高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 選修2

第一章導(dǎo)數(shù)

1.1導(dǎo)數(shù)

當(dāng)x變化時(shí)，「(x)是x的一個(gè)函數(shù)，我們稱它為f(x)的導(dǎo)函數(shù)(derivative

function)(簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)力

f(x+Ax)-/(%)

lim

f(x)=y=△x

函數(shù)在某一點(diǎn)Xo處的導(dǎo)數(shù):

Kxo+A%)-f(%o)

f(x())=y=lim

Ax->0△%

1.2.2基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

1.f(x)=c(c為常數(shù)),f5(x)=0

2.f(x)=x",f'(x)=nx"-1

3.f(x)=sinx,f(x)=cosx

4.f(x)=cosx,f(x)=-sinx

5.f(x)=a,f'(x)=a*lna

6.f(x)=ex,f(x)=e

f(x)=lnx,則f(x)=；

f(x)=10gax,則F(x)=^

導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則：

[f(x)±g(x)]=f(x)±g'(x)

[f(x)?g(x)]=f(x)g(x)+f(x)g'(x)

r/wi'_f(x)g(x)-f(x)g'(x)

[<7(X)]2(g(x)wo)

復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為

III

u

yx=yu-x

即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積。

1.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

1.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)

在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi)，如果f，(x)>0,那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；

如果f，(x)<0,那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。

極大值點(diǎn)(如x=a)附近的點(diǎn)的函數(shù)值都比該點(diǎn)的函數(shù)值小，該點(diǎn)的函數(shù)值叫做

極大值；

極小值點(diǎn)(如x=b)附近的點(diǎn)的函數(shù)值都比該點(diǎn)的函數(shù)值大，該點(diǎn)的函數(shù)值叫做

極小值。

極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)；極大值和極小值統(tǒng)稱為極值(extreme

value)o

注意：極值反映了函數(shù)在某一點(diǎn)附近的大小情況，刻畫的是函數(shù)的局部性質(zhì)，而

不是函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)的性質(zhì)。

*導(dǎo)數(shù)值為0是該點(diǎn)取得極值點(diǎn)的必要不充分條件。

一般地，求函數(shù)y=f(x)的極值的方法是:

解方程f'(x)=O,當(dāng)>xo)=O時(shí):

(1)如果在xo附近的左側(cè)f'(xo)>O,右側(cè)r(xo)<O,那么f，(xo)是極大值；

⑵如果在X0附近的左側(cè)f'(xo)<O,右側(cè)r(xo)>O,那么f，(xo)是極小值。

一般地，求函數(shù)y=f(x)在［a,b］的最大值與最小值的步驟：

(1)求函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)的極值；

(2)將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a),f(b)比較，其中最大的一個(gè)是

最大值，最小的一個(gè)是最小值。

1.5.3定積分的概念

⑴分割⑵近似代替(3)作和⑷取極限

一般地，如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，用分點(diǎn)

a=x0<X］<—<xi_1<Xj<—<xn=b

將區(qū)間［a,b］等分成n個(gè)小區(qū)間,在每個(gè)小區(qū)間［x〃,■上任取一點(diǎn)&(i=l,2,

…，n),作和式

nni

°°b-a

2嗎)取=?7-鳴)

i=1i=1

當(dāng)n—8時(shí)，上述和式無(wú)限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,

b］上的定積分(definiteintegral),記作”f(x)dx,即

「b口b-a

Jf(x)dx=limJ］--f(^)

Jan->oon

這里，a與b分別叫做積分卜限與積分上限，區(qū)間［a,b］叫做積分區(qū)間，函

數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式。

定積分的幾何意義：從幾何上看，如果在區(qū)間［a,b］上函數(shù)f(x)連續(xù)且恒有f(x)2O,

那么定積分'aKx)dx表示由直線x=a,x=b(aHb),y=0和曲線y=f(x)所圍成的曲邊

梯形的面積。

定積分的性質(zhì):

bfb

kf(x)dx=kJf(x)dx(k為常數(shù))

aJa

brbrb

[f1(x)±f2(x)]dx=Jf1(x)dx±Jf2(x)dx

aaa

brcrb

f(x)dx=Jf(x)dx+Jf(x)dx(其中a<c<b)

aJaJc

111

.3.3,3,,312,,i、2

i=1+n2+…+n=-n(n+1)

iE=14

1.5微積分

一般地,如果f(x)是區(qū)間［a,b］上的連續(xù)函數(shù),并且F(x)=f(x),那么

J：f(x)dx=F(x)|：=F(b)-F(a)

這個(gè)結(jié)論叫做微積分基本定理(fundamentaltheoremofcalculus),又叫做牛

頓?萊布尼茨公式(Newton?LeibnizFormula)o

第二章推理與證明

推理是根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷來(lái)確定一個(gè)新的判斷的思維過(guò)程。

2.1.1合情推理

e.g.

⑴哥德巴赫(Goldbach)猜想：任何一個(gè)不小于6的偶數(shù)都等于兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和;

(2)費(fèi)馬(Fermat)猜想：任何形如2+1(neN')的數(shù)都是質(zhì)數(shù)(善于計(jì)算的歐拉

2s

(Euler)發(fā)現(xiàn)第5個(gè)費(fèi)馬數(shù)F5=2+1=4294967297=641X6700417,從而推

翻了費(fèi)馬的猜想)；

⑶地圖的“四色猜想”；

⑷歌尼斯堡七橋猜想)

根據(jù)已有事實(shí)，經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提

出猜想的推理統(tǒng)稱為合情推理(plausiblereasoning)?,合情推理的結(jié)論不一定正確，

有待進(jìn)一步證明。

得到一個(gè)新結(jié)論之前，合情推理能幫助我們猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)新結(jié)論；證明一個(gè)結(jié)

論之前或探索一個(gè)問(wèn)題，合情推理能為我們提供證明或解決問(wèn)題的思路和方向。

2.1.1.1歸納推理

由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些

特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理(由部分到

整體、由個(gè)別到一般的推理)。(抽樣調(diào)查是一種歸納)

2.1.1.2類比(analogy)

由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類

對(duì)象也具有這些特征的推理稱為類比推理(由特殊到特殊的推理)。

類比直角三角形的勾股定理，在直三棱錐(三條棱兩兩垂直的棱錐)中，有：

2222

直三棱錐中三個(gè)側(cè)面的面積的平方和等于底面面積的平方，即S底=S1+S2+S3

Quotations

“類比是一個(gè)偉大的引路人，求解立體幾何問(wèn)題往往有賴于平面幾何中的類比問(wèn)

題?！薄ɡ麃?Polya)

“合情推理是冒險(xiǎn)的、有爭(zhēng)議的和暫時(shí)的?！币灰徊ɡ麃?/p>

“我珍視類比勝過(guò)任何別的東西，它是我最可信賴的老師，它能揭示自然界的秘

密?！薄_普勒(Kepler,1571—1630)

“即使在數(shù)學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是歸納和類比”一一拉普拉斯(Laplace,

1749-1827)

2.1.2演繹推理

從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，這種推理稱為演繹推理

(demonstrativereasoning)。演繹推理是由一般到特殊的推理。

演繹推理具有證明結(jié)論，整理和構(gòu)建知識(shí)體系的作用，是公理體系中的基本

推理方法。

“三段論"(Syllogism)(由亞里士多德創(chuàng)立，他還提出用演繹推理來(lái)建立各

門學(xué)科體系的思想)是演繹推理的一般模式，包括：

(1)大前提一一已知的一般原理；(如果大前提是顯然的，則可以省略)

(2)小前提一一所研究的特殊情況；

⑶結(jié)論一一根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷。

在演繹推理中，只要前提和推理形式是正確的，結(jié)論必定是正確的。

公理化方法：盡可能少地選取原始概念和一組不加證明的原始命題(公理、共設(shè)),

以此為出發(fā)點(diǎn)，應(yīng)用演繹推理，推出盡可能多的結(jié)論。

*直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

類比三角形的余弦定理，可得四面體的余弦定理：

0

S&BCD=^AVBCC0SCtl+SAVCDCOS^+^AVBDC0Sa3

S&BCD=S^VBC+SAVBD+SMD-2SAVB(-SiVBDcosPj-2SiVBCSiVCDcosP2-2SiVBDSAVCDcosp3

2.2直接證明與間接證明

2.2.1綜合法和分析法(直接證明中最基本的兩種方法)

一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理

論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法(synthetical

method),又叫順推證法或由因?qū)Чā?/p>

用P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，Q表示所要證明的結(jié)論，則綜

合法可表示為：

P=Q1Q1=Q2Q2=Q3Qn=Q

*解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，往往要先把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成符號(hào)語(yǔ)言，或把符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成

圖形語(yǔ)言等，還要通過(guò)細(xì)致的分析，把其中的隱含條件明確表示出來(lái)。

一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，

把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理

等)為止，這種方法叫做分析法(analyticalmethod),又叫逆推法或執(zhí)果索因法。

用Q表示要證明的結(jié)論，則分析法可表示為：

得到一個(gè)明顯成

Q=P1P1=PP2=P

23立的條件

在解決問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常把綜合法與分析法結(jié)合起來(lái)使用：根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)

去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論Q'；根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化條件，得到中間結(jié)

論P(yáng)'；若由，可以推出Q，成立，就可以證明結(jié)論成立。

用P表示已知條件、定義、定理、公理等，用Q表示要證明的結(jié)論，則該過(guò)程

可表示為：

2.2.2反證法

一般地，假設(shè)原命題不成立(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過(guò)正確的

推理，最后得出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明

方法叫做反證法(reductiontoabsurdity),或叫歸謬法。

反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，這個(gè)矛盾可以是與已知條件矛

盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實(shí)矛盾等。

反證法常常是解決某些“疑難”問(wèn)題的有力工具。數(shù)學(xué)家哈代曾經(jīng)這樣稱贊

它：“歸謬法是數(shù)學(xué)家最有力的一件武器，比起象棋開局犧牲一子以取得優(yōu)勢(shì)的

讓棋法，它還要高明。象棋對(duì)弈者不外犧牲一卒或頂多一子，數(shù)學(xué)家索性把全局

拱手讓予對(duì)方！”

2.3數(shù)學(xué)歸納法(mathematicalinduction)

多米諾骨牌的類比(只要滿足以下兩個(gè)條件，所有多米諾骨牌就都能倒下)：

(1)第一塊骨牌倒下；

(2)任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下。

一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：

(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值no(no€N+)時(shí)命題成立；

(2)(歸納遞推)假設(shè)n=k(k>no,keV)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+l時(shí)命題也成立。

只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從no開始的所有正整數(shù)n都成立。

可表示為：

驗(yàn)證「二嗎時(shí)命題成.鼾跣囑器

”也成立

歸納奠基歸納遞推

第三章復(fù)數(shù)

3.1.1復(fù)數(shù)的概念

形如a+bi(a,beR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)(complexnumber),其中i叫做虛數(shù)單

位(imaginaryunit)。全體復(fù)數(shù)所成的集合C叫做復(fù)數(shù)集(setofcomplexnumbers)。

復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z=a+bi(a,beR),這一形式叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形

式(algebraicformofcomplexnumber),a與b分別叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部(realpart)與

虛部(imaginarypart)。

復(fù)數(shù)z｛虛數(shù)(bH0漕皇o睚純虛數(shù))

規(guī)定：復(fù)數(shù)a+bi與c+di相等的充要條件是a=c且b=d

用建立了直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫

做虛軸。實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)。

復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b):一列應(yīng)」復(fù)數(shù)z=a+bi:…對(duì)應(yīng)》平面向量顯

為方便起見(jiàn)，我們常把復(fù)數(shù)z=a+bi說(shuō)成點(diǎn)Z或說(shuō)成向量應(yīng)，并且規(guī)定，相等

的向量表示同一個(gè)復(fù)數(shù)。

向量。Z的模r叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的模，記作|z|或|a+bi|；

22

z=la+bi=r=Ja+b(r>0,reR)

3.2復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算

3.2.1復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算及其幾何意義

zx±z2=(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i

復(fù)數(shù)加法交換律、結(jié)合律：

兩個(gè)向量的和(差)就是與該兩向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)之和(差)所對(duì)應(yīng)的向量。因此,

復(fù)數(shù)的加減法可以按照向量的加減法來(lái)進(jìn)行，這就是復(fù)數(shù)加減法的幾何意義。

3.2.2復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算

Z]?z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

復(fù)數(shù)乘法交換律、結(jié)合律、分配律:

一般地，當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為

共趣復(fù)數(shù)(conjugatecomplexnumber)。虛部不等于0的兩個(gè)共枕復(fù)數(shù)也叫做共

物虛數(shù)。通常記復(fù)數(shù)z的共枕復(fù)數(shù)為萬(wàn)

復(fù)數(shù)的除法法則：

,、ac4-bdbe-ad

z,-e-z2=(a+bi)4-(c+di)=-=----7+方----(c+di00,即除數(shù)不為0)

+dc+