高一數(shù)學(xué)必修第一冊第二章全部學(xué)案

新版高一數(shù)學(xué)必修第一冊第二章全部學(xué)案

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式

2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)（共2課時）

（第1課時）

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.會用不等式（組）表示不等關(guān)系；

2.能夠運用作差法比較兩個數(shù)或式的大小.

重點難點

1.用不等式（組）表示實際問題中的不等關(guān)系，用不等式（組）研究含有不等關(guān)系的問題;

2.運用作差法比較代數(shù)式大小，對學(xué)生數(shù)學(xué)運算的要求較高

知識梳理

1.我們用數(shù)學(xué)符號“尹"N"、連接兩個數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關(guān)系，含

有這些符號的式子，叫做.

2.不等式中文字語言與數(shù)學(xué)符號之間的轉(zhuǎn)換

大于小于大于等于小于等于至多至少不少于不多于

3.比較兩實數(shù)大小基本方法:

（1）兩個實數(shù)大小的比較原理

①差值比較原理：設(shè)a、bSR,貝ija>boa-b>0,

a=b=a—b=0,a〈b=a—b<0.

②商值比較原理：設(shè)a、bWR+,則如l=a>b,

aa

H=l=a=b,g<l=a<b.

（2）兩個實數(shù)大小比較的一般步驟

①作差比較法其一般步驟是：

作差T變形T判斷符號一確定大小.

注：作差比較大小的關(guān)鍵是作差后的變形，作差變形中，可采用配方、因式分解、通分、有理化等

手段進行恒等變形（常數(shù)、幾個平方和的形式或幾個因式積的形式）.變形的過程是至關(guān)重要的，無

論施以什么方法，最終要變到能夠判斷符號為止.注意變形過程中要保持等價性及正確性.

學(xué)習(xí)過程

（一）、情境導(dǎo)學(xué)

1.購買火車票有一項規(guī)定：隨同成人旅行，身高超過1.1m（含1.1m）而不超過1.5m的兒童，享受半

價客票、加快票和空調(diào)票（簡稱兒童票），超1.5m時應(yīng)買全價票.每一成人旅客可免費攜帶一名身高

不足1.1米的兒童，超過一名時，超過的人數(shù)應(yīng)買兒童票.從數(shù)學(xué)的角度，應(yīng)如何理解和表示“不超

過”“超過”呢?

2.展示新聞報道：明天白天廣州的最低溫度為18℃,白天最高溫度為30℃。

（二）、探索新知

探究一用不等式表示不等關(guān)系

例1.某鋼鐵廠要把長度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm

兩種，按照生產(chǎn)的要求，600mm鋼管的數(shù)量不能超過500mm鋼管的3倍.試寫出滿足上述所有不

等關(guān)系的不等式.

歸納總結(jié);

跟蹤訓(xùn)練：

1.某種雜志原以每本2.5元的價格銷售，可以售出8萬本.根據(jù)市場調(diào)查，若單價每提高0.1元，銷

售量就可能相應(yīng)減少2000本，若把提價后雜志的定價設(shè)為x元，怎樣用不等式表示銷售的總收入仍

不低于20萬元？

2.某工廠在招標(biāo)會上，購得甲材料xt,乙材料yt,若維持工廠正常生產(chǎn)，甲、乙兩種材料總量至

少需要1203則x、y應(yīng)滿足的不等關(guān)系是（）

A.x+y>120B.x+y<120

C.x+y>120D.x+><120

探究二比較數(shù)或式子的大小

我們學(xué)習(xí)了關(guān)于實數(shù)大小比較的?個基本事實：

（1）數(shù)軸上的任意兩點中，右邊點對應(yīng)的實數(shù)比左邊點對應(yīng)的實數(shù).

根據(jù)這個公理，我們可用什么方法來比較實數(shù)的大小？

步驟是什么？第一步，第二步，第三步，第四步

例2.已知x<y<0,比較（f+V）（x-y）與（f一V）（x+y）的大小.

歸納總結(jié)；

跟蹤訓(xùn)練

1.設(shè)M=W,N=-x—l,則M與N的大小關(guān)系是（）

A.M>NB.M=NC.M<ND.與x有關(guān)

2.比較/+）2+1與2（x+y-l）的大??；

3.設(shè)“GR且a知，比較a與5的大小.

達(dá)標(biāo)檢涮

1.完成一項裝修工程，請木工需付工資每人500元,請瓦工需付工資每人400元，現(xiàn)有工人工資預(yù)算20

000元,設(shè)木工x（xX））人，瓦工.丫。20）人，則關(guān)于工資滿足的不等關(guān)系是（）

A.5x+4y<200B.5x+4y>200C.5x+4y=200D.5x+4乃200

2.若A吟+3與B=：+2,則A與B的大小關(guān)系是（）

A.A>BB.A<BC.A>BD.不確定

3.已知甲、乙兩種食物的維生素A,B含量如下表：

食物甲乙

維生素A/（單位4g）600700

維生素B/（單位/kg）800400

設(shè)用xkg的甲種食物與ykg的乙種食物配成混合食物，并使混合食物內(nèi)至少含有56000單位的維生

素A和63000單位的維生素B.試用不等式組表示所滿足的不等關(guān)系.

4.將一個三邊長度分別為5,12,13的三角形的各邊都縮短X,構(gòu)成一個鈍角三角形，試用不等式（組）表示

x應(yīng)滿足的不等關(guān)系.

5.比較下列各組中的兩個實數(shù)或代數(shù)式的大小：

（1）2X2+3與x+2,xGR;（2）a+2與3,.GR,且?#1.

課堂小結(jié)

1.用不等式（組）表示不等關(guān)系時,應(yīng)遵循“一找（不等關(guān)系）;二析（涉及的量）;三設(shè)（設(shè)出合理的未知數(shù)）;

四列（不等式（組））”.

2..作差法比較兩個實數(shù)的大小時，關(guān)鍵是作差后變形，一般變形越徹底越有利于下一步的判斷.

'因式分解

配方

'通分

.分類討論

3.本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中，重點滲透了數(shù)學(xué)建模思想和函數(shù)思想.

參考答案：

探究一例1.［解析］設(shè)截得500mm的鋼管x根，截得600mm的鋼管y根,

'500x+600)W4000G+6)W40

3胃，即,3x>y

依題意，可得不等式組：<

x>0x>0

<y>0<y>0

歸納總結(jié);用不等式(組)表示實際問題中不等關(guān)系的步驟:

①審題.通讀題目，分清楚已知量和待求量，設(shè)出待求量.找出體現(xiàn)不等關(guān)系的關(guān)鍵詞：“至少”“至

多,，”不少于,，“不多于,，“超過,，”不超過,，等.②列不等式組：分析題意，找出已知量和待求量之間的約

束條件，將各約束條件用不等式表示.

跟蹤訓(xùn)練：

X—25

1,解析］提價后雜志的定價為x元，則銷售的總收入為(8——5『xo.2)x萬元，那么不等關(guān)系“銷售

的收入不低于20萬元”用不等式可以表示為：

x—25

(8療-x0.2)於20.

2.［解析］由題意可得x+yN120,故選C.

探究二例2.［解析］Vx<j<0,孫>0,

x~y<0,(x2+y2)^—y)—(x2—j^Xx+y)=-2xy(x-y)>0,

(x2y)>(x2—}^)(x+y).

歸納總結(jié)：比較兩個實數(shù)(或代數(shù)式)大小的步驟

(1)作差：對要比較大小的兩個數(shù)(或式子)作差；

(2)變形：對差進行變形(因式分解、通分、配方等)；

(3)判斷差的符號：結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號；(4)作出結(jié)論.這種比較大小的方法通

常稱為作差比較法.其思維過程：作差T變形T判斷符號T結(jié)論，其中變形是判斷符號的前提.

跟蹤訓(xùn)練

13

1.［解析］M—N=x2+x+1=。+］)2+1>0,:?M>N,故選A.

2.［解析］W+丁+1-2(x+y-1)=W-2x+1+/-2y+2=(x-l)2+(y-1)2+1>0,

.??/+)2+1>2(x+y—1).

當(dāng)a=±l時，4=(；

當(dāng)一1V4Vo或。>1時，〃>>；當(dāng)〃v—1或ov〃v1時，

達(dá)標(biāo)檢測

1.【答案】D

2.【解析】由于A-B吟+3?(：+2)=d)+江：>0,

所以4>8,故選A.【答案】A

3.【解析】由題意知xkg的甲種食物中含有維生素A600r單位，含有維生素B800x單位,ykg的乙種

食物中含有維牛.素A700y單位，含有維生素B400y單位，則xkg的甲種食物與ykg的乙種食物配成的

混合食物總共含有維牛.素A(60(k+700.v)單位，含有維生素B(800x+400.v)單位，

<600%+700y>56000,(6x4-7y>560,

?川彳J800%+400y>63000,即4x4-2y>315,

x>0,x>0,

.y>0,<y>0.

故當(dāng)a>l時,a+2>二；當(dāng)a<\吐a+2〈二.

1-a1-a

4.【解析】各邊都縮短x后，長度仍然為正數(shù)，只要最短邊大于零即可，因此5-x>0.而要構(gòu)成三角形，還

要滿足(5-x)+(12-x)>13-x.當(dāng)三角形是鈍角三角形時，應(yīng)使最大角是鈍角，此時只需最長邊所對的角是

鈍角即可，因此(5-X)2+(12-X)2<(13-X)2,

'5-x>0,

故x應(yīng)滿足的不等關(guān)系為](5。)+(12-x)>13-x,

(5-x)2+(12-x)2<(13-x)2.

5.【解析】⑴因為(2x2+3)-(x+2)=2x2-x+l=2(x])2+念(>0,

所以2r+3>x+2.

I3(a+2)(l-a)-3-a2-a-la2+a+l

(2)(〃+2)--=-------------=--------=---------.

1-a1-a1-aa-1

2

由于a2+a+l=(a+工)+->->0,

屐

所以當(dāng)?>1時，+a+!>0即a+2>—；

a-11-a

當(dāng)a<\時，吐％<0,即a+2<—.

a-11-a

2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)（第2課時）

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.掌握常用不等式的基本性質(zhì)；

2.會將一些基本性質(zhì)結(jié)合起來應(yīng)用。

重點難點

1.將不等關(guān)系用不等式表示出來，理解并證明不等式的性質(zhì);

2.并能用不等式.的性質(zhì)證明一些簡單的不等式；

知識梳理

一、設(shè)計問題，溫故知新

問題1:等式的性質(zhì)有哪些?請大家用符號表示出來.

問題2:根據(jù)等式的這些性質(zhì)，你能猜想不等式的類似性質(zhì)嗎?請大家加以探究.

性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意

1對稱性a>b=___=

2傳遞性a>b,b>c=>____n

3可加性a>b<=>a+c__b+c可逆

a>b\

八(=>ac__be

OOJ——c的

4可乘性

a>h\符號

八r=>tzc__be

c<0J——

同向a>b]

5=>a+cb+d同向

可加性c>dJ]―

同向同正同向

6,八bd

可乘性c>d>Q\—

7可乘方性eN*,H>2)

同正

8可開方性a>b>0=>yf[a>fy[b(n￡N”,n>2)

學(xué)習(xí)過程

二、新知探究

試證明下列不等式的性質(zhì)

⑴對稱性

不等式兩邊互換后,再將不等號改變方向，所得不等式與原不等式等

文字語言

價

符號語言a>bo______

作用寫出與原不等式等價且異向的不等式

跟蹤訓(xùn)練.1.與論(〃-2)2等價的是().

A./n<(rt-2)2B.(?-2)2>/HC.(n-2)2</nD.(M-2)2<W

(2)傳遞性

如果第一個量大于第二個量，第二個量大于第三個量，

文字語言

那么第一個量大于第三個量

符號語言a>b,b>c=_________

變形a>b,b>c=>a>c;a<b,b<c=>a<c;a<b,b<c=>a<c

作用比較大小或證明不等式

你能證明嗎？

(3)加法法則

不等式的兩邊都加上同一個實數(shù),所得的不等式

文字語言

與原不等式_________.

符號語言a>b=^>a+c>___________

變形a<b=>a^-c<b+c；a>b^a+c>b+c

作用不等式的移項，等價變形

(4)乘法法則

不等式的兩邊都乘同一個正數(shù)時,不等號的方向丕變；

文字語言

都乘同一個負(fù)數(shù)時,不等號的方向一定要改變.

符號語言a>b9c>0=>____________；a>b,c<0=>____________

a>b,c>O=^ac>bc；a>b,c<O=>ac<bc；a<b,c>O^>ac<bc；a<b,c<O=>ac>bc

變形

a<h,c>O=>ac<bc；a<h,c<O=>ac>hc

作用不等式的同解變形

(5)加法單調(diào)性

文字語言兩個同向不等式相加，所得不等式與原不等式_________.

符號語言a>h9c>d=>a-^c>h+d

變形a<b,c〈dna+c〈b+d；a>b,c>d=^a+c>b^-d；ci<b,c<d^a+c<b+d

作用由已知同向不等式推出其他不等式

(6)乘法單調(diào)性

文字語言兩邊都是正數(shù)的兩個同向不等式相乘，所得的不等式與原不等式—.

符號語言a>b>O,c>d>O=^ac>bd

作用兩個不等式相乘的變形

(7)正值不等式可乘方

當(dāng)不等式的兩邊都是_______時，不等式兩邊同時

文字語言

乘方所得的不等式與原不等式_________.

符號語言a>b>g______（〃CN,且〃21）

作用不等式兩邊的乘方變形

跟蹤ill練2.給出下列結(jié)論：

①若ac>bc,則a>b；②若a<b,貝Uac2<b(r；③若十弓則〃④若a>b,c>d,貝Ua-c>b~d\

⑤若a>b,c>d,則ac>bd.

其中正確結(jié)論的序號是,

典例解析：用不等式的性質(zhì)證明不等式

例1已知a>b>0,c〈d<0,e<0,求證：

a-cb-a

跟蹤訓(xùn)練1：若bc-*O,bd>0,求證：

典例解析：利用不等式的性質(zhì)求取值范圍

例2已知一行<我多，求氣心的范圍.

跟蹤訓(xùn)練2：已知l<a<2,3<6<4,求下列各式的取值范圍：

(l)2a+h；(2)a—b；(3)p

達(dá)標(biāo)檢涮

1.已知。<板0,c<d<0,那么下列判斷中正確的是（）

A.a—c<b-dB.ac>bdC.^<~D.ad>bc

2.若〃、b、c￡R,且〃>/?,則下列不等式中一定成立的是（）

A.a+b>b—cB.ac>bcC.P*0D.（a~b）c2>0

a-b

3.設(shè)2<a<3,-2<b<-l,則2&b的范圍是.

4.己知c<d<0.求證:W

課堂小結(jié)

一、不等式的性質(zhì)

性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意

1對稱性a>b=____<=>

2傳遞性a>b,b>c=>_____=>

3可加性a>boa+c___b+c可逆

a>b\

八（=>cicbe

c>Oj——c的

4可乘性

a>b\符號

n（=^acbe

c<0\——

同向a>b]

5j=〃+c_b+d同向

可加性c>d]―

同向同正a>b>0同向

60QC___hd

可乘性0d>0

7可乘方性a>b>^a,l>b\neN*,論2)

同正

8可開方性a>b>0=>y[a>y[b(n￡N*,n>2)

二、運用不等式解決的基本問題由那些？

參考答案:

新知探究

(1)證明：：b>瓦.：a-b>0,由正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，得-(a-b)vO.

即b-a<(),.：b<a,同理可證，如果從小那么a>h.

跟蹤訓(xùn)練1.答案:C

(3)iiEBJh"."(a+c)-(b+c)=a-b>0,.'.a+c>b+c.

(4)證明:ac-Z>c=(a-Z?)c..根據(jù)同號相乘得正，異號相乘得負(fù)，

得當(dāng)c>0時,(a-〃)c>0,即“c>bc;當(dāng)c<0時,(a?)c<0,即ac<bc.

(5)證明嚴(yán)>】="c>：+Bna+c?+d

c>dnb+c>b+dJ

(6)證明:丁4泌>0,c>0,,：ac>/?c,'/c>d>0,b>0,/.bc>bd./.ac>bd.

跟蹤訓(xùn)I練2.解析①當(dāng)c>0時'由ac>bc=〃>b,當(dāng)。<0時，由〃c>0c=>〃v。，故①錯.②當(dāng)H0時,

由。vbnadcbd,當(dāng)c=0時，由。<匕勢〃/〈歷2,故②錯.

(3)V^<^<0,/.tz<0,b<0,ab>Q,；?：ab</ab,即b<cu:,a>b,故③正確.

④：c>d,.■?一(,<—d,又a>b,兩不等式不等號的方向不同，不能相加，...a-c>b—d錯誤.

…a>b>0]a>b>00><7>/?]

⑤…(=^ac>hd八\^>ac<bd,但*ac>hdj令ac>bd.

c>d>0)f0>c>d.c>d>^\

典例解析例1.Vc<J<0,???一0—於0,

XVa>b>Ofc)>6+(—")>0,

BUa-c>b-d>0,.-.0<—

又??Z<0,.17r7Tz

跟蹤訓(xùn)練.解析：":be一(也0,:.adWbc,/.ad+bd<bc+bd,

ad+hdhc+bda+hc+d

<bd>3,----------<----------?———<------

,*bd~bd，,?6-d?

例2解析：一行〈啰，工一睛寸，一抬兩式相加,

2<^<2-7-4<254,?一冬一招，?一冬丫與

▽々,a-.ita~

又.a<p9??一,y0...一五_2V0，

跟蹤訓(xùn)練(l)???lv〃<2,???2<2。<4,</3<Z?<4,：,5<2a+h<S；

(2)3<b<4,，-4<-b<-3>X>?<1<a<2,/.—3<a—b<—1

(3)*.,3<Z?<4,X\<a<2,

達(dá)標(biāo)檢測

1.解析：根據(jù)不等式的同向同正的可乘性知，B正確.答案：B

2.解析：Va>h,6>0.選項A中，當(dāng)c=0時，(a-\-b)—(h—c)=a+c,由于“ER,則選項A不

成立；選項B中，ac-bc=c{a~b),由于cGR,則選項B不成立；選項C中，由于c《R,則/對，

c2

丁寶0,則選項C不成立；選項D中，a-b>0,/川，.?.(a—6)c合0,則選項D成立.

答案：D

3.解析：4<2a<6,-2<b<-l,Al<-b<2,由同向不等式相加得到5<2a-b<8

答案:5<2a-b<8

4.解析：c<d<0，，-c>—6/>0..?.()<一：<一［a>b>0,

兩邊同乘以一1,得

【新教材】2.1等式關(guān)系與不等式關(guān)系(人

教A版)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、知識目標(biāo)

i.掌握等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)以及推論，能夠運用其解決簡單的問題.

2.進一步掌握作差、作商、綜合法等比較法比較實數(shù)的大小.

3.通過教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生合作交流的意識和大膽猜測、樂于探究的良好思維品質(zhì)。

2、核心素養(yǎng)

1.數(shù)學(xué)抽象：不等式的基本性質(zhì)；

2.邏輯推理：不等式的證明；

3.數(shù)學(xué)運算：比較多項式的大小及重要不等式的應(yīng)用；

4.數(shù)據(jù)分析：多項式的取值范圍，許將單項式的范圍之一求出，然后相加或相乘.(將減法轉(zhuǎn)化

為加法，將除法轉(zhuǎn)化為乘法)；

5.數(shù)學(xué)建模：運用類比的思想有等式的基本性質(zhì)猜測不等式的基本性質(zhì)。

重點難點

重點：掌握不等式性質(zhì)及其應(yīng)用.

難點：不等式性質(zhì)的應(yīng)用.

學(xué)習(xí)過程

一、預(yù)習(xí)導(dǎo)入

閱讀課本37-42頁，填寫。

1.兩個實數(shù)比較大小的方法

a-b>0<=>ab

作差法■a-b=Q<^>ab(a,beR);

a-b<0ab

b

b

作商法，—b(a￡R,b>0).

b

2、不等式的基本性質(zhì)

：<1=〃—b

[b

①、對；

②、一

③、a>

④、a>

⑤、a>l

⑥、a；

3.重要不等式

.殷的，Ya,bwR,有a2+b2>2ab

當(dāng)且僅當(dāng)a=6時，等號成立.

a2+12

一般的，7a,beR,/iab<——-——

當(dāng)且僅當(dāng)a=6時，等號成立.

小試牛刀

1.完成一項裝修工程,請木工共需付工資每人400元,請瓦工共需付工資每人500元,現(xiàn)有工人工資預(yù)

算不超過20000元,設(shè)木工x人，瓦工y人,x,yeN*,則工人滿足的關(guān)系式是（）

A.4x+5yW200B.4x+5y<200

C.5x+4y<200D.5x+4y<200

2.若a>b,x>y,則下列不等式正確的是（）

A.a+x>b+yB.a-x>b-y

C.ax>byD.->

ab

3.用不等號填空：

(1)若a>b,貝!Jac2______be2.

(2)若a+b>0,b<0,則ba.

(3)若a>b,c<d,貝!]a-c_______b-d.

自主探究

L_________________________________4

題型一不等式性質(zhì)應(yīng)用

例1判斷下列命題是否正確：

⑴a>b,c>b=>a>c()(2)a〉b=>ac'>be2()

,.ab，/、

⑶a>b,c>dnac>bd()(4)—>—=>a>b()

cc

(5)a>b^>a2>b2()(6)a>\t\=>?2>b2()

(7)a>b>O,c>d>Q=>—>—()

cd

跟蹤訓(xùn)練一

1、用不等號”>”或"〈”填空：

(1)如果a>b,c<d,那么a-cb-d；

(2)如果a>b>0,c<d<0,那么acbd；

(3)如果a>b〉O,那么吃言

a2b2

(4)如果a>b>c>0,那么工：

ab

題型二比較大小

例2(1).比較(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小

(2).已知a>b>0,c>0,求￡>

ab

跟蹤訓(xùn)練二

1.比較(x+3)(x+7)和(x+4)(x+6)的大小.

2.已知a>b,證明a>>b.

題型三綜合應(yīng)用

例3(1)已知2<a<3,-2<b<-1,求2a+b的取值范圍.

(2)對于直角三角形的研究，中國早在商朝時期商高就提出了“勾三股四弦五”勾股定理的特例，

而西方直到公元前6世紀(jì),古希臘的畢達(dá)哥拉斯才提出并證明了勾股定理.如果一個直角三角形的斜

邊長等于5,那么這個直角三角形面積的最大值等于.

跟蹤訓(xùn)練三

1.某學(xué)習(xí)小組，調(diào)查鮮花市場價格得知,購買2只玫瑰與1只康乃馨所需費用之和大于8元,而購買4

只玫瑰與5只康乃馨所需費用之和小于22元.設(shè)購買2只玫瑰花所需費用為A元，購買3只康乃馨所

需費用為B元，則A,B的大小關(guān)系是()

A.A>B

B.A<B

C.A=B

D.A,B的大小關(guān)系不確定

當(dāng)堂檢涮

1.設(shè)〃>0,且l<b"</，則（）

A.0<h<a<\B.0<?<￡><1C.\<b<aD.\<a<b

2.若a<b<3則下列不等式錯誤的是（）

22

A.-<-B.---->-C.Itzl>\b\D.a>b

aba-ba

3.已知a=l,b=6-y[^,c=a-加,則a,b,c的大小關(guān)系是

A.a>b>cB.a>c>hC.h>c>aD.c>h>a

4.已知12<a<60,15<h<36,則/的取值范圍為________.

b

5.若awR,且。<0,則a,/,一。，一片從小到大的排列順序是一

6.已知％,求證：X24-2y2>2xy4-2y—1.

7.已知a,b,x,y都是正數(shù)，且x>y,求證」—

abx+ay+b

答案

小試牛刀

1.A

2.A

3.⑴》(2)<⑶)

自主探究

例1【答案】(1)X(2)X(3)X(4)V(5)X(6)V(7)X

跟蹤訓(xùn)練一

【答案】(1)>(2)<(3)<(4)<

例2【答案】(1)見解析(2)見證明

【解析】(1)因為(x+2)(x+3)-(x+D(x+4)

=x2+5x+6-(x2+5x+4)

=2>0,

所以(x+1)(x+2)>(x+l)(x+4)

(2)證明：因為a>b>0,所以ab>0,々>0,

ab

于是即]>2

ababba

由c>o,得￡>[

ab

跟蹤訓(xùn)練二【答案】(1)見解析(2)見證明

【解析】⑴解:(x+3)(x+7)-(x+4)(x+6)

=x2+10x+21-(x2+10x+24)o

=-3<0

所以(x+3)(x+7)V(x+4)(x+6)

(2)證明

aa+b_2a-(a+b)_a-b)0a+ba+b-2ba-b

；b=>0

2222

所以a>手〉b.

例3【答案】(1)見解析⑵弓

【解析】：(1)4<2a<6,-2<b<-l,2<2a+b<5.

22

(2)設(shè)直角三角形的斜邊長為c,直角邊長分別為a,b,由題意知c=5,則a+b=25,則三角形的面積

22

Sfb,：25=a+b22ab,...abW^則三角形的面積S=；abW；x個=字,即這個直角三角形面積的最

222224

大值等于日.

4

跟蹤訓(xùn)練三【答案】A

【解析】由題意得，*2X=A,3y=B,

l—x*1oy乙乙,

A+g>8,

整理得x=^,y=|,

2A+y<22,

將A+|>8乘-2與2A+|B<22相加,解得B<6,將B<6代入A>8-g中,解得A>6,故A>B.

當(dāng)堂檢測

1-3.CBA

1a.

4.-<—<4

3b

22

5.-a<—a<a<a

6.【答案】見解析

【解析】由題意x2+2y2-(2xy+2y-1)=x2-2xy+y2+y2-2y+1=(x-y)2+(y-l)2>0

x2+2y2>2xy+2y-1成立.

7.【答案】見解析

【解析】?；a,b,x,y都是正數(shù)，且沁,x>y,

x、yajb■/a...b,4口nc-x+a_y+b

?二>?<<▼故V'+l，EPO<-<^.

?一>去

x+ay+b

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式

2.2基本不等式（共2課時）

（第1課時）

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.推導(dǎo)并掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號2”取等號的

條件是：當(dāng)且僅當(dāng)兩個數(shù)相等；

2.通過實例探究抽象基本不等式；通過多媒體體會基本不等式把＜癡等號成立條件,

2

掌握運用基本不等式求最值；

重點難點

1.從不同角度探索不等式J拓2的證明過程，會用此不等式求某些簡單函數(shù)的最值;

2

2.基本不等式字44ab等號成立條件；

2

知識梳理

一、情境導(dǎo)學(xué)

（1）如圖是在北京召開的第24界國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，會標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙

爽的弦圖設(shè)計的，趙爽是為了證明勾股定理而繪制了弦圖。

弦圖既標(biāo)志著中國古代的數(shù)學(xué)成就，又象一只轉(zhuǎn)動的風(fēng)車，歡迎來自世界各地的數(shù)學(xué)家們。

思考1：這圖案中含有怎樣的幾何圖形？

思考2：你能發(fā)現(xiàn)圖案中的相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？

（2）探究圖形中的不等關(guān)系

將圖中的“風(fēng)車”抽象成如圖，在正方形A.BCD中有4個全等的直角三角形.設(shè)直角三角

形的兩條直角邊長為a,b（a/?），那么正方形的邊長為萬壽.這樣，4個直角三角形

的面積的和是2ab,正方形的面積為

由于4個直角三角形的面積之和小于正方形的面積,

我們就得到了一個不等式：a2+b2>2ab.

問題1.思考證明：你能給出它的證明嗎？

學(xué)習(xí)過程

二、新知探究

基本不等式：如果a>0,b>0,我們用及、斯分別代替a、b,可得a+bN2而，通常我們把上式

寫作：基本不等式之J茄（a>0,b>0）（當(dāng)且僅當(dāng)“學(xué)時，取等號）

（1）在數(shù)學(xué)中，我們稱孚為心。的算術(shù)平均數(shù)，稱J益為小。的幾何平均.數(shù).本節(jié)定理還可

2

敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的兒何平均數(shù).此不等式又叫均值不等式。

探究1.從不等式的性質(zhì)推導(dǎo)基本不等式

如果學(xué)生類比重要不等式的證明給出證明，再介紹書上的分析法。

分析法證明：證明不等式j(luò)茄（。>0/>0）

探究2.理解基本不等式空22的幾何意義

2

在右圖中，AB是圓的直徑，點C是AB上的一點，AC=a,BC=b.過點C作垂直于AB的弦DE,連

接AD、BD.

你能利用這個圖形得出基本不等式J茄4二2的幾何解釋嗎？

2

（1）AB表示什么？（2）巴笠表示哪個線段？（3）J茄對應(yīng)哪個線段呢?

（4）0D與CD的大小關(guān)系如何？

典例解析：

利用基本不等式求最值

例1.（1）已知”>0/>0,〃/?=36,求〃+陰勺最小值。

（2）已知Q>O,b>O,a+Z?=18,求必的最大值。

基本不等式的使用條件

例2、1.⑴已知xvO,求函婀=的最小值

x

⑶若0<x<g,求函數(shù)y=x（l-2x）的最大值。

3

跟蹤訓(xùn)練L設(shè)OvxV],求函數(shù)y=4x（3-2幻的最大值。

2.函數(shù)/Xx）=4r3+-7人能否用基本不等式求最小值？

Jf+2

達(dá)商檢涮

1.下列不等式中，正確的是（）

A.。+今4B,a2+/;2>4rz/?C.yfab^-^D.*+區(qū)2小

2.若。>1,則。+占的最小值是（）

A.2B.aC.刎^D.3

a—1

3.若a,b都是正數(shù)，則（1+勻（1+與）的最小值為（）

A.7B.8C.9D.10

4.已知￡>0,）>0,且則x+y的最小值為.

課堂4,結(jié)

我們學(xué)習(xí)了重要不等式合+序》而：基本不等式；兩正數(shù)4、6的算術(shù)平均數(shù)（二2）,幾何平均

2

數(shù)（J茄）及它們的關(guān)系（州產(chǎn)2/茄）.它們成立的條件不同，前者只要求〃、人都是實數(shù)，而

后者要求4、6都是正數(shù).它們既是不等式變形的基本工具，又是求函數(shù)最值的重要工具（下一節(jié)我們

將學(xué)習(xí)它們的應(yīng)用）.

參考答案：

問題1.證明：因為a2+b2-2ab=[a-b^

-：（?-/>）2>0,:.a2+b2>2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立

探究1：證明：要證”之而

2

只要證a+bN2j法只要證a+b—2J益20只要證儲一方120,顯然,

是成立的.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，（3）中的等號成立.

探究2：易證RtZkACDsRtaDCB,那么CD?=CA-CB即CD=疝.

這個圓的半徑為字，顯然，它大于或等于CD即冬NJ法，

22

其中當(dāng)且僅當(dāng)點C與圓心重合.，即時，等號成立.

一因此：基本不等式J拓4皇幾何意義是“半徑不小于半弦”

例1(1)解析：Qg3而

\a+b?2y[ab=12(當(dāng)且僅當(dāng)〃=〃二6時取等)

(2)解析：Q而等，述？(卓)2(y)2=81

(當(dāng)且僅當(dāng)a=人=9時取等)故"的最大值為81

例2.(1)解：/(X)=JC+L=-[(-X)+G，)]?2.(-%)?(-)=-2

xxVx

當(dāng)且僅當(dāng)-x=-?即x=-1時有最小值-2

X

(2)Qx>3,\y=x+—=(x-3)+—+3?2J(x3)?—3=5

x-3x-3vx-3

當(dāng)且僅當(dāng)X-3=」一，即x=4時，函數(shù)有最小值，最小值為5。

x-3

(3).解：***0<x<—,Q1-2x>0,

2

.八c、八八、口/括x+(l-2%)~1

\y=x(l-2x)=(I-2x)W-jg--------=—

當(dāng)且僅當(dāng)2x=(L2x),即1=,時，取“=”號..?.當(dāng)X=L時，函數(shù)y=x(L2x)的最大值是.

44

跟蹤訓(xùn)練(1)W：QO<x<-\3-2%>0

2

⑵由基本不等式知+2+-1.?2bx22?-^^=2

dx2+2\J廠+2

當(dāng)且僅當(dāng)J%2+2=即f+2=1時取等,而這是不可

\Jx2+2

能的，故此函數(shù)不能用基本不等式求最小值。

達(dá)標(biāo)檢測

1.解析：選D.aVO,則。+卜4不成立，故A錯;a=1,h=1,a2+b2<4ah,故B錯，a=4,h=l6,

則我〈審，故C錯；由基本不等式可知D項正確.

2.解析：選所以“一1>0,

所以。+，7=。一l+」~7+G2'/(a-1)■—[-7+1=3.當(dāng)且僅當(dāng)a—即。=2時取等號.

a-1a—\\ja-1a~1

3.解析：選C.因為“，人都是正數(shù)，所以(1+^)0+與)=5+(+咨5+2\J^^=9,

當(dāng)且僅當(dāng)h=2a>0時取等號.

4.解析：x+)，=(x+y).g+3=10+；+備10+^=10+6=16.

2.2基本不等式(第2課時)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.能夠運用基本不等式解決生活中的應(yīng)用問題；

2.圍繞如何引導(dǎo)學(xué)生分析題意、設(shè)未知量、找出數(shù)量關(guān)系進行求解這個中心，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建

模的核心素養(yǎng)。

重點難點

重點：在實際問題中建立不等關(guān)系，并能正確運用基本不等式求最值;

難點：注意運用不等式求最大（?。┲档臈l件

知識梳理

一、小試牛刀

1.判斷正誤.（正確的打7”，錯誤的打"x”）

⑴對任意的“，h&R,若a與6的和為定值，則仍有最大值.（）

（2）若沖=4,則x+y的最小值為4.（）

（3）函數(shù)次x）=f+zrj'的最小值為2陋一1.（）

2.已知x+y=l且x>0,y>0,則:+；的最小值是（）

xy

A.2B.3C.4D.6

學(xué)習(xí)過程

二、新知探究

問題1.用籬笆圍成一個面積為100m的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最

短。最短的籬笆是多少？

//////////

結(jié)論1:____________

問題2.用段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形菜園的長和寬各為多少時，菜園的面積

最大，最大面積是多少？

結(jié)論2：____________

（三）典例解析

均值不等式在實際問題中的應(yīng)用

例1、某工廠要建造一個長方形無蓋貯水池，其容積為4800根③，深為3m。如果池底每平方米的造

價為150元，池壁每平方米的造價為120元，怎樣設(shè)計水池能使總造價最低？最低造價為多少元？

跟蹤訓(xùn)練1.某地方政府準(zhǔn)備在一塊面積足夠大的荒地上建一如圖所示的一個矩形綜合性休閑廣場,

其總面積為3000n?,其中場地四周（陰影部分）為通道，通道寬度均為2\

m,中間的三個矩形區(qū)域?qū)佋O(shè)塑膠地面作為運動場地（其中兩個小場地

形狀相同），塑膠運動場地占地面積為S平方米./

（1）分別寫出用x表示y和S的函數(shù)關(guān)系式（寫出函數(shù)定義域）；

（2）怎樣設(shè)計能使S取得最大值，最大值為多少？

2.某商品進貨價為每件50元，據(jù)市場調(diào)查，當(dāng)銷售價格為每件x（50人80）元時，每天銷售的件數(shù)為

若想每天獲得的利潤最多，則銷售價應(yīng)定為多少元？

X—4（r

【歸納總結(jié)】

利用基本不等式證明簡單的不等式

例2已知a,b都是正數(shù)，且a+b=\,

求證：（1+3（1+汜9,

跟蹤訓(xùn)練3.已知：a,b,c^R,求證：與+詈+'Na+b+c.

達(dá)標(biāo)檢涮

1.已知正數(shù)。、6滿足"=10,則a+b的最小值是（）

A.10B.25C.5D.2股

2.小王從甲地到乙地和從乙地到甲地的時速分別為a和伙a。），其全程的平均時速為V,則（）

A.a<v<y[abB.v—y[ab

I-a+ba+b

C.\ab<v<~~2—D.v=~—

3.某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為4