概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版第2版）課件 第2章 第5講 常見的連續(xù)型隨機變量

概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）第5講常用的連續(xù)型隨機變量第2章隨機變量及其分布1.均勻分布2.指數(shù)分布3.正態(tài)分布第5講常用的連續(xù)型隨機變量2常用的連續(xù)型隨機變量本講內(nèi)容02指數(shù)分布03正態(tài)分布01均勻分布其中a,b(a<b)為任意實數(shù)，設X為連續(xù)型隨機變量，記為(a,b)上的均勻分布，則稱隨機變量X服從區(qū)間若概率密度為01

均勻分布均勻分布xf(x)Oabb-a101

均勻分布只與其長度成正比.X

的分布函數(shù)為即X落在(a,b)內(nèi)任何子區(qū)間的概率與小區(qū)間的位置無關，這正是幾何概型的情形.01

均勻分布baOF(x)x1某食品廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，幾何概率——長度之比??例1超過3克，求誤差在-1~2之間的概率.取出件一產(chǎn)品進行稱重，現(xiàn)任即隨機誤差X服從(-3,

3)上的均勻分布.

規(guī)定其重量的誤差不能解01

均勻分布設隨機變量X在(1,4)上服從均勻分布，??例2三次獨立的觀察，求至少有兩次觀察值大于2的概率.對X進行解隨機變量X的概率密度為:所以，令Y表示三次獨立的觀察中大于2的次數(shù)，則01

均勻分布某公共汽車站從上午7時起，??例3即7:00，7:15，7:30，7:45等時刻有汽車到達此站，乘客到達此站時間X是7:00到7:30之間的均勻隨機變量每15分鐘來一班車，01

均勻分布如果試求：(1)乘客候車時間少于5分鐘的概率(2)乘客候車時間超過10分鐘的概率解設以7:00為起點0，以分為單位從上午7時起，每15分鐘來一班車，即7:00，7:15，7:30等時刻有汽車到達汽站

X

～U(0,30)依題意，某公共汽車站從上午7時起，??例3即7:00，7:15，7:30，7:45等時刻有汽車到達此站，乘客到達此站時間X是7:00到7:30之間的均勻隨機變量每15分鐘來一班車，01

均勻分布如果試求：(1)乘客候車時間少于5分鐘的概率(2)乘客候車時間超過10分鐘的概率解為使候車時間X少于5分鐘乘客必須在7:10到7:15之間，或在7:25到7:30之間到達

故所求概率為：某公共汽車站從上午7時起，??例3即7:00，7:15，7:30，7:45等時刻有汽車到達此站，乘客到達此站時間X是7:00到7:30之間的均勻隨機變量每15分鐘來一班車，01

均勻分布如果試求：(1)乘客候車時間少于5分鐘的概率(2)乘客候車時間超過10分鐘的概率解候車時間超過10分鐘乘客必須在7:00到7:05之間，或在7:15到7:20之間到達

設K服從(1,6)上的均勻分布，??例4求方程01

均勻分布解方程有實根的概率.有實根的充要條件是而因此所求概率為本講內(nèi)容02指數(shù)分布03正態(tài)分布01均勻分布若X的密度為則稱X

服從參數(shù)為

的指數(shù)分布,記作X

的分布函數(shù)為

>0為常數(shù)14指數(shù)分布02

指數(shù)分布15Of(x)x16OF(x)1x用指數(shù)分布描述的實例有：隨機服務系統(tǒng)中的服務時間電話問題中的通話時間無線電元件的壽命動物的壽命指數(shù)分布常作為各種“壽命”分布的近似17??應用場合02

指數(shù)分布若X~E(

),則指數(shù)分布的“無記憶性”18若??

表示某儀器的壽命(小時)，

它能再使用??

小時的概率與??

無關.用??

小時，上式說明：若該儀器已02

指數(shù)分布已知X服從參數(shù)

λ=0.1的指數(shù)分布，求19??例5解02

指數(shù)分布統(tǒng)計調(diào)查表明，英格蘭在1875年至1951年期間，在礦山發(fā)生10人或10人以上死亡的兩次事件之間的時間T（以日計）服從均值為241的指數(shù)分布.試求20??例6解02

指數(shù)分布設修理某機器所用的時間X服從參數(shù)

λ=0.5(?)的21??例7指數(shù)分布，的概率.修理時間不超過一小時求當機器出故障時，解因為X~E

(0.5），所求概率為或故X的密度函數(shù)為02

指數(shù)分布設隨機變量X表示某儀器檢測一件樣品所用的時間(單位：min)，若

X服從指數(shù)分布，其概率密度為22求一件樣品的檢測時間至多5min的概率以及檢測時間為3~4min的概率.??例8解由題意知X的分布函數(shù)為02

指數(shù)分布23??例8則02

指數(shù)分布顧客在某銀行窗口等待服務的時間X(分鐘)服從參數(shù)為1/5的指數(shù)分布，若等待時間超過10分鐘，則他就離開.設他一個月內(nèi)要來銀行5次，以Y表示一個月內(nèi)他沒有等到服務而離開的次數(shù)，求Y的分布律及至少有一次沒有等到服務的概率.24??例9解02

指數(shù)分布顧客在銀行窗口未等到服務而離開的概率為2502

指數(shù)分布顧客在某銀行窗口等待服務的時間X(分鐘)服從參數(shù)為1/5的指數(shù)分布，若等待時間超過10分鐘，則他就離開.設他一個月內(nèi)要來銀行5次，以Y表示一個月內(nèi)他沒有等到服務而離開的次數(shù)，求Y的分布律及至少有一次沒有等到服務的概率.??例9Y的分布律為本講內(nèi)容02指數(shù)分布03正態(tài)分布01均勻分布27正態(tài)分布（高斯分布）如果連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)其中,為常數(shù)，,的正態(tài)分布，記為則稱隨機變量X服從參數(shù)且

>0，正態(tài)分布的分布函數(shù)為03

正態(tài)分布28正態(tài)分布N(,2)的圖形特點f(x)的特點：

變化則左右平移；在x=

處達到極大值關于x=

對稱；

變化則陡峭程度變化03

正態(tài)分布29設X~N(3,5)，求常數(shù)c，使

03

正態(tài)分布??例10各種測量的誤差；人體的生理特征；工廠產(chǎn)品的尺寸；農(nóng)作物的收獲量；海洋波浪的高度；金屬線抗拉強度；熱噪聲電流強度；學生的考試成績；30正態(tài)分布應用廣泛03

正態(tài)分布正態(tài)分布是概率論中最重要的分布，以下情形說明：31正態(tài)分布應用廣泛(1)正態(tài)分布是自然界及工程技術中最常見的分布之一，從或近似服從正態(tài)分布．則該隨機指標一定服任何一個因素都不起決定性作用，但其中如果一個隨機指標受到諸多因素的影響，證明，可以大量的隨機現(xiàn)象都是服從或近似服從正態(tài)分布的．03

正態(tài)分布32(3)正態(tài)分布可以作為許多分布的近似分布．(2)正態(tài)分布有許多良好的性質(zhì)，分布所不具備的．這些性質(zhì)是其它許多03

正態(tài)分布正態(tài)分布由它的兩個參數(shù)μ和σ唯一確定，標準正態(tài)分布下面我們介紹一種最重要的正態(tài)分布33如何進行正態(tài)分布的概率計算時，是不同的正態(tài)分布.當μ和σ不同03

正態(tài)分布是偶函數(shù)，分布函數(shù)記為其值有專門的表供查.密度函數(shù)34標準正態(tài)分布N(0,1)03

正態(tài)分布3503

正態(tài)分布標準正態(tài)分布的重要性在于，根據(jù)定理，,則~N(0,1)設36分布都可以通過線性變換轉化為標準正態(tài)分布.任何一個一般的正態(tài)就可以解決一般正態(tài)分布的概率計算問題.只要將標準正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表，03

正態(tài)分布對一般的正態(tài)分布：其分布函數(shù)作變量代換37X~N(,2)03

正態(tài)分布查表38設隨機變量X~N(0,1)，試求：??例11解(1)(2)03

正態(tài)分布設X~N(1,4),求P(0

X1.6)查表39??例12解03

正態(tài)分布40汽車駕駛員在減速時，求駕駛員的制動反應時間在1秒至1.75秒之間的概率？??例13其中從正態(tài)分布，駛員在行車過程中對信號燈發(fā)出制動信號的反應時間服駕有研究表明，時間對于幫助避免追尾碰撞至關重要。對信號燈做出反應所需的=1.25秒，

=0.46秒.制動反應時間超過這個值的概率是多少？那么實際的制動反如果2秒是一個非常長的反應時間，03

正態(tài)分布41解設隨機變量X表示汽車駕駛員的制動反應時間，則X~N(1.25,0.462)所求概率為根據(jù)標準化定理可得03

正態(tài)分布42因此，因此，制動反應時間超過2秒的概率約為0.0516.概率約為0.5675.駕駛員的制動反應時間在1秒至1.75秒之間的概03

正態(tài)分布43根據(jù)標準化定理可得??例14設某工司制造繩索的抗斷程度服從正態(tài)分布，其中=300千克，小于95%的概率大于a.求常數(shù)a使抗斷程度以不

=24千克，解由題意知03

正態(tài)分布44由標準正態(tài)分布的對稱性得通過逆向查表得到故解得所以，a的最大取值為260.03

正態(tài)分布45解03

正態(tài)分布??例15將一溫度調(diào)節(jié)器放置在貯存著某種液體的容器內(nèi)，調(diào)節(jié)器調(diào)整在液體的溫度X(以℃計)是一個隨機變量，且(1)若d=90，求X小于89的概率.(2)若要求保持液體的溫度至少為80的概率不低于0.99，問d

至少為多少?4603

正態(tài)分布(2)按題意需求

d滿足:??例15將一溫度調(diào)節(jié)器放置在貯存著某種液體的容器內(nèi)，調(diào)節(jié)器調(diào)整在液體的溫度X(以℃計)是一個隨機變量，且4703

正態(tài)分布即反查正態(tài)分布表，由于表中無0.01的的值.故采用如下方法處理:??例15將一溫度調(diào)節(jié)器放置在貯存著某種液體的容器內(nèi)，調(diào)節(jié)器調(diào)整在液體的溫度X(以℃計)是一個隨機變量，且4803

正態(tài)分布現(xiàn)查表可知：由此可得：故得：??例15將一溫度調(diào)節(jié)器放置在貯存著某種液體的容器內(nèi)，調(diào)節(jié)器調(diào)整在液體的溫度X(以℃計)是一個隨機變量，且依題意，選擇所需時間超過規(guī)定時間的概率較小的路線為好.4903

正態(tài)分布

從旅館到飛機場沿A路走(路程短，交通擁擠)所需時間(分鐘)，沿B路走（路程長，阻塞少)所需時間(分鐘)若現(xiàn)在只有30分鐘.問：分別選擇哪一條路為好???例16解當只有30分鐘可用時：A路:

從旅館到飛機場沿A路走(路程短，交通擁擠)所需時間(分鐘)，沿B路走（路程長，阻塞少)所需時間(分鐘)，，若現(xiàn)在只有30分鐘.5003

正態(tài)分布B路:結論：此時應選擇A路.??例16問：分別選擇哪一條路為好?5103

正態(tài)分布公共汽車車門的高度是按男子與車門頂碰頭機會在0.01以下來設計的.設男子身高X~N(170,62).??例17問：如何確定車門高度？設車門高度為hcm，按設計要求即求滿足：解P(X≥h)≤0.01或P(X<h)≥0.99，的最小的

h.求滿足P(X<h)≥0.99的最小的h.因為：X~N(170,62)，所以：故：公共汽車車門的高度是按男子與車門頂碰頭機會在0.01以下來設計的.設男子身高X~N(170,62).5203

正態(tài)分布??例17問：如何確定車門高度？因為：h=170+13.98≈

184，所以：查表得：結論:設計車門高度為184厘米時