專(zhuān)題03 不等關(guān)系與不等式性質(zhì)-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識(shí)梳理+真題自測(cè)+考點(diǎn)突破+分層檢測(cè)）（新高考專(zhuān)用）原卷版

2/2專(zhuān)題03不等關(guān)系與不等式性質(zhì)（新高考專(zhuān)用）目錄目錄【知識(shí)梳理】 2【真題自測(cè)】 3【考點(diǎn)突破】 3【考點(diǎn)1】比較數(shù)(式)的大小 3【考點(diǎn)2】不等式的基本性質(zhì) 4【考點(diǎn)3】不等式性質(zhì)的綜合應(yīng)用 5【分層檢測(cè)】 6【基礎(chǔ)篇】 6【能力篇】 8【培優(yōu)篇】 8考試要求：1.理解用作差法比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的理論依據(jù).2.理解不等式的概念.3.理解不等式的性質(zhì)，掌握不等式性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用.知識(shí)梳理知識(shí)梳理1.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法(1)作差法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b>0?a>b，,a－b＝0?a＝b，,a－b<0?a<b.))(2)作商法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)>1（a∈R，b>0）?a>b（a∈R，b>0），,\f(a,b)＝1?a＝b（a，b≠0），,\f(a,b)<1（a∈R，b>0）?a<b（a∈R，b>0）.))2.不等式的性質(zhì)(1)對(duì)稱(chēng)性：a＞b?b＜a；(2)傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c；(3)同向可加性：a＞b?a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd；(5)可乘方性：a＞b＞0?an＞bn(n∈N，n≥1)；(6)可開(kāi)方性：a＞b＞0?eq\r(n,a)＞eq\r(n,b)(n∈N，n≥2).1.證明不等式的常用方法有：作差法、作商法、綜合法、分析法、反證法、放縮法.2.有關(guān)分式的性質(zhì)(1)若a>b>0，m>0，則eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0).(2)若ab>0，且a>b?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2019·全國(guó)·高考真題）若a>b，則A．ln(a?b)>0 B．3a<3bC．a(chǎn)3?b3>0 D．│a│>│b│2．（2018·全國(guó)·高考真題）設(shè)，，則A． B．C． D．3．（2024·上海楊浦·二模）已知實(shí)數(shù)，，，滿(mǎn)足：，則下列不等式一定正確的是（

）A． B． C． D．二、多選題4．（2022·全國(guó)·高考真題）若x，y滿(mǎn)足，則（

）A． B．C． D．5．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知，下列不等式正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題6．（2024·河北石家莊·二模）若實(shí)數(shù)，且，則的取值范圍是.考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】比較數(shù)(式)的大小一、單選題1．（21-22高二下·江西九江·期末）已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．2．（2022·廣東廣州·一模）若正實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足，且，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知,,則（

）A． B．C． D．4．（2023·廣東肇慶·二模）已知正數(shù)滿(mǎn)足等式，則下列不等式中可能成立的有（

）A． B．C． D．三、填空題5．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·一模）已知，，，則的大小關(guān)系是.6．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)冪函數(shù)滿(mǎn)足以下條件：①定義域?yàn)?；②為增函?shù)；③對(duì)任意的，，都有，則．反思提升：1.作差法一般步驟：(1)作差；(2)變形；(3)定號(hào)；(4)結(jié)論.其中關(guān)鍵是變形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式.當(dāng)兩個(gè)式子都為正數(shù)時(shí)，有時(shí)也可以先平方再作差.2.作商法一般步驟：(1)作商；(2)變形；(3)判斷商與1的大??；(4)結(jié)論.3.函數(shù)的單調(diào)性法：將要比較的兩個(gè)數(shù)作為一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得出大小關(guān)系.4.特殊值法：對(duì)于選擇、填空題，可以選取符合條件的特殊值比較大小.【考點(diǎn)2】不等式的基本性質(zhì)一、單選題1．（22-23高一下·云南玉溪·期中）若，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2024·遼寧·一模）設(shè)則（

）A． B．C． D．二、多選題3．（2021·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）已知兩個(gè)不為零的實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則下列說(shuō)法中正確的有（

）A． B． C． D．4．（2023·湖北襄陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）我們可以利用曲線(xiàn)和直線(xiàn)寫(xiě)出很多不等關(guān)系，如由在點(diǎn)處的切線(xiàn)寫(xiě)出不等式，進(jìn)而用替換得到一系列不等式，疊加后有這些不等式體現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美.運(yùn)用類(lèi)似方法推導(dǎo)，下面的不等式正確的有（

）A．B．C．D．三、填空題5．（2023·山西大同·模擬預(yù)測(cè)）已知，，，，則的最小值為．6．（2024·河北承德·二模）已知等差數(shù)列（公差不為0）和等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別為，如果關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程有實(shí)數(shù)解，則以下1003個(gè)方程中，有實(shí)數(shù)解的方程至少有個(gè).反思提升：解決此類(lèi)題目常用的三種方法：(1)直接利用不等式的性質(zhì)逐個(gè)驗(yàn)證，利用不等式的性質(zhì)判斷不等式是否成立時(shí)要特別注意前提條件；(2)利用特殊值法排除錯(cuò)誤答案；(3)利用函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)直接利用不等式的性質(zhì)不能比較大小時(shí)，可以利用指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷.【考點(diǎn)3】不等式性質(zhì)的綜合應(yīng)用一、單選題1．（2023·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）已知，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）已知且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題3．（20-21高三上·江蘇·階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足則（

）A．的取值范圍為 B．的取值范圍為C．的取值范圍為 D．的取值范圍為4．（2023·河南洛陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則（

）A． B． C． D．三、填空題5．（21-22高三·云南昆明·階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，，滿(mǎn)足則的取值范圍是．（用區(qū)間表示）6．（2022·上海普陀·一模）設(shè)二次函數(shù)，若函數(shù)的值域?yàn)?，且，則的取值范圍為.反思提升：利用不等式性質(zhì)可以求某些代數(shù)式的取值范圍，但應(yīng)注意兩點(diǎn)：一是必須嚴(yán)格運(yùn)用不等式的性質(zhì)；二是在多次運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)有可能擴(kuò)大了變量的取值范圍.解決的途徑是先建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關(guān)系，最后通過(guò)“一次性”不等關(guān)系的運(yùn)算求解范圍.分層檢測(cè)分層檢測(cè)【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2023·上海金山·二模）若實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足，則下列不等式中成立的是（

）A． B．C． D．2．（2022·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）小李從甲地到乙地的平均速度為，從乙地到甲地的平均速度為，他往返甲乙兩地的平均速度為，則（

）A． B．C． D．3．（2024·云南貴州·二模）已知，則的大關(guān)系為（

）A． B．C． D．4．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）若，則有（

）A． B．C． D．二、多選題5．（21-22高三上·湖北·階段練習(xí)）下列命題成立的是（

）A．若，，則B．若不等式的解集是，則C．若，，則D．若a，b滿(mǎn)足，則的取值范圍是6．（2023·山東·二模）已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B． C． D．7．（2023·湖南長(zhǎng)沙·二模）已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題8．（20-21高一上·湖北武漢·期中）購(gòu)買(mǎi)同一種物品可以用兩種不同的策略，不考慮物品價(jià)格的升降，甲策略是每次購(gòu)買(mǎi)這種物品的數(shù)量一定，乙策略是每次購(gòu)買(mǎi)這種物品所花的錢(qián)數(shù)一定，則種購(gòu)物策略比較經(jīng)濟(jì).9．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足，，則的取值范圍為．10．（2022·四川瀘州·三模）已知x，，滿(mǎn)足，給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中一定成立的結(jié)論是（寫(xiě)出所有成立結(jié)論的編號(hào)）．四、解答題11．（23-24高一上·江蘇連云港·階段練習(xí)）（1）已知，求的取值范圍.（2）比較與的大小，其中.12．（21-22高三·貴州貴陽(yáng)·階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，，滿(mǎn)足．(1)若，求證：；(2)若，，求的最小值．【能力篇】一、單選題1．（2023·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知，，，則（

）A． B．C． D．二、多選題2．（21-22高一上·重慶·期末）下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則 B．若，，則C．，則 D．若，則三、填空題3．（2024·湖南邵陽(yáng)·二模）已知，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.四