高中數(shù)學(xué)必修二第八章第六節(jié)《空間直線、平面的垂直》解答題提高訓(xùn)練 (八)

必修二第八章第六節(jié)《空間直線'平面的垂直》解答題提高訓(xùn)練(8)

1.如圖，在多面體PQABCD中，四邊形A8C。是邊長為〃的菱形=120°,PD1平面ABCQ,

QB，平面ABCD,PD=2QB=V2a.

(1)證明：PA1QC.

(2)若三棱錐Q-P4C的體積為遙，求實(shí)數(shù)a的值.

2.如圖，已知點(diǎn)P為正方形A5CD所在平面外一點(diǎn)，AP40是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)E是線

段尸。的中點(diǎn)，平面PAO_L平面ABCD.

(1)證明：PB〃平面AEC；

(2)求三棱錐P-AEC的體積.

3.在三棱臺ABC-DEF中，AB=BC=2DE.ZDAB=4EBA=60°,平面ABED_L平面ABC,BC1BE.

(1)求證：平面ABED_L平面BCPE；

(2)求直線與平面AB/所成角的正弦值.

4.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，々IBC=Z.ACD=90°,AC=/.CAD=60°,PA，平面ABC。,

PA=2,AB=1,設(shè)M、N分別為P￡＞、AZ）的中點(diǎn).

(1)求證：平面CMN〃平面PAB；

(2)求三棱錐A-CMN的側(cè)面積.

5.如圖，四棱錐P-4BCD中，底面A8C。是菱形，MAD=或〃是棱PB上的點(diǎn)，。是AO中點(diǎn),

且P01底面ABC。，OP=V30/1.

(I)求證：BC1OMx

(11)若「時(shí)=§28,求二面角B-OM-C的余弦值.

6.如圖，四邊形4BCO為矩形，且4D=2,AB=1,P4平面ABC。，PA=1,E為BC的中點(diǎn).

(1)求證：PEJ.DE；

(2)求三棱錐C-POE的體積.

7.如圖，在四棱錐P—4BCD中，團(tuán)P4B是正三角形，四邊形ABC。是正方形.

B'C

(I)求證：PC=PD；

(11)若2「0=遍0求直線PB與平面PC。所成角的正弦值.

8.如圖，在四棱錐P-ABC。中，^ABC=ZACD=90°,Z.BAC=/.CAD=60°,PA1平面ABC。,

PA=2,48=1.設(shè)〃，N分別為PO,4力的中點(diǎn).

(1)求證：平面CMN〃平面PA8.

(2)求三棱錐P-ABM的體積.

9.在如圖所示的多面體中，AB//CD,四邊形ACFE為矩形，AB=AE1,AD=CD=2.

(I)求證：平面ABE〃平面C。尸；

(H)設(shè)平面BEFn平面CDF=I,再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇若干個(gè)作為已知,

使二面角B-I-C的大小確定，并求此二面角的余弦值.

條件①：ABLAD；

條件②：AEABCD；

條件③：平面4ED■1平面ABCD.

10.如圖，在四棱錐P-4BC。中，AD=BD=BC=1,AB=CD=V2,PA=PB,平面PBO_L平

面ABCD.

(1)求證：PD14B；

(2)已知二面角P-AC-。的余弦值為底.線段PC上是否存在點(diǎn)M,使得與平面PAC所成的角為

6

30°?證明你的結(jié)論.

11.如圖，四邊形ABC。是邊長為2的正方形，4P=P。將三角形PA。沿4。折起使平面PAD工平

面ABCD.

(2)若二面角B-PC-D的余弦值為_孚，求4P的長.

12.已知菱形ABC。邊長為1,AC=以8。為折痕把AABD和△CBD折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)E的

位置，點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)F的位置，E,尸不重合.

(1)求證：BD1EF-,

(2)若EF=|,求點(diǎn)B到平面DEF的距離.

13.如圖，已知直角梯形4CEF與等腰梯形ABC￡＞所在的平面互相垂直,EF〃AC,EF=jAC.FC1AC,

AD=DC=CB=CE=-AB=1.

2

(I)證明：BC1AE；

(n)求二面角。-BE-F的余弦值;

14.如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PADJ■平面ABC。，四邊形A3CZ)

為正方形，AB=AP=PD=2.

(1)證明：AB_L平面PAO；

(2)求點(diǎn)8到平面PCD的距離.

15.如圖，在平面四邊形A5CZ)中，AB=AD,BC=CD=五，且BC1CD.以8。為折痕把△4BD和

△CBD向上折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)E的位置，點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)F的位置(E,尸不重合).

(1)求證：EF1BD；

(2)若平面EBD1平面FBD,點(diǎn)E在平面ABC。內(nèi)的正投影G為AABD的重心，且直線E尸與平

面尸8。所成角為60。，求二面角4-BE-。的余弦值.

16.已知四棱柱ABC。-&B1GD1中，底面ABCO為菱形，AB=2,AAr=4,^BAD=60°,E為

BC中點(diǎn)，G在平面4C。上的投影”為直線AE與DC的交點(diǎn).

(1)求證：BDA.ArH；

(2)求二面角Di-BBi-C的余弦值.

17.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PDABCD,四邊形A8C。是等腰梯形AB〃DC,BC=CD=

AD=2,AB=4,M,N分別是4B,力。的中點(diǎn).

(1)證明：平面PMNJL平面PA。；

(2)若二面角C一PN—。的大小為60。，求四棱錐P-4BCO的體積.

18.如圖，長方體4BC0中，AB=16,BC=10,44=8,點(diǎn)E,F分別在A/i，

上，A1E=D1F=4,過點(diǎn)E,F的平面a與此長方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形.

AB

(1)在圖中畫出這個(gè)正方形，并指出正方形另外兩個(gè)頂點(diǎn)的位置(不必說明畫法和理由);

(2)求直線AF與平面a所成角的正弦值.

19.如圖，在三棱錐P—4BC中，AB=BC=272，^BAC=pPA=PB=PC=4.

(1)證明：平面P4CJ?平面ABC；

(2)若點(diǎn)M在棱BC上，PC與平面PA例所成角的余弦值為手，求CM的長.

20.在三棱柱4BC-41B1G中，已知4B=AC=A&=3,BC=4,點(diǎn)4］在底面ABC的射影恰好是

線段BC的中點(diǎn)

(1)證明：在側(cè)棱上存在一點(diǎn)M使得MNJ?平面BBiJC,并求出AN的長;

(2)求三棱柱ABC-&BiG的側(cè)面積.

【答案與解析】

1.答案：（1）證明：因?yàn)镻D=2QB=缶,所以QB=￥（Z.

因?yàn)镻D1平面ABCD,QB平面ABCD,

所以AQ=QC=[a?+（當(dāng)a）2=ya.

因?yàn)樗倪呅蜛8CQ是邊長為a的菱形，〃BC=120。，

所以AC=y/3a.

因?yàn)锳Q24-Qf2-^a2_|_|a2_3a2,

所以4Q2+QC2=AC2,所以AQ1QC.

連接80,交AC于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作QM〃8D,交PO于點(diǎn)M,如圖,

則QM1P0,所以QM=BD=a.

因?yàn)镻D=2Q8=&a,所以PM=苧a,

所以=（當(dāng)222

PQ2=PM2+QM22+a=|a

因?yàn)镻C?=PD2+DC2=（V2a）2+a2=3a2,

所以PQ2+QC2=PC?,所以PQLQC.

又PQCAQ=Q,PQ、AQu平面PQA.

所以QC1平面PQA.

又P4u平面PQA,所以241QC.

(2)解：由(1)的證明及對稱性易知PQ1QA,

所以為-p4c=VJPAQ=lx^PQxAQxQC

=N當(dāng)axqax手。=靠3=倔解得a=2.

解析：本題考查了棱錐的體積、線面垂直的判定和線面垂直的性質(zhì)，是中檔題.

(1)通過計(jì)算證明得AQ1QC和PQ1QC,可得QC，平面PQA,由線面垂直的性質(zhì)可得線線垂直;

(2)由4c=^C-PAQ=可得a的值.

2.答案：(1)證明：連接30,設(shè)BDnAC=0,連接0E.

???底面ABC。是正方形，二0為8。的中點(diǎn).

又是線段尸力的中點(diǎn)，

0E是APBC的中位線，

???OEHPB,

vPB<t平面AEC,OEu平面AEC,

：.PB〃平面AEC.

B

(2)解：在正方形ABC。中，CDJ.4D,

又?.?平面PADn平面ABC。=AD,且平面P4D1平面ABCD,

：.CD1,平面PAD.

???△PAD是等邊三角形，且E是線段尸。的中點(diǎn)，

111ooV3V3

?'?S⑦PAE=^SZPAD=2X2X2X2Xy=y,

=X

???Vp-AEC=^C-PAE3S^PAE*。。=,*三乂2=彳?

解析：本題考查直線與平面平行的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用等積法求多面

體的體積，是中檔題.

(1)連接30,設(shè)BDn4C=0,連接OE,得到0E〃P8即可；

(2)根據(jù)題意得到C。_L平面PAD,進(jìn)而得到SAPM=|SAP/1D=當(dāng)即可.

3.答案：(1)證明：過點(diǎn)E作EHJ.4B于從

???平面ABEDJ"平面ABC,平面ABED介平面ABC=4B,EHu平面ABED,

AEH_L平面ABC,

■：BCu平面ABC,

???EHIBC,

又BCLBE,BECEH=E,BE、EHu平面ABE。，

BCJL平面ABED,

■：BCu平面BCFE,

???平面ABED，平面BCFE.

(2)解：將三棱臺ABC-DEF補(bǔ)成三棱錐P-ABC,

VAB=2DE,/.DAB=^EBA=60°,

D,E,尸分別為PA,PB,PC的中點(diǎn)，且△P4B為正三角形，

以B為原點(diǎn)，BC,BA所在直線分別為x,＞軸，作Bzl平面A8C,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)48=2,則4(0,2,0),P(0,l,V3),C(2,0,0),￡)(0,|,y).F(l,1,y)，

■■.DF=(1,-1,0)，瓦？=(0,2,0),BF=

設(shè)平面ABF的法向量為祐=(%)，，z),則2,絲=°,即iV3八，

tn-6F=0x+-y+—z=0

令z=2,則％=—遮，y=0,n=(-73,0,2),

設(shè)直線OF與平面A3F所成角為仇則sin。=|cos〈記，而＞|=|二"|=「I=號，

11|n|-|DF|1'V7XV2114

故直線OF與平面ABF所成角的正弦值為匡.

14

解析：(1)過點(diǎn)E作EH148于H,由平面4BE01平面ABC,推出EHJL平面ABC,有EH1BC,再

根據(jù)線面垂直的判定定理與面面垂直的判定定理，得證；

(2)將三棱臺ABC—DEF補(bǔ)成三棱錐P—28C,則。，E,尸分別為PA,PB,PC的中點(diǎn)，且△P4B為

正三角形，以B為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面ABF的法向量記，設(shè)直線。尸與平面A8F所

成角為。，由sin。=|cos＜五，DF＞\,得解.

本題考查空間中線與面的垂直關(guān)系、線面角的求法，熟練掌握線面、面面垂直的判定定理或性質(zhì)定

理，以及利用空間向量處理線面角的方法是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的空間立體感、邏輯推理能力和

運(yùn)算能力，屬于中檔題.

4.答案：(1)證明：?；M、N分別為PD、4。的中點(diǎn)，???MN〃P4

又MN，平面PAB,PAu平面PAB,MN〃平面PAB；

在HMACD中，N為4。的中點(diǎn)，二|CN|=|AN|,

???乙BAC=4CAD=60°,???乙ACN=60°,

又NB4C=60°,ACN//AB,

???CNC平面PAB,ABu平面PAB,CN〃平面PAB.

又CNCMN=N,CNu平面CMN,CNu平面CMN,

.,?平面CMN〃平面PAB-,

(2)解：?：PA1平面ABCD,ANu平面ABCD,CNu平面ABCD,

由(1)可知MN〃尸力，；.MN1AN、MN1CN,

■■■Z.ABC=Z.ACD=90°,A.BAC=/.CAD=60°,\PA\=2,\AB\=1,

\AC\=2\AB\=2,\AD\=2\AC\=4,\MN\=1\PA\=1,

由(1)可知|CN|=|AN|=\\AD\=2,

在RtACA/.V中，\AM\=\CM\=y/\CN\2+\MN\2=V4T1=V5.

???SUCN=1|4N|-\CN\?sin60。=1x2x2x斗=

y.S^AMN=\\AN\'\MN\=iX2X1=1,

在△ACM中，\AM\=\CM\=V5-

.??力C邊上的高五=J|ZM|2-(^)2=V5^1=2.

SAACM~2-h=-X2X2=2,

.??三棱錐4-CMN的側(cè)面積S=S“CN+SAAMN+S“CM=3+次.

解析：本題考查線面平行的判定，面面平行的判定，線面垂直的性質(zhì)，三棱錐的側(cè)面積，屬中檔題.

⑴由M、N分別為PO、4D的中點(diǎn)，可得MN〃P4即可得MN〃平面PAB-又由HtA4CD中|CN|=\AN\

且內(nèi)錯(cuò)角相等可得CN〃4B,即可得CN〃平面P4B.由此即可證明；

(2)由PA_L平面A8CD且MN〃P4可得三棱錐4-CMN的三個(gè)側(cè)面的特征，分別計(jì)算三個(gè)側(cè)面的面

積即可求解.

5.答案：(I)證明：在菱形A8CD中，^BAD=ZL4BD為等邊三角形.

又?.,。為AO的中點(diǎn)，???OB1AD,又?：AD//BC,OBA.BC,

VPOABCD,BCU平面ABC。，OP1BC,

???OPQOB=0,OP,OBu平面POB,二BC1平面FOB,

v”是棱PB上的點(diǎn)，二OMu平面POB,BC1OM.

(口)解：vPOIJgjElABCD,OBLAD,

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系。-xyz,

設(shè)。4=1,則OP=0B=相,

???0(0,0,0),4(1,0,0),B(0,V3,0),C(-2,V3,0),P(0,0,V3).

.?-0C=(-2,V3,0).由麗=|麗=|(0,四一g),

得而=OP+|PB=(0,9,日),

設(shè)記=(xj,z)是平面OMC的法向量，

由例可=。,得伊+zg。，

(0C-Tn=0(2%—73y=0,

令y=l，則％=當(dāng)，z=-2,則布=(冬1,-2),

又?.,平面POB的法向量為元=(1,0,0),

由題知，二面角B-OM—C為銳二面角,

所以二面角B-OM-C的余弦值為度.

23

解析：本題主要考查空間中線面垂直的判定，利用空間向量計(jì)算空間二面角的余弦值，考查學(xué)生空

間想象能力，屬于中檔題.

(I)利用已知條件證明。B1BC,OPLBC,再結(jié)合線面垂直的判定定理證明BC_L平面POB,即可

證明10M-.

(H)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系O-xyz,利用空間向量計(jì)算得到平面OMC的法向量，以及平面

PO8的法向量，即可計(jì)算出二面角8-。M-C的余弦值.

6.答案：解：(1)連結(jié)AE,「E為BC的中點(diǎn)，EC=DC=1,

二4DCE為等腰直角三角形，則NDEC=45。，

同理可得乙4EB=45°,

Z.AED=90°,

DE1AE,又PA，平面ABCD,且DCu平面ABCD,

：.PA1DE,

又???4EnP4=4,且AE,PA在平面PAE內(nèi)

DE_L平面PAE,

又PEu平面PAE,

???DE1PE：

(2)由(1)知4DCE為腰長為1的等腰直角三角形，

???SADCE=|xlxl=i,而PA是三棱錐P-DCE的高，

1111

**,Vc-PDE=Vp-DCE=^JSAOCE,P4=:oXJZX1=±O.

解析：本題考查立體幾何線線垂直的判定及證明，三棱錐的體積.要學(xué)會做輔助線利于求解，屬于中

檔題.

(1)求證出DE1平面PAE,根據(jù)PEu平面P4E,即可證出DEJLPE：

(2)根據(jù)(1)知ZDCE為腰長為1的等腰直角三角形，運(yùn)用％_p°E=VP_DCE=:SA"E-PA即可求出三

棱錐C-PDE的體積.

7.答案：解：（I）證明：取A8的中點(diǎn)M及CZ）的中點(diǎn)N,連結(jié)PM,PN,

MN.

由AP/IB是正三角形，四邊形ABC。是正方形得48_LPM,AB1MN,

又PM,MNu平面PMN,PMCMN=M,

所以ZBJ_平面PMN.

因?yàn)锳B〃CD,所以CD1平面PMN,

又PNu平面PMN,所以CO1PN,

又CO的中點(diǎn)是N,所以PC=PD.

（口）法一：過B作1?平面PCD,垂足為“，連接P”，BH,

48PH為直線PB與平面PCD所成角，sinzBPH=三.

BP

過M作MF1PN于F,

由CO1平面PMN及MFu平面PMN,得CD1MF,

又MF1PN,PN,CCu平面PC。，PNCCD=N,

所以MF1平面PCD.

由4B〃CD,4BC平面PCQ,CDu平面PCQ,得4B〃平面PCD

于是點(diǎn)B到平面PCD的距離BH等于點(diǎn)M到平面PCD的距離等于MF.

設(shè)CD=2,貝iJPD=6，PA=PB=AB=AD=BC=MN=2,

計(jì)算得PM=V5，PN=2,

在等腰三角形PMN中可算得MF=―，

4

所以直線PB與平面PC。所成角的正弦值等于竺=置=運(yùn).

PB28

法二：設(shè)PB與面PC。所成角為。，

設(shè)CD=2,所以PD=V5.

以C。中點(diǎn)N為坐標(biāo)原點(diǎn)，CD所在直線為x軸，MN所在直線為），軸，

過N點(diǎn)且垂直于面ABCD的直線為z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系.

.??8(2,1,0),C(0,I,0),D(0,-l,0),￡)(10,等),

所以而=(一：,_1,等)，定=(一：,1，一等).

設(shè)面PCD法向量五=（x,y,z）,

y=0

所以5聞c，取z=l,則元=（-母,0,1）.

--X----Z=0、5，

44

所以sin。=|cos<n,BP>|=詈.

解析：本題考查直線與平面所成角的求法，直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，空間距離的求法，

考查計(jì)算能力.

（I）取AB的中點(diǎn)M及的中點(diǎn)N,連結(jié)PM,PN,MM證明力B1平面PMN.CD1平面RWV,然

后證明PC=PD.

（口）法一：過B作BH平面PC￡>,垂足為H,連接PH,BH,ZBPH為直線PB與平面PCD所成角，

過M作MF1PN于凡設(shè)CD=2,在等腰三角形PMN中可算得MF,然后求解直線尸8與平面PC￡>

所成角的正弦值.

法二：設(shè)PB與面PC。所成角為。，設(shè)CD=2,所以PD=V5，以CD中點(diǎn)N為坐標(biāo)原點(diǎn)，C￡>所在

直線為x軸，MN所在直線為），軸，過N點(diǎn)且垂直于面A8CD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.求

出面PC。法向量，然后利用空間向量的數(shù)量積求解即可.

8.答案：（1）證明：因?yàn)镸、N分別為PD,A。的中點(diǎn)，則MN〃PA,

又因?yàn)椴辉谄矫鍼ABL,PAu平面PAB,所以MN〃平面PAB,

在RtAACO中，Z.CAD=60°,CN=AN,所以乙4CN=60。，

又因?yàn)?BAC=60。，所以CN〃斗B,

因?yàn)镃N不在平面PAB_L,ABu平面PAB,所以CN〃平面PAB,

又因?yàn)镃NCMN=N,所以平面CMN〃平面PAB.

（2）解：因?yàn)槠矫鍯MN〃平面PAB,所以M到面PAB的距離等于C到平面PAB的距離，

因此Vp-48M=^M-PAB=^C-PAB=^P-ABC?

因?yàn)镻A=2,AB=1,4ABe=90。，^BAC=60°,所以BC=百，

因此Up-ABC=孑P4XS4ABe

=^x2x-xlxV3=—.

323

所以三棱錐P-4BM的體積為四.

3

解析：本題考查了面面平行的判定，空間中的距離和棱錐體積的計(jì)算.

(1)利用面面平行的判定得結(jié)論;

(2)利用點(diǎn)面距離得M到面PAB的距離等于C到平面PAB的距離，再利用三棱錐的體積公式計(jì)算得

結(jié)論.

（口）選擇①②：

因?yàn)锳E平面ABCD,AB,ADu平面ABCD,

所以4E14B,AELAD,又因?yàn)?B14D,

所以AB,AE,兩兩互相垂直，

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,

則B(1,O,0),E(0,0,1),F(2,2,1),

所以麗=(一1,0,1),前=(1,2,1)，

設(shè)平面BEF的法向量為五=(x,y,z),

則伊.而=0nn[-X+z=0

%.喬=o'%+2y+z=(r

令x=1,則y=-1,z=1,故元=(1,-1,1),

因?yàn)锳D1平面ABE,又平面4BE〃平面CDF,

所以4D，平面CD凡

取平面CCF的一個(gè)法向量為記=(0,1,0),

所以際〈沆，元＞1=焉=擊=今

故二面角B-I-C的余弦值為它.

3

選擇①②③：

因?yàn)锳E1平面ABC。，4Du平面ABC。，所以4E_L4D,

因?yàn)槠矫?ED_L平面ABC。，平面4EDn平面4BCD=AD,AB1AD,

所以ABADE,又AEu平面ADE,

所以ZBJ.4E,又因?yàn)锳BI4D,

所以A8,AE,AO兩兩互相垂直，

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,

則B(1,O,0),E(0,0,1),F(2,2,1),

所以麗=(-1,0,1),BF=(1,2,1)，

設(shè)平面BEF的法向量為記=(x,y,z),

(—x+z=0

＜：S：o*1%+2y+z=0,

令％=1,則y=-1,z=1,故記=1),

因?yàn)锳D_L平面ABE,又平面/BE〃平面CQF,

所以AD，平面CDF,

取平面CD尸的一個(gè)法向量為沅=(0,1,0),

所以如(禮近＞|=矗=點(diǎn)=爭

故二面角B-I-C的余弦值為3.

3

選擇①③：

因?yàn)槠矫鍭E。1平面ABCD,平面4EDn平面ABCD=AD,ABLAD,

所以481平面ADE,Y.AEu平面ADE,

所以_LAE,

在矩形ACFE中，AELAC,

又AC,ABu平面ABC。，ACnAB=4

所以ZE1平面ABCD,又ADu平面ABCD,

所以AE1AD,

所以AB,AE,A。兩兩互相垂直，

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,

則8(1,0,0),E(0,0,1),尸(2,2,1),

所以說=(-1,0,1),=(1,2,1)-

設(shè)平面BE尸的法向量為記=(x,y,z),

li(n-RF=0+z=0

貝lfl％訴=0,艮%+2y+z=0，

令x=1,則y=-1,z=1,故元=(1,—1,1)，

因?yàn)?。，平面ABE,又平面4BE〃平面CDF,

所以AD，平面CDF,

取平面CD廠的一個(gè)法向量為沆=(0,1,0),

所以M<元元>|=禺=六=冬

故二面角8C的余弦值為它.

3

解析：(I)利用線面平行的判定定理分別證明CF〃平面ABE,CD〃平面ABE,再利用面面垂直的判

定定理，即可證明面面平行；

(II)若選①②：建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，求出平面BEF和平

面CDF的法向量，然后利用空間向量的夾角公式求解即可.

若選①②③：建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，求出平面BE尸和平

面CDF的法向量，然后利用空間向量的夾角公式求解即可.

若選①③：建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，求出平面BEF和平面

CD尸的法向量，然后利用空間向量的夾角公式求解即可.

本題考查了立體幾何的綜合應(yīng)用，涉及了面面平行的判定定理，在求解空間角的時(shí)候，一般會建立

合適的空間直角坐標(biāo)系，將空間角問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題進(jìn)行研究，屬于中檔題.

10.答案：(1)證明：因?yàn)榱=BC=BC=1,AB=CD=V2.

所以四邊形ABC。是平行四邊形，且4DJL8D,

因?yàn)槠矫鍼B。_L平面ABCD,平面PBDO^^ABCD=BD,ADu平面ABCD,

所以401平面尸8￡>,所以40IP。，

因?yàn)镻A=PB,所以APADmZiPB。，

所以NPDB=4PZM=90。，即BD1PD,

又因?yàn)?。nBO=0,所以PD_L平面ABC。，

因?yàn)?8u平面A8C￡>,所以PD14B.

(2)解：設(shè)PD=t(t>0),

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以D4,DB,OP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則4(1,0,0),很(0,1,0),C(一1,1,0),￡)(0,0,0),P(0,0,t),

所以方=(1,0,0)，AC=(-2,1,0).AP=(-1,0,t)>

z

設(shè)平面尸AC的一個(gè)法向量為沆=(xo.yo>o)'

0

由(記?AC=-2x0+y0=

[m?~AP=-x0+tz0=0

取z0=1,得%。=t,y0=2t,BPm=(t,2t,1).

取元=(0,0,1)為平面ACC的一個(gè)法向量，

則cos(沆㈤=品=懸寸

因?yàn)槎娼荘-AC-。的余弦值為亞，

6

所以下上==在，解得t=L所以P(0,。，1)，

假設(shè)這樣的點(diǎn)M存在，設(shè)兩=4同，其中0W2W1，

由定得麗=(-九尢一冷，

則詢=前+麗=(-A,-l+A,1-A)>

設(shè)BM與平面PAC所成的角為a,

則母譏。=|cos(麗，沆)|=需編=分內(nèi)L+2,

因?yàn)閍=3。。，所以忌加書，解得；1=|，

所以，存在這樣的點(diǎn)M,即當(dāng)師7=|同時(shí)，8M與平面PAC所成的角為30。.

解析：(1)證明4。1平面P8D,推出4。_LPD,證明BD1PD,即可證明PD1平面ABCD,推出PD1AB.

(2)設(shè)PD=t(t＞0),以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以D4,DB,DP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)

系，求出平面PAC的一個(gè)法向量，平面AC。的一個(gè)法向量，利用空間向量的數(shù)量積，結(jié)合二面角

的余弦函數(shù)值求解t=l,推出P(0,0,1),設(shè)MW=4同，其中0W2W1,設(shè)BM與平面PAC所成

的角為a,利用空間向量的數(shù)量積求解2,即可得到結(jié)果.

本題考查平面與平面垂直，直線與平面垂直的判斷定理以及性質(zhì)定理的應(yīng)用，二面角以及直線與平

面所成角的求法與應(yīng)用，考查空間想象能力，轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.

11.答案：(1)證明：因?yàn)槠矫鍼AD_L平面ABCD,平面PADn平面4BCD=4D,ABu平面ABCO,

AB1AD,

所以4B_L平面PAO,又PDu平面PAQ,所以P0J.4B

又PO1BM,ABCiBM=B,AB,BMu平面A8M,

所以PD_L平面ABM,又AMu平面ABM,

所以PDJ.4M：

(2)解：取AQ的中點(diǎn)O,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)。P=a,

則8(1,2,0),C(-l,2,0),0(-1,0,0),P(0,0,a),

所以方=(2,0,0),CD=(0,-2,0),CP=(1,-2,a).

設(shè)平面PBC的法向量為訪=(x,y,z),

則有償聚;，喉*…，

令丫=Q,則x=0,z=2,故沅=(0,a,2),

設(shè)平面PCD的法向量為記=(pfq,r),

則有產(chǎn)曰=°,即尸q7U"，

1元?CP=0(p-2q+ar=0

令。=Q,則q=0,r=-1,故記=(Q,0,—1),

因?yàn)槎娼荁-PC-。的余弦值為一叵，

5

所以|cos＜沆，元＞1=嘉=高許=千,解得a=1,

所以AP=V1TT=V2.

解析：(1)利用面面垂直的性質(zhì)證明4B1平面PA。，從而可證PD14B,又PD1BM,由線面垂直

的判定定理可證明P。，平面48M,即可證明PO1AM；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)。P=a,然后求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出平面PBC和平

面PCQ的法向量，由向量的夾角公式列出關(guān)于”的等式，求出a的值，即可求出AP的值.

本題考查了立體幾何的綜合應(yīng)用，涉及了線面垂直的判定定理的應(yīng)用，在有關(guān)空間角問題的時(shí)候，

一般會建立合適的空間直角坐標(biāo)系，將空間角問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題進(jìn)行研究，屬于中檔題.

12.答案：解：(1)證明：菱形ABCQ中，AC1BD,設(shè)AC,交于點(diǎn)。，連接E。，F(xiàn)0,

則F01BD,又EOCFO=0,EO,F。u平面EOF,

所以8。1平面EOF,

又EFu平面EOF,

所以8D1EF.

(2)由EF=3OE=0F=—，

N2

皿1人口OE2+OF2-EF21

則COSNEOF=-------------------=——

2OEOF2

可得NEOF=120°,

所以S4OE尸=±0EOF.sinl20°=—,

216

在△DEF中，coszEOF=之二=一工，

28

sin乙EDF=Vl-cos2Z.EDF=—.

8

所以SAOEF=-DE-DF-sinZEDF=-.

216

記B到平面。EE的距離為力，

%-DEF=^B-OEF+VD-OEF，

=

即,h=5s4oEf,OB+1S^OEF,。。5sAOE尸'BD,

13yli.1373

??,-x—h=-x—x1，

316316

解得：仁第

E

解析：本題重點(diǎn)考查線面垂直的性質(zhì)和點(diǎn)面距離的求法，屬于一般題.

(1)通過求證BD1平面EOF,即可求證BC1EF；

(2)利用Vg-DEF=^B-OEF+%)-OEF即可求解.

13.答案：證明：(1)取48中點(diǎn)6,連結(jié)CG,

由已知可得ADCG是平行四邊形，

所以CG=AD=[4B,所以AC1BC,

又平面4CEF1平面ABCD,平面4CEFn平面ABC。=AC,

所以BC_L平面ACEF,

又4Eu平面ACEF,所以BCJL4E.

解：(口)因?yàn)槠矫?CEF_L平面ABCZ),平面ACEFn平面力BCD=AC,ECLAC,

所以EC1平面ABCD,由(I)知4c1BC,

如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CA,CB,CE為x,y,z軸

建立空間直角坐標(biāo)系，。(0,0,0),8(0,1,0)芭(0,0,1)/(當(dāng),0,1),。(白,一表0)，EF=(f,0,0),麗=

(0,—1,1),麗=《,一|,0),

設(shè)平面BCE的法向量為記=(x,y,z),

則也受=0,即-x=0,所以元=(0,1,1),

(展BE=0(―y+Z=0

設(shè)平面8OE的法向量為沆=(%,y,z),

則巴國=0,即掙。=0,所以記=(百,1,1),

?BE=0(―y+z=0

一>tm-n2VTo

coS<m,n>=—=^=—,

所以二面角?！狟E—F的余弦值為理.

5

z

解析：本題考查線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查線面關(guān)系的判斷，是中檔題.

(1)取48中點(diǎn)6,連結(jié)CG,推導(dǎo)出AOCG是平行四邊形，AC1BC,從而1平面ACE凡由此

能證明BCJ.AE.

(H)以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CA,CB,CE為X,y,Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出二面

角。一BE-F的余弦值.

14.答案：解：⑴證明："ABLAD,

平面ABC。n平面PAD=AD,平面PAD1平面ABCD,

AB_L平面PAD.

(2)解：「AB1平面「A。，ABHCD,

CDJ■平面PAO,CD1PD,

vCD-PD=2,S^PCD=1x2x2=2,

設(shè)點(diǎn)8到平面PCD的距離為乩

由^P-BCD=^B-PCD,得］xV3x-x2x2=-x2xd,

解得d=V3>

二點(diǎn)B到平面PCD的距離為遮.

解析：(1)由AB1AD,平面PAD_L平面ABCD,能證明AB1平面PAD.

(2)設(shè)點(diǎn)B到平面PCD的距離為d,由/_BCD=%-PCD，能求出點(diǎn)8到平面PCD的距離.

本題考查線面垂直的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)

系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

15.答案：(1)證明：如圖：

E

節(jié)

取BD的中點(diǎn)O,連接OF、OE.

因?yàn)榱=AD,BC=CD,

△EBDfllAFBO分另1］是4ABD^A^CBD以BD為折痕向上折起而得到，

所以EB=EC,BE=FD,因此BDJ.OE,BD1OF.

又因?yàn)镺EnOF=O,OE、OFu平面E尸。，所以BD1平面EFO,

而EFu平面EFO,因此BD1EF.

(2)解：因?yàn)槠矫鍱BD_L平面FBD交于BD,

由(1)知I：EOu平面EB。，BD1OE,所以E。1平面F8。，

因此直線FO是直線FE在平面FBD內(nèi)的射影，

所以直線EF與平面F8。所成角為/EFO,因此NEF。=60°.

又因?yàn)锽C=CD=/，且BC1CD,

△尸8。是4CBD以BD為折痕向上折起而得到，且。是8。中點(diǎn)，

所以FO=^BD=1,因此在RtAEFO中，EO=遮.

又因?yàn)橛?1)知：EB=ED,。是8。的中點(diǎn)，

所以由BD=2,E。=百得E8=ED=2,即△EBD是邊長為2的正三角形，

因此△48。也是邊長為2的正三角形.

又因?yàn)辄c(diǎn)E在平面ABC。內(nèi)的正投影G為AABD的重心，

所以點(diǎn)。、G、A共線,且吟。4咚

又因?yàn)橛?1)知：BD1OE,所以BD1O4

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OD、OA所在直線分別為x、y軸，平行于EG的直線為z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖：

則0(0,0,0),Z)(l,o,o),/l(0,V3,0),B(-l,0,0),

因此荏=(一1,一百,0),BD=(2,0,0).

又因?yàn)镋GL平面ABD,OAu平面ABD,所以EG1OA,

因此在RtzSEOG中，由E0=B，OG=邑得￡6=逗,

33

所以E（0片考），因此菸=（1,今甯.

設(shè)平面ABE的法向量為％=（%,y,z）,

S：2：o-即—X—V3y=0

則.V3.2V6八，

xH-y4---z=0

3J3

令z=l,則久=—逐，y=V2,

因此汨=（一述,A1）是平面ABE的一個(gè)法向量.

設(shè)平面8OE的法向量為房=（a,b,c）,

三餐=0,即2a=0

則.V3,2V6八,

a4——b4----c=0

n2,BE=033

令c=-1,則a=0,6=2V2,

因此布=（0,2夜,一1）是平面BQE的一個(gè)法向量.

設(shè)二面角力-BE-。的大小為0,由圖形知：。為銳角,

因此cos。=|cos＜無，說＞|=磊j=翡=三，

即二面角力-BE-。的余弦值為g.

解析：本題考查了線面垂直的判定，線面垂直的性質(zhì)，面面垂直的性質(zhì)，直線與平面所成角，二面

角和利用空間向量求線線、線面和面面的夾角，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力和空間想象能力，屬于較難

題.

(1)取8。的中點(diǎn)0,連接。尸、OE,利用題目條件得BD10E和BD1OF,再利用線面垂直的判定

得BO_L平面EF。，最后利用線面垂直的性質(zhì)得結(jié)論；

(2)利用面面垂直的性質(zhì)得EO_L平面FBD,再利用直線與平面所成角得直線EF與平面EBO所成角

為乙EFO,從而得NEF。=60°,再利用平面幾何知識得點(diǎn)。、G、A共線，且BD1OA,以及相關(guān)量，

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OD、OA所在直線分別為x、y軸，平行于EG的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)

系，利用空間向量求面面的夾角，計(jì)算得結(jié)論.

16.答案：(1)證明:連結(jié)&G，AC,AXB,BH,

因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，且HC〃/IB,

t^r~)\ICHCE1

所以77=7^=1，

ADDD

所以CH=4B,

故四邊形CBHA為平行四邊形，

所以4C//BH且AC=BH,

又在菱形ABCD中，BD1AC,

所以BD1BH,

在四棱柱力BCD-A/】QD1中，

所以4a〃CG且A4=CC],即四邊形為平行四邊形，

故4C//4C1且AC=46，

所以&CJ/8H且4G=BH,即四邊形4GBH為平行四邊形,

所以B4J/HC1，

又因?yàn)镃在平面A8C。的投影是H,即G"_L平面ABC。，

所以，平面ABC￡>,

所以1BD,

因?yàn)閡平面&BH,BHu平面&BH,A$CBH=B,

所以BO1平面又4/u平面&BH,

所以BDJ.41H；

(2)解：由(1)可知，BD1BH,AXBABCD,t^BA^LBD,BAA1BH,

建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

貝1JB(O,O,O),C(V3,1,0),5(b,1,2遮),^(73,-1,273).

所以=(0,2,0),D7S=(-V3.-1.-2V3).西=(0,2,-2V3),CB=(-A/3,-1,0).

設(shè)平面。IBBI的法向量為元=(x,y,z),

則有0?眄=2y=0,

(n-D1B=-V3x—y—2V3z=0

令％=2,則z=—1,故乃=(2,0,—1),

設(shè)平面CBBi的法向量為記=(a,b,c),

則有(記?CB]=2b-2A/3C=0

Im?CB=—V3a—6=0

令b=?則a=-l,c=l,故沆=(一1,舊,1),

所以cos<n,m>=言鼻=青白=

|n||m|V5xV55

因?yàn)槎娼荄i-BBi-C為銳二面角，

所以二面角Di-BBi-C的余弦值為|.

解析：本題考查了立體幾何的綜合應(yīng)用，涉及了線面垂直的判定定理的應(yīng)用，在求解空間角的時(shí)候，

一般會建立合適的空間直角坐標(biāo)系，將空間角問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題進(jìn)行研究，屬于中檔題.

(1)連結(jié)為G，AC,ArB,BH,利用中位線定理得到HC〃4B,從而利用比例關(guān)系，得到CH=4B,

然后分別證明四邊形CB/M、四邊形46&4、四邊形4G8H為平行四邊形，利用C在平面ABC。

的投影是“，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)定理可得4/1BD,再運(yùn)用線面垂直的判定定理證明BD_L平面

A$H,即可證明;

(2)建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出平面CiBBi和平面CB/的法向

量，然后利用向量的夾角公式求解即可.

17.答案：解:(1)連接。M,顯然DC〃BMCC=BM,

四邊形為平行四邊形，DM//BC.DM=BC,

???△AMD是正三角形，」.MN1/W,

又???PD1平面ABCD,MNu平面ABCD,

???PD1MN,PDCAD=D,4。與PD在平面PAD內(nèi)

???MN，平面PAD,又MNu平面PMN,

平面PMN1平面PAD.

(2)連接BO,易樂BD"MN,

BDLAD.BD1PD,建立如圖所示的空間坐標(biāo)系,

則D(0,0,0),N(l,0,0),C(-l,V3,0)，設(shè)P(0,0,m)(m>0),

???麗=(1,0,-m),CN=(2,-V3,0),

設(shè)平面PNC的法向量為丘=(x,y,z),

a-PW=0

-a-CN=0

令z=V5，a=(V37n,2m,V3)?

平面PN￡)的一個(gè)法向量為石=(0,1,0)，

2m

cos<a^,b>\=cos60°=1

V37n2+4m2+32’

解得m=烏

3

所以四棱錐P-ABC。的體積V=ixix(2+4)xV3x^=l.