江蘇省蘇州大學2021屆高三年級下冊高考考前指導數(shù)學試題（含答案解析）

江蘇省蘇州大學2021屆高三下學期高考考前指導數(shù)學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.設(shè)集合A={l，2,3},8={4,5},C={x+y|xeA,ye8},則C中元素的個數(shù)為()

A.3B.4C.5D.6

2.若隨機變量X?8(5,p),￡>(X)=|,則石(X)=()

11155

A.—B.-C.—D.一

54162

3.設(shè)幾為實數(shù)，已知向量加=(1,九)，〃=(2,-1).若m_L〃，則向量機一幾與〃的夾角為

()

71兀-2兀3兀

A.—B.-C.—D.—

4334

4.為了更好地管理班級，班主任決定選若干名學生擔任班主任助理，于是征求語、數(shù)、

英三科任課教師的意見.語文老師：“如果不選小李，那么不選小宋”；數(shù)學老師：“如果

不選小宋，那么選小李"；英語老師：”在小宋和小李兩人中選一人若班主任同時采納

了三人的建議，則作出的選擇是()

A.選小宋，不選小李B.兩人都選

C.選小李，不選小宋D.兩人都不選

5.已知A3是平面內(nèi)兩個定點，平面內(nèi)滿足4Hp為大于0的常數(shù))的點尸

的軌跡稱為卡西尼卵形線，它是以發(fā)現(xiàn)土星衛(wèi)星的天文學家喬凡尼?卡西尼的名字命名.

當A8坐標分別為(-1,0),(1,0),且。=1時，卡西尼卵形線大致為

y

A.

AB

X

6.生物體死亡后，它機體內(nèi)原有的碳14含量P會按確定的比率衰減（稱為衰減率），P

與死亡年數(shù)t之間的函數(shù)關(guān)系式為P=（1）?（其中a為常數(shù)），大約每經(jīng)過5730年衰減為

原來的一半，這個時間稱為“半衰期”.若2021年某遺址文物出土時碳14的殘余量約占原

始含量的79%,則可推斷該文物屬于（）參考數(shù)據(jù)：log20.792-0.34.

參考時間軸:

A.戰(zhàn)國B.漢C.唐D.宋

7.已知i為虛數(shù)單位，則復數(shù)z=l+2i+3i?+…+2020尸39+202"2儂的虛部為（）

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A.-1011B.-101()C.1010D.1011

8.若定義在R上的偶函數(shù)/（X）在[0,大?）上單調(diào)遞增，且/（一%）=0,則下列取值

范圍中的每個x都能使不等式sinx-/（x+〃）20成立的是（）

A.[-2乃,0]B.[0,2句C.[-肛句

k兀,?

D.x=——,keZ>

2

二、多選題

9.如圖是函數(shù)/（x）=Asin（0x+e）（4>0，3>0）的部分圖象，則（）

A.函數(shù)y=/（x）的最小正周期為無

B.直線x=?兀是函數(shù)y=/（x）圖象的一條對稱軸

6

C.點（|兀，是函數(shù)y=/（X）圖象的一個對稱中心

D.函數(shù)二不一看）為奇函數(shù)

10.在平面直角坐標系X0Y中，已知點M（2,-1）,N（-2,1）,動點P滿足

\PM^-\PN^=a（aeR）,記點P的軌跡為曲線C,則（）

A.存在實數(shù)。，使得曲線C上所有的點到點（1,0）的距離大于2

4

B.存在實數(shù)“，使得曲線。上有兩點到點（-石，0）與（逐，0）的距離之和為6

C.存在實數(shù)。，使得曲線C上有兩點到點（-行，0）與（逐，0）的距離之差為2

D.存在實數(shù)a,使得曲線。上有兩點到點（a,0）的距離與到直線x=-a的距離相等

11.在正方體ABC。-44GA中，E,尸，M分別為棱BC,a>,CG的中點，P是線

段4G上的動點(含端點)，則()

A.PMVBD

B.AC"/平面EFM

C.PE與平面A8CO所成角正切值的最大值為2起

D.當尸位于G時，三棱錐尸-CEE的外接球體積最小

12.已知對任意x,ye(0,2),(工一廳―3憐(1-4+3芯-6恒成立，貝()()

］49

A.x+y>2B.-+—

7Xy2

C./+3xyW4D.(2x+l+J2y+1W2百

三、填空題

13.(l—2x)(l+x)4的展開式中，/的系數(shù)為.

14.已知函數(shù)/(幻滿足：①/(0)=0；②在［1,3］上是減函數(shù)；③/(l+x)=/(l—x).

請寫出一個滿足以上條件的/(x)=.

15.已知四棱錐P-ABCO的體積為匕底面A8CD是平行四邊形，E，F(xiàn)分別為棱

PC,尸。的中點，則四棱錐p—ABEF的體積為(用V表示).

四、雙空題

16.二進制是廣泛采用的一種數(shù)制，我國古老的易經(jīng)中就有二進制的思想.二進制數(shù)據(jù)

是用。和1兩個數(shù)碼來表示的數(shù).它的基數(shù)為2,進位規(guī)則是“逢二進一”，借位規(guī)則是“借

一當二”.例如二進制數(shù)1011表示十進制數(shù)IxT+0x2?+1x2'+1=11,現(xiàn)有五個二進制

數(shù)101,1100,11001,10111,111111,其中十進制為偶數(shù)的是；從中隨機選取

兩個數(shù)，它們的和不大于35(十進制)的概率為.

五、解答題

3

17.在①3。=。。且A￡>=及，②平分的C且AO=-,③且

2

AD=2這三個條件中任選一個補充在下面問題中，并加以解答.

是否存在AMC,其中角A,3,C的對邊分別是a",c,若4=工，。=百，點。

3

在線段3c上，?若存在，求AABC的周長；若不存在，請說明理由.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

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18.某食品店為了了解氣溫對銷售量的影響，隨機記錄了該店1月份中5天的日銷售量

y(單位：千克)與該地當日最低氣溫》(單位：。。)的數(shù)據(jù)，如下表：

X258911

y1210887

(1)求出y與x的回歸方程(=2%+聯(lián)；

(2)判斷y與X之間是正相關(guān)還是負相關(guān)；若該地1月份某天的最低氣溫為6c，請

用所求回歸方程預(yù)測該店當日的銷售量；

(3)設(shè)該地1月份的日最低氣溫X?其中〃近似為樣本平均數(shù)"人近

似為樣本方差S2,求P(3.8<X<13.4).

?/一時

附：①回歸方程;中，I----------，a=y-bx-

fx"n(x)2

i=l

②而“3.2，V32?1.8.若X?則P(〃—b<X<〃+cr)=0.6826,

P(//-2cr<X</J+2cr)=0.9544.

19.已知數(shù)列｛a,J的前〃項和為S“，&=4，2S?=n(a?+l)(neN*).

(1)求數(shù)列｛q｝的通項公式：

(2)對任意加eN*，將數(shù)列｛6,｝中落入?yún)^(qū)間⑶"，9)內(nèi)的項的個數(shù)記為粼，求數(shù)列

｛九｝的前，“項和I”.

20.在平面直角坐標系xOy中，設(shè)尸為橢圓C：二+4=1(。>6>0)的左焦點，左準線

ab"

與X軸交于點尸，M為橢圓C的左頂點，已知橢圓長軸長為8,且麗=2礪.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)若過點尸的直線與橢圓交于兩點A,8,設(shè)直線A尸，8b的斜率分別為人，&.

①求證：4+修為定值；

②求△A3E面積的最大值.

21.如圖，在長方體A5CO—A4C；。中，AC,BD相交于點。，尸是線段A3的中

點，已知AB=8C=4，M=2.

（2）若N是線段尸3上異于端點的點，求過與，N,O三點的平面被長方體所截面積的

最小值.

22.己知函數(shù)於）=度十（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）當。=1時，求證：函數(shù)人口圖像上任意一點處的切線斜率大于g；

（2）若/OAglna+D+cosx任意xCfO,+oo）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

試卷第6頁，總6頁

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參考答案

1.B

【分析】

由中元素求出x+y,重復的不另算，即可得.

【詳解】

xeAyeBfj寸，x+>的值依次為5,6,6,7,7,8,有4個不同值，即C={5,6,7,8},因此C

中有4個元素.

故選：B.

2.D

【分析】

利用二項分布的方差公式可求得。的值，利用二項分布的期望公式可求得E(X)的值.

【詳解】

已知隨機變量X~B(5,p),則D(X)=5〃(1—p)=$可得p2—〃+；=0,解得p=g.

因此，E(X)=5xg=g.

故選：D.

3.D

【分析】

由向量垂直得數(shù)量積為0求得參數(shù)X,然后由向量夾角的坐標運算求解.

【詳解】

因為根_1_〃,所以〃2?〃=2-4=0,4=2,則加一〃=(—1,3),

-■-———〃)?〃—2—3V2_,__

8s<‘"一"'〃>=瓦麗=而忑=一3’又<吁〃，""[°，江所以

一一一3乃

<m-n,n>=——.

4

故選：D.

4.C

【分析】

假設(shè)選其中一人，然后進行推理，得三人建議都采納了她符合要求.

答案第1頁，總19頁

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【詳解】

若選小宋，根據(jù)英語老師的話，是選小宋，不選小李，則語文老師的建議沒有采納；

若選小李，根據(jù)英語老師的話，是選小李，不選小宋，則語文數(shù)學老師的建議都采納了，語

文老師的話相當于選了小宋，則也要選小李.因此選小李，不選小宋.

故選：C.

5.A

【分析】

設(shè)P(x,y),根據(jù)題意有J(x+1)2+y2.1)2+y2=],代X=()排除C、D,通過奇偶

性排除B.

【詳解】

解:設(shè)P(x,y)

因為124HpM=a,A8坐標分別為(-1,0),(1,0),且a=i

所以J(x+l『+y2.Jdf+O=]

當x=0時，上式等式成立，即點(0,0)滿足|/%卜歸卻=。，故排除C、D.

當一X代替X時J(-x+])2+y2.J(—x_l)2+y2=J(x-l)2+y2.J(x+l)，+y2=1

即圖形關(guān)于)'軸對稱，排除B.

故選：A.

【點睛】

應(yīng)用函數(shù)奇偶性可解決的四類問題及解題方法

(1)求函數(shù)值：將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解；

(2)求解析式：先將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求解，或充分

利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于/(x)的方程(組)，從而得到"X)的解析式；

(3)求函數(shù)解析式中參數(shù)的值：利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)/。)±/(-乃=0得到關(guān)于待

求參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對等性得參數(shù)的值或方程(組)，進而得出參數(shù)的值；

(4)畫函數(shù)圖象和判斷單調(diào)性：利用奇偶性可畫出另一對稱區(qū)間上的圖象及判斷另一區(qū)間

上的單調(diào)性.

6.B

答案第2頁，總19頁

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【分析】

根據(jù)“半衰期”得a=5730,進而解方程o,79=(g)而得6—1948.2,進而可推算其所處

朝代.

【詳解】

5730

由題可知，當1=5730時，P=-,故=丁，解得a=573(),

22⑴

所以P=旃1A5730

,所以當尸=0.79時，解方程0.79=2j

兩邊取以2為底的對數(shù)得log,0.79=log,jI?730

----?-034,解得t~—1948.2,

5730

所以2021-1948.2=72.8e(-202,220),

所以可推斷該文物屬于漢朝.

故選：B

【點睛】

本題考查指數(shù)運算與對數(shù)運算，考查運算求解能力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)半

衰期計算得a=5730,進而解方程0.79=(g］嬴.

7.B

【分析】

用錯位相減法求得復數(shù)z后可得虛部.

【詳解】

因為z=1+2i+殲+…+2O2Oi2019+202li2020,

20202021

所以iz=i+2i?+五3+…+2O2Oi+202li,

1_；202l

相減得(1—i)z=1+i+i?+…+i2020-202li2021=-----202li=1—202li,

1-i

l-2021i(l-2021i)(l+i)1+i-2021i-202優(yōu)

=1011-1010i,虛部為

l-i-(l-i)(l+i)2

-1010.

答案第3頁，總19頁

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故選:B.

8.C

【分析】

設(shè)g(x)=sinx-7(x),將所求不等式變形為g(x+萬)WO,分析函數(shù)/(x)的單調(diào)性與奇

偶性，然后逐項檢驗可得出合適的選項.

【詳解】

由sin乃)》0可得sin(x+萬)?/(%+?)=—sin,

令g(x)=sinx?/(x)，則原不等式等價于g(x+乃)W(),

函數(shù)g(尤)的定義域為R,g(-x)=sin(-x)-/(-%)=-sinx-/(x)=-g(x),所以，函

數(shù)g(x)為奇函數(shù)，

因為偶函數(shù)/(x)在［0,中功上單調(diào)遞增，且/(萬)=,f(f)=0,

由/(x)W0,即/(附4/(萬)，可得W4萬，解得乃，

由/(力20,即/(國)2/(%)，可得兇24，解得乃或尤

對于A選項，當一2萬4不?0時:—71<X+7V<7T,

若一"Wx+;rW0,則g(x+%)=sin(x+%>/(x+%)20,不合乎題意；

對于B選項，當0<》<2乃時，71<X+71<371,

若2"〈》+萬〈3萬，則g(x+;r)=sin(x+;r)-/(x+7r)N0,不合乎題意；

對于C選項，當一乃WxW不時，04%+萬〈2%，

若0?%+%4萬，則g(x+萬)=sin(x+?>/(x+?)W0,

若兀Wx+兀W2兀，則g(x+%)=sin(x+;r>/(x+萬)W0,合乎題意；

對于D選項，g(苧)=sin竽?/(芳)>0,不合乎題意.

故選：C.

【點睛】

方法點睛：利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性求解抽象函數(shù)不等式，要設(shè)法將隱性劃歸為顯性的不

等式來求解，方法是：

答案第4頁，總19頁

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（1）把不等式轉(zhuǎn)化為/[g（H]>/[〃（%）]；

（2）判斷函數(shù)/（x）的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把不等式的函數(shù)符號脫掉，得到

具體的不等式（組），但要注意函數(shù)奇偶性的區(qū)別.

9.ACD

【分析】

由圖得:T==（可判斷A；由。=申和[春,2）在圖象上得夕,

可判斷C；由/（幻=25吊（2%+?）得/卜一高的解析式可判斷D.

【詳解】

由圖得A=2,==p所以T=萬，故A正確;

2424_

co——二——2，/(x)=2sin(2x+s),

T71

由在圖象上，得2sin|2*二+0|=2得2x--\-(p=—卜2k兀,k&Z,

112)I12J122

°=三+2攵萬，k&Z,所以葛)=2$m〔2'葛+?+2k乃)=0,(%€Z),

故B錯誤，C正確;

因為/(x)=2sin|2x+目,所以f1r-j)=2sin

二2sin(2x)=2sin2x,

B2sin（-2x）=-2sin（2x）,xeR,故D正確.

故選：ACD.

【點睛】

本題考查了三角函數(shù)圖象和性質(zhì)，關(guān)鍵點是由圖象得到解析式，考查了學生圖象的識別和計

算能力.

10.BD

【分析】

先求出C的方程，然后求出選項A,B,C,D給定條件對應(yīng)的軌跡方程，最后探討它們的

關(guān)系而得解.

答案第5頁，總19頁

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【詳解】

設(shè)點P(x,y),由|PM『-|PN|2=“得[(x—2)2+(y+l)2]—[(x+2)2+(y—l)2]=a,即

2x-y+-^0,曲線C是斜率為2的動直線，

4

aI2-1--+-I

對于A選項：點(1,一)到直線C的距離為?44_2即曲線C上存在點與

4一+/飛

(1,@)距離小于2,A錯誤；

4

對于B選項:因26<6，則到點(-75,0)與(75,0)的距離之和為6的軌跡是中心在原點，

22

長軸長為6的橢圓土+匕=1,

94

“=0時，直線C：產(chǎn)2x與這個橢圓有兩個交點，即B正確；

對于C選項:因2后>2，則到點(-JF,0)與(底0)的距離之差為2的軌跡是中心在原點，

2

實軸長為2的雙曲線2_=1(X>0)右支，

直線C：2x-y+@=0與此雙曲線漸近線2%->=0平行，直線C：尸2x與這個雙曲線右支最

4

多有一個公共點，即C錯誤；

對于D選項：時，到點(。，0)的距離與到直線x=-a的距離相等的點的軌跡是頂點在

原點，焦點在x軸上的拋物線y2-4ax,

由1-4消去x得產(chǎn)一2"，+J=0,A=(2a)2—4」-幺=2/>0,當。。()，

y2=4ax

直線C與拋物線交于兩點，D正確.

故選：BD

【點睛】

關(guān)鍵點睛：圓錐曲線定義是研究曲線形狀、求曲線方程的關(guān)鍵.

11.AC

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【分析】

證明8D_L平面ACJA后可判斷A,由線面平行的性質(zhì)定理判斷B,求出直線PE與平面

ABCO所成角正切值判斷C,根據(jù)球體積公式判斷D.

【詳解】

正方體中側(cè)棱A4與底面ABC。垂直，則A4與底面內(nèi)的直線8。垂直，而正方形的對角

線AC與8。垂直，AC與是對角面ACG4內(nèi)兩相交直線，因此有6。與平面

ACG4垂直，當然垂直于此平面的直線PM,A正確；

設(shè)ACnBD=O,EFCAC=H,如圖，若ACJ/平面MEF，是過AG的平面

ACC/與平面”石戶的交線，則AG〃M”,但由正方體性質(zhì)知。是AC中點，M是CG

中點，所以AG〃M。，而MO與相交，這是不可能的，B錯；

如圖，易知P在平面ABCD上的射影N在AC中，連接NE,則NPEN是PE與平面

PNa

ABC。所成的角，設(shè)正方體棱長為“，則PN=a,tanNPEN=—=——，EN的最小

NENE

1V2—7=-=2\/2

值是E到直線AC的距離=注，所以tan/PNE的最大值為0,

24-a

4

C正確；

正方體中，設(shè)〃KJ_平面ABCD，交AG于K（由面面垂直的性質(zhì)定理可得K是AG上），

易知H是△C即的外心，因此P-CE尸的外接球的球心一定在"K上，設(shè)為0',高

OP=OE=R，正方體棱長為。，則一PK?+YRJEH?=KH=a，

la^-NH2=a2+PK2-NH2-其中N”=?a，所以當PK=O時，R最小，此時

P,K重合.D錯.

故選：AC.

答案第7頁，總19頁

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【點睛】

關(guān)鍵點點睛：本題考查線面垂直的性質(zhì)定理，線面平行的性質(zhì)定理，直線與平面所成的角，

棱錐的外接球問題，需要對每個知識都能掌握并運算，屬于中等難度的題目.解題關(guān)鍵是掌

握正方體的性質(zhì)，掌握正方體中的直線、平面間的平行、垂直關(guān)系，由此才能正確快速地求

解.

12.BD

【分析】

不等式變形，構(gòu)造函數(shù)，由導數(shù)確定單調(diào)性，由此得x+y<2,判斷A,

利用x+y42,結(jié)合基本不等式證得B成立，取特值，說明C錯誤，利用柯西不等式證明

D正確.

【詳解】

不等式變形為(x--3。-1)2(1-y)3-3(1-y),

設(shè)/,(幻=/一3%，則《(%)=31一3=3。-1)0：+1),易知一1<》<1時，/,(x)<0,/(x)

遞減，

x,ye(0,2)又，所以x-lG(-1,1),l-ye(-l,l),由函數(shù)的單調(diào)性得x-lWl-y,即

x+y<2,A錯；

']4、4xv|4xv4xv

-+-(x+^)=5+—+->5+2j—X2-=9,一=上即y=2x時，等號成立，

\xy)yx\yxyx

答案第8頁，總19頁

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149

又0cx+y<2,所以一+一、不，B正確；

xy2

3Q171

例如x=2，y=藥滿足題意，但_?+3個=語>4,C錯；

(J2x+1+J2x+1)2=(J2x+1x1+,2x+lxI)2<(2x4-1+2y+1)(14-1)=4(x+y+1)<12

所以J2x+1+J2x+1W2百,D正確.

故選：BD.

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：本題考查用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查基本不等式和柯西不等式的應(yīng)用.解

題關(guān)鍵是構(gòu)造新函數(shù)f(x)=x3-3x,由導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性一，從而把已知不等關(guān)系化

簡，然后利用它結(jié)合基本不等式、柯西不等式等判斷各選項.

13.-2

【分析】

求出(1+X)4展開式中爐和X的系數(shù)，然后由多項式乘法得結(jié)論.

【詳解】

(l+x)4展開式通項公式為=禺￡,所以所求丁系數(shù)為一2。：=一2.

故答案為：—2.

14.-X2+2X

【分析】

由/(l+x)=/(l—X)可得/*)關(guān)于X=1對稱，所以寫一個開口向下，對稱軸為x=l,且

過原點的二次函數(shù)即可.

【詳解】

由/(I+X)=/(I-X)可得/(X)關(guān)于x=1對稱，

所以開口向下，對稱軸為X=1,且過原點的二次函數(shù)滿足題目中的三個條件，

故答案為：-x?+2x

【分析】

答案第9頁，總19頁

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V

連接FB,FC,然后結(jié)合條件得到匕-seo=~，V"BCF=工V即可.

【詳解】

連接EB,FC,因為E,尸分別為棱PC,PD的中點，

所以VF-ABCD=~=%丫，VF-BCE=~VF-PBC=~VD-PBC=~%-BCD=”

ZZZ44o

113

=VVV=V

所以^P-ABEF=VP-ABCD-VF-ABCD~VF-BCE：

~7Z~oQoQ

_3

故答案為：-V

o

【點睛】

關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵是將該四棱錐分成三部分，然后找出它們體積之間的關(guān)系.

2

16.1100-

5

【分析】

把它們都化為十進制后，可得偶數(shù)，用列舉法寫出任取2數(shù)的所有基本事件，得和不大于

35的基本事件，從而得概率.

【詳解】

五個二進制數(shù)101,1100,11001,10111,111111對應(yīng)的十進制數(shù)為5,12,25,23,63,

其中偶數(shù)是1100,

任取2個數(shù)的所有基本事件為：5,12；5,25；5,23；5,63；12,25；12,23；12,63；25,23；

25,63；23,63共10種，其中和不大于35的有5,12.5,25,5,23,12,23四種,

42

因此概率為P=—=—.

105

答案第10頁，總19頁

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2

故答案為：1100；—.

5

17.答案見解析

【分析】

由余弦定理得戾c關(guān)系，

-----1-----------------

選①時，把中線向量表示為A￡）=2（AB+AC）,平方可利用中線長得伉。的另一關(guān)系式,

從而可求得〃+。2和be,湊配出b+c,是三角形周長；

選②時，應(yīng)用50叱=5仙m+5兇6,把面積表示后同樣得另一關(guān)系式，結(jié)合起來求得h+c

得周長；

選③時，利用三角形面積公式求得人C,然后可得〃+。2,由基本不等式判斷不存在.

【詳解】

TT

解：因為A=一,由余弦定理可得a2=c2+〃—2%cosA，BPc2+&2-/,c=3.

3

選①時，因為BD=CD,所以=

平方可得2=1（。2+加+?ccos4）,即1+k+仇'=8,

所以/+/??=二，be=—?所以b+c=\lc2+/?2+2bc=,

222

所以AABC的周長為始+6.

2

選②時，因為A。平分NBA。，所以SMBC=SM^+SMCQ，

即！〃csin^Afhsin3十，《.AO?sin二,化簡得6兒=3（。+0,

2326262

又因為/+從一加=3,即（c+r）2—3加=3,

所以S+c）2-￥（b+c）=3,解得b+c=2G，

所以AABC的周長為3月.

1TT1

選③時，因為所以解得權(quán)＞=4,所以。2+從=7,

因為。2+從、2秘=8,不成立.

所以不存在△ABC.

答案第11頁，總19頁

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【點睛】

關(guān)鍵點點睛：本題考查余弦定理，考查三角形面積公式，平面向量的模的數(shù)量積表示等等.解

題關(guān)系是中線長或角平分線長、高的應(yīng)用，把它們與邊長聯(lián)系，從而得到求得b+c的

目的.

239

18.(1)y=-0.56%+12.92(2)負相關(guān)，—(3)().8185

25

【詳解】

人_1。35r—1。45c

(D：令〃=5,彳=-±七=T=7,y=-^yj=—=9,

5〃仁5

-*?Z(Q)一時=287—5x7x9=—28

(=i

〃⑴2=295-5x7?=50

/=!

--28

:?b=-------=—0.56

50

Aa=y-^x=9-(-0.56)x7=12.92(或者：瞪)

，所求的回歸方程是9=-0.56x+12.92

⑵由占=-0.56<0知y與X之間是負相關(guān)，

將X=6代入回歸方程可預(yù)測該店當日的銷售量y=-0.56X+12.92=9.56(千克)

(或者：皆239)

(3)由(1)知〃=于=7,又由

0-2=?=-[(2-7)2+(5-7)2+(8-7)2+(9-7)2+(11-7)21=10

5L-

得cr=3.2

從而尸(3.8vX<13.4)=P(〃-bvX<〃+2cr)

=P(ju-cr<X</z)+P(ju<X<//+2cr)

=—P(/d-a<X<//+cr)+—P("-2avX<〃+2b)

=0.8185

答案第12頁，總19頁

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32”向-4.3”+1

19.(1)4=3"-2(〃eN‘)；(2)Tm=

8

【分析】

(1)用“一1代入2S,,=〃(％+1)中的“一等式,，兩式相減得｛%｝的遞推式，再用同樣的方

法消去常數(shù)可證得數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，計算出卬后可得公差，從而得通項公式;

(2)解不等式3"</<9"',得正整數(shù)〃的個數(shù)，即得〃“，然后用分組求和法求得和

【詳解】

解:(1)因為2S.=〃(《,+1)①，所以2sM=(〃-l)(a“T+l)(〃22)②,

①一②得("-2)a“+1=0(〃22)③,

所以(n-3)41-("-2)q_2+1=0("23)④，

③一④得(?-2)。“-2(〃-2)《1T+(n-2)a?_2=0(〃23),

所以凡+q一2=2a,i(〃23),所以僅“｝為等差數(shù)列，

又4=1,a?=4,故公差4=4-1=3,

所以a”=1+3(〃-1)=3”一2(neN*).

m2ra

(2)若3"<an<T,貝!|3"'<3n-2<9"'，即3-'+j<n<3-'+j.

又〃wN’,所以3"i+lW〃W32"T,所以超=32mT-3"一

于是與=〃+3+"=(3+33+35+…+32*1)—(1+3+32+.“+3?1)

__1一3”_32"'+i-46"+l

-1-91^3~8,

【點睛】

本題考查求等差數(shù)列的通項公式，裂項相消法求和.數(shù)列求和的常用方法：

設(shè)數(shù)列｛a,,｝是等差數(shù)列，｛2,｝是等比數(shù)列,

(1)公式法：等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和直接應(yīng)用公式求和；

(2)錯位相減法：數(shù)列伍屹"的前〃項和應(yīng)用錯位相減法；

,1、

(3)裂項相消法；數(shù)列｛------｝(人為常數(shù)，4H0)的前〃項和用裂項相消法;

4%

答案第13頁，總19頁

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（4）分組（并項）求和法：數(shù)列｛pa“+qd｝用分組求和法，如果數(shù)列中的項出現(xiàn)正負相間

等特征時可能用并項求和法；

（5）倒序相加法：滿足金+4_,”=A（A為常數(shù)）的數(shù)列，需用倒序相加法求和.

?22

20.（1）—+^=1；（2）①證明見解析；②最大值為3g.

【分析】

2

（1）由麗"=2礪，得1pMi=2|加耳，由此可得^--a=2（a-c）,再由a=4求得。后

再求得人值，可得橢圓方程；

（2）①設(shè)A8：x=%y-8,設(shè)A（%,%）,8（毛，功）,直線方程代入橢圓方程后應(yīng)用韋達定理

得y+%，%%，代入%+k2可得結(jié)論；

②計算面積得S△加=S~SA/W-41s.iy-%|=今寫，把而二作為一個整

23m+4

體（可換元），由基本不等式可得最大值.

【詳解】

2

解：（1）因為2a=8,所以a=4,又加'=2訴，所以^--a=2（o-c）,

c

X22

所以c=2,從=12,所以橢圓C的標準方程為二+2v-=1.

1612

（2）①當A8的斜率為0時，顯然4=七=0,4+&=0.

當AB的斜率不為0時，設(shè)AB：x=my-8,

x=my-8,

由Ify2得（3根？+4）y2-48根y+144=0,

—+—=1,

11612

設(shè)4百，弘），8（“2，%），故有3+%=3.+4，=3*+4'

所以—上+上=^^=）］（〃叫-6）+%。孫-6）

%+2%+2my\-6my2-6（川+2）（x2+2）

因為州（陽2-6）+%（如-6）=2myty2-6（y,+%）=0，所以仁+&=°-

綜上所述，恒有4+&=0為定值?

答案第14頁，總19頁

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②SMBF=一S?"=/1PF|?|y-%|=7??4，

23m+二4

/—；—72〃2一472172后

nc_72vm~—4____2—77_TT=—.-------72—W—T==3A/3

即n履人"一一—--3(^-4)+16J~2~7162748，

3m~+437m一今十丁

16

當且僅當3,相2-4=/,即m=±還1時取等號(此時適合△〉())，

Vm2-43

所以AABF面積的最大值為3

【點睛】

方法點睛：本題考查求橢圓的標準方程，考查直線與橢圓相交，定值與面積最值.最值的解

題方法是設(shè)而不求的思想方法，設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標，直線方程與橢圓方程聯(lián)立消元后

應(yīng)用韋達定理，得%+%，%%，然后求出三角形的面積，得參數(shù)的函數(shù)，結(jié)合基本不等式

或函數(shù)性質(zhì)可得最值.

21.(1)證明見解析；(2)最小值為46.

【分析】

(1)連接線尸，OP，A?，證明出，平面尸當。即可證明結(jié)論；

(2)延長ON交。。于E，過四，N,。三點的平面與平面中G2的交點為尸，

交線為qF,連接放，則截面為N瓦4，進而可得四邊形NE/q為平行四邊形NE/包.底

面A8CD中，過3作EN的垂線，垂足為H,設(shè)NENP=a(2<a<2),再根據(jù)邊角關(guān)系

42

求解S四邊形NEFB,=B]H?EN.

【詳解】

解：(1)連接始P'OP，AP，易證OP〃AD,

又因為AO,平面AB當4,所以O(shè)PL平面當4,

因為PA,u平面A83IA，所以

在矩形43當4中，P是線段AB的中點，AB=BC=4,AA.=2,

所以尸4=PA,=2夜，所以尸42+52=43：,所以

答案第15頁，總19頁

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又因為。尸02用=尸，

所以PA—平面P80，所以。耳，尸4