雙A 字形相似三角形綜合問題（重難點(diǎn)培優(yōu)）

2021-2022學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊尖子生培優(yōu)題典【人教版】

專題27.8雙A字形相似三角形綜合問題（重難點(diǎn)培優(yōu)）

姓名：班級：得分：

注意事項(xiàng)：

本試卷滿分100分，試題共22題，選擇10道、填空6道、解答6道.答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米

黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置.

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的.

1.（2022?富陽區(qū)二模）如圖，在△/SC中，點(diǎn)。，E分別在AC±,若嶇工^」，且△ZDE的面

ABAC3

積為9,則四邊形的面積為（）

【分析】根據(jù)兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似可證△4OES/U8C,然后利用相似三角形的性

質(zhì)求出△48C的面積=81,最后進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：?.?修

ABAC3

S

?AADE（AD）2=（4）2=工，

^AABC杷39

的面積為9,

二△Z8C的面積=81,

二四邊形BCED的面積=Z\”C的面積-AADE的面積

=81-9

=72,

故選：C.

2.（2022?工業(yè)園區(qū)校級自主招生）在△月8c中，NZ2C=120°,點(diǎn)。在邊4C上，且滿足Z）8_L&4,DC

—AB,則以L=()

AB

A?我B.如C.V2D.V3

【分析】過點(diǎn)C作。交/B的延長線于點(diǎn)〃，設(shè)8"=x,則”=Fx,BC=2X,設(shè)坦=/,根

AB

據(jù)CD=AB,可得￡R=/,證明BD//CH,可得鯉■=ER=f,證明可得旦口=￡殳=_L_,

CDBHCDHCAHt+1

列式1他2-］二上,求出，的值即可.

V3xt+1

【解答】解：過點(diǎn)C作交力8的延長線于點(diǎn)“，如圖，

VZABC=120°,

.../C8〃=180°-120°=60°,

設(shè)BH=x,則CH=43x,BC=2x,

AB

:CD=AB,

??A-D19_.

CD

：DBLBA.CHLAH,

,?膽=膽=人

BHCD

?.AB=ix=CD,

\AD=t1x,

'?^D=VAD2-AB2=zWt2-l,

：BD//CH,

,.△ABDs/\AHC,

?BD=AB-t

"HCAHt+l;

txVt2-l=t

V3xt+1

yjt^-l*(，+1)—y[3-

兩邊平方得：

(P-1)'(?+2/+1)=3,

.,./4+2p+?-?-2r-4=0,

Ar3(f+2)-2(什2)=0,

(?-2)02)=0,

；f+2>0,

A?-2=0,

,',z=^2,

故選：4

3.(2022?泗陽縣一模)如圖，在△N8C中，CHUB,CH=h,AB=c,若內(nèi)接正方形。MG的邊長是x,

A./+〃2=，B.Xx+h—cC.M=xcD.A=A+_L

2xhc

【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)得到GF//DE,從而證明ACG尸根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可列出

比例式，再通過證明四邊形O/M/G是矩形表示出CM的長度，即可求解.

【解答】解：如圖，設(shè)C”與G尸交于點(diǎn)M,

,??四邊形DEFG是正方形,

:.GF〃DE,NGDE=NDGF=90°,

:.ACGEsACAB,

?GF=CM

.?而畝

〈CHL4B,

:.NDHM=90°,

???四邊形是矩形，

:?DG=MH,

?:CH=h,AB=c,正方形。由G的邊長是x,

：.MH=xf

：.CM=CH-MH=h-x,

.-.Z=hzl,

ch

：.2L=\-土

ch

??———^,

exh

；」=』+』，

xhc

故選：D.

4.（2021秋?崇川區(qū)期末）如圖，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長為1,點(diǎn)48都在小正方形的頂點(diǎn)上，線段

48與網(wǎng)格線交于點(diǎn)C,則NC的長為（)

M

B

A.1B.AC.立D.旦

2345

【分析】先利用勾股定理求出AB的長，再利用A字模型相似三角形證明△NNCs/vi。金然后利用相

似二角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：如圖：

由題意得：

^5=VAD2+BD2=^42+32=5'

CN//BD,

：.ZANC=NADB,NACN=NABD,

：.AANCSAADB,

AAN=AC,

"AD而，

lAC,

/"t7=V

.?./c=S,

4

故選：c.

5.（2021秋?惠山區(qū)校級月考）如圖，點(diǎn)尸是△力8C的重心，過點(diǎn)。作尸O〃8G交AC于盡D,連結(jié)尸C

若△ZBC的面積為1,則△尸。。的面積為（）

A.AB.AC.-2_D..A.

891527

【分析】連接4尸并延長交8C于點(diǎn)E,根據(jù)三角形的重心可得8E=EC=』8C,迎=2,從而可得以48

2PE

=工，再利用平行線分線段成比例可得地=2,進(jìn)而可得包膽=2,然后證明A字模型相似三角形可

2DCSAPDC

得△4PDsA4EC,從而可得也幽=生進(jìn)而求出SAJPD=2,最后可求出△PQC的面積，即可解答.

2AAEC99

【解答】解：連接NP并延長交8C于點(diǎn)E,

?點(diǎn)P是△/8C的重心，

：.BE=EC=1BC,世=2,

2PE

二SA/4￡C=—5A4BC=—>

22

,JPD//BC,

?AP=AD=?

PEDC

?SAAPD

^APDC

U：PD//BC,

：.NAPD=/AEC,ZADC=NACE,

：.△APDsAAEC,

S

.AAPD=(AP)2=(_2)2=g

^AAEC視39

._4_9

.*?S^APD=三SxJEC—-?

99

?*?S/\PDC=-^S/\APD=—f

29

故選：B.

6.（2022?工業(yè)園區(qū)模擬）如圖①，②，③，④，兩次折疊等腰三角形紙片48C,先使與/C重合，折

痕為力。，展平紙片；再使點(diǎn)Z與點(diǎn)C重合，折痕為EF,展平紙片，AD、EF交于點(diǎn)G.若AB=AC=

5cm,BC=6cm,則。G的長為（）

o7

A,士cmB.J-cmC.\ctnD.3-cm

486

【分析】由折疊可得，BD=CD,AF=CF,ADIBC,EFLAC,則CD=3cm,CF=，m,根據(jù)勾股定

2

理可得AD=yjA,2-CD2=4CTO,利用△NCDsaECF可求出EF和EC,進(jìn)而可得DE,再利用△EDG

s^EFC,即可求出。G.

【解答】解：由折疊可得，BD=CD,AF=CF,AD1BC,EFLAC,

AB=AC=5cm,BC=6cm,

:.CD=3cm,CF=^cm,4D=

在RtAC￡F和RtAC?l￡>中，

NECF=NACD,NCFE=NADC,

：.AACDs^ECF,

?CFEFEC

"CD"AD'EC"

5_

即_?史里?，

345

解得EF=_12CW,EC=^-cm,

36

:*DE=EC-CD=1-(cm),

6

在RtA￡DG和RtA￡TC中,

NEDG=NEFC=90°,NDEG=NCEF,

：./\EDG^/\EFC,

?DGDE

,?而而‘

7_

即改

S也

~2~3

解得。G=1c"1.

8

故選：B.

7.（2021秋?錫山區(qū)校級期中）如圖，點(diǎn)。為正方形/8CO對角線8。的中點(diǎn)，8E平分NO8c交。C于點(diǎn)

E,延長8c到點(diǎn)產(chǎn)，使FC=EC,連接。廠交屆的延長線于點(diǎn)連接。燈交。C于點(diǎn)G,連接“C.則

以下五個(gè)結(jié)論中①。以=28尸；②NCHF=60°；③8C=（2+&）GH；?HF1=HE*HB,正確結(jié)論有

2

C.3D.4

【分析】①只要證明。”是△O8F的中位線即可得出結(jié)論；

②根據(jù)四邊形488是正方形，8E是/。8c的平分線可求出RtABCEgRtADCF,再由NEBC=22.5°

即可求出結(jié)論；

③O”是△08尸的中位線等己知條件可得出。，=8。，設(shè)正方形的邊長為2a,表示出G4、8c即可得出

結(jié)論；

④由相似三角形的判定定理得出根據(jù)相似三角形的對角邊成比例即可得出結(jié)論.

【解答】解：①在正方形N8C￡）中，NBCE=NDCF,BC=DC,

,:EC=CF,NBCE=NDCF,BC=DC,

:.△BCEQWCF(SAS),

:./CBE=/CDF,

■:NCBE+NBEC=90°,，BEC=/DEH,

；?NDEH+NCDF=90°,

:./BHD=/BHF=90°,

,:BE平令4DBC,

：./HBD=/HBF,

,:BH=BH,

:ABHDm4HBF(ASA\

:.DH=HF,

?：OD=OB,

???。〃是△QB尸的中位線，

，OH=LBF,

2

故①正確；

???四邊形438是正方形，3E是NO8C的平分線，

:.BC=CD,NBCD=NDCF,ZEBC=22.5°,

?:CE=CF,

：.RtABCE^RtADCF(SAS'),

：.ZEBC=ZCDF=22.5°,

：.ZBFH=90°-ZCDF=90°-22.5°=67.5°,

TO//是△QBE的中位線，CD1AF,

：.OH是CD的垂直平分線，

:.DH=CH,

：.ZCDF=ZDCH=22.5°,

：.NHCF=90°-NDCH=90°-22.5°=67.5°,

：.ZCHF=\800-ZHCF-ZBFH=ISO0-67.50-67.5°=45°

故②不正確；

③OH是ADBF的中位線，

：.OH//BFfOH=LF,OG=1.BC,

22

NOHB=NHBF,

■是NO3尸的平分線，

NDBH=NHBF,

：.NOHB=NHBO,

：.OH=BO,

設(shè)正方形的邊長為2a,則8c=2a,OG=a,BD=2，^a,

：.OB=OH=42a，

：.GH=OH-OG=\[2a-a=（迎-1）4,

?'-—=-------=2+2如，

GH（V2-l）a

:.BC=（2+272）GH,

故③不正確；

④：NOB尸=45°,8E是/￡>8尸的平分線，

:.NDBH=225°,

由②知/川5C=NC￡>/：?=22.5°,

4DBH=Z.CDF,

"：ZBHD=NBHD,

:.△DHEs^BHD,

???D一H'二HE1

BHDH

:*Dm=HE,HB,

故④正確；

故選：B.

8.（2021?武進(jìn)區(qū)校級自主招生）如圖，△/8C中，D、E是8c邊上的點(diǎn)，BD：DE：EC=3：2：1,加在

NC邊上，CM：MA=1：2,BM交4D,4E于H,G,則HG：GM等于（）

【分析】連接EM,根據(jù)已知可得ACEMsACDA,根據(jù)相似比從而不難得到答案.

【解答】解：連接EW,

CE：CD=CM：CA=1：3

平行于NO

ABHDs△CEMs△CDA

:.HD：ME=BD：BE=3：5,ME：AD=CM：AC=\：3

：.AH=(3-3)ME,

5

:.AH：ME=\2：5

：.HG：GM=AH：EM=12：5

設(shè)GM=5比GH=12k,

,:BH：HM=3：2=8"：17k

:.BH=&K,

2

:.BH：HG：GM=1Lk：12k5左=51：24：10

2

故選：D.

9.（2022春?任城區(qū)校級期末）如圖，有一塊三角形余料/8C,BC^\20nim,高線/。=90m加，要把它加

工成一個(gè)矩形零件，使矩形的一邊在8c上，點(diǎn)P、例分別在48,ZC上，若滿足PM：PQ=2：1,則

P。的長為（）

A

【分析】利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程即可解決問題.

【解答】解：如圖，設(shè)4D交PM于點(diǎn)K.

'：PMtPQ=2：1,

.,.可以假設(shè)A/P=247〃，"，PQ=kmm.

??,四邊形尸0NM是矩形，

：.PM//BC,

:AAPMs2ABC,

'JADLBC,BC//PM,

J.ADLPN,

.?四=里

"BCAD'

；2k=90-k：

'12090

解得k=36,

PQ=36mm.

10.(2022春?碑林區(qū)校級期末)如圖，平行四邊形488中，/8=6,AD=9,BE平分NABC,交.4D于E,

CF1.BE交BE于點(diǎn)、N,交4。于點(diǎn)凡作MV〃C。交/。于點(diǎn)則MN=()

232

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得AD//BC,由角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得與△C。尸為

等腰三角形，可得4E=4B=CD=DF=6,從而可得即=3,山4D〃8C可得△￡7Ws/\8CN,可推出理_

CN

=22,從而可得里=上，由MN〃CD可得AMNFsADCF,可得典=理，即可求解.

BCCF4CDCF

【解答】解：?.?四邊形/8CO為平行四邊形，48=6,AD=9,

:.AD〃BC,CD=AB=69BC=AD=9,

：./CBE=/AEB,4BCF=/CFD,

???BE?平分N/8C,

/ABE=NCBE,

：.NABE=NAEB,

..AE=AB=f）i

■:CFLBE,

；.NBCF+NCBE=9。。,

?：N4BC+NBCD=180",

??.N/8E+NOC戶=90°,

/ABE=NCBE,

：./BCF=/DCF,

：./DCF=/CFD,

：.DF=CD=6t

u

：AD=AE+DE=9fAE+DF=AE+DE+EF=T2,

:.EF=3,

?:AD〃BC,

：.△EFNsRBCN,

?FN=EF_3_1

??,一.一，,,，—1-,

CNBC93

.?.里=2

"CF了

'JMN//CD,

：./XMNF^/XDCF,

?MN-FN-1

??一，■.■，,，-.,

CDCF4

.\W=ACD=AX6=X

442

故選：D.

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）請把答案直接填寫在橫線上

11.（2022?廣陵區(qū)一模）如圖，邊長為2的正方形CDE尸內(nèi)接于RtZXNBC,斜邊A8=6,則△/8C的周長

為_8+WIU_?

A-

CDB

【分析】設(shè)8C=a,AC=b,根據(jù)正方形的性質(zhì)可得/EFC=NC=90°,EF=CD=CF=2,從而可證/

字模型相似三角形然后利用相似三角形的性質(zhì)可得2(a+6)=ab,再在RtZ\Z8C中，

利用勾股定理可得/+/=36,然后進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：設(shè)5c=“，AC=b,

?.?四邊形EFC。是正方形，

:.NEFC=NC=90°,EF=CD=CF=2,

：.ZJF￡=180°-Z￡FC=90°,

/4FE=/C,

^AFE^/XACB,

???E“F-?A一F_,

BCAC

2,

ba

.*.2(a+b)=ab,

在RtZ\/8C中，AC1+BC^^AB1,

.".a2+b1=62—36,

：.(a+b)2-2ab=36,

：.(a+b)2-4(a+6)-36=0.

：.a+b-=2+2yflQ^a+b^2-2A/10(舍去)，

/.△/8C的周長為=/8+/C+8C=6+2+2^10=8+2>/10，

故答案為：8+2版10?

12.(2022?無錫二模)如圖，D、E分別是△/BC的邊/8、/C上的點(diǎn)，RDE//BC,BE、CD相交于點(diǎn)。，

若SADOE：SADOB=1：3,則典=1,當(dāng)SZUDE=2時(shí)，四邊形￡>8CE的面積是16.

BC-3-

A

【分析】由題意可得絲=1：3,可得邁=1：3,再由相似三角形的性質(zhì)即可求解.

OBBC

【解答】解：?:S&DOE：S&DOB=\：3,

.?屈=1：3,

0B

'：DE//BC,

:.△ODEMOCB,

..<DE=OE=1,

"BCOBT

?:DE"BC,

：./XADE^/XABC,

S

?AADE（DE）2=（工）2=L

^AABCBC39

?S沙DE=2,

??S^ABC=18,

???四邊形DBCE的面積為S^ABC-5AZ4DE=18-2=16,

故答案為：X16.

3

13.（2021秋?崇川區(qū)期末）在我國古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中記載了這樣一個(gè)問題：“今有勾五步，股十

二步，問勾中容方幾何？”其大意為：如圖，的兩條直角邊4C,BC的長分別為5步和12步，

則它的內(nèi)接正方形CDE/的邊長為_毀_步.

【分析】利用4字模型相似三角形證明△NOEszX/CB,然后利用相似三角形的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：?.?四邊形CDE尸是正方形，

DE//CF,DE=DC,

：.ZADE=ZC,ZAED=ZB,

:.AADEsAACB,

.AD=DE

"ACCB"

...也=理，

512

?.?.5.-.D.E_.D.E,

512

.?.￡)E=殷，

17

正方形CQEF的邊長為：殷步,

17

故答案為：60.

17

14.（2021秋?啟東市校級月考）如圖，在△48C中，AB=AC=10,BC=12,正方形。EFG的頂點(diǎn)E,F

在△/BC內(nèi)，頂點(diǎn)。，G分別在AC±,AD=AG,DG=3,則點(diǎn)尸到8c的距離為3

【分析】過點(diǎn)工作⑷于點(diǎn)M,交OG于點(diǎn)N,延長G尸交8c于點(diǎn)，，通過證明△ZZ）GSZ\NBC,

可得可證。G〃8C,可證然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)

求解即可求得答案.

【解答】解：過點(diǎn)力作力”，8c于點(diǎn)交DG于點(diǎn)、N,延長GF交BC于點(diǎn)”，

'：AB=AC,AD^AG,

/<AD=AG,

"ABAC'

?:NBAC=NDAG,

^ADG^AABC,

???/ADG=NB,

：.DG//BC,

???四邊形DE尸G是正方形，

：.FG.LDG,

:?FHLBC,AN.LDG,

VAB=AC=IO,BC=\2.

：.BM=lBC=6f

2

?*-AA/=VAB2-BM2=7102-62=8，

?:DGI/BC,

：.AWGs△力3C,

AAN=DG,

"AMBC，

?儂=J_,

?"F-12，

:?AN=2,

：.MN=AM-AN=6,

:?FH=MN-GF=6-3=3,

故答案為：3.

15.（2022?鹽城一模）如圖，點(diǎn)E、尸分別是矩形/8C。邊8c和8上的點(diǎn)，把△€1￡尸沿直線￡尸折疊得

到AGE凡再把ABEG沿直線8G折疊，點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)，恰好落在對角線8。上，若此時(shí)尸、G、H三

點(diǎn)在同一條直線上，且線段所與“。也恰好關(guān)于某條直線對稱，則里的值為_2/_.

EF

BEC

【分析】根據(jù)線段"與，。關(guān)于某條直線對稱，可得從而可得/BHG=2NHFD,再根據(jù)折

疊的性質(zhì)可得CF=FG,CE=EG=HG,ZCFE=ZGFE,ZBHG=ZBEG,ZCEF=ZGEF,從而可得

ZHFD+ZCEF=90°,然后利用矩形的性質(zhì)可得NCE尸+/?；?90°,從而可得NCFE=NHFD=N

GFE=60°,進(jìn)而證明△//￡/是等邊三角形，最后證明4字模型相似三角形△CFESACQB,再利用相

似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：??,線段〃/與〃。關(guān)于某條直線對稱，

:?HF=HD,

：./HDF=4HFD,

*.?ZBHG=NHDF+ZHFD,

:?/BHG=2/HFD,

由折疊可得：

CF=FG,CE=EG=HG,/CFE=NGFE,/BHG=NBEG,/CEF=NGEF,

：?4BEG=24HFD,

VZBEG+ZCEG=180°,

A2ZHFD+2ZCEF=180°,

:?/HFD+NCEF=90°,

???四邊形448是矩形，

AZC=90°,

；./CEF+/CFE=90°,

：.ZCFE=ZHFD9

:./CFE=NHFD=/GFE=±KT80°=60°,

3

???△〃￡)/是等邊三角形，

NHDF=60°,HF=DF,

?；NHDF=NCFE=60°,ZC=ZC,

:.XCFEsXCDB,

ABDCD,

，#EF=CF，

設(shè)CF=GF=a,

VZC=90°,ZCF￡=60°,

:.CE=&CF=Ma,

:.CE=HG=MQ,

DF=HF=HG+FG=Ma+a,

:.CD=CF+DF=2a+?a,

?.BD=CD=2a+V^a=2+V^,

"WCF~

故答案為：2+A/3-

16.（2006?淄博）如圖，已知△N8C的面積

AAiBB]CCj1

在圖1中，若,-J

AB_BC-CA24

卜卜2BBcc

在圖2中，若,221則S，/、dDC=-l?

AB_BC■CA飛’3

AA3“3

在圖3中，若,BB31

AB_BC-CA一4’16,

卜卜8BBcc

按此規(guī)律，若.881

AB~BC-CA一9’~27~

【分析】根據(jù)圖的特點(diǎn)，找出圖中的相似三角形，求出其相似比，根據(jù)面積比等于相似比的平方找出規(guī)

律解答.

解：對圖（2）進(jìn)行分析：可以標(biāo)出每條邊的所有分點(diǎn)的字母，從血開始，逆時(shí)針為43、&、C3,

可以得到3882sAABC,

2

且面積比為（上）=1,也就可以得到以X3BB2=而△/乂3&和△/38歷同底等高，面積相等,

匕,99

所以，S^2BB2=^S^ABC>同樣道理，可得到，S&B2cle=Zs4BC，S<M42c2=2sk48C，

999

那么S^A2B2C2=（13）S5BC=LSMBC-

93

根據(jù)上述分析可以得到，如果/〃-I是的n等分點(diǎn)，8〃-1是8c的〃等分點(diǎn)，67是ZC的〃等

分點(diǎn)，

2

那么=1-（―）X3X（n-l）=l-°），當(dāng)〃=9時(shí)，貝-SAJ888cs=1-3（'一1）,

nn281

=29

27,

三、解答題（本大題共6小題，共46分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（2022?如皋市二模）如圖，點(diǎn)。在△4BC的邊BC上，ZADC+ZBAC=\80°,AB=4,BC=8,求

BD的長.

【分析】可證得△氏4〃s△80,得出地=地，把/8=4,8c=8代入，即可求得答案.

BABC

【解答】解：?.,//OC+/8NC=180°,,

N4DB=NBAC,

又；/B=NB,

：./XBADsABCA,

ABD=BAT

"BABC"

:.BA2=BD，BC,

*8=4,BC=8,

：.BD=2.

18.（2021秋?百色期末）已知：如圖，點(diǎn)力在三角形/8C的邊48上，DE交AC于點(diǎn)、E,NADE=NB,

點(diǎn)廠在ZD上，^.AD2=AF'AB.

求證：（1）挺1獸；

ABAC

(2)XAEFsXACD,

【分析】（1）利用已知可得r>E〃8C,然后利用平行線分線段成比例證明即可；

（2）利用兩邊成比例且夾角相等來證明△/CO即可.

【解答】證明：（1）；N4DE=NB,

：.DE//BC,

*?.'AD-=AE.,

ABAC

（2）'：AD2=AFAB,

.AD_AF.

"AB'AD"

由（1）得：也望，

ABAC

???AE,—AF—?

ACAD

AAEFSAACD.

19.（2022?嘉興一模）如圖，在△48C中，D,E分別是/B,NC邊上的點(diǎn)，且/。：DB=AE：EC=2：3.

（1）求證：AADEsAABC；

（2）若DE=4,求8c的長.

【分析】（1）根據(jù)已知可得地=嶇=2,然后利用兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，即可解

ABAC5

答；

（2）利用（1）的結(jié)論，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】（1）證明：DB=AE：EC=2：3,

?AD—AE—2

ABAC5

*：=

：./\ADE^/\ABC；

⑵解：?;△ADES"BC,

AAD=DE,

"ABBC"

?.2=_L,

Be'

.?.8C=10,

.\3C的長為10.

20.（2022?豐縣二模）如圖①，等邊三角形紙片/8C中，18=12,點(diǎn)。在8c上，CD=4,過點(diǎn)3折疊該

紙片，得點(diǎn)。和折痕。E（點(diǎn)E不與點(diǎn)/、C重合）.

（1）當(dāng)點(diǎn)。落在力C上時(shí)，依題意補(bǔ)全圖②，求證：DC//AB-.

（2）設(shè)△ZB。的面積為S,S是否存在最小值？若存在，求出S的最小值；若不存在，請說明理由；

（3）當(dāng)B,C,E三點(diǎn)共線時(shí)，EC的長為2A/-I2-2.

【分析】（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，利用等邊三角形性質(zhì)和翻折變換的性質(zhì)即可證得結(jié)論；

（2）過點(diǎn)。作。ELZ8于尸，由折疊可知，DC=。。=4,以。為圓心，4為半徑作輔助圓，則點(diǎn)C'

在。。上，當(dāng)點(diǎn)C'在。尸上時(shí)，點(diǎn)C'到的距離最小，S△八BC最小，利用三角形面積公式即可求得

答案；

（3）如圖④，連接8C',過點(diǎn)。作。G_LC'E于點(diǎn)G,過點(diǎn)、E作EH上BC于點(diǎn)、H,設(shè)CE=x，可證得

△BDGS^BEH,則四=弛=坨，建立方程求解即可得出答案.

BEBHEH

【解答】（1）證明：補(bǔ)全圖形，如圖②所示，

圖②

是等邊三角形，

AZ/4=Z5=ZC=60°,

:過點(diǎn)。折疊該紙片，得點(diǎn)。和折痕。E,

:.NDC'C=NC=60°,

:"DCC=//=60°，

:.DC〃AB；

(2)解：S存在最小值,

如圖③，過點(diǎn)。作。尸，于尸，

是等邊三角形，

=N8=NC=60°,AB=BC=12>

又\。=4,

：.BD=S,

由折疊可知，DC'=DC=4,

...點(diǎn)C'在以。為圓心，4為半徑的圓上，

當(dāng)點(diǎn)C'在。E上時(shí)，點(diǎn)C'到45的距離最小，SMBC?最小，

；RtZY8D尸中，DF=DB*smZABD=S*sm60°=8*近=4愿，

2

地小=JiX12X(473-4)=24?-24；

(3)解：EC=2yfl3-2,理由如下：

如圖④，連接8C',過點(diǎn)。作。G_LC'E于點(diǎn)G,過點(diǎn)E作8c于點(diǎn)”,

則NOGC'=NEHC=9Q°,

設(shè)CE=x,

由翻折得：DC=QC=4,CE=CE=x,ZDCE=NDCE=60°,

C'G=DC?cosZDCE=4cos60°=2,DG=DC'?sinZDC(E=4sin60°=2愿，

CH=CE'cosZDCE=x^cos60Q=Xr,EH=CE-sinZDCE=x-sin600

2

：.BH=BC-CH=\2-IJC,

2

'：B,C,E三點(diǎn)共線，

:.NDBG=NEBH,BG=BE-CE+C'G=BE-x+2,

：.△BDGs/\BEH,

???BD-BG-D—G—,

BEBHEH

*_BE-x+2_2A/3

即Hn：——=-----：———f=-

BEi2」x叵x

2X2x

：.BE=2x,

-8_2x-x+2

Vx>0,

.,.A-=2V13-2,

；.EC的長為205-2,

故答案為：2、13-2.

21.(2022秋?黃浦區(qū)校級月考)已知：如圖，在△/8C中，點(diǎn)。在邊8c上，AE//BC,BE與AD、ZC分

別相交于點(diǎn)RG,AF2=FG?FE.

(1)求證：ACADs4CBG；

(2)聯(lián)結(jié)。G,求證：DG?AE=AB,AG.

【分析】(1)通過證明△口Gs△尸￡■/,可得/61G=NE,由平行線的性質(zhì)可得N￡=NE8C=//^G,

S.ZACD=ZBCG,可證△G4Ds/iC8G；

(2)由相似三角形的性質(zhì)可得里=生，且/￡>CG=N4C8,可證△COGs/XOB,可得理_=竺,