高中數(shù)學(xué)講義微43 線性規(guī)劃

微專題43線性規(guī)劃----作圖與求解

一、基礎(chǔ)知識(shí)

1、相關(guān)術(shù)語：

（1）線性約束條件：關(guān)于變量的一次不等式（或方程）組

（2）可行解：滿足線性約束條件的解（x,y）

（3）可行域：所有可行解組成的集合

（4）目標(biāo)函數(shù)：關(guān)于的函數(shù)解析式

（5）最優(yōu)解：是目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解

2、如何在直角坐標(biāo)系中作出可行域：

（1）先作出圍成可行域的直線，利用“兩點(diǎn)唯一確定一條直線”可選取直線上的兩個(gè)特殊點(diǎn)

（比如坐標(biāo)軸上的點(diǎn)），以便快速做出直線

（2）如何判斷滿足不等式的區(qū)域位于直線的哪一側(cè)：一條曲線（或直線）將平面分成若干區(qū)

域，則在同一區(qū)域的點(diǎn)，所滿足不等式的不等號(hào)方向相同，所以可用特殊值法，利用特殊點(diǎn)

判斷其是否符合不等式，如果符合，則該特殊點(diǎn)所在區(qū)域均符合該不等式，具體來說有以下

三種情況：

①豎直線x=a或水平線y可通過點(diǎn)的橫（縱）坐標(biāo)直接進(jìn)行判斷

②一般直線y=丘+。（奶00）：可代入（0,0）點(diǎn)進(jìn)行判斷，若符合不等式，則原點(diǎn)所在區(qū)域

即為不等式表示區(qū)域，否則則為另一半?yún)^(qū)域。例如：不等式x-2y+3〈0,代入（0,0）符合

不等式，則x-2y+3?0所表示區(qū)域?yàn)橹本€x—2y+3=0的右下方

③過原點(diǎn)的直線y=^（%#0）：無法代入（0,0）,可代入坐標(biāo)軸上的特殊點(diǎn)予以解決，或者

利用象限進(jìn)行判斷。例如：yWx：直線y=x穿過一、三象限，二、四象限分居直線兩側(cè)。

考慮第四象限的點(diǎn)x>0,y<0,所以必有所以第四象限所在區(qū)域含在表示的區(qū)

域之中。

（3）在作可行域時(shí)要注意邊界是否能夠取到：對(duì)于約束條件6（x,y）>0（或/（x,y）<0）

邊界不能取值時(shí)，在圖像中邊界用虛線表示；對(duì)于約束條件E（x,y）20（或產(chǎn)（x,y）W0）

邊界能取值時(shí)，在圖像中邊界用實(shí)線表示

3、利用數(shù)形結(jié)合尋求最優(yōu)解的一般步驟

(1)根據(jù)約束條件，在平面直角坐標(biāo)系中作出可行域所代表的區(qū)域

(2)確定目標(biāo)函數(shù)z在式子中的幾何意義，常見的幾何意義有：(設(shè)。力為常數(shù))

a7

①線性表達(dá)式一一與縱截距相關(guān)：例如Z=GT+勿，則有y=——X+—，從而Z的取值與

bb

動(dòng)直線的縱截距相關(guān)，要注意力的符號(hào)，若。>0,則z的最大值與縱截距最大值相關(guān)；若

b<0,則z的最大值與縱截距最小值相關(guān)。

②分式一一與斜率相關(guān)(分式)：例如z=?二可理解為Z是可行域中的點(diǎn)(x,y)與定點(diǎn)

(a,b)連線的斜率。

③含平方和一一與距離相關(guān)：例如z=(x—。丫+(丁—bp：可理解為z是可行域中的點(diǎn)

(x,y)與定點(diǎn)(a,b)距離的平方。

(3)根據(jù)z的意義尋找最優(yōu)解，以及z的范圍(或最值)

4、線性目標(biāo)函數(shù)影響最優(yōu)解選取的要素：當(dāng)目標(biāo)函數(shù)直線斜率與約束條件直線斜率符號(hào)相同

時(shí)，目標(biāo)函數(shù)直線斜率與約束條件直線斜率的大小會(huì)影響最優(yōu)解的選取。

x>0

y>0

例如：若變量滿足約束條件4，則z=3x+4y的最大值等于_____

3x+2y<12

x+2y<S

31

作出可行域如圖所示，直線3x+2y=12的斜率占二一萬，直線x+2y=8的斜率女2=-萬，

目標(biāo)函數(shù)的斜率左=-1,所以網(wǎng)<陶<網(wǎng)，所以在平移直線時(shí)，目標(biāo)函數(shù)直線的傾斜程

度要介于兩直線之間，從而可得到在A(2,3)取得最優(yōu)解。但在作圖中如果沒有考慮斜率間的

聯(lián)系，平移的直線比x+2y=8還要平，則會(huì)發(fā)現(xiàn)最優(yōu)解在

5(0,4)處取得，以及若平移的直線比3x+2y=12還要陡，

則會(huì)發(fā)現(xiàn)最優(yōu)解在C(4,0)處取得，都會(huì)造成錯(cuò)誤。所以在

處理目標(biāo)函數(shù)與約束條件的關(guān)系時(shí)、要觀察斜率的大小，并

確定直線間“陡峭”程度的不同。

(1)在斜率符號(hào)相同的情況下：崗越大，則直線越“陡”

(2)在作圖和平移直線的過程中，圖像不必過于精確，但斜率符號(hào)相同的直線之間，陡峭程

度要與斜率絕對(duì)值大小關(guān)系一致，這樣才能保證最優(yōu)解選取的準(zhǔn)確

(3)當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的斜率與約束條件中的某條直線斜率相同時(shí)，有可能達(dá)到最值的最優(yōu)解有無

數(shù)多個(gè)(位于可行域的邊界上)

(4)當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的斜率含參時(shí)，涉及到最優(yōu)解選取的分類討論，討論通常以約束條件中同符

號(hào)的斜率作為分界點(diǎn)。

二、典型例題:

x+2y>0

例1：若變量滿足約束條件<x-yWO，則z=2x—y的最小值等于()

x-2y+2>0

5c3

A.--B.-2C.--D.2

22

思路：按照約束條件作出可行域，可得圖形為一個(gè)封

閉的三角形區(qū)域，目標(biāo)函數(shù)化為：y=2x-z,則z的

最小值即為動(dòng)直線縱截距的最大值。目標(biāo)函數(shù)的斜率

大于約束條件的斜率，所以動(dòng)直線斜向上且更陡。通

過平移可發(fā)現(xiàn)在A點(diǎn)處，縱截距最大。且

x+2y=0(

A:《解得I，所以z=2x-y

x-2y+2=0(2)-

的最小值ZmM=2-(—1)=——

min''22

答案：A

x+y—220

例2：設(shè)變量滿足約束條件<x-y-240,則目標(biāo)函數(shù)z=x+2y的最小值為()

A.2B.3C.4D.5

思路：作出目標(biāo)函數(shù)的可行域，得到一個(gè)開放的區(qū)域，

數(shù)y=—x-\—,通過平移可得最優(yōu)

22

x+y—2=0/、

A：｛■所以Zmin=3

y=l

答案：B

X<1

例3：若變量滿足<，則z=f+y2的最大

x+y+2>0

為()

A.V10B.7C.9D.10

思路：目標(biāo)函數(shù)z=*2+V可視為點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，所

只需求出可行域里距離原點(diǎn)最遠(yuǎn)的點(diǎn)即可，作出可行域，觀察

得最遠(yuǎn)的點(diǎn)為A(l,-3),所以Za=10

答案：D

2x-y-2<Q

例4：設(shè)變量滿足約束條件<x-2y+2N0,則

x+y-l>0

$=2里的取值范圍是()

X+1

A.6B.—,1C.[1,2]

思路：所求s=可視為點(diǎn)(x,y)與定點(diǎn)(一1,-1)連線

的斜率。從而在可行域中尋找斜率的取值范圍即可，可得

在(1,0)處的斜率最小，即女,而在(0,1)

1—(—1)y+11

處的斜率最大，為—「4=2,結(jié)合圖像可得s=2—的范圍為:2

0-(-1)X+1|_2

答案：D

x+y>0

例5：若實(shí)數(shù)滿足條件<x—y+lNO,則|x—3引的最大值為

04x41

()

A.6B.5C.4D.3

思路：設(shè)z=x-3y,則可先計(jì)算出z的范圍，即可求出忖的最大值：y=：x-；z,則最

優(yōu)解為4（1,—1）1（1,2）,所以ze[—5,4],則|目皿=5

答案：B

x-4j+3<0

例6：設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2,1）,若點(diǎn)N（x,y）滿足不等式組，2x+y-12<0,

x>l

則使。河二0月取得最大值的點(diǎn)N的個(gè)數(shù)有（）

A.1B.2C.3D,無數(shù)個(gè)

思路：設(shè)z=0杯?麗=2x+y,作出可行域，通過平移可發(fā)現(xiàn)達(dá)到最大值時(shí)，目標(biāo)函數(shù)與

直線2x+y-12=0重合，所以有無數(shù)多個(gè)點(diǎn)均能使

麗八麗取得最大值

答案：D

例7：（2015,福建）變量滿足約束條件

x+y>0

x-2y+2>0,若z=2x-y的最大值為2,則實(shí)數(shù)

nix-y<0

機(jī)等于（）

A.-2B.-1C.1D.2

思路：本題約束條件含參，考慮先處理常系數(shù)不等式，

作出圖像，直線y=為繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的直線，從圖像

可觀察出可行域?yàn)橐粋€(gè)封閉三角形，目標(biāo)函數(shù)y=2x-z,若z最大則動(dòng)直線的縱截距最小，

可觀察到A為最優(yōu)解。A:《'=>A-----,------,則有

y=mx\2m-12機(jī)一1:

22m

z=2--------------=2,解得：m—1

2m-12m-1

答案：C

小煉有話說：當(dāng)線性約束條件含參數(shù)時(shí)，一方面可先處理常系數(shù)不等式，作出可行域的大致

范圍，尋找參數(shù)變化時(shí)，可行域的共同特征；另一方面對(duì)含參數(shù)的直線確定是否過定點(diǎn)，在

變化中尋找區(qū)域的規(guī)律。找到共同的最優(yōu)解所滿足的方程，便可根據(jù)最值求出參數(shù)

x<\

例8：在約束條件，x—>+加220下，若目標(biāo)函數(shù)z=—2x+y的最大值不超過4,則實(shí)數(shù)加

x+y-l>0

的取值范圍是()

A.(-V3,V3)B.[o,G]C,[-V3,o]D,[-73,Vs]

思路：先做出常系數(shù)直線，動(dòng)直線x-y+m?=0時(shí)注意到

nr>0,斜率為常數(shù)1,且發(fā)現(xiàn)圍成的區(qū)域恒為一個(gè)三角形。

目標(biāo)函數(shù)y=2x+z,通過圖像可得最優(yōu)解為

X+y-]=0|I-/??21+m2

-y+m2-012'2所以

一1一機(jī)21+m23,1,31「/rr-~\

Z=-2------1-----——ITT—,則一IYV2—<4解仔：171€—\/3,5/3

max222222L」

答案：D

x-y>0

例9：若變量滿足約束條件,x+yV2,若z=ox+y的最大值為4,則。=()

A.3B.2C.-2D.-3

思路：如圖作出可行域，目標(biāo)函數(shù)為y=-ax+z,由于a決定直線的方向，且約束條件中的

直線斜率有正有負(fù)。所以先考慮a的符號(hào)：

當(dāng)一a>0=a<0時(shí)，此時(shí)與y=x的斜率進(jìn)行比較：

若一aNl=aW-l,則z的最大值為0,不符題意；

若0<—a<l=-l<a<0,則最優(yōu)解為A(l,l),代入解得

。=3與初始范圍矛盾，故舍去；當(dāng)一a<0=a>0時(shí)，直線與

x+y=2斜率進(jìn)行比較：

若一。<一1=。>1,則最優(yōu)解為3(2,0),代入解得a=2,符合題意

若a=l,可得z的最大值為2,不符題意，舍去

若0>—a>—1=0<a<1,則最優(yōu)解為代入解得a=3與初始范圍矛盾，舍去

綜上所述：a=2

答案：B

小煉有話說：（1）目標(biāo)函數(shù)的直線陡峭程度不同，會(huì)導(dǎo)致最優(yōu)解不同，所以當(dāng)斜率含參時(shí)，

可在約束條件中尋找斜率與目標(biāo)函數(shù)斜率同號(hào)的直線，則這些直線的斜率通常是分類討論的

分界點(diǎn)。

（2）本題也可分別假設(shè)可行域3個(gè)頂點(diǎn)為最優(yōu)解，求出。的值，再帶入驗(yàn)證。

3x-y-240

例10：設(shè)滿足約束條件<x—yNO，若目標(biāo)函

x>0,y>0

數(shù)z=ax+hy[a>O,b>0）的最大值為2,則一+[的最

小值是（）

258

A.—B.-C.2D.4

63

思路：先做出可行域，目標(biāo)函數(shù)

（17

z=ax+by=>y=——x+—,由。>0,力>0可得直線的斜率為負(fù)，所以由圖像可得最大值

bb

,c2111(11\,xba\n

在（1,1）處取得，即z=a+b=2,所以—i—=——i—\(a+b}=—2H--1—>2

1mxab21abP'2(ab)

答案：C

小煉有話說：本題判斷出斜率為負(fù)是解題的關(guān)鍵，從而能迅速通過平移直線得到最優(yōu)解，而

后與均值不等式結(jié)合求出最值

三、歷年好題精選

x+y-2>0

1、（2016,衡陽聯(lián)考）如果實(shí)數(shù)滿足條件—140,則z=—匚的最小值為L,

[y--2Ko-x+a2

則正數(shù)a的值為

y<x-1

2、（2014,溫州中學(xué)三月考）已知實(shí)數(shù)滿足xW3,則上的最小值是

v

x+5^>4'

m-njc+y>Q

3、若點(diǎn)（1,1）在不等式組<2〃ix-〃y—4WO所表示的平面區(qū)域內(nèi)，則/??+"的取值范圍是

ivc>3y-3m

x-”0

（尤+y）+y2

4、（2016,南昌二中四月考）已知實(shí)數(shù)滿足,x+y-5<0,則'）的取值范

x2+2y2

、1，1

y>—x+—

44

圍是________

x-y-2<0

X

5、設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足?x+2y-5>0，則-土的取值范圍為（）

Xy

y-2<0

工2「c「831r「c3一

A.-,2B.C.---,—D.0,一

l_3J"3'_L32jL2_

'2x+jp>4

6、設(shè)實(shí)數(shù)滿足《x-yN—1,則z=x+y為（）

x-2i

A.有最小彳直2,最大值3B.有最小值2,無最大值

C.有最大彳直3,無最小值D.既無最小值，也無最大值

\x>0

匕的最小值是（）

7、設(shè)滿足約束條件：<y>x，則上

X+1

4x+3y<12

A.2B.3C.4D.5

x+y-2>0

8、（2016,湖南師大附中月考）若實(shí)數(shù)滿足?y-x-\<0,設(shè)〃=x+2y,u=2x+y

X<1

則2的最大值為（）

V

57

A.1B.-C.-D.2

45

x-y<0

9、（2015,北京）若滿足，x+y<1,則z=x+2）的最大值為（）

x>0

3

A.0B.1D.2

2

4x+5y>8

10、（2015,廣東）若變量滿足約束條件<14x43，則z=3x+2y的最小值為（）

0<y<2

.31,23

A.—B.6匚---D.4

55

x-l>0

11、（2015,新課標(biāo)1）若滿足約束條件，x-y<0,則上的最大值為________

X

x+y-4<0

答案：3

\x-y+l>0

12、（2015,新課標(biāo)II）若滿足約束條件<x—2y?0,則2=%+y的最大值為一

x+2y-240

x-y>0

13、（2015,山東）已知羽y滿足約束條件<x+y42,若z=分+y的最大值為4,則〃=

y>0

（）

A.3B.2C.—2D.—3

x+y-2>0

14、（2014,北京）若滿足約束條件,依->+220,且z=y-尤的最小值為-4,則女

y>0

的值為（）

A.2B.—2C.—D.

22

習(xí)題答案：

1、答案：1

X-1'|I

解析：根據(jù)約束條件畫出可行域，可知4—時(shí)，2遍=一即——=-=>0=1

7=121+a2

2、答案：4

解析：設(shè)2=上，則有f=zy,則可知拋物線與不等式可行域有公共點(diǎn)，作出可行域，如圖

y

可知當(dāng)y=x-l與拋物線相切時(shí)，此時(shí)z取得最小值，聯(lián)立方程

?2_,

■"=z)'+z=o,所以判別式A=z2—4z=0nz=4

)=xT

9

3、答案：—,61

10

m-nx+y>0m-n+l>0

作出可行域，加2+〃2可視為

解析：將（1,1）代入一〃y—4W0可得:<2m-H-4<0,

nx>3y-3m3m+-3>0

點(diǎn)(〃?,〃)到原點(diǎn)距離的平方。結(jié)合圖像可知：(5,6)到原點(diǎn)距離最大，即(>+”2)心=61原

點(diǎn)到直線3機(jī)+〃-3=0的距離為所以(機(jī)2+〃2)=2

10''min1Q

135

4、答案:

~9,3

22.2

（x++yX

解析：z=（，力/1+——7,其中％=2可視為(x,y)與(0,0)

x2+2y21+高

1+2用

連線的斜率，作出可行域，數(shù)形結(jié)合可得：直線y=依與

)在第一象限相切時(shí)，上取得最大值，解得：

z=l+%i9135

,+,而ke[l,2]時(shí)，2%+一63,-,所以ze

1+2公^1k22

k

5、答案：C

解析：令，=）,

作出可行域，可知f可視為（x,y）,（0,0）連線的斜率，fe2

XT

1I?1X3

且〃=r——為EW-,2關(guān)于，的增函數(shù)，所以,

t3332

6、答案：B

解析：作出可行域（為開放區(qū)域），再平移直線y=-X+Z即可得到Z在（2,0）處達(dá)到最小值,

即Zmm=2,但沒有最大值

7、答案：B

x+2y+3,y+1,y+1

解析：u=-------:------=1+2---------,則n4l=--------可視為可行域中的點(diǎn)（X,），）與（-1,-1）連

X+1X+1X+1

線的斜率，作出可行域可得：Ze[1,5],所以〃的最小值為3

8、答案：C

13

解析：方法一：幺=2=上二131Y

=—I—,，其中j為可行域中的點(diǎn)（x,y）

v2x4-y2x+y22

2-----F1

y

X

與原點(diǎn)（0,0）連線斜率上的倒數(shù)，作出可行域可知：所以;e-,1,從而可計(jì)算

3

,u

出一￡

V

2v-u

x---------

u—x+2y3

方法二：由＜可得：，代入到