重難點(diǎn)01集合與常用邏輯用語(yǔ)（9種解題模型與方法） -2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)考試滿(mǎn)分全攻略（人教A版2019必修第一冊(cè)）（解析版）

重難點(diǎn)01集合與常用邏輯用語(yǔ)（9種解題模型與方法）

題型山元素、了集、集合的個(gè)數(shù)

題型?：數(shù)軸法解集合問(wèn)題

題型六：推出法解充分必要條件

型I元京集合之間的關(guān)系求參數(shù)范用

集合與常用邏輯用語(yǔ)題型七：集合法解充分必要條件

題型三venn圖法解集合問(wèn)題

題型八：充分、必要條件的應(yīng)用

g型四：集合交、并、補(bǔ)全的運(yùn)算

題型九：用詞命題及其否定

Q能力拓展

題型一：數(shù)軸法解集合問(wèn)題

1.集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用

【解題方法點(diǎn)撥】

1.按照子集包含元素個(gè)數(shù)從少到多排列.

2.注意觀察兩個(gè)集合的公共元素，以及各自的特殊元素.

3.可以利用集合的特征性質(zhì)來(lái)判斷兩個(gè)集合之間的關(guān)系.

4.有時(shí)借助數(shù)軸，平面直角坐標(biāo)系，韋恩圖等數(shù)形結(jié)合等方法.

【命題方向】通常命題的方式是小題，直接求解或判斷兩個(gè)或兩個(gè)以上的集合的關(guān)系，可以與函數(shù)的定義

域，三角函數(shù)的解集，子集的個(gè)數(shù)，簡(jiǎn)易邏輯等知識(shí)相結(jié)合命題.

2.集合關(guān)系中的參數(shù)取值問(wèn)題

【解題方法點(diǎn)撥】

求參數(shù)的取值或取值范圍的關(guān)健，是轉(zhuǎn)化條件得到相應(yīng)參數(shù)的方程或不等式.本題根據(jù)元素與集合之間的

從屬關(guān)系得到參數(shù)的方程，然后通過(guò)解方程求解.求解中需注意兩個(gè)方面：一是考慮集合元素的無(wú)序性，

由此按分類(lèi)討論解答，二是涉及其它知識(shí)點(diǎn)例如函數(shù)與方程的思想，函數(shù)的零點(diǎn)，恒成立問(wèn)題等等.

【命題方向】

集合中的參數(shù)取值范圍問(wèn)題，一般難度比較大，幾乎與高中數(shù)學(xué)的所以知識(shí)相聯(lián)系，特別是與函數(shù)問(wèn)題結(jié)

合的題目，涉及恒成立，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等知識(shí)命題，值得重視.

3.交集及其運(yùn)算

【解題方法點(diǎn)撥】解答交集問(wèn)題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解.不能把“或”與“且”混用;

求交集的方法是：①有限集找相同；②無(wú)限集用數(shù)軸、韋恩圖.

【命題方向】掌握交集的表示法，會(huì)求兩個(gè)集合的交集.

命題通常以選擇題、填空題為主，也可以與函數(shù)的定義域，值域，函數(shù)的單調(diào)性、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性等聯(lián)

合命題.

4.交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算

【解題方法點(diǎn)撥】直接利用交集、并集、全集、補(bǔ)集的定義或運(yùn)算性質(zhì)，借助數(shù)軸或韋恩圖直接解答.

【命題方向】理解交集、并集、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，每年高考一般都是單獨(dú)命題，一道選擇題或填空題，屬

于基礎(chǔ)題.

5.充分條件與必要條件

【解題方法點(diǎn)撥】

充要條件的解題的思想方法中轉(zhuǎn)化思想的依據(jù)；解題中必須涉及兩個(gè)方面，充分條件與必要條件，缺一不

可.證明題目需要證明充分性與必要性，實(shí)際上，充分性理解為充分條件，必要性理解為必要條件，學(xué)生

答題時(shí)往往混淆二者的關(guān)系.判斷題目可以常用轉(zhuǎn)化思想、反例、特殊值等方法解答即可.

判斷充要條件的方法是：

①若p"q為真命題且qnp為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；

②若p=q為假命題且qnp為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；

③若p=q為真命題且q0P為真命題，則命題p是命題q的充要條件；

④若pnq為假命題且qnp為假命題，則命題p是命題q的既不充分也不必要條件.

⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰(shuí)大誰(shuí)必要，誰(shuí)小誰(shuí)充分”的原則，判斷命題p與命題q

的關(guān)系.

【命題方向】

充要條件是學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)開(kāi)始，或者沒(méi)有上學(xué)就能應(yīng)用的，只不過(guò)沒(méi)有明確定義，因而幾乎年年必考內(nèi)容，

多以小題為主，有時(shí)也會(huì)以大題形式出現(xiàn)，中學(xué)階段的知識(shí)點(diǎn)都相關(guān)，所以命題的范圍特別廣.

選擇題（共2小題）

1.（2021秋?武漢期末）己知集合A={x|-3WxV2},8={x|x'l},則AAB=（）

A.{x|x2-3}B.{小》I}C.{x|-3^x<1}D.{x|lWx<2}

【分析】直接根據(jù)交集的定義即可求出.

【解答］解：A={X-3WxV2},B={x|x21},則ACB={x|lWx<2}.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查交集的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意交集定義的合理運(yùn)用.

2.（2021秋?新余期末）已知（x+a）2-16>0"的必要不充分條件是“xW-2或x23"，則實(shí)數(shù)a的最大

值為（)

A.-2B.-1C.0D.1

【分析】由(x+a)2-16>0得x<-4-a或x>4.a,根據(jù)題意得-2或x23}真包含{x|x<-4-

?；騲>4-。},以此可求得。的最大值.

【解答】解：由(x+〃)2-16>0得x<-4-?；騲>4-a,根據(jù)題意得-2或123}真包含{RxV

-4-?；驘o(wú)>4-〃},

..f-4-a<-2；解得一2WaWl,.?.實(shí)數(shù)〃的最大值是1.

14-a》3

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次不等式解法及充分、必要條件應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

二.解答題(共3小題)

3.(2022秋?東莞市校級(jí)月考)設(shè)全集為R,集合A={x|xV5},B={x|x23},求：

(1)ACB；

(2)AUB；

(3)(CRA)A(CRB)；

(4)CR(AAB).

【分析】根據(jù)集合的交并補(bǔ)運(yùn)算性質(zhì)即可求出.

【解答】解：(1)AnB={x|x<5}n{4r23}={X3Wx<5}；

(2)AU8={4x<5}U{x|x23}=R；

(3)：A={4xV5},B={x|x23},

；.CRA={X僅25},CRB={X|XV3},

(CRA)A(CRB)=0；

(4)'：AHB={x\3^x<5},

：.QR(AAB)={加<3或X25}.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了集合的交并補(bǔ)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

4.(2021秋?成都期末)集合4={4?+2%-3<0},B={xC={x|2aWxWa+3,aeR).

⑴求(CRA)n&

(2)請(qǐng)從①BCC=C,②8CC=0,③C些B這三個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【分析】(1)解不等式化簡(jiǎn)集合A=(-3,1),B=(-1,5),再求CRA,最后求(CRA)OB；

(2)選①時(shí)，可得C&B,從而按C是否為空集分類(lèi)討論即可：

選②時(shí)，按C是否為空集分類(lèi)討論即可；

選③時(shí)，由題意知C莖B,從而按C是否為空集分類(lèi)討論即可.

【解答】解：(1)：/+2x-3<0,(x-1)(x+3)<0,

解得，-3<x<l,故人=(-3,1)；

x+1x+1

解得，-l<x<5,故B=(-1,5)；

故CRA=(-8,-3]u[1,+8),

故(CRA)AB=[1,5)；

(2)選①：；Bnc=c,;.CUB,

當(dāng)C=0,即2“>“+3,”>3時(shí)，滿(mǎn)足題意：

當(dāng)CW0,即2aWa+3,aW3時(shí),

2a>-1

a+3<5

解得，-工<。<2；

2

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍為(-工，2)U(3,+8).

2

選②：當(dāng)C=0,BP2a>a+3,a>3時(shí)，滿(mǎn)足題意；

當(dāng)CW0,即2a這a+3,“W3時(shí)，

a+3W-1或2心5,

解得，。忘-4或。、5；

2

故aW-4或至

2

綜上所述，實(shí)數(shù)”的取值范圍為(-8,-4]U也，+8).

2

選③：由題意知，C呈B,

當(dāng)。=0,即2〃>〃+3,。>3時(shí)，滿(mǎn)足題意；

當(dāng)CW0,即2aW〃+3,時(shí)，

2a>-1

a+3<5

解得，

2

綜上所述，實(shí)數(shù)〃的取值范圍為(-工，2)U(3,+8).

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了集合的化簡(jiǎn)與集合間關(guān)系的應(yīng)用，同時(shí)考查了不等式的解法，屬于中檔題.

5.(2022秋?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中)已知函數(shù)/(x)=>(x+3)(4-x)的定義域?yàn)榧螦，集合B={x||x-

a}.

(I)求集合A：

(0)若全集U=R,。=2,求ACCuB；

(III)若3日，求a的取值范圍.

【分析】(I)根據(jù)使得函數(shù)f(x)=：(x+3)(4-X)的表達(dá)式有意義可求得集合A；

(II)根據(jù)集合運(yùn)算定義運(yùn)算即可；

(III)根據(jù)集合間關(guān)系可解決此題.

【解答】解：(I)要使得函數(shù)/(x)=:(x+3)(4-x)的表達(dá)式有意義,

則(x+3)(4-x)20,解得X1-3,4],...函數(shù)定義域4=[-3,4]；

(II)當(dāng)a=2時(shí),B={x\\x-l|<a}=(-1,3),CCuB=[-3,4]D[(--1]U[3,+°°)]=[-

3,-1]U[3,4]；

(III)8={x|l-a<x<\+a]

當(dāng)8=0時(shí)，l-a2l+a即aWO時(shí)滿(mǎn)足題意，

\>0

當(dāng)3W0時(shí)，由8UA得，解得0<aW3,

,l+a<4

綜上，。的取值范圍是(-8,3j.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)定義域求法、集合運(yùn)算、集合間關(guān)系、不等式組解法，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.屬于

中檔題.

題型二：由元素集合之間的關(guān)系求參數(shù)范圍

1.元素與集合關(guān)系的判斷

【解題方法點(diǎn)撥】

集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問(wèn)題時(shí)要特別注意.分類(lèi)討論的思想方法常用于解決集合問(wèn)題.

2.集合的表示法

【解題方法點(diǎn)撥】

在掌握基本知識(shí)的基礎(chǔ)上，(例如方程的解，不等式的解法等等)，初步利用數(shù)形結(jié)合思想解答問(wèn)題，

例如數(shù)軸的應(yīng)用，私〃"圖的應(yīng)用，通過(guò)轉(zhuǎn)化思想解答.注意解題過(guò)程中注意元素的屬性的不同，例如：{x|2x

-1>0}表示實(shí)數(shù)x的范圍；{(x,y)|y-2x=0}表示方程的解或點(diǎn)的坐標(biāo).

【命題方向】

本考點(diǎn)是考試命題?？純?nèi)容，多在選擇題，填空題值出現(xiàn)，可以與集合的基本關(guān)系，不等式，簡(jiǎn)易邏

輯，立體幾何，線(xiàn)性規(guī)劃，概率等知識(shí)相結(jié)合.

3.集合的相等

【解題方法點(diǎn)撥】

集合A與集合B相等，是指A的每一個(gè)元素都在8中，而且8中的每一個(gè)元素都在A中.解題時(shí)往

往只解答一個(gè)問(wèn)題，忽視另一個(gè)問(wèn)題；解題后注意集合滿(mǎn)足元素的互異性.

【命題方向】

通常是判斷兩個(gè)集合是不是同一個(gè)集合；利用相等集合求出變量的值；與集合的運(yùn)算相聯(lián)系，也可能

與函數(shù)的定義域、值域聯(lián)系命題，多以小題選擇題與填空題的形式出現(xiàn)，有時(shí)出現(xiàn)在大題的一小問(wèn).

4.集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用

【解題方法點(diǎn)撥】

1.按照子集包含元素個(gè)數(shù)從少到多排列.

2.注意觀察兩個(gè)集合的公共元素，以及各自的特殊元素.

3.可以利用集合的特征性質(zhì)來(lái)判斷兩個(gè)集合之間的關(guān)系.

4.有時(shí)借助數(shù)軸，平面直角坐標(biāo)系，韋恩圖等數(shù)形結(jié)合等方法.

【命題方向】通常命題的方式是小題，直接求解或判斷兩個(gè)或兩個(gè)以上的集合的關(guān)系，可以與函數(shù)的定義

域，三角函數(shù)的解集，子集的個(gè)數(shù)，簡(jiǎn)易邏輯等知識(shí)相結(jié)合命題.

5.子集與真子集

【解題方法點(diǎn)撥】

注意真子集和子集的區(qū)別，不可混為一談，AUB,并且BUA時(shí)，有A=B,但是AuB,并且8uA,是

不能同時(shí)成立的；子集個(gè)數(shù)的求法，空集與自身是不可忽視的.

【命題方向】

本考點(diǎn)要求理解，高考會(huì)考中多以選擇題、填空題為主，曾經(jīng)考查子集個(gè)數(shù)問(wèn)題，常常與集合的運(yùn)算,

概率，函數(shù)的基本性質(zhì)結(jié)合命題.

6.集合中元素個(gè)數(shù)的最值

【解題方法點(diǎn)撥】

求集合中元素個(gè)數(shù)的最大（?。┲祮?wèn)題的方法通常有：類(lèi)分法、構(gòu)造法、反證法、一般問(wèn)題特殊化、

特殊問(wèn)題一般化等.需要注意的是，有時(shí)一道題需要綜合運(yùn)用幾種方法才能解決.

7.交集及其運(yùn)算

【解題方法點(diǎn)撥】解答交集問(wèn)題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解.不能把“或”與“且”混用；

求交集的方法是：①有限集找相同；②無(wú)限集用數(shù)軸、韋恩圖.

【命題方向】掌握交集的表示法，會(huì)求兩個(gè)集合的交集.

命題通常以選擇題、填空題為主，也可以與函數(shù)的定義域，值域，函數(shù)的單調(diào)性、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性等聯(lián)

合命題.

8.交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算

【解題方法點(diǎn)撥】直接利用交集、并集、全集、補(bǔ)集的定義或運(yùn)算性質(zhì)，借助數(shù)軸或韋恩圖直接解答.

【命題方向】理解交集、并集、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，每年高考一般都是單獨(dú)命題，一道選擇題或填空題，屬

于基礎(chǔ)題.

選擇題（共7小題）

1.（2022秋?廣州月考）已知集合4={小=2巾-1,m6Z},8={小=2〃，neZ},且xi,X2GA,X3EB,則

下列判斷不正確的是（）

A.Xi,X2&AB.X2*X3&BC.x\+xi&BD.XI+X2+X36A

【分析】由題意可得4為奇數(shù)集，B為偶數(shù)集,又xi,A2G/1,X3EB,從而可得x\+xi&B,

X1+JQ+X3CB,從而得解.

【解答】解：''A={x\x=2m-\,mGZ）,B={x[x=2n,nGZ）,

???A為奇數(shù)集，B為偶數(shù)集，

又XI,X2&A,X3EB,

/.XI,X2GA,X2*X3&B,X\+X1EB,X1+JV2+X368,

B,C正確，。錯(cuò)誤.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查元素與集合的關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.

2.（2022秋?新羅區(qū)校級(jí)月考）下列元素與集合的關(guān)系判斷正確的是（）

A.OeNB.neQC.D.-1任Z

【分析】根據(jù)集合N,Q,R,Z的定義即可求解.

【解答】解：根據(jù)集合MQ,R,Z的定義易得A正確，其余選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選:A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合N,。，R,Z的定義，屬基礎(chǔ)題.

3.（2022秋?武清區(qū)校級(jí)月考）下列各式中關(guān)系符號(hào)運(yùn)用正確的是（）

A.1^{0,1,2}B.06{0,1,2）C.0c{2,0,1}D.{l）G{0,1,2）

【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，集合與集合的關(guān)系，空集的概念即可求解.

【解答】解：對(duì)A,1,2},；.A錯(cuò)誤；

對(duì)8,：02O,1,2},錯(cuò)誤;

對(duì)C,：0a{2,0,1）,；.C正確；

對(duì)。，：{1泛{0,1,2},.?.￡）錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查元素與集合的關(guān)系，集合與集合的關(guān)系，空集的概念，屬基礎(chǔ)題.

2

4.（2022秋?雁塔區(qū)校級(jí)月考）若集合A={（〃?，〃）上空曲1=1（）2021,%z,〃€N*},則集合A的元

2

素個(gè)數(shù)為（）

A.4042B.4044C.20212D.20222

【分析】將條件變形為，7（/2%+1）=22022x52021,然后討論〃為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況，進(jìn)而通過(guò)列舉法

求得答案.

【解答】解：由題意,n（〃+2〃?+1）=22022X52021,

若〃為偶數(shù)，〃+2"?+1為奇數(shù)，

…r202120221

若"=22022,n+2m+1=5202,m=-....-O....-GZ,

2

以此類(lèi)推，n=22022X5,n=22022X52021,共2022個(gè)”，每個(gè)〃對(duì)應(yīng)一個(gè)m€Z；

同理，若"為奇數(shù)，〃+2/n+l為偶數(shù)，此時(shí)〃=5°,51,52021,共2022個(gè)“，每個(gè)"對(duì)應(yīng)一個(gè)“eZ.

于是，共有4044個(gè)〃，每一個(gè)〃對(duì)應(yīng)一個(gè)相滿(mǎn)足題意.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查元素與集合的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

5.（2022秋?廣州月考）若則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

ax-l

A.a>\B.C.或a〈0D.。>1或

【分析】因?yàn)閘￡3」一W0},所以分當(dāng)x=l時(shí)，無(wú)意義和_l>o兩種情況，分別求解再求

ax-1ax-1ax-l

并集即可.

【解答】解：因?yàn)?至國(guó)^^《0},所以分如下兩種情況：

ax-l

①當(dāng)X=1時(shí)，---W0無(wú)意義，即4-1=0,解得Q=l.

ax-l

②當(dāng)X=1時(shí)，即」->0,解得a>l.

ax-la-1

綜上所述，

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查元素和集合之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

6.（2022秋?棲霞區(qū)校級(jí)期中）已知集合且加Z},N={x\x=IL-l,〃€Z},2={小=昱+」,

62326

pEZ},則集合M,N,尸的關(guān)系為（）

A.M=N=PB.MQN=PC.MGNGPD."GN,NAP=0

【分析】先化簡(jiǎn)M,M再由子集的概念與相等集的概念即可求解.

【解答】解：?..〃={X卜=包工?,?7€Z}={X|X=曳S±L,依Z},

66

^={x|x=3nz2_,neZ}={x|x=2k±L,&ez},

66

P={x|x=R+工，pez}={x|x=3p+l,pez},

266

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查子集的概念與相等集的概念，屬基礎(chǔ)題.

7.（2022秋咱云區(qū)校級(jí)月考）設(shè)集合4=3/+公+1，0}滿(mǎn)足RUA,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.0<a<4B.0?4C.0WaW4D.0<aW4

【分析】將集合4={況以2+以+］，0}滿(mǎn)足轉(zhuǎn)化為Vx6R,a^+ax+l20恒成立，分a=0和aWO兩種

情況討論，即可求解.

【解答】解：由題意可知，A=R,即VxCR,a^+ax+l》。恒成立，

①當(dāng)a=0時(shí)，120,恒成立；

cfa>0

②當(dāng)a/0時(shí)，，解得0<aW4；

,△=a-4a<0

綜上所述，0WaW4.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用，集合關(guān)系中的參數(shù)問(wèn)題，難度中檔.

多選題（共1小題）

（多選）8.（2022秋咱云區(qū)校級(jí)月考）已知4={/+/為yEZ},且歸4,b&A,則下列結(jié)論中正確是（）

A.abEAB.a+bWA

C.c^b&AD.a202ih2022eA

【分析】先舉反例判斷出BC錯(cuò)誤，再由本題是多選題，利用排除法能求出A。正確.

【解答]解：當(dāng)°=產(chǎn)+12=2,6=。2+22=4時(shí)，

a+b=6iA,故選項(xiàng)8錯(cuò)誤；

當(dāng)4=12+12=2,。=。2+22=4時(shí)，a2b=]6《A,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

由排除法得A。正確.

故選：AD.

【點(diǎn)評(píng)】利用集合中元素的性質(zhì)結(jié)合多選題解題規(guī)則，利用排除法能準(zhǔn)確求解，是基礎(chǔ)題.

三.填空題(共5小題)

9.(2022秋?徐匯區(qū)校級(jí)月考)已知集合M={(x,y)\3x+4y-12<0,x,yGN,孫>0},則集合”的非空

真子集有6個(gè).

【分析】直接分類(lèi)討論即可求解集合M,從而得集合M的非空真子集個(gè)數(shù).

【解答】解：'：M={(x,y)\3x+4y-12<0,尤，>€N,xy>0},

當(dāng)x=l時(shí)，4y<9,y=l,2,

當(dāng)x=2時(shí)，4y<6,y—1,

當(dāng)x=3時(shí)，4y<3,y無(wú)解，

：.M={(1,1),(1,2),(2,1)},

的非空真子集有{(1,1)},{(1,2)},{(2,1)},

{(1,1),(1,2)},{(1,1),(2,1)},{(1,2),(2,1)供6個(gè)，

故答案為：6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查集分類(lèi)討論思想，集合的子集個(gè)數(shù)問(wèn)題，屬基礎(chǔ)題.

10.(2022秋?徐匯區(qū)校級(jí)月考)已知集合A={My=J7i5?遙三},集合B={x|p+l-1},若8UA,

則實(shí)數(shù)p的取值范圍是(-8,3].

【分析】先化簡(jiǎn)A集合，再對(duì)B分8=0與8W0兩類(lèi)討論即可求解.

【解答】解：????!=[-2,5],又B="b+lWxW2p-I},且BUA,

二①8=0時(shí)，p+l>2p-1,.,./?<2；

rp>2

②BW0時(shí)，.p+l>-2>，2WpW3,

2D-1<5

綜合可得實(shí)數(shù)P的取值范圍是(-8,3].

故答案為：(-8,3].

【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的關(guān)系，分類(lèi)討論思想，屬基礎(chǔ)題.

11.(2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考)已知函數(shù)/(x)=/+以，記集合A={W(x)=0,xGR),8={x*(x)]

=0,x€R},若4=BW0,則n的取值范圍是[0,4).

【分析】由/(x)=/+以=0得x=0或尤=-〃；分類(lèi)討論求”的取值范圍即可.

【解答】解：(x)=/+”x=0,

/.x=0或》=-n；

①當(dāng)〃=0時(shí)，A={0},8={0},

故成立；

②當(dāng)〃W0時(shí)，A={0,-n],

?.?川(尤)]=0,

(x)+nf(x)=0,

/./(x)=0或/(x)--n,

.".x2+nx=0或，+〃x=-n,

.,.x=0或x—-〃或/+?%=-n,

"：A=B,

方程x2+nx=-n無(wú)解，

即方程/+以+〃=0無(wú)解，

即△—rr-4〃<0,

故0VZ4,

綜上所述，〃的取值范圍是[0,4).

故答案為：[0,4).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了集合的應(yīng)用及分類(lèi)討論的思想方法的應(yīng)用，屬于中檔題.

12.(2022秋?白云區(qū)校級(jí)月考)已知4=口€對(duì)，-如+/-3=0},且滿(mǎn)足A={x|x>0},則“的取值范圍是

{"I">V^或a<-2}.

【分析】由已知對(duì)A是否為空集進(jìn)行分類(lèi)討論，然后結(jié)合集合的包含及二次方程根的存在條件可求.

【解答】解：,.,A={xeR|x2-ax+a2-3=0},且滿(mǎn)足AU{中>0},

當(dāng)A=0,即AMIZ-S/VO,解得a>2或a<-2,

當(dāng)時(shí)，由題意得/-以+/-3=0有兩個(gè)正根，

12-3a2>0_

故，a>0,解得禽<a<2,

a2-3>0

綜上，〃的取值范圍為{而〉遙或a<-2}.

故答案為：或

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查根據(jù)集合的求參數(shù)，體現(xiàn)了分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，屬于中檔題.

13.（2022?浦東新區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）用|川表示非空集合A中元素的個(gè)數(shù)，定義A*B=["'出?

|B|-|A|.|B|>|A|

若A={0,1},8={力（?+ox）（/+av+3）=0},A*B=\,則實(shí)數(shù)a的所有可能取值構(gòu)成集合S,則S=

[0,-273,2?}_（請(qǐng)用列舉法表示）.

【分析】根據(jù)題意，可得囿=2,則可通過(guò)討論網(wǎng)與|用的大小，進(jìn)而得到結(jié)果，具體過(guò)程詳見(jiàn)解析.

【解答】解：根據(jù)題意，A={0,1},則有囿=2,

又因?yàn)锽={x|（f+ov）（/+or+3）=0},

即得|B|表示方程（/+以）（/+辦+3）=0實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，

解這個(gè)方程得①/+以=0,或②/+ov+3=0

解方程①得xi=0,xi--a,

解方程②得，若J-12>0,即a〉蓊或a<-蓊時(shí)，方程有兩個(gè)不等實(shí)根分別為卷-.2-電,

x32

-aWa2-12

x4=2；

若。2-12=0,即a=-2\行或a=W^時(shí)，方程有且只有一個(gè)實(shí)根；

若廿-12<0,即-蓊<a<蓊時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

綜上可得，⑺當(dāng)a>2AB或a<-2V?時(shí)，|陰=4；

（〃）當(dāng)a=-2?或a=2V^時(shí)，1陰=3；

（/〃）當(dāng)a=0時(shí)，網(wǎng)=1

所以（1）當(dāng)囿2|8|時(shí)，A*8=|A|-網(wǎng)=1,即得|8|=1,

此時(shí)可得。=0；

（2）當(dāng)|A|V網(wǎng)時(shí)，即得圜=3,此時(shí)可得a=-2、行或a=W^；

故答案為：{0,-2A/3,2A/3）.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一元二次方程根的求解，以及分類(lèi)討論在解題中的使用，屬于中檔題.

四.解答題（共7小題）

14.（2022秋?桐城市校級(jí)月考）給定非空數(shù)集A,若對(duì)于任意a,beA,有a+旄A,a-b&A,則稱(chēng)集合A

為閉集合.

(1)判斷集合Ai={-4,-2,0,2,4),A2={X|X=3人,依Z}是否為閉集合，并加以證明;

(2)證明：已知4,8是閉集合，且AUB是閉集合，貝"AUS或BUA.

【分析】(1)根據(jù)閉集合的定義判斷即可求解；

(2)根據(jù)閉集合的定義證明即可.

【解答】解：(1)因?yàn)?eAi,2GAi,4+2—6fiAi,所以4不是閉集合；

任取x,y&B,設(shè)x=3，w,y—3n,m,〃6Z,則x+y=3〃?+3〃=3(m+n)且，“+”6Z,

所以x+)，6B,同理，x-yEB,故B為閉集合；

證明：(2)任取x€A,可得x,yGAUB,因?yàn)锳UB是優(yōu)集，

則x+yCAUB,x-yeAUB,

若x+yCB,則彳=(x+y)-yGB,此時(shí)AU8；

若x+y€A,貝!])，=(x+y)-xEA,此時(shí)BUA.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查元素與集合的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

15.(2022秋?仁壽縣校級(jí)月考)已知集合2={x|-1WXW4},B={x|xV-2或x>5}.

(1)求CRA，(CRA)DB；

(2)若集合C={x[2m<xVm+l},且ElxeC,x€A為假命題.求機(jī)的取值范圍.

【分析】(1)直接進(jìn)行集合運(yùn)算即可得解；

(2)由題意可得AAC=0,再分類(lèi)討論即可求解.

【解答】解：(1)：A={xL1WXW4},B={x|x<-2或x>5},

CR/1=(-°O,-1)U(4,+8),

(CRA)CB=(…，-2)U(5,+0°)；

(2)V3xec,xeA為假命題,

/.V.r6C>.r?A為真命題，

.,.anc=0,

又A={x|-1WxW4},C={x|2〃?<x<〃?+l},

①當(dāng)C=0時(shí)，滿(mǎn)足題意，

②當(dāng)CW0時(shí)，又ACC=0,

.(2m<111+1或[2m<m+l

12m^4

解得mW-2,

綜合可得：機(jī)的取值范圍為(-8,-2]U[1,+8).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的基本運(yùn)算，分類(lèi)討論思想，屬基礎(chǔ)題.

16.(2022秋?閔行區(qū)校級(jí)月考)設(shè)A為非空集合，定義AXA={(x,y)|x,yEA](其中(x,y)表示有序

對(duì))，稱(chēng)AX4的任意非空子集R為A上的一個(gè)關(guān)系.例如A={0,1,2}時(shí)，AX4與{(0,0),(2,1)}

都是A上的關(guān)系.

設(shè)R為非空集合A上的關(guān)系.給出如下定義：

①(自反性)若對(duì)任意在4有(x,x)6R,則稱(chēng)R在A上是自反的；

②(對(duì)稱(chēng)性)若對(duì)任意(x,y)￡R,有(y,x)eR,則稱(chēng)R在4上是對(duì)稱(chēng)的；

③(傳遞性)若對(duì)任意(x,>'),(y,z)eR,有(x,z)GR,則稱(chēng)R在A上是傳遞的.

如果A上關(guān)系R同時(shí)滿(mǎn)足上述3條性質(zhì)，則稱(chēng)R為A上的等價(jià)關(guān)系.

任給集合Si,S2,…,Sm,定義S1US2U“?US”為{小WSl,X&S2,…，或尤集,}.

(1)若4={0,1,2},問(wèn)：4上關(guān)系有多少個(gè)？4上等價(jià)關(guān)系有多少個(gè)？(不必說(shuō)明理由)

(2)若集合A有〃個(gè)元素4的非空子集4,A2,…，A>?(1W,”W〃)兩兩交集為空集，且A=

AiUA2U-UA?,求證：R=(4X4)U(A2XA2)U-U(AmXAm)為等價(jià)關(guān)系.

(3)若集合A有〃個(gè)元素5》1),問(wèn)：對(duì)A上的任意等價(jià)關(guān)系上是否存在A的非空子集4,A2,…，

其中任意兩個(gè)交集為空集，KA=AiUA2U-UAm,使得R=(A1XA1)U(A2XA2)U-

uCAmXAm)?請(qǐng)判斷并說(shuō)明理由.

【分析】(1)先用列舉法寫(xiě)出集合AXA,其非空子集個(gè)數(shù)即為其關(guān)系個(gè)數(shù).等價(jià)關(guān)系也可用例舉法列出來(lái).

(2)要證R=(A1XA1)U(A2XA2)U-U(A,”X4?)為集合4上的等價(jià)關(guān)系，只需證集合R在集合4

上上滿(mǎn)不滿(mǎn)足自反性、對(duì)稱(chēng)性、傳遞性.

(3)只需判斷針對(duì)集合A上包含不同元素個(gè)數(shù)的子集4對(duì)應(yīng)的集合(4義4)UR即可.

【解答】解：(1)由題意得，AXA={(0,0),(0,I),(1,0),(1,1),(0,2),(2,0),(2,2),(1,

2),(2,1)},共有9個(gè)元素，

則有2叱1=512-1=511個(gè)非空子集，即A上的關(guān)系有511個(gè).

所有等價(jià)關(guān)系Ri={(0，0),(1,1),(2,2)},

R2={(0,0),(1,1),(2,2),(0,1),(1,0)},

R3={(0,0),(1,1),(2,2),(0,2),(2,0)},

R4={(0,0),(1,1),(2,2),(2,1),(1,2)},

R5={(0,0),(1,1),(22),(0,1),(1,0),(0,2),(2,0),(2,1),(1,2)},共有5個(gè).

(2)證明：令4={ai,ai,a3,???,an]

因?yàn)锳的非空子集Ai,A2,…，A,n(lWmW〃)兩兩交集為空集，且A=AiUA2U…LM,”，

設(shè)a’eA，(1WsW/nW"),則除了集合4外，其余集合不包含“$,

則{(磁，z)}￡(4X4),又因?yàn)?4X4)￡(AiXAi)U(A2XA2)U...U(AmXAm),

則(as,as)GR.即R在A上是自反的.

設(shè)as,at&A(IWfW/nW"),則除了集合4外，其余集合不包含a5,at,

則{(as,at),Cat,z)}U(AtXAt),又因?yàn)?4XA,)，(A,X4Z)c(4x4)U(A2XA2)U...U(Am

XAm)；

則(as,at)GR,(at,z)eR,即R在A上是對(duì)稱(chēng)的.

設(shè)as,at,ak&A(1W火WmW"),則除了集合At外，其余集合不包含a”at,ak,

則{(a”at),(as,ak),(at,a?)}U(4X4Q,

又因?yàn)?4XAQc)c(4XA1)U(A2XA2)U...U(AmXAQ；

則{(z,at)GR,(如，aOGR,(s,z)CR,即R在A上是傳遞的；

綜上所述，R=(A1XA1)U(A2XA2)U...U(AmXAm)為A上的等價(jià)關(guān)系.

(3)令4={41,“2,43,…，an](〃2l),

因?yàn)镽為4上的等價(jià)關(guān)系，則R為集合AXA={a,y)lx,y€A}的非空子集，

因?yàn)锳的非空子集Ai,A2,…，Am兩兩交集為空集，且A=4UA2U…UA,”，

設(shè)asGAs(1WSW/MW〃)，則除了集合4s外，其余集合不包含z,

則VasCA,必有(z,Z)6R,則(4X4)CR,

設(shè)at,atEA(1這《WfW/nC〃),則除了集合4外，其余集合不包含以,at,

則(a*,ak)6R,(at,at)GR.(at,at)GR,(ArXAr)UR,

設(shè)ax,ay,seAt(1WxWyWzWmW”)，則除了集合4外，其余集合不包含a1，ay,az,

則{(ax,a*),(“y,的)，(“z,a?)}[R,貝!](a*,a、,)eR,(“>,az)6R,生)CR,故(AxXAQ-

...不管集合4(lW,W/nW〃)中有幾個(gè)元素，都能保證(4X4)CR,

則7?=(4X4)U(A2XA2)U...U(AmXAm)；

綜上所述，對(duì)A上的任意等價(jià)關(guān)系R,存在A的非空子集Ai,A2,…，A,n,(1W%W"),

其中任意兩個(gè)交集為空集，且A=AIUA2U…U/U,

使得R=(A1XA1)U(A2X42)U...U(AmXAm\

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查元素與集合的關(guān)系，屬于中檔題.

17.(2022秋?于洪區(qū)校級(jí)月考)已知集合4=國(guó)0?+法+1=0,aGR,b&R},求：

(1)當(dāng)6=2時(shí)，A中至多只有一個(gè)元素，求”的取值范圍；

（2）當(dāng)a、b滿(mǎn)足什么條件時(shí),集合A為空集.

【分析】（1）化簡(jiǎn)方程為“/+級(jí)+1=0,分類(lèi)討論求解；

（2）按方程是否為二次方程分類(lèi)討論求解.

【解答】解：（1）由題意得，方程可化為a/+2r+l=0,

①當(dāng)〃=0時(shí)，方程可化為2x+l=0,

A=｛-成立；

2

②當(dāng)“W0時(shí)，

YA中至多只有一個(gè)元素，

/.△=22-4a<0,

解得421,

綜上所述，”的取值范圍為｛如/=0或｝；

（2）①當(dāng)“=0時(shí)，方程可化為法+1=0,

為空集，

：.b=0；

②當(dāng)aWO時(shí)，

VA為空集，

A=序-4a<0,

綜上所述，當(dāng)a=b=O或?qū)?4a<0（aWO）時(shí)，集合A為空集.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了方程的解的個(gè)數(shù)及集合中元素個(gè)數(shù)的應(yīng)用，應(yīng)用了分類(lèi)討論的思想，屬于中檔題.

18.（2022秋?伊川縣校級(jí)月考）已知集合4的元素全為實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足：若則上應(yīng)6人

l~a

（1）若a=-3,求出A中其他所有元素；

（2）0是不是集合4中的元素？請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)數(shù)托4再求出A中的元素.

【分析】（1）根據(jù)定義直接計(jì)算即可得到A中其他所有元素；

（2）先假設(shè)依定義判斷即可；取。=3,根據(jù)定義直接計(jì)算即可得到A中其他所有元素.

【解答】解：（1）由題意可知：-36A,則1+（七）=-<用,------J=2eA,―==2€A,上也

1-（-3）23「1-2

、2,3

-3GA,

所以A中其他所有元素為-工，1,2.

23

(2)

假設(shè)OEA,則工&=1￡A,而當(dāng)1EA時(shí)，上應(yīng)不存在，假設(shè)不成立，

1-0l-a

所以0不是A的元素，

取a=3,則lil=_2eA,1+(-2,=_工0,--------IgA—^-=3€4

1-31-(-2)321」

、32

所以當(dāng)364A中的元素是：3,-2,-1,1.

32

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查元素和集合之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

19.(2022秋?甘州區(qū)校級(jí)月考)已知集合A={x|/+2x-8<0},B={X|'^—<3卜C={xlx2-3ax+2a2<

0}.

(1)求AC8；

(2)若CM(ACS),求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【分析】(1)化簡(jiǎn)集合A、B,再求AQB即可;

(2)化簡(jiǎn)x2-3ax+2a2—(x-2a)(x-a)<0,分類(lèi)討論確定集合C,從而利用CQ(AAB)求實(shí)數(shù)a的

取值范圍.

【解答】解：(1)4={x|f+2x-8<0}={x|-4<x<2},

??1

■2^43,

-1

-3<0'

2-x

gp1-3(2-x)<Q,

2-x

即3x-5wo,

2-x

(3x-5)(x-2)

即

x-2盧0

解得X?；騲>2,

AAPlB={XI-4<x<|"}；

(2)x2-3ax+2a2=(x-2a)(x-a)<0,

①當(dāng)。>0時(shí),C={x\a<x<2a],

a〉-4

則2a<-1-

o

解得0<a<T"

6

②當(dāng)4=0時(shí)，C=0,成立；

③當(dāng)“V0時(shí)，C={x[la<x<a},

2a>-4

則15，解得-24<0.

a《不

綜上所述，〃的取值范圍是[-2,

6

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了集合的化簡(jiǎn)與運(yùn)算，同時(shí)考查了分類(lèi)討論的思想，屬于中檔題.

20.（2022春?東城區(qū)期末）設(shè)A是非空實(shí)數(shù)集，且0CA.若對(duì)于任意的x,都有孫6A,則稱(chēng)集合A

具有性質(zhì)為；若對(duì)于任意的x,yCA,都有三€A，則稱(chēng)集合A具有性質(zhì)P2.

y

（1）寫(xiě)出一個(gè)恰含有兩個(gè)元素且具有性質(zhì)P的集合A；

（2）若非空實(shí)數(shù)集A具有性質(zhì)出，求證：集合A具有性質(zhì)P；

（3）設(shè)全集U={x|xW0,x6R},是否存在具有性質(zhì)P的非空實(shí)數(shù)集A,使得集合CuA具有性質(zhì)放？若存

在，寫(xiě)出這樣的一個(gè)集合A；若不存在，說(shuō)明理由.

【分析】（1）根據(jù)題意直接寫(xiě)出即可.

（2）根據(jù)性質(zhì)P2可知1CA,分別說(shuō)明集合A中元素為1個(gè)、2個(gè)、大于2個(gè)時(shí)，集合中元素滿(mǎn)足性質(zhì)Pi

即可.

（3）由題意可知1eCuA,且CuA不是單元素集{1},令aeA,beCuA,ceCuA,且cKl,則可分別說(shuō)明當(dāng)“eCuA

與當(dāng)ac&A時(shí)矛盾.

【解答】解：（1）由題意可得恰含有兩個(gè)元素且具有性質(zhì)P的集合A={-1,1},

（2）若集合A具有性質(zhì)P2,不妨設(shè)

由非空數(shù)集A具有性質(zhì)P2,有曳=1￡A-

a

①若A={l}，易知此時(shí)集合A具有性質(zhì)P.

②若實(shí)數(shù)集A只含有兩個(gè)元素，不妨設(shè)A={1,?i},

由且解得切=-1，此時(shí)集合A具有性質(zhì)P.

al1

③若實(shí)數(shù)集A含有兩個(gè)以上的元素，不妨設(shè)不為1的元素“I,Q2CA,

則有」一€A，由于集合4具有性質(zhì)收，

al

所以有._!_=€A，這說(shuō)明集合A具有性質(zhì)P;

乙a11z

（3）不存在具有性質(zhì)Pi的非空實(shí)數(shù)集4,使得集合CuA具有性質(zhì)P2,

由于非空實(shí)數(shù)集4具有性質(zhì)P1,令集合B=CuA,

依題意不妨設(shè)a&A,

因?yàn)榧螧具有性質(zhì)尸2,所以旦=I€B，

b

若3={1},則上左曲否則leA,這與B={1}矛盾，

a

故集合B不是單元素集{1},

令且cWl,

①若ac€8,可得亙二￡B，即”€8，這與B=Cu4矛盾；

C

②若“ceA,由于所以L(fǎng)EB，因此c.L=ac€這與acE4矛盾，

aa

綜上可得：不存在具有性質(zhì)P\的非空實(shí)數(shù)集A,使得集合Cu4具有性質(zhì)P2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了集合的基本性質(zhì)，屬于中檔題.

題型三：venn圖法解集合問(wèn)題

Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算

【解題方法點(diǎn)撥】在解題時(shí)，弄清元素與集合的隸屬關(guān)系以及集合之間的包含關(guān)系，結(jié)合題目應(yīng)很好地使

用區(qū)〃〃圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算，利用直觀圖示幫助我們理解抽象概念.該〃〃圖解題，就必須能正確理解

題目中的集合之間的運(yùn)算及關(guān)系并用圖形準(zhǔn)確表示出來(lái).

【命題方向】一般情況涉及Venn圖的交集、并集、補(bǔ)集的簡(jiǎn)單運(yùn)算，也可以與信息遷移，應(yīng)用性開(kāi)放問(wèn)題.也

可以聯(lián)系實(shí)際命題.

選擇題（共4小題）

1.（2021秋?西湖區(qū)校級(jí)期末）已知全集"=??,集合4={如，=/+3,xeR},B={x\-2<x<4],則圖中陰

影部分表示的集合為（）

A.[-2,3]B.(-2,3)C.(-2,3]D.[-2,3)

【分析】由圖可知陰影部分表示的集合為BncuA,再進(jìn)行交集和補(bǔ)集的運(yùn)算即可求解.

【解答】解：由圖可知陰影部分表示的集合為BACuA,

因?yàn)榧?={九=4+3,x€R}={y|y23}=[3,+~）,又全集U=R,

所以Cu4=（-8,3）,因?yàn)锽={x|-2VxV4}=（-2,4）,

所以BCCu4=（-2,3）.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查論〃〃圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.（2022秋?渝中區(qū)校級(jí)月考）為豐富學(xué)生的課外活動(dòng)，學(xué)校開(kāi)展了豐富的選修課，參與“數(shù)學(xué)建模選修課”

的有169人，參與“語(yǔ)文素養(yǎng)選修課”的有158人，參與“國(guó)際視野選修課”的有146人，三項(xiàng)選修課

都參與的有30人，三項(xiàng)選修課都沒(méi)有參與的有20人，全校共有400人.問(wèn)只參與兩項(xiàng)活動(dòng)的同學(xué)有多

少人？（）

A.30B.31C.32D.33

【分析】根據(jù)集合之間的關(guān)系求解即可.

【解答】解：由題意得，只參與兩項(xiàng)活動(dòng)的同學(xué)有169+158+146+20-400-30X2=33人.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查集合的基本運(yùn)算，比較基礎(chǔ).

3.（2022秋?洛陽(yáng)月考）已知全集U=R,集合A={0,1,2},B={x|/+x=0},則下列關(guān)于集合A,B關(guān)系

的韋恩圖正確的是（）

【分析】求得集合B,根據(jù)集合之間的關(guān)系求解即可.

【解答】解：?集合8={x|，+x=0},.?.8={0,-1},

?.,集合A={0,1,2},.\AnB={0},AU8={-1,0,1,2}.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了%，口圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算，以及集合包含關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

4.（2022秋?南明區(qū)校級(jí)月考）設(shè)集合U=R,A={x[l<x<3},B={x|x<2},則圖中陰影部分表示的集合

()

A.B.{x|xW3}C.{Xl〈xW2}D.{x|2Wx<3}

【分析】圖中陰影部分表示的集合為AC(CuB),結(jié)合已知中的集合A,B,可得答案.

【解答】解：???B={x|xV2},.?.CuB={4r22},

VA={x|l<x<3},：.AQ(CuB)={x|2Wx<3},

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查集合的基本運(yùn)算，利用論〃〃圖先確定集合關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ).

二.填空題(共2小題)

5.(2021秋?宿遷期末)立德中學(xué)有35人參加“學(xué)黨史知識(shí)競(jìng)賽”若答對(duì)第一題的有20人，答對(duì)第二題的

有16人，兩題都答對(duì)的