2000年第11“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽試卷（初一第2試）

2000年第11屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽試卷（初一第2試）一、選擇題（共10小題，每小題6分，滿分60分）1．（6分）的相反數(shù)是A．2000 B． C． D．12．（6分）有如下四個命題：①有理數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)；②兩個同類項(xiàng)的數(shù)字系數(shù)是相同的；③兩個有理數(shù)的和的絕對值大于這兩個有理數(shù)絕對值的和；④兩個負(fù)有理數(shù)的比值是正數(shù)．其中真命題有A．4個 B．3個 C．2個 D．1個3．（6分）如圖，平行直線、與相交直線、相交，圖中的同旁內(nèi)角共有A．4對 B．8對 C．12對 D．16對4．（6分），A． B． C． D．5．（6分）已知三個銳角的度數(shù)之和大于，則一定有一個銳角大于A． B． C． D．6．（6分）如果有理數(shù)，，，滿足，則A． B． C． D．7．（6分）有三個正整數(shù)，，，其中與互質(zhì)且與也互質(zhì)．給出下面四個判斷：①不能被整除②不能被整除③不能被整除④不能被整除其中，不正確的判斷有A．4個 B．3個 C．2個 D．1個8．（6分）已知是不為0的整數(shù)，并且關(guān)于的方程有整數(shù)根，則的值共有A．1個 B．3個 C．6個 D．9個9．（6分）已知代數(shù)式，當(dāng)時，值為1，那么該代數(shù)式當(dāng)時的值是A．1 B． C．0 D．210．（6分）在某班的新年晚會上，每個同學(xué)都寫若干字條祝福他人，已知在任意四個人中，每一位都祝福其他三人中的至少一位，那么該班中沒有得到其他同學(xué)祝福字條的同學(xué)最多有位．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題（共10小題，每小題6分，滿分60分）11．（6分）甲車的車輪轉(zhuǎn)一周在地上的車輪印痕長為90厘米，乙車的車輪轉(zhuǎn)時，車輪印痕長為20厘米，那么，甲車輪直徑是乙車輪直徑是倍12．（6分）已知：，，，，則．13．（6分）如果，，，且，則．14．（6分）若，則．15．（6分）已知，．則．16．（6分）如圖，正方形的面積是1．，，，．則四邊形的面積是．17．（6分）從甲地到乙地是上坡路，從乙地到丙地是下坡路，王燕同學(xué)自甲地途經(jīng)乙地到丙地，立即再沿原路返回甲地，共用3.5小時，已知王燕上坡速度相同，下坡速度也相同，并且走上坡路所用時間比下坡路所用時間多0.5小時．那么，王燕走上坡路共用了小時．18．（6分）滿足的正整數(shù)和的最大公約數(shù)記為．那么所有這樣的值得和等于．19．（6分）在滿足，，的條件下能達(dá)到的最大值是．20．（6分）某商店每月的銷售額存放在計(jì)算機(jī)中．用4位數(shù)碼表示月份：第1，2位是年份數(shù)的后兩位，第3，4位是月份數(shù)．現(xiàn)有如下數(shù)據(jù)月份銷售額（萬元）月份銷售額（萬元）99091.200012.499101.300022.099111.500031.899122.000041.9某軟件提供自動統(tǒng)計(jì)的功能：輸入開始、結(jié)束月份（如9910，，計(jì)算機(jī)則會輸出從開始月份到結(jié)束月份的總銷售額．該軟件的統(tǒng)計(jì)方法是：檢查存放數(shù)據(jù)中每個月的信息，如果某一個月的4位數(shù)碼的每一位都不大于結(jié)束月份對應(yīng)位的數(shù)碼，并且不小于開始月份對應(yīng)位的數(shù)碼，則將該月份的銷售額計(jì)算在內(nèi)，否則就跳過去，將計(jì)算機(jī)統(tǒng)計(jì)1999年9躍到2000年3月的總銷售額記為，實(shí)際總銷售額為，則等于．三、解答題（共3小題，滿分30分）21．（10分）一個人的背包可以裝12千克的物品，現(xiàn)有五件物品如下：物品重量（千克）33426價值（百元）12.361460該人把五件物品中的若干件裝入背包，使得背包中物品的價值最大，請你指出背包中所裝物品是哪幾件？他們的總價值是多少百元？22．（10分）已知長方形的面積是48，周長是28，則對角線長為．23．（10分）如圖，和是高度同為的圓柱形容器，底面半徑分別為和，且．一龍頭單獨(dú)向注水，用分鐘可以注滿容器．現(xiàn)將兩容器在他們高度的一半處用一個細(xì)管連通（連通細(xì)管的容積忽略不計(jì)），仍用該水龍頭向注水，問分鐘時，容器中水的高度是多少？（注：若圓柱體底面積半徑為，高為，體積為，則．

2000年第11屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽試卷（初一第2試）參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題，每小題6分，滿分60分）1．（6分）的相反數(shù)是A．2000 B． C． D．1【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義求解，即的相反數(shù)為．【解答】解：的相反數(shù)為，即為．故選：．【點(diǎn)評】掌握相反數(shù)的定義，即的相反數(shù)是，記住0的相反數(shù)還是0．2．（6分）有如下四個命題：①有理數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)；②兩個同類項(xiàng)的數(shù)字系數(shù)是相同的；③兩個有理數(shù)的和的絕對值大于這兩個有理數(shù)絕對值的和；④兩個負(fù)有理數(shù)的比值是正數(shù)．其中真命題有A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【分析】分析是否為真命題，需要分別分析各題設(shè)是否能推出結(jié)論，從而利用排除法得出答案．【解答】解：、0的相反數(shù)是0，而0不是正數(shù)．故本選項(xiàng)錯誤；、所含字母相同且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)是同類項(xiàng)，同類項(xiàng)與字母的順序無關(guān)，與系數(shù)無關(guān)．如：與是同類項(xiàng)，但是它們的數(shù)字系數(shù)不相同．故本選項(xiàng)錯誤；、如：，，，，顯然，．故本選項(xiàng)錯誤；、根據(jù)有理數(shù)的除法法則：兩數(shù)相除，同號得正，可知兩個負(fù)有理數(shù)的比值是正數(shù)．故本選項(xiàng)正確．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了命題的真假判斷．正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假，關(guān)鍵是要熟悉課本中的定義、性質(zhì)、法則等．3．（6分）如圖，平行直線、與相交直線、相交，圖中的同旁內(nèi)角共有A．4對 B．8對 C．12對 D．16對【分析】每一個“三線八角”基本圖形都有兩對同旁內(nèi)角，從對原圖形進(jìn)行分解入手可知同旁內(nèi)角共有對數(shù)．【解答】解：直線、被所截有2對同旁內(nèi)角；直線、被所截有2對同旁內(nèi)角；直線、被所截有2對同旁內(nèi)角；直線、被所截有2對同旁內(nèi)角；直線、被所截有2對同旁內(nèi)角；直線、被所截有2對同旁內(nèi)角；直線、被所截有2對同旁內(nèi)角；直線、被所截有2對同旁內(nèi)角．共有16對同旁內(nèi)角．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了同旁內(nèi)角的定義．注意在截線的同旁找同旁內(nèi)角．要結(jié)合圖形，熟記同旁內(nèi)角的位置特點(diǎn)．兩條直線被第三條直線所截所形成的八個角中，有兩對同旁內(nèi)角．4．（6分），A． B． C． D．【分析】根據(jù)的取值是不大于的整數(shù)，可以直接確定的取值范圍．【解答】解：的取值是不大于的整數(shù)，，故選：．【點(diǎn)評】此題主要考查了取整函數(shù)的意義，確定不大于的整數(shù)的范圍是解決問題的關(guān)鍵．5．（6分）已知三個銳角的度數(shù)之和大于，則一定有一個銳角大于A． B． C． D．【分析】設(shè)這三個銳角分別是，，，根據(jù)題意列出不等式即可求解．【解答】解：設(shè)這三個銳角分別是，，，三個銳角的度數(shù)之和大于，，若，，，三式相加得：，故一定有其中一個銳角大于．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了角的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是對題意的正確把握與理解．6．（6分）如果有理數(shù)，，，滿足，則A． B． C． D．【分析】找出特殊的值，運(yùn)用舉反例的方法，依次證明錯誤的選項(xiàng)，再利用絕對值不等式的性質(zhì)即可得正確答案．【解答】解：令則，故選項(xiàng)錯誤，故選項(xiàng)錯誤．令，，則故選項(xiàng)錯誤．，故選項(xiàng)正確．故選：．【點(diǎn)評】此題采用特殊值法，舉出反例，同時考查絕對值不等式的性質(zhì)．7．（6分）有三個正整數(shù)，，，其中與互質(zhì)且與也互質(zhì)．給出下面四個判斷：①不能被整除②不能被整除③不能被整除④不能被整除其中，不正確的判斷有A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【分析】舉出特例使三個正整數(shù)，，分別為3，2，5，代入四個判斷逐一排除即可解得．【解答】解：令，，；①，能被2整除，所以此選項(xiàng)不正確；②，能被2整除，所以此選項(xiàng)不正確；③，能被5整除，所以此選項(xiàng)不正確；④，能被13整除，所以此選項(xiàng)不正確；綜上所述，不正確的判斷有3個．故選：．【點(diǎn)評】此題主要利用特殊數(shù)字進(jìn)行驗(yàn)證推理，解答時注意數(shù)的選擇．8．（6分）已知是不為0的整數(shù)，并且關(guān)于的方程有整數(shù)根，則的值共有A．1個 B．3個 C．6個 D．9個【分析】首先把進(jìn)行變形，用含的代數(shù)式表示；再根據(jù)條件是不為0的整數(shù)和有整數(shù)解到可得中的四項(xiàng)均應(yīng)為整數(shù)；又由是整數(shù)，可得到的值，再把的值代入中即可得到的值．【解答】解：有整數(shù)解式子中的四項(xiàng)均應(yīng)為整數(shù)能被整除又為整數(shù)，2，4，，，當(dāng)時：當(dāng)時：當(dāng)時：當(dāng)時：當(dāng)時：當(dāng)時：故選：．【點(diǎn)評】此題主要考查了求方程的整數(shù)根與分類討論的數(shù)學(xué)思想的綜合運(yùn)用，分類討論時要考慮全面，難度較大，綜合性較強(qiáng)．9．（6分）已知代數(shù)式，當(dāng)時，值為1，那么該代數(shù)式當(dāng)時的值是A．1 B． C．0 D．2【分析】先把代數(shù)式化簡，然后把代入化簡后的代數(shù)式，得，把代入化簡后的代數(shù)式，得，根據(jù)前面的結(jié)果即可求出最后的值．【解答】解：，當(dāng)時，原式，當(dāng)時，原式，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了代數(shù)式求值的方法，同時還隱含了整體的數(shù)學(xué)思想和正確運(yùn)算的能力．10．（6分）在某班的新年晚會上，每個同學(xué)都寫若干字條祝福他人，已知在任意四個人中，每一位都祝福其他三人中的至少一位，那么該班中沒有得到其他同學(xué)祝福字條的同學(xué)最多有位．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】假設(shè)有、兩同學(xué)沒有得到祝福字條，現(xiàn)在任選另外兩位同學(xué)記為、，則、、、組成一個四人組，由于至少祝福、、中的一位，而、沒有得到任何同學(xué)的祝福；同理也得到的祝福，由、的任意性可以得出，除，之外，班上其他同學(xué)都得到了祝福字條，進(jìn)而求解．【解答】解：假設(shè)有、兩同學(xué)沒有得到祝福字條，現(xiàn)在任選另外兩位同學(xué)記為、，則、、、組成一個四人組，由于至少祝福、、中的一位，而、沒有得到任何同學(xué)的祝福，所以得到的祝福；同理也得到的祝福，由、的任意性可以得出，除，之外，班上其他同學(xué)都得到了祝福字條．以上分析說明，未得到祝福字條的同學(xué)不能超過兩人．在，給除他們之外的同學(xué)都寫了祝福字條，其余同學(xué)也都給除、之外的所有同學(xué)寫了祝福字條的情況下，題目條件滿足，即存在恰有兩位同學(xué)未得到祝福字條的情況，所以最多有兩位同學(xué)未得到祝福字條．故選：．【點(diǎn)評】此題主要考查了推理論證，正確理解“至少一位”是本題解題的關(guān)鍵．二、填空題（共10小題，每小題6分，滿分60分）11．（6分）甲車的車輪轉(zhuǎn)一周在地上的車輪印痕長為90厘米，乙車的車輪轉(zhuǎn)時，車輪印痕長為20厘米，那么，甲車輪直徑是乙車輪直徑是1.5倍【分析】根據(jù)乙車的車輪轉(zhuǎn)時，車輪印痕長為20厘米，利用弧長的計(jì)算公式即可求得乙車車輪的半徑，即可求解．【解答】解：甲車車輪的半徑是：；根據(jù)弧長公式可得：乙車車輪的半徑是：．甲車輪直徑是乙車輪直徑的倍數(shù)是：故答案是：1.5．【點(diǎn)評】本題主要考查了圓的周長公式以及弧長的計(jì)算公式，是需要熟記的內(nèi)容．12．（6分）已知：，，，，則．【分析】本題根據(jù)題中所給條件，代入各項(xiàng)，根據(jù)運(yùn)算法則化簡計(jì)算即可．【解答】解：根據(jù)題中條件，將，，，的值代入，則故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握好運(yùn)算法則即可，計(jì)算時要注意看清符號．13．（6分）如果，，，且，則36864．【分析】根據(jù)，，，且，可得，，，再代入計(jì)算即可求解．【解答】解：，，，且，，，，．故答案為：36864．【點(diǎn)評】此題主要考查了絕對值的含義和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①當(dāng)是正有理數(shù)時，的絕對值是它本身；②當(dāng)是負(fù)有理數(shù)時，的絕對值是它的相反數(shù)；③當(dāng)是零時，的絕對值是零．14．（6分）若，則．【分析】由題意，可以令，然后讓兩式相減，即可求解．【解答】解：，令得，，①，令得，②，①②得，故答案為．【點(diǎn)評】此題主要考查代數(shù)式求解，解題的關(guān)鍵是令，然后求解，此題是一道經(jīng)典類型的題，大家要掌握好．15．（6分）已知，．則4002000．【分析】解此題的思路有兩種：一是直接代入；二是先將因式分解再代入計(jì)算．【解答】解：因式分解可得：，，，，．【點(diǎn)評】此題主要考查因式分解與數(shù)據(jù)代入，分析中第一種方法思路簡單，但代起來麻煩，而第二種方法較簡便．16．（6分）如圖，正方形的面積是1．，，，．則四邊形的面積是．【分析】要求四邊形的面積，根據(jù)面積相減法，求出正方形的面積減去圖中所有三角形的面積即可．【解答】解：正方形的面積為1，，，，，，，，，的面積；的面積；的面積；的面積；四邊形的面積．故本題答案為．【點(diǎn)評】本題考查了正方形各內(nèi)角均為直角，且各邊均相等的性質(zhì)，考查了直角三角形面積的計(jì)算，轉(zhuǎn)換思想求四邊形即求正方形面積減去所有三角形面積即可．17．（6分）從甲地到乙地是上坡路，從乙地到丙地是下坡路，王燕同學(xué)自甲地途經(jīng)乙地到丙地，立即再沿原路返回甲地，共用3.5小時，已知王燕上坡速度相同，下坡速度也相同，并且走上坡路所用時間比下坡路所用時間多0.5小時．那么，王燕走上坡路共用了2小時．【分析】由于去時的上坡路即為回時的下坡路，去時的下坡路即為回時的上坡路．把王燕同學(xué)往返甲、丙兩地中的上坡路、下坡路分別看作一個整體，可設(shè)王燕走上坡路用了小時，根據(jù)“走上坡路所用時間比下坡路所用時間多0.5小時”，可知她走下坡路用了小時，由“王燕同學(xué)自甲地途經(jīng)乙地到丙地，立即再沿原路返回甲地，共用3.5小時”得到等量關(guān)系：走上坡路所用時間走下坡路所用時間小時，列出方程．【解答】解：設(shè)王燕走上坡路用了小時，則她走下坡路用了小時．由題意，有，解得．即王燕走上坡路共用了2小時．故答案為：2．【點(diǎn)評】本題考查了一元一次方程在行程問題中的應(yīng)用．將王燕同學(xué)往返甲、丙兩地中的路程分為上坡路與下坡路，并把它們分別看作一個整體是解題的關(guān)鍵．18．（6分）滿足的正整數(shù)和的最大公約數(shù)記為．那么所有這樣的值得和等于6．【分析】立方數(shù)小于331的只有6個，依次寫出這六個數(shù)再求出的值，再求出這六組數(shù)的最大公約數(shù)相加即可解答．【解答】解：7的立方等于343，故的值只能為1、2、3、4、5、6．當(dāng)時，，他們的最大公約數(shù)為1，當(dāng)時，，他們的最大公約數(shù)為1，當(dāng)時，，他們的最大公約數(shù)為1，當(dāng)時，，他們的最大公約數(shù)為1，當(dāng)時，，他們的最大公約數(shù)為1，當(dāng)時，，他們的最大公約數(shù)為1，．故答案為6．【點(diǎn)評】本題主要考查最大公約數(shù)與立方數(shù)，熟記常見數(shù)的立方值是解題的關(guān)鍵．19．（6分）在滿足，，的條件下能達(dá)到的最大值是6．【分析】根據(jù)所給不等式求得用表示的不等式，進(jìn)而乘以2加上得到的取值范圍，根據(jù)的取值可得能達(dá)到的最大值．【解答】解：，，，又，，，，．的最大值為6．故答案為：6．【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)最值問題，得到用表示的所求的代數(shù)式的取值范圍是解決本題的關(guān)鍵．20．（6分）某商店每月的銷售額存放在計(jì)算機(jī)中．用4位數(shù)碼表示月份：第1，2位是年份數(shù)的后兩位，第3，4位是月份數(shù)．現(xiàn)有如下數(shù)據(jù)月份銷售額（萬元）月份銷售額（萬元）99091.200012.499101.300022.099111.500031.899122.000041.9某軟件提供自動統(tǒng)計(jì)的功能：輸入開始、結(jié)束月份（如9910，，計(jì)算機(jī)則會輸出從開始月份到結(jié)束月份的總銷售額．該軟件的統(tǒng)計(jì)方法是：檢查存放數(shù)據(jù)中每個月的信息，如果某一個月的4位數(shù)碼的每一位都不大于結(jié)束月份對應(yīng)位的數(shù)碼，并且不小于開始月份對應(yīng)位的數(shù)碼，則將該月份的銷售額計(jì)算在內(nèi)，否則就跳過去，將計(jì)算機(jī)統(tǒng)計(jì)1999年9躍到2000年3月的總銷售額記為，實(shí)際總銷售額為，則等于．【分析】求出，的值，可得結(jié)論．【解答】解：由題意，，，，故答案為：【點(diǎn)評】本題考查數(shù)與式，解題的關(guān)鍵是理解題意，求出，的值．三、解答題（共3小題，滿分30分）21．（10分）一個人的背包可以裝12千克的物品，現(xiàn)有五件物品如下：物品重量（千克）33426價值（百元）12.361460該人把五件物品中的若干件裝入背包，使得背包中物品的價值最大，請你指出背包中所裝物品是哪幾件？他們的總價值是多少百元？【分析】易得每千克最貴的為，接著為，，，那么根據(jù)背包可裝的物品的重量及價值最大原則，裝，，三件，進(jìn)而計(jì)算總價值即可．【解答】解：背包可以裝12千克的物品，每千克最貴的為，接著為，，，使得背包中物品的價值最大，裝，，三件物品，總價為（百元）．答：背包中所裝物品為，，，總價為百元．【點(diǎn)評】本題考查推理計(jì)算；得到能裝的較貴的物品是解決本題的關(guān)鍵．22．（10分）已知長方形