給出以下四個(gè)命題:

①若則aWO或bWO；

②若a>b,則am2>bm2；

③在△4BC中，若sin4=sinB,則A=B；

④在一元二次方程O(píng)^+ZJX+CU。中，若加一4ac<0,則方程有實(shí)數(shù)根.

其中原命題、逆命題、否命題、逆否命題全都是真命題的是()

A.①B.②C.③D.@

答案C

8.設(shè)U為全集，對(duì)集合48定義運(yùn)算“*”，4*8=[認(rèn)4。8),若X,Y,Z為三個(gè)集合，則(X*K)*Z等于

()

A.(xuy)n[uZB.(xnr)u[yzc.(Ci/XuCur)nzD.((uxc[uy)uz

答案B

解析?.?x*y=1Mxnr),...對(duì)于任意集合x(chóng),Y,Z,

(x*y)*z=[MXny)*z=[]Mxnr)nzj=(Xn冷u10.

9.已知M是不等式竺央WO的解集且54M,則a的取值范圍是.

ax-

答案(一8,-2)U[5,+8)

_U.r]5。+10?

解析若5CM,則目W0,

...(“+2)3-5)W0且a#5,/.一2Wa<5,

二5鈿時(shí),“<一2或后5.

10.設(shè)命題p：實(shí)數(shù)x滿足/-4ar+3a2<0,其中“<()；命題q：實(shí)數(shù)x滿足(+2%—8>0,若q是p的必

要不充分條件，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

答案(一8,-4]

解析由命題q：實(shí)數(shù)x滿足/+2%—8>0,得x<—4或x>2,

由命題p：實(shí)數(shù)x滿足4依+3。2<0,其中”<0,得(x—3a)(x—a)<0,a<0,.".3a<x<a,

是P的必要不充分條件，；.aW-4,...aG(—8,-4].

x~\~1