湖北省2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試題含解析

Page17湖北省荊州中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試題一、單選題（共8個(gè)小題，每小題5分，共40分，在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)）1.設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，則等于（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】試題分析：依題意有，解得，所以.考點(diǎn)：等差數(shù)列的基本概念.【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題主要考查等差數(shù)列的基本概念.在解有關(guān)等差數(shù)列的問題時(shí)可以考慮化歸為和等基本量，通過建立方程(組)獲得解．即等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè),即知三求二，多利用方程組的思想，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題,留意要弄準(zhǔn)它們的值.運(yùn)用方程的思想解等差數(shù)列是常見題型，解決此類問題須要抓住基本量、，駕馭好設(shè)未知數(shù)、列出方程、解方程三個(gè)環(huán)節(jié)，常通過“設(shè)而不求，整體代入”來簡化運(yùn)算．2.雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知：，該雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為：，雙曲線的漸近線方程為：，所以焦點(diǎn)到漸近線的距離為：，故選：A3.設(shè)、是兩條不同的直線，、、是三個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】B【解析】【分析】依據(jù)線線、線面、面面的位置關(guān)系，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一推斷即可.【詳解】選項(xiàng)A.一條直線垂直于一平面內(nèi)的，兩條相交直線，則改直線與平面垂直則由，不能得出，故選項(xiàng)A不正確.選項(xiàng)B.,則正確，故選項(xiàng)B正確.選項(xiàng)C若，則與可能相交，可能異面，也可能平行，故選項(xiàng)C不正確.選項(xiàng)D.若，則與可能相交，可能平行，故選項(xiàng)D不正確.故選：B4.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為雙曲線在第一象限上的點(diǎn)，直線，分別交雙曲線的左，右支于另一點(diǎn)，，若，且，則雙曲線的離心率為（）A. B.3 C.2 D.【答案】D【解析】【分析】由雙曲線的定義可設(shè)，，由平面幾何學(xué)問可得四邊形為平行四邊形，三角形，用余弦定理，可得，的方程，再由離心率公式可得所求值．【詳解】由雙曲線的定義可得，由，可得，，結(jié)合雙曲線性質(zhì)可以得到，而，結(jié)合四邊形對(duì)角線平分，可得四邊形為平行四邊形，結(jié)合，故，對(duì)三角形，用余弦定理，得到，結(jié)合，可得，，，代入上式子中，得到，即，結(jié)合離心率滿意，即可得出，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率，熟記雙曲線的簡潔性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.5.已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)，可得，再依據(jù)，得，從而可得出答案.【詳解】解：因?yàn)?，所以，又，所以，所以的最小值?故選：C.6.拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影為點(diǎn)，過任作一條直線交拋物線于兩點(diǎn)，則為（）A.銳角 B.直角 C.鈍角 D.銳角或直角【答案】D【解析】【分析】設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，利用韋達(dá)定理，求得，依據(jù)其結(jié)果即可推斷和選擇.【詳解】為說明問題，不妨設(shè)拋物線方程，則，直線斜率明顯不為零，故可設(shè)直線方程為，聯(lián)立，可得，設(shè)坐標(biāo)為，則，故，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；故為銳角或直角.故選：D.7.設(shè)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿意，則曲線在點(diǎn)處的切線的斜率是A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】由題，為可導(dǎo)函數(shù)，，即曲線在點(diǎn)處的切線的斜率是，選D【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的定義，切線的斜率，以及極限的運(yùn)算，本題解題的關(guān)鍵是對(duì)所給的極限式進(jìn)行整理，得到符合導(dǎo)數(shù)定義的形式．8.已知是等比數(shù)列，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，，可求出公比，從而可求出等比數(shù)的通項(xiàng)公式，則可求出，得數(shù)列是一個(gè)等比數(shù)列，然后利用等比數(shù)的求和公式可求得答案【詳解】由題得.所以，所以.所以，所以數(shù)列是一個(gè)等比數(shù)列.所以=.故選：D二、多項(xiàng)選擇題（共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)得2分）9.直線和圓的位置關(guān)系是（）A.相離? B.相切或相離 C.相交? D.相切【答案】CD【解析】【分析】直線恒過點(diǎn)（1，1），且點(diǎn)（1，1）在圓上，直線的斜率不存在或存在且不為0，結(jié)合圖形推斷直線和圓的關(guān)系．【詳解】∵圓可化為∴圓心為（0，1），半徑為1，∵直線恒過點(diǎn)（1，1），且點(diǎn)（1，1）在圓上當(dāng)時(shí)，直線與圓相切，當(dāng)時(shí)，直線與圓相交，∴直線和圓的關(guān)系是相交或相切，故選：CD．10.大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論．主要用于說明中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理．?dāng)?shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)驗(yàn)過的兩儀數(shù)量總和，是中國傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題．其前10項(xiàng)依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，則下列說法正確的是（）A.此數(shù)列的第20項(xiàng)是200 B.此數(shù)列的第19項(xiàng)是180C.此數(shù)列偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式為 D.此數(shù)列的前項(xiàng)和為【答案】ABC【解析】【分析】首先找尋出數(shù)列的規(guī)律，歸納出通項(xiàng)公式，然后推斷各選項(xiàng)即可．【詳解】視察此數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)通項(xiàng)公式為，奇數(shù)項(xiàng)是后一項(xiàng)減去后一項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，，故C正確；由此可得，故A正確；，故B正確；是一個(gè)等差數(shù)列的前項(xiàng)，而題中數(shù)列不是等差數(shù)列，不行能有，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．11.如圖所示，一個(gè)底面半徑為的圓柱被與其底面所成的角為的平面所截，截面是一個(gè)橢圓，則（）A.橢圓長軸長為4B.橢圓的離心率為C.橢圓的方程可以為D.橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】結(jié)合圖象依據(jù)橢圓的長軸，短軸的幾何意義求橢圓的，由此推斷各選項(xiàng).【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為，橢圓的長半軸長為，半焦距為，由圖象可得，∴，又，，∴，∴橢圓的長軸長為4，A對(duì)，橢圓的離心率為，B錯(cuò)，圓的方程可以為，C對(duì)，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為，D對(duì)，故選：ABD.12.在數(shù)學(xué)課堂上，老師引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造新數(shù)列：在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列依據(jù)同樣的方法不斷構(gòu)造出新的數(shù)列.將數(shù)列1,2進(jìn)行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列1,3,2；第2次得到數(shù)列1,4,3,5,2；…；第次得到數(shù)列1，，2；…記，數(shù)列的前項(xiàng)為，則（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】依據(jù)數(shù)列的構(gòu)造方法先寫出前面幾次數(shù)列的結(jié)果，找尋規(guī)律，再進(jìn)行推理運(yùn)算即可.【詳解】由題意可知，第1次得到數(shù)列1,3,2，此時(shí)第2次得到數(shù)列1,4,3,5,2，此時(shí)第3次得到數(shù)列1,5,4,7,3,8,5,7,2，此時(shí)第4次得到數(shù)列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此時(shí)第次得到數(shù)列1，，2此時(shí)所以，故A項(xiàng)正確；結(jié)合A項(xiàng)中列出的數(shù)列可得：用等比數(shù)列求和可得則又所以，故B項(xiàng)正確；由B項(xiàng)分析可知即，故C項(xiàng)錯(cuò)誤.，故D項(xiàng)正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】本題須要依據(jù)數(shù)列的構(gòu)造方法先寫出前面幾次數(shù)列的結(jié)果，找尋規(guī)律，對(duì)于困難問題，聞名數(shù)學(xué)家華羅庚指出:擅長“退”，足夠的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅.所以對(duì)于困難問題我們應(yīng)當(dāng)先足夠的退到我們最簡潔看清晰的地方,認(rèn)透了,鉆深了,然后再上去，這就是以退為進(jìn)的思想.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知函數(shù)，若，則________.【答案】【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，確定導(dǎo)函數(shù)奇函數(shù)，然后可求值．【詳解】由已知，它是奇函數(shù)，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，考查函數(shù)的奇偶性，確定函數(shù)的奇偶性是解題關(guān)鍵．14.已知數(shù)列滿意，且．則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_______．【答案】【解析】分析】倒數(shù)型求數(shù)列通項(xiàng)公式，第一步求倒數(shù)，其次步構(gòu)造數(shù)列，求通項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋?，所以?shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以故答案為：.15.平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，，則對(duì)角線的長度為___.【答案】2【解析】【分析】利用，兩邊平方后，利用向量數(shù)量積計(jì)算公式，計(jì)算得.【詳解】對(duì)兩邊平方并化簡得,故.【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間向量的加法和減法運(yùn)算，考查空間向量數(shù)量積的表示，屬于中檔題.16.若橢圓和圓（c為橢圓的半焦距）有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則橢圓的離心率的取值范圍是_____.【答案】【解析】【分析】當(dāng)圓的直徑介于橢圓長軸和短軸長度范圍之間時(shí)，橢圓和圓有四個(gè)不同的焦點(diǎn)，由此列不等式，解不等式求得橢圓離心率的取值范圍.【詳解】由于橢圓和圓有四個(gè)焦點(diǎn)，故圓的直徑介于橢圓長軸和短軸長度范圍之間，即.由得，兩邊平方并化簡得，即①.由得，兩邊平方并化簡得，解得②.由①②得.故填.【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓和圓的位置關(guān)系，考查橢圓離心率取值范圍的求法，屬于中檔題.四、解答題（共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切，過點(diǎn)的動(dòng)直線l與圓A相交于M，N兩點(diǎn)．（1）求圓A的方程．（2）當(dāng)時(shí)，求直線l方程．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）利用圓心到直線的距離公式求圓的半徑，從而求解圓的方程；（2）依據(jù)相交弦長公式，求出圓心到直線的距離，設(shè)出直線方程，再依據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式確定直線方程．【詳解】（1）由題意知到直線的距離為圓A半徑r，所以，所以圓A的方程為．（2）設(shè)的中點(diǎn)為Q，則由垂徑定理可知，且，在中由勾股定理易知，設(shè)動(dòng)直線l方程為：或，明顯符合題意．由到直線l距離為1知得．所以或?yàn)樗笾本€方程．【點(diǎn)睛】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及直線與圓的相交弦長問題，考查學(xué)生分析解決問題的實(shí)力，屬于中檔題．18.在公差為的等差數(shù)列中,已知，且成等比數(shù)列.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若,求.【答案】(Ⅰ)或(Ⅱ)【解析】【詳解】試題分析：(Ⅰ)由題意求得數(shù)列的公差后可得通項(xiàng)公式．(Ⅱ)結(jié)合條件可得，分和兩種狀況去掉中的肯定值后，利用數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解．試題解析：（Ⅰ）∵成等比數(shù)列，∴，整理得，解得或，當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，．所以或．（Ⅱ）設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為，∵，∴，當(dāng)時(shí)，，∴；當(dāng)時(shí)，．綜上19.如圖，四棱錐P－ABCD中，PA平面ABCD，，∠BAD=120o，AB＝AD＝2，點(diǎn)M在線段PD上，且DM＝2MP，平面．（1）求證：平面MAC平面PAD；（2）若PA＝6，求平面PAB和平面MAC所成銳二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】(1)連接BD交AC于點(diǎn)E，連接ME，由所給條件推理出CA⊥AD，進(jìn)而得CA⊥平面PAD，證得結(jié)論．(2)首先以A為原點(diǎn)，射線AC，AD，AP分別為x，y，z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，再利用向量法求解二面角即可．【小問1詳解】(1)連接BD交AC于點(diǎn)E，連接ME，如圖所示：∵平面MAC，PB平面PBD，平面PBD平面MAC=ME，∴，，則BC=1，而AB=2，，，∴AC2+BC2=4=AB2，∠ACB=90o，∠CAD=90o，即CA⊥AD，又PA⊥平面ABCD，CA平面ABCD，∴PA⊥CA，又PAAD=A，∴CA⊥平面PAD，而CA平面MAC，∴平面MAC⊥平面PAD．【小問2詳解】（2）如圖所示：以A為原點(diǎn)，射線AC，AD，AP分別為x，y，z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，∴，設(shè)平面PAB和平面MAC的一個(gè)法向量分別為，平面PAB和平面MAC所成銳二面角為，∴，，∴.20.已知數(shù)列的前項(xiàng)和．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用與的關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法求和即可.【小問1詳解】因?yàn)?，故?dāng)時(shí)，，兩式相減得，又由題設(shè)可得，從而的通項(xiàng)公式為：；【小問2詳解】因?yàn)?，，兩式相減得：所以.21.已知拋物線的方程為，點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)．（1）求△OAB面積的最小值（為坐標(biāo)原點(diǎn)）；（2）是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．【答案】（1）；（2）是，該定值.【解析】【分析】（1）依據(jù)弦長公式、點(diǎn)到直線距離公式，結(jié)合三角形面積公式進(jìn)行求解即可；（2）依據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】明顯直線存在斜率，設(shè)直線的方程為：，所以有，設(shè)，則有，，原點(diǎn)到直線的距離為：，△OAB的面積為：，當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為；【小問2詳解】是定值，理由如下：由（1）可知：，，【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.22.已知橢圓：的離心率為，，分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，的周長為.（1）求橢圓的方程；