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文檔簡(jiǎn)介
第一章導(dǎo)數(shù)
1.1導(dǎo)數(shù)
當(dāng)x變化時(shí),「(x)是x的一個(gè)函數(shù),我們稱它為f(x)的導(dǎo)函數(shù)(derivative
function)(簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)力
f(x+Ax)-/(%)
lim
f(x)=y=△x
函數(shù)在某一點(diǎn)Xo處的導(dǎo)數(shù):
Kxo+A%)-f(%o)
f(x())=y=lim
Ax->0△%
1.2.2基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式
1.f(x)=c(c為常數(shù)),f5(x)=0
2.f(x)=x",f'(x)=nx"-1
3.f(x)=sinx,f(x)=cosx
4.f(x)=cosx,f(x)=-sinx
5.f(x)=a,f'(x)=a*lna
6.f(x)=ex,f(x)=e
f(x)=lnx,則f(x)=;
f(x)=10gax,則F(x)=^
導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則:
[f(x)±g(x)]=f(x)±g'(x)
[f(x)?g(x)]=f(x)g(x)+f(x)g'(x)
r/wi'_f(x)g(x)-f(x)g'(x)
[<7(X)]2(g(x)wo)
復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為
III
u
yx=yu-x
即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積。
1.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用
1.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)
在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi),如果f,(x)>0,那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;
如果f,(x)<0,那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。
極大值點(diǎn)(如x=a)附近的點(diǎn)的函數(shù)值都比該點(diǎn)的函數(shù)值小,該點(diǎn)的函數(shù)值叫做
極大值;
極小值點(diǎn)(如x=b)附近的點(diǎn)的函數(shù)值都比該點(diǎn)的函數(shù)值大,該點(diǎn)的函數(shù)值叫做
極小值。
極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn);極大值和極小值統(tǒng)稱為極值(extreme
value)o
注意:極值反映了函數(shù)在某一點(diǎn)附近的大小情況,刻畫的是函數(shù)的局部性質(zhì),而
不是函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)的性質(zhì)。
*導(dǎo)數(shù)值為0是該點(diǎn)取得極值點(diǎn)的必要不充分條件。
一般地,求函數(shù)y=f(x)的極值的方法是:
解方程f'(x)=O,當(dāng)>xo)=O時(shí):
(1)如果在xo附近的左側(cè)f'(xo)>O,右側(cè)r(xo)<O,那么f,(xo)是極大值;
⑵如果在X0附近的左側(cè)f'(xo)<O,右側(cè)r(xo)>O,那么f,(xo)是極小值。
一般地,求函數(shù)y=f(x)在[a,b]的最大值與最小值的步驟:
(1)求函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)的極值;
(2)將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a),f(b)比較,其中最大的一個(gè)是
最大值,最小的一個(gè)是最小值。
1.5.3定積分的概念
⑴分割⑵近似代替(3)作和⑷取極限
一般地,如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),用分點(diǎn)
a=x0<X]<—<xi_1<Xj<—<xn=b
將區(qū)間[a,b]等分成n個(gè)小區(qū)間,在每個(gè)小區(qū)間[x〃,■上任取一點(diǎn)&(i=l,2,
…,n),作和式
nni
°°b-a
2嗎)取=?7-鳴)
i=1i=1
當(dāng)n—8時(shí),上述和式無(wú)限接近某個(gè)常數(shù),這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,
b]上的定積分(definiteintegral),記作”f(x)dx,即
「b口b-a
Jf(x)dx=limJ]--f(^)
Jan->oon
這里,a與b分別叫做積分卜限與積分上限,區(qū)間[a,b]叫做積分區(qū)間,函
數(shù)f(x)叫做被積函數(shù),x叫做積分變量,f(x)dx叫做被積式。
定積分的幾何意義:從幾何上看,如果在區(qū)間[a,b]上函數(shù)f(x)連續(xù)且恒有f(x)2O,
那么定積分'aKx)dx表示由直線x=a,x=b(aHb),y=0和曲線y=f(x)所圍成的曲邊
梯形的面積。
定積分的性質(zhì):
bfb
kf(x)dx=kJf(x)dx(k為常數(shù))
aJa
brbrb
[f1(x)±f2(x)]dx=Jf1(x)dx±Jf2(x)dx
aaa
brcrb
f(x)dx=Jf(x)dx+Jf(x)dx(其中a<c<b)
aJaJc
111
.3.3,3,,312,,i、2
i=1+n2+…+n=-n(n+1)
iE=14
1.5微積分
一般地,如果f(x)是區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù),并且F(x)=f(x),那么
J:f(x)dx=F(x)|:=F(b)-F(a)
這個(gè)結(jié)論叫做微積分基本定理(fundamentaltheoremofcalculus),又叫做牛
頓?萊布尼茨公式(Newton?LeibnizFormula)o
第二章推理與證明
推理是根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷來(lái)確定一個(gè)新的判斷的思維過(guò)程。
2.1.1合情推理
e.g.
⑴哥德巴赫(Goldbach)猜想:任何一個(gè)不小于6的偶數(shù)都等于兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和;
(2)費(fèi)馬(Fermat)猜想:任何形如2+1(neN')的數(shù)都是質(zhì)數(shù)(善于計(jì)算的歐拉
2s
(Euler)發(fā)現(xiàn)第5個(gè)費(fèi)馬數(shù)F5=2+1=4294967297=641X6700417,從而推
翻了費(fèi)馬的猜想);
⑶地圖的“四色猜想”;
⑷歌尼斯堡七橋猜想)
根據(jù)已有事實(shí),經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想,再進(jìn)行歸納、類比,然后提
出猜想的推理統(tǒng)稱為合情推理(plausiblereasoning)?,合情推理的結(jié)論不一定正確,
有待進(jìn)一步證明。
得到一個(gè)新結(jié)論之前,合情推理能幫助我們猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)新結(jié)論;證明一個(gè)結(jié)
論之前或探索一個(gè)問(wèn)題,合情推理能為我們提供證明或解決問(wèn)題的思路和方向。
2.1.1.1歸納推理
由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征,推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些
特征的推理,或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理,稱為歸納推理(由部分到
整體、由個(gè)別到一般的推理)。(抽樣調(diào)查是一種歸納)
2.1.1.2類比(analogy)
由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征,推出另一類
對(duì)象也具有這些特征的推理稱為類比推理(由特殊到特殊的推理)。
類比直角三角形的勾股定理,在直三棱錐(三條棱兩兩垂直的棱錐)中,有:
2222
直三棱錐中三個(gè)側(cè)面的面積的平方和等于底面面積的平方,即S底=S1+S2+S3
Quotations
“類比是一個(gè)偉大的引路人,求解立體幾何問(wèn)題往往有賴于平面幾何中的類比問(wèn)
題?!薄ɡ麃?Polya)
“合情推理是冒險(xiǎn)的、有爭(zhēng)議的和暫時(shí)的?!币灰徊ɡ麃?/p>
“我珍視類比勝過(guò)任何別的東西,它是我最可信賴的老師,它能揭示自然界的秘
密?!薄_普勒(Kepler,1571—1630)
“即使在數(shù)學(xué)里,發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是歸納和類比”一一拉普拉斯(Laplace,
1749-1827)
2.1.2演繹推理
從一般性的原理出發(fā),推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論,這種推理稱為演繹推理
(demonstrativereasoning)。演繹推理是由一般到特殊的推理。
演繹推理具有證明結(jié)論,整理和構(gòu)建知識(shí)體系的作用,是公理體系中的基本
推理方法。
“三段論"(Syllogism)(由亞里士多德創(chuàng)立,他還提出用演繹推理來(lái)建立各
門學(xué)科體系的思想)是演繹推理的一般模式,包括:
(1)大前提一一已知的一般原理;(如果大前提是顯然的,則可以省略)
(2)小前提一一所研究的特殊情況;
⑶結(jié)論一一根據(jù)一般原理,對(duì)特殊情況做出的判斷。
在演繹推理中,只要前提和推理形式是正確的,結(jié)論必定是正確的。
公理化方法:盡可能少地選取原始概念和一組不加證明的原始命題(公理、共設(shè)),
以此為出發(fā)點(diǎn),應(yīng)用演繹推理,推出盡可能多的結(jié)論。
*直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。
類比三角形的余弦定理,可得四面體的余弦定理:
0
S&BCD=^AVBCC0SCtl+SAVCDCOS^+^AVBDC0Sa3
S&BCD=S^VBC+SAVBD+SMD-2SAVB(-SiVBDcosPj-2SiVBCSiVCDcosP2-2SiVBDSAVCDcosp3
2.2直接證明與間接證明
2.2.1綜合法和分析法(直接證明中最基本的兩種方法)
一般地,利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等,經(jīng)過(guò)一系列的推理
論證,最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立,這種證明方法叫做綜合法(synthetical
method),又叫順推證法或由因?qū)Чā?/p>
用P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等,Q表示所要證明的結(jié)論,則綜
合法可表示為:
P=Q1Q1=Q2Q2=Q3Qn=Q
*解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),往往要先把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成符號(hào)語(yǔ)言,或把符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成
圖形語(yǔ)言等,還要通過(guò)細(xì)致的分析,把其中的隱含條件明確表示出來(lái)。
一般地,從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直至最后,
把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理
等)為止,這種方法叫做分析法(analyticalmethod),又叫逆推法或執(zhí)果索因法。
用Q表示要證明的結(jié)論,則分析法可表示為:
得到一個(gè)明顯成
Q=P1P1=PP2=P
23立的條件
在解決問(wèn)題時(shí),經(jīng)常把綜合法與分析法結(jié)合起來(lái)使用:根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)
去轉(zhuǎn)化結(jié)論,得到中間結(jié)論Q';根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化條件,得到中間結(jié)
論P(yáng)';若由,可以推出Q,成立,就可以證明結(jié)論成立。
用P表示已知條件、定義、定理、公理等,用Q表示要證明的結(jié)論,則該過(guò)程
可表示為:
2.2.2反證法
一般地,假設(shè)原命題不成立(即在原命題的條件下,結(jié)論不成立),經(jīng)過(guò)正確的
推理,最后得出矛盾,因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤,從而證明了原命題成立,這樣的證明
方法叫做反證法(reductiontoabsurdity),或叫歸謬法。
反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾,這個(gè)矛盾可以是與已知條件矛
盾,或與假設(shè)矛盾,或與定義、公理、定理、事實(shí)矛盾等。
反證法常常是解決某些“疑難”問(wèn)題的有力工具。數(shù)學(xué)家哈代曾經(jīng)這樣稱贊
它:“歸謬法是數(shù)學(xué)家最有力的一件武器,比起象棋開局犧牲一子以取得優(yōu)勢(shì)的
讓棋法,它還要高明。象棋對(duì)弈者不外犧牲一卒或頂多一子,數(shù)學(xué)家索性把全局
拱手讓予對(duì)方!”
2.3數(shù)學(xué)歸納法(mathematicalinduction)
多米諾骨牌的類比(只要滿足以下兩個(gè)條件,所有多米諾骨牌就都能倒下):
(1)第一塊骨牌倒下;
(2)任意相鄰的兩塊骨牌,前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下。
一般地,證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題,可按下列步驟進(jìn)行:
(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值no(no€N+)時(shí)命題成立;
(2)(歸納遞推)假設(shè)n=k(k>no,keV)時(shí)命題成立,證明當(dāng)n=k+l時(shí)命題也成立。
只要完成這兩個(gè)步驟,就可以斷定命題對(duì)從no開始的所有正整數(shù)n都成立。
可表示為:
驗(yàn)證「二嗎時(shí)命題成.鼾跣囑器
”也成立
歸納奠基歸納遞推
第三章復(fù)數(shù)
3.1.1復(fù)數(shù)的概念
形如a+bi(a,beR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)(complexnumber),其中i叫做虛數(shù)單
位(imaginaryunit)。全體復(fù)數(shù)所成的集合C叫做復(fù)數(shù)集(setofcomplexnumbers)。
復(fù)數(shù)通常用字母z表示,即z=a+bi(a,beR),這一形式叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形
式(algebraicformofcomplexnumber),a與b分別叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部(realpart)與
虛部(imaginarypart)。
復(fù)數(shù)z{虛數(shù)(bH0漕皇o睚純虛數(shù))
規(guī)定:復(fù)數(shù)a+bi與c+di相等的充要條件是a=c且b=d
用建立了直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面,x軸叫做實(shí)軸,y軸叫
做虛軸。實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù);除了原點(diǎn)外,虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)。
復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b):一列應(yīng)」復(fù)數(shù)z=a+bi:…對(duì)應(yīng)》平面向量顯
為方便起見(jiàn),我們常把復(fù)數(shù)z=a+bi說(shuō)成點(diǎn)Z或說(shuō)成向量應(yīng),并且規(guī)定,相等
的向量表示同一個(gè)復(fù)數(shù)。
向量。Z的模r叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的模,記作|z|或|a+bi|;
22
z=la+bi=r=Ja+b(r>0,reR)
3.2復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算
3.2.1復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算及其幾何意義
zx±z2=(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i
復(fù)數(shù)加法交換律、結(jié)合律:
兩個(gè)向量的和(差)就是與該兩向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)之和(差)所對(duì)應(yīng)的向量。因此,
復(fù)數(shù)的加減法可以按照向量的加減法來(lái)進(jìn)行,這就是復(fù)數(shù)加減法的幾何意義。
3.2.2復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算
Z]?z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
復(fù)數(shù)乘法交換律、結(jié)合律、分配律:
一般地,當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等,虛部互為相反數(shù)時(shí),這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為
共趣復(fù)數(shù)(conjugatecomplexnumber)。虛部不等于0的兩個(gè)共枕復(fù)數(shù)也叫做共
物虛數(shù)。通常記復(fù)數(shù)z的共枕復(fù)數(shù)為萬(wàn)
復(fù)數(shù)的除法法則:
,、ac4-bdbe-ad
z,-e-z2=(a+bi)4-(c+di)=-=----7+方----(c+di00,即除數(shù)不為0)
+dc+
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