2024-2025學年高三數(shù)學新高考一輪復習專題7.1平面向量的概念及線性運算含解析

Page107.1平面對量的概念及線性運算課標要求考情分析核心素養(yǎng)1.了解向量的實際背景．2.理解平面對量的概念，理解兩個向量相等的含義．3.理解向量的幾何表示．4.駕馭向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義．5.駕馭向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義．6.了解向量線性運算的性質及其幾何意義.新高考3年考題題號考點數(shù)學建模數(shù)學運算直觀想象邏輯推理2024(Ⅰ)卷3向量加減、數(shù)乘混合運算2024(Ⅱ)卷3向量加減、數(shù)乘混合運算1.向量的有關概念名稱定義備注向量既有大小，又有方向的量；向量的大小叫做向量的長度(或稱模)平面對量是自由向量零向量長度為0的向量；其方向是隨意的記作0單位向量長度等于1個單位長度的向量非零向量a的單位向量為±平行向量方向相同或相反的非零向量0與任一向量平行或共線共線向量方向相同或相反的非零向量,又叫共線向量相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不等，不能比較大小相反向量長度相等且方向相反的向量0的相反向量為02.向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算交換律:a結合律:a減法求a與b的相反向量-ba數(shù)乘求實數(shù)λ與向量a的積的運算①λ②當λ>0時,λa與a的方向相同;當λ<0時,λa與a的方向相反；

當①λ②λ+μ③λ3.共線向量定理向量平行(共線)的充要條件：a//向量aa≠0與b共線的充要條件是存在唯一一個實數(shù)λ,1.一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最終一個向量終點的向量，即A1A22.若P為線段AB的中點，O為平面內任一點，則OP=3.三點共線定理：對于平面上的任一點O，OB、OC不共線,OA=λOB+μOC(λ4.解決向量的概念問題要留意兩點：①不僅要考慮向量的大小，更重要的是考慮向量的方向；②要特殊留意零向量的特殊性，考慮零向量是否也滿意條件.5.a1.【P24T22】如圖在梯形ABCD中，BC=2AD，DE=EC，設BA=a,BC=b，則BE=

A.12a+14b B.12.【P16T8】設e1,e(1)求證：A，B，D三點共線；(2)若BF=3e1-ke

考點一向量的有關概念【方法儲備】向量有關概念的關注點：【特殊提示】1.零向量和單位向量是兩個特殊的向量.它們的模確定，但方向不確定.2.兩平行向量有向線段所在的直線平行或重合，易忽視重合這一條件.【典例精講】例1.(2024·湖南省株洲市聯(lián)考)以下說法正確的是(

)A.若兩個向量相等,則它們的起點和終點分別重合B.零向量沒有方向

C.共線向量又叫平行向量D.若向量a和b都是單位向量，則a【名師點睛】解決向量的概念問題須要留意兩點：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是要考慮向量的方向;二是考慮零向量是否也滿意條件，要特殊留意零向量的特殊性.【靶向訓練】練1-1(2024·湖北省黃岡市月考)給出下列命題：①零向量的長度為零，方向是隨意的；②若a，b都是單位向量，則a=b；③向量AB與BA相等．則全部正確命題的序號是(

)A.① B.③ C.①③ D.①②練1-2(2024·黑龍江省模擬.多選)下列敘述中錯誤的是(

)A.若a=b，則3a>2b

B.已知非零向量a與b且a/?/b，則a與b的方向相同或相反

C.若a/?/b，考點二平面對量的線性運算【方法儲備】1.平面對量線性運算的解題策略2.平面對量線性運算中的參數(shù)問題角度1平面對量的線性運算【典例精講】

例2.(2024·浙江省溫州市模擬)我國東漢末數(shù)學家趙夾在《周髀算經》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示．在“趙爽弦圖”中，若BC=a，BA=b，BE=3EFA.1225a+925b【名師點睛】

在一般向量的線性運算中，只要把其中的向量當作一個字母看待即可，其運算方法類似于代數(shù)中合并同類項的運算，在計算時可以進行類比．【靶向訓練】練2-1(2024·廣東省模擬)如圖所示，M，N分別是ΔABC的邊AB，AC上的點，且AM=2MB，NC=2AN，則向量MN=A.13AB-23AC練2-2(2024·廣東省佛山市模擬)如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=π2，AC=2AB，∠BAC的平分線交△ABC的外接圓于點D，設AB=a，AC=b，則向量AD=

(

)A.a+b

B.12a+角度2平面對量線性運算中的參數(shù)問題【典例精講】例3.(2024·廣東省一輪復習聯(lián)考)已知梯形ABCD中，AD//BC，BF=3FC，AH=3HF，且BH=λBA+μBCA.364

B.564

C.7【名師點睛】在求向量時要盡可能轉化到平行四邊形或三角形中，運用平行四邊形法則、三角形法則及三角形中位線、相像三角形對應邊成比例等平面幾何的性質，把未知向量轉化為用已知向量線性表示.【靶向訓練】練2-3(2024·安徽省期末)已知平行四邊形ABCD的對角線交于點O，E為AO的中點，若AE=λAB+μAD，則A.12 B.13 C.1練2-4(2024·湖北省武漢市期中)在△ABC中，已知點D為AB邊的中點，點N在線段CD上，且CN=2若AN=13AC+λA.13 B.-13 C.考點三平面對量共線定理及其應用【方法儲備】1.證明三點共線問題，可用向量共線解決，但應留意向量共線與三點共線的區(qū)分與聯(lián)系．當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線．2.向量a、b共線是指存在不全為零的實數(shù)λ1若λ1a+λ2【特殊提示】在考慮向量共線問題時，要留意考慮零向量.角度1向量共線的問題【典例精講】例4.(2024·廣東省模擬)已知向量a，b是兩個不共線的向量，且向量ma-3b與a+(2-m)b共線，則實數(shù)m的值為

；若ma-3b與a【名師點睛】考查平面對量的共線定理應用問題，依據(jù)平面對量的共線定理，列方程求得m的值，驗證ma-3b【靶向訓練】練3-1(2024·江西省宜春市月考)設a與b是兩個不共線向量，且向量a+λb與-(b-2a)練3-2(2024·山東省模擬.多選)已知向量a，b是兩個非零向量，在下列條件中，肯定能使a，b共線的是(

)A.2a-3b=4e且a+2b=-2e

B.存在相異實數(shù)λ，μ，使λa-μb=角度2三點共線的問題【典例精講】例5.(2024·江蘇省揚州市模擬)設平面對量a，b不共線，若AB=a+5b，BC=-2aA.A，B，D三點共線 B.A，B，C三點共線

C.B，C，D三點共線 D.A，C，D三點共線【名師點睛】本題主要考查向量的加減，以及平面對量的共線的條件，利用平面對量的加減，以及向量共線的充要條件求解．【靶向訓練】練3-3(2024·遼寧省模擬)已知向量m，n不共線，向量OA=5m-3n，OB=xm+n，若O，A.-53 B.53 C.練3-4(2024·湖南省邵陽市期中)在△ABC中，點P滿意2BP=PC，過點P的直線與AB，AC所在的直線分別交于點M，N，若AM=xAB，AN=yA.3 B.32 C.1 D.核心素養(yǎng)系列直觀想象——平面對量在平面幾何中的應用平面對量作為一種基本工具,在平面幾何問題的求解中有極其重要的地位和作用,尤其是平面對量的幾何意義,其中又有許多獨特之處,若在解題中能合理運用,必能起到化難為易,化繁為簡的作用.【方法儲備】利用向量運算法則的幾何意義解決問題通常有兩種方法：1.依據(jù)兩個向量的和與差，構造相應的平行四邊形或三角形，再結合其他學問求解相關問題;2.平面幾何中假如出現(xiàn)平行四邊形或可能構造出平行四邊形或三角形的問題，可考慮利用向量學問求解.【典例精講】例6.(2024·江蘇省南通市模擬)已知G為△ABC的重心，點M，N分別在邊AB，AC上，滿意AG=xAM+yAN,其中x+y=1,若AM=3【名師點睛】本題考查向量的加減運算，平面對量基本定理，屬于基礎題．依據(jù)題意，利用平面對量基本定理解得AC=53AN，則△ABC和【靶向訓練】練4-1(2024·江蘇省聯(lián)考)已知a，b是不共線向量，設OA=2a+b，OB=a+2b，OC=3a+b，A.4 B.5 C.6 D.8練4-2(2024·河南省鶴壁市模擬)點P是菱形ABCD內部一點，若2PA+3PB+PC=0，則菱形ABCDA.6 B.8 C.12 D.15

易錯點1．平面對量概念理解錯誤例7.(2024·山東省青島市模擬.多選)下面的命題正確的有(

)A.方向相反的兩個非零向量肯定共線

B.單位向量都相等

C.若a，b滿意|a|>|b|且a與b同向，則a>b;

D.“若A、B、C、D易錯點2．共線定理理解錯誤例8.(2024·湖南省長沙市聯(lián)考)已知△ABC所在平面內的一點P滿意PA+PB+PC=BC，則點A.△ABC的外面 B.△ABC的內部 C.邊AB上 D.邊AC上答案解析【教材改編】1.【解析】取BC中點F，連接FA，

因為在梯形ABCD中，BC=2AD，所以四邊形ADCF是平行四邊形，所以FA//CD，F(xiàn)A=CD，

則BE=BC+CE=BC+12CD=2.【解析】(1)證明：由已知可得：BD=CD-CB=e1-4e2，AB=2(e1-4e2)=2BD?AB//BD，

∵AB與BD有公共點B，∴A、B、D三點共線；【考點探究】例1.【解析】只要兩個向量的方向相同，模長相等，這兩個向量就是相等向量，故A錯誤；

零向量是方向隨意的向量，B錯誤；

共線向量是方向相同或相反的向量，也叫平行向量，C正確；

若a，b都是單位向量，兩向量的模長都為1，但方向不肯定相同，D錯誤；

故選C．練1-1.【解析】依據(jù)零向量的定義可知①正確；

依據(jù)單位向量的定義可知，單位向量的模相等，但方向不肯定相同，故兩個單位向量不肯定相等，故②錯誤；

向量AB與BA互為相反向量，故③錯誤．

故選A．練1-2.【解析】對于A，因為向量是既有大小又有方向的量，所以向量不能比較大小，故A錯誤；

對于B，非零向量a與b且a/?/b，則a與b的方向相同或相反，故B正確；

對于C，若b=0，則零向量與隨意向量平行，所以對隨意向量a與c，均有a//b，b//c，故此時a與c不肯定平行，故C錯誤；

對于D，由單位向量的定義可得，對任一非零向量a，

例2.【解析】(法一)過點F作FG⊥BC于點G，不妨設BE=3，EF=1，

則BF=4，F(xiàn)C=BE=3，所以BC=42+32=5，

所以FG=BF?CFBC=4×35=125，

所以BG=BF2-FG2=42-1252練2-1.【解析】因為AM=2MB，NC=2AN，所以MN練2-2.【解析】設圓的圓心為O，半徑為r，連接OD、BD、CD．

在Rt△ABC中，∠ABC=π2，AC=2AB，

所以∠BAC=π3，∠ACB=π6，

因為∠BAC的平分線交△ABC的外接圓于點D，

所以∠ACB=∠BAD=∠CAD=π6，則依據(jù)圓的性質BD=CD=AB，

又因為在Rt△ABC中，AB=例3.【解析】由AD//BC，BF=3FC，AH=3HF，∴BC=43BF，故選D．練2-3.【解析】在平行四邊形ABCD中，由對角線交于點O，則點O為AC的中點，

又E為AO的中點，則AE=12AO=12×12AC練2-4.【解析】如圖所示，△ABC中，點D為AB邊的中點，∴CD=AD-AC=12AB-AC；∴AN=CN-CA=13AB例4.【解析】因為向量ma-3b與a+(2-m)b共線，所以m=-32-m，解得m=-1或m=3．

當m=-1時，ma-3b=-a-3b，a+(2-m)b=a+3b，ma-3b與a+(2-m)b共線反向；

當練3-1.【解析】已知a與b是兩個不共線的向量，且向量a+λb與-(b-2a)共線，

所以存在常數(shù)k

使a+λb練3-2.【解析】對于A選項，因為向量a，b是兩個非零向量．2a-3b=4e且a+2b=-2e，所以a=27e，b=-87e，此時能使a，b共線，故A正確；

對于B選項，存在相異實數(shù)λ，μ，使λa-μb=0，要使非零向量a，b共線，由共線向量基本定理知成立，故B正確；

對于C選項，當x+y=0時，xa+yb=0，假如x=y=0，則不能使a，例5.【解析】∵AB=a+5bAD=∵AD與AB有公共點A，∴AD與AB共線，即A，B，D三點共線．

故選練3-3.【解析】因為O，A，B三點共線，所以?λ∈R，使得

OB=λOA，即即(5λ-x)m=(3λ+1)n．又因為向量m，n不共線，所以5λ-x=3λ+1=0，則x=-5練3-4.【解析】因為2BP=PC，AM=xAB，AN=yAC(x>0,y>0)，

所以AP=AB+BP=AB+13BC=AB+13(AC-AB)=【素養(yǎng)提升】例6.【解析】設BC邊的中點為D，G為△ABC的重心，所以AG=23AD，即AG=2因為x+y=1，則y=59，所以13AC=59AN，即故答案為：209練4-1.【解析】∵OA=2a+b，OB=a+2b，OC=3作如圖所示，取AB的中點E，CD中點F，過O作AB和CD的垂線并交AB于點G，交CD于點H，

OE=12(OA+OB)=32(a+b)，OF=12(OC+練4-2.【解析】由2PA+3PB+PC=0，得CP=3PB+2PA