概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版第2版） 教案 第2章 隨機(jī)變量及其分布

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)教案第2章隨機(jī)變量及其分布授課序號(hào)01教學(xué)基本指標(biāo)教學(xué)課題第2章第1節(jié)隨機(jī)變量與分布函數(shù)課的類型新知識(shí)課教學(xué)方法講授、課堂提問(wèn)、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)隨機(jī)變量及其概率分布的概念、分布函數(shù)的概念及性質(zhì)與計(jì)算。教學(xué)難點(diǎn)分布函數(shù)的求法參考教材作業(yè)布置課后習(xí)題大綱要求理解隨機(jī)變量及其概率分布的概念。理解分布函數(shù)的概念及性質(zhì)。會(huì)計(jì)算與隨機(jī)變量有關(guān)的事件的概率。教學(xué)基本內(nèi)容一．隨機(jī)變量1.隨機(jī)變量：設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，樣本空間為S，如果對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果，都有一個(gè)實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，那么把這個(gè)定義在S上的單值實(shí)值函數(shù)稱為隨機(jī)變量．隨機(jī)變量一般用大寫字母,…表示．2.隨機(jī)變量的兩種常見類型:離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量.二．分布函數(shù)1.分布函數(shù)：設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，是任意實(shí)數(shù)，稱函數(shù)為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，顯然，是一個(gè)定義在實(shí)數(shù)域R上，取值于[0,1]的函數(shù)．2．幾何意義：在數(shù)軸上，將X看成隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，則分布函數(shù)表示隨機(jī)點(diǎn)X落在陰影部分（即）內(nèi)的概率，如下圖．3．對(duì)任意的實(shí)數(shù)，都有：,.4．分布函數(shù)的性質(zhì)：（1）單調(diào)性：分布函數(shù)是單調(diào)不減的，即若，則；（2）有界性：，且，（3）右連續(xù)性：．說(shuō)明：分布函數(shù)一定具有這三個(gè)基本性質(zhì)；反過(guò)來(lái)，任意一個(gè)滿足這三個(gè)基本性質(zhì)的函數(shù)，一定可以作為某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)．因此，這三個(gè)基本性質(zhì)成為判別一個(gè)函數(shù)是否能成為分布函數(shù)的充要條件.三．例題講解例1.通過(guò)某公交站牌的汽車每10分鐘一輛，隨機(jī)變量X為乘客的候車時(shí)間，其分布函數(shù)為：求：（1）；（2）；（3）.例2．設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為求常數(shù)a，b，c的值？例3．在半徑為R，球心為O的球內(nèi)任取一點(diǎn)P，令X為OP的長(zhǎng)度，求X的分布函數(shù)．

授課序號(hào)02教學(xué)基本指標(biāo)教學(xué)課題第2章第2節(jié)離散型隨機(jī)變量課的類型新知識(shí)課教學(xué)方法講授、課堂提問(wèn)、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)離散型隨機(jī)變量及其概率分布的概念，０－１分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布、泊松分布及其應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)０－１分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布、泊松分布及其應(yīng)用。參考教材作業(yè)布置課后習(xí)題大綱要求理解離散型隨機(jī)變量及其概率分布的概念，掌握０－１分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布、泊松（Poisson）分布及其應(yīng)用。教學(xué)基本內(nèi)容一．離散型隨機(jī)變量及其概率分布1．離散型隨機(jī)變量：若隨機(jī)變量X所有可能的取值為有限個(gè)或者可列個(gè)，則稱這樣的隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量．2．隨機(jī)變量的概率分布：設(shè)X為離散型隨機(jī)變量，X所有可能的取值為，稱為隨機(jī)變量X的概率分布，也稱為分布律或分布列．概率分布也可以用表格的形式表示：…………或者記為：3．離散型隨機(jī)變量概率分布的性質(zhì)：（1）非負(fù)性：（2）正則性：4．離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)：若離散型隨機(jī)變量X的分布律為，則X的分布函數(shù)為即分布函數(shù)是分布律在一定范圍內(nèi)的累積．二．常用的離散型隨機(jī)變量1.（0-1）分布（1）（0-1）分布：若隨機(jī)變量X只有兩個(gè)可能的取值0和1，其分布律為，則稱X服從以p為參數(shù)的（0-1）分布或兩點(diǎn)分布.（2）（0-1）分布的分布律也可以記為X01P1-pp或.2．二項(xiàng)分布（1）二項(xiàng)分布：若隨機(jī)變量X表示n重伯努利試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù),則有.則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記為，其中n和p是二項(xiàng)分布的參數(shù)，上式就是二項(xiàng)分布的分布律.（2）二項(xiàng)分布的特例：在二項(xiàng)分布中,若令n=1,則，其分布律為，即X服從（0-1）分布.因此（0-1）分布是二項(xiàng)分布的特例，簡(jiǎn)記.3.泊松分布（1）泊松分布：若隨機(jī)變量X的分布律為，其中為大于0的參數(shù)，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的泊松分布，記為．（2）泊松定理：在n重伯努利試驗(yàn)中，事件A在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為（與試驗(yàn)總數(shù)n有關(guān)），如果當(dāng)時(shí)，，則有.（3）說(shuō)明：泊松定理表明，泊松分布為二項(xiàng)分布的極限分布，即在試驗(yàn)次數(shù)n很大，而不太大時(shí)，二項(xiàng)分布可以用參數(shù)為的泊松分布來(lái)近似．4.幾何分布（1）若隨機(jī)變量X的分布律為，其中為參數(shù)，則稱X服從幾何分布，記為．（2）說(shuō)明：幾何分布描述的是試驗(yàn)首次成功的次數(shù)X所服從的分布，也可以解釋為：在n重伯努利試驗(yàn)中，試驗(yàn)到第k次才取得第一次成功，前k-1次皆失敗．5.超幾何分布（1）超幾何分布：若隨機(jī)變量X的分布律為其中，且均為正整數(shù)，則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布，記為．（2）有限總體N中的不放回抽樣服從超幾何分布，例如有N件產(chǎn)品，其中M件不合格，從產(chǎn)品中不放回的抽取n件，則抽取的產(chǎn)品中不合格品的件數(shù)X服從超幾何分布．（3）超幾何分布與二項(xiàng)分布之間的區(qū)別：超幾何分布是不放回抽取，二項(xiàng)分布是放回抽取，因此，二項(xiàng)分布中每個(gè)事件之間是相互獨(dú)立的，而超幾何分布不獨(dú)立.兩個(gè)分布之間也有聯(lián)系，當(dāng)總體的容量N非常大時(shí)，超幾何分布近似于二項(xiàng)分布.三．例題講解例1.已知盒中有10件產(chǎn)品，其中8件正品，2件次品.需要從中取出2件正品，每次取1件，直到取出兩件正品為止，做不放回抽樣.設(shè)X為取件的次數(shù)，則：（1）求X的分布律；（2）求X的分布函數(shù)；（3）求概率.例2.金工車間有10臺(tái)同類型的機(jī)床，每臺(tái)機(jī)床配備的電動(dòng)機(jī)功率為10千瓦，已知每臺(tái)機(jī)床工作時(shí)，平均每小時(shí)實(shí)際開動(dòng)12分鐘，且開動(dòng)與否是相互獨(dú)立的.現(xiàn)在當(dāng)?shù)仉娏?yīng)緊張，供電部門只提供50千瓦的電力給這10臺(tái)機(jī)床，問(wèn)這10臺(tái)機(jī)床能夠正常工作的概率有多大？例3.有2500個(gè)相同年齡階段、相同社會(huì)層次的人參加某保險(xiǎn)公司的意外傷害保險(xiǎn)，根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料，在1年里每個(gè)人出現(xiàn)意外傷害的概率是0.0001，每個(gè)參加保險(xiǎn)的人1年付給保險(xiǎn)公司120元保費(fèi)，而在出現(xiàn)意外時(shí)家屬?gòu)谋ｋU(xiǎn)公司領(lǐng)取2萬(wàn)元.請(qǐng)計(jì)算（1）保險(xiǎn)公司虧本的概率；（2）保險(xiǎn)公司一年獲利不少于10萬(wàn)元的概率.例4.一家商店在每個(gè)月的月底要制定出下個(gè)月的商品進(jìn)貨計(jì)劃，為了不使商品的流動(dòng)資金積壓，進(jìn)貨量不宜過(guò)多，但為了獲得足夠的利潤(rùn)，進(jìn)貨量又不易過(guò)少．由該商店過(guò)去的銷售記錄知道，某種商品每月的銷售可以用參數(shù)為的泊松分布來(lái)描述，為了以95%以上的把握保證不脫銷，問(wèn)商店在月底至少應(yīng)進(jìn)某種商品多少件？例5.某公司訂購(gòu)了一種型號(hào)的加工機(jī)床，機(jī)床的故障率為1%，各臺(tái)機(jī)床之間是否出現(xiàn)故障是相互獨(dú)立的，求在100臺(tái)此類機(jī)床中，故障的臺(tái)數(shù)不超過(guò)三臺(tái)的概率.例6.某流水線生產(chǎn)一批產(chǎn)品，其不合格率為p，有放回地對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，直到檢驗(yàn)出不合格品為止.設(shè)隨機(jī)變量X為首次檢驗(yàn)出不合格品所需要的檢驗(yàn)次數(shù)，求X的概率分布.授課序號(hào)03教學(xué)基本指標(biāo)教學(xué)課題第2章第3節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量課的類型復(fù)習(xí)、新知識(shí)課教學(xué)方法講授、課堂提問(wèn)、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)連續(xù)性隨機(jī)變量及其概率密度的概念，概率密度與分布函數(shù)之間的關(guān)系，正態(tài)分布、均勻分布、指數(shù)分布及其應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)概率密度與分布函數(shù)之間的關(guān)系，正態(tài)分布、均勻分布、指數(shù)分布及其應(yīng)用。參考教材作業(yè)布置課后習(xí)題大綱要求理解連續(xù)性隨機(jī)變量及其概率密度的概念，掌握概率密度與分布函數(shù)之間的關(guān)系，掌握正態(tài)分布、均勻分布、指數(shù)分布及其應(yīng)用。教學(xué)基本內(nèi)容一．連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度1．連續(xù)型隨機(jī)變量：設(shè)X是隨機(jī)變量，如果存在函數(shù)，對(duì)任意的常數(shù)，有則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，同時(shí)稱為X的概率密度函數(shù)，或簡(jiǎn)稱為概率密度．2．概率密度函數(shù)的性質(zhì)：（1）非負(fù)性：≥0；（2）正則性：．3．概率密度的幾何意義：隨機(jī)變量落入?yún)^(qū)間內(nèi)的概率等于曲線在區(qū)間上形成的曲邊梯形的面積，而正則性表明，曲線與x軸之間的部分面積為1．4．連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)：,則在的連續(xù)點(diǎn)處，.5．兩點(diǎn)說(shuō)明：（1）連續(xù)型隨機(jī)變量在某一個(gè)點(diǎn)c處的概率為0,即（2）連續(xù)型隨機(jī)變量落在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的概率,不受區(qū)間端點(diǎn)處取值的影響,即.二．常用的連續(xù)型隨機(jī)變量1.均勻分布（1）均勻分布：設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，若概率密度為其中a，b(a<b)為任意實(shí)數(shù)，則稱隨機(jī)變量X服從區(qū)間(a,b)上的均勻分布，記為．（2）均勻分布的分布函數(shù)：（3）應(yīng)用：若X在(a,b)上服從均勻分布，對(duì)(a,b)內(nèi)的任一個(gè)子區(qū)間(c,d)，有.2.指數(shù)分布（1）指數(shù)分布：設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，若概率密度為其中參數(shù)，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，記為．（2）指數(shù)分布的分布函數(shù)：（3）定理：（指數(shù)分布的無(wú)記憶性）設(shè)隨機(jī)變量，則對(duì)于任意的正數(shù)s和t有3.正態(tài)分布（1）正態(tài)分布：設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，若概率密度為其中為參數(shù)，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的正態(tài)分布，也叫高斯分布，記為．（2）正態(tài)分布的分布函數(shù)：（3）幾點(diǎn)說(shuō)明：（i）概率密度的圖形關(guān)于對(duì)稱，是軸對(duì)稱圖形，在處取到最大值，并且對(duì)于同樣長(zhǎng)度的區(qū)間，若區(qū)間離越遠(yuǎn)，則X落在這個(gè)區(qū)間內(nèi)的概率越小.（ii）的圖形以軸為漸近線，隨著的取值往兩側(cè)無(wú)限延伸，圖形與軸無(wú)限接近，但又不會(huì)相交．（iii）當(dāng)參數(shù)固定時(shí)，的值越大，的圖形就越平緩；的值越小，的圖形就越尖狹，由此可見參數(shù)的變化能改變圖形的形狀，稱為形狀參數(shù)．（iv）當(dāng)參數(shù)固定時(shí)，隨著值的變化，圖形的形狀不改變，位置發(fā)生左右平移，由此可見參數(shù)的變化能改變圖形的位置，稱為位置參數(shù)．（4）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（i）概率密度（ii）分布函數(shù)（iii）根據(jù)概率密度的對(duì)稱性，有（5）定理：（標(biāo)準(zhǔn)化定理）若，則（6）標(biāo)準(zhǔn)化定理的應(yīng)用：設(shè)為任意實(shí)數(shù)，則6.“”法則：設(shè)，則即正態(tài)分布的隨機(jī)變量以99.7%的概率落在以為中心、為半徑的區(qū)間內(nèi)，落在區(qū)間以外的概率非常小，可以忽略不計(jì)，這就是“”法則.三．例題講解例1．車流中的“時(shí)間間隔”是指一輛車通過(guò)一個(gè)固定地點(diǎn)與下一輛車開始通過(guò)該點(diǎn)之間的時(shí)間長(zhǎng)度.設(shè)X表示在大流量期間，高速公路上相鄰兩輛車的時(shí)間間隔，X的概率密度描述了高速公路上的交通流量規(guī)律，其表達(dá)式為：概率密度的圖形如下圖，求時(shí)間間隔不大于5秒的概率.例2．設(shè)隨機(jī)變量X表示橋梁的動(dòng)力荷載的大小（單位:N），其概率密度為求：（1）分布函數(shù)；（2）概率及.例3．某食品廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，規(guī)定其重量的誤差不能超過(guò)3克，即隨機(jī)誤差X服從（-3,3）上的均勻分布.現(xiàn)任取出一件產(chǎn)品進(jìn)行稱重，求誤差在-1~2之間的概率.例4．設(shè)隨機(jī)變量X在（1,4）上服從均勻分布，對(duì)X進(jìn)行三次獨(dú)立的觀察，求至少有兩次觀察值大于2的概率.例5.設(shè)隨機(jī)變量X表示某餐館從開門營(yíng)業(yè)起到第一個(gè)顧客到達(dá)的等待時(shí)間（單位：min），則X服從指數(shù)分布，其概率密度為求等待至多5分鐘的概率以及等待3至4分鐘的概率.例6．汽車駕駛員在減速時(shí)，對(duì)信號(hào)燈做出反應(yīng)所需的時(shí)間對(duì)于幫助避免追尾碰撞至關(guān)重要．有研究表明，駕駛員在行車過(guò)程中對(duì)信號(hào)燈發(fā)出制動(dòng)信號(hào)的反應(yīng)時(shí)間服從正態(tài)分布，其中1.25秒，0.46秒．求駕駛員的制動(dòng)反應(yīng)時(shí)間在1秒至1.75秒之間的概率？如果2秒是一個(gè)非常長(zhǎng)的反應(yīng)時(shí)間，那么實(shí)際的制動(dòng)反應(yīng)時(shí)間超過(guò)這個(gè)值的概率是多少？例7．設(shè)某公司制造繩索的抗斷強(qiáng)度服從正態(tài)分布，其中300千克，24千克.求常數(shù)a，使抗斷強(qiáng)度以不小于95%的概率大于a.

授課序號(hào)04教學(xué)基本指標(biāo)教學(xué)課題第2章第4節(jié)隨機(jī)變量函數(shù)的分布課的類型新知識(shí)課教學(xué)方法講授、課堂提問(wèn)、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)簡(jiǎn)單隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布教學(xué)難點(diǎn)簡(jiǎn)單隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布的求法參考教材作業(yè)布置課后習(xí)題大綱要求會(huì)求簡(jiǎn)單隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布。教學(xué)基本內(nèi)容一.離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布若是離散型隨機(jī)變量，是實(shí)數(shù)的函數(shù)，則當(dāng)取有限個(gè)或可列個(gè)值時(shí)，也取有限個(gè)或可列個(gè)值.根據(jù)離散型隨機(jī)變量求解分布律的方法，首先確定的取值，再分別求出相應(yīng)取值的概率，這樣就得到了的分布律.二．連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布1.分布函數(shù)法設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，即，是實(shí)數(shù)的函數(shù)，求隨機(jī)變量的分布.（1）求出隨機(jī)變量的分布函數(shù).（2）當(dāng)是連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，關(guān)于求導(dǎo)，就得到了的概率密度；當(dāng)不是連續(xù)型隨機(jī)變