江蘇省無錫市2021-2022學年九年級上冊數(shù)學期末測試試題（含答案）

江蘇省無錫市2021-2022學年九年級上冊數(shù)學期末測試試題（一）

一、選一選（本大題共10題，每小題3分，共計30分.在每小題所給出的四個選

項中，恰有一項是符合題目要求的，請用2B鉛筆把答題卡上相應的答案涂黑.）

1.化簡J記得（）

A.±4B.±2C.4D.-4

【答案】C

【解析】

【詳解】716=4.

故選C.

2.下列美麗的圖案，既是軸對稱圖形又是對稱圖形的個數(shù)是（）

【答案】C

【解析】

【詳解】根據(jù)軸對稱圖形和對稱圖形的概念可判定個，第二個,第四個圖形既是軸對稱圖形又是對

稱圖形，故選C.

3.tan30。的值為（）

A.yB.3C.GD.—

223

【答案】D

【解析】

【分析】直接利用角的三角函數(shù)值求解即可.

【詳解】tan3（T=@,故選。.

3

【點睛】本題考查角的三角函數(shù)的值的求法，熟記的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

4.一元二次方程x2-2x+2=0的根的情況為（）

A.有兩個等根B.有兩個沒有等根C.只有一個實數(shù)根D.沒有實數(shù)

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根

【答案】D

【解析】

【詳解】：在方程f-2x+2=0中，△=(-2)2-4XlX2=-4<0,

該方程沒有實數(shù)根.

故選D.

點睛:本題考查了一元二次方程(a#0)的根的判別式△="-4ac：當△>()時，一元二

次方程有兩個沒有相等的實數(shù)根；當A=0時，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；當△<()時，

一元二次方程沒有實數(shù)根.

5.下列運算中正確的是()

A.(—)2=-9B.(a-b)(-a-b)=aJ-bJ

3

C.2a2*a3=2a6D.(-a),04-(-a)』

【答案】D

【解析】

【詳解】A、(一；)=1+(一5=9'故本選項錯誤；

B、(a-b)(-a-b)=乂-42,故本選項錯誤；

C、2a2a3=2a5,故本選項錯誤；

D^(-a)%(-a)4=al0-^a4=a6,故本選項正確；

故選D.

6.下列四個命題中真命題是()

A.對角線互相垂直平分的四邊形是正方形B.對角線垂直且相等的四邊形是菱形

C.對角線相等且互相平分的四邊形是矩形D.四邊都相等的四邊形是正方形

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)正方形、菱形、矩形的判定分別判斷得出即可.

【詳解】A、對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，故原命題是假命題；

B、對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，故原命題是假命題；

C、對角線相等且互相平分的四邊形是矩形，故原命題是真命題；

D、四邊都相等的四邊形是菱形，故原命題是假命題；

故選：C.

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【點睛】本題考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解正方形的判定定理、矩形的判定定

理、菱形的判定定理.

7.如圖，點4是反比例函數(shù)y=5x>0）圖象上?一點，Z8_Lx軸于點5,點C在x軸上，且OB=OC,

若△/BC的面積等于6,則左的值等于（）

A.3B.6C.8D.12

【答案】B

【解析】

【詳解】,：OB=OC,

?e?S^AOB=yS^ABC=-X6=3,

/.\k=2S^ABC=6,

???反比例函數(shù)的圖象位于象限，

:.k=6,

故選B.

點睛:本題考查了反比例函數(shù)的幾何意義，一般的，從反比例函數(shù)圖像上任一點P,向X

X

軸和y軸作垂線你，以點尸的兩個垂足及坐標原點為頂點的矩形面積等于常數(shù)網(wǎng).

8.如圖，D、E分別是AABC的邊AB、BC上的點，且DE〃AC,AE、CD相交于點0,若SADOE：SACOA=1：

36,則SABDE與SABAC的比是（）

A.1：3B.1：4C.1：5D.1：36

【答案】D

【解析】

【分析】

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【詳解】?:DE"AC,

.S^EO/DE1

??T=（------->=—

S^oc4c36

.DE1

??---=一，

AC6

"：DE//AC,

:.△BDEsdBAC,

.S岫DE=（DE_）2=J_

,,SMACAC36

故選D.

9.如圖，在RtZUBC中，ZC=90°,以△48。的一邊為邊畫等腰三角形，使得它的第三個頂點

在△XBC的其他邊上，則可以畫出的沒有同的等腰三角形的個數(shù)至多為（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】D

【解析】

【詳解】試題解析：①以B為圓心，BC長為半徑畫弧，交AB于點D,4BCD就是等腰三角

形；

②以A為圓心，AC長為半徑畫弧，交AB于點E,4ACE就是等腰三角形；

③以C為圓心，BC長為半徑畫弧，交AC于點F,4BCF就是等腰三角形；

④作AC的垂直平分線交AB于點H,AACH就是等腰三角形；

⑤作AB的垂直平分線交AC于G,則4AGB是等腰三角形；

⑥作BC的垂直平分線交AB于I,則aBCI和aACI都是等腰三角形.

⑦作AC的垂直平分線交AB于I,則△BCY和△NC7都是等腰三角形.

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故選D.

考點：畫等腰三角形.

10.如圖，已知正比例函數(shù)產(chǎn)kx(k>0)的圖象與x軸相交所成的銳角為70。，定點A的坐標

為(0,8),P為y軸上的一個動點,M、N為函數(shù)產(chǎn)kx(k>0)的圖象上的兩個動點，則AM+MP+PN

的最小值為()

8sin200(1+cos20°+sin20°cos20°)

【答案】B

【解析】

【詳解】作y軸關(guān)于直線對稱的對稱直線OC,作直線嚴丘關(guān)于y軸對稱的對稱直線OD,

點"是點N關(guān)于直線)，=履的對稱點.作垂足為E,交y軸于點尸，交直線產(chǎn)方:于

作PN_L直線嚴丘垂足為N,如圖，

?:PN=PE,AM=A'M,

：.AM+PM+PN=A'M+PM+PE=A'E,

：.此時AM+MP+PN值最小，

在RtZX/'EO中，VZA'EO=90°,OA'=OA=S,ZA'OE=3ZAOM=60°,

：.OE=^OA'=4,

:.A，E=60E=4^,

即AM+MP+PN的最小值為4.

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故選B.

y=kx

點睛：本題考查軸對稱-最短問題、垂線段最短、直角三角形3。度角的性質(zhì)、勾股定理等知識,

解題的關(guān)鍵是利用軸對稱性質(zhì)正確找到等P的位置，題目有點難度，是最短問題中比較難的題

目.

二、填空題（本大題共8小題，每小題2分，共計16分.請把答案直接填寫在

答題卡相應位置上.）

11.據(jù)媒體報道，我國因環(huán)境污染造成的經(jīng)濟損失每年高達680000000元，數(shù)據(jù)680000000用

科學記數(shù)法表示是_____.

【答案】6.8x10s

【解析】

【分析】科學記數(shù)法的表示形式為axlO。，其中l(wèi)W|a|<10,n為整數(shù).確定n的值時，要看把原

數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當原數(shù)值大于10時，n

是正數(shù)；當原數(shù)的值小于1時，n是負數(shù).

【詳解】解：680000000=6.8x108元.

故答案為：6.8x108.

【點睛】本題考查了科學記數(shù)法的表示，準確確定axion中a與n的值是解題的關(guān)鍵.

12.若式子與有意義，則實數(shù)X的取值范圍是.

【答案】x>3

【解析】

【詳解】解：二次根式中被開方數(shù)x-320,所以xN3.

故答案為：x>3.

13.已知方程x2+mx-3=0的一個根是1,則它的另一個根是.

【答案】-3

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【解析】

【詳解】設(shè)另一根為不,則1?々=-3,

解得，占=—3,

故答案為一3.

14.如圖，點8、E、C、F在一條直線上，AB//DE,S.AB=DE,請?zhí)砑右粋€條件_使

△ABC/ADEF.

【答案】或8C=EF或8E=C/或

【解析】

【分析】判定一般三角形全等一共有四種方法，根據(jù)這四種方法一一選擇即可.

【詳解】解：添加8E=C/

■:BE=CF,

：.BC=EF,

*：AB//DE,

；.NB=NDEF,

,:AB=DE,

:.△ABC/△DEF(SAS).

故答案為：AB=DE(答案沒有).

【點睛】本題考查的是三角形全等的判定，根據(jù)判定的方法選擇合適的方法，關(guān)鍵是要能熟練

運用三角形的判定方法.

15.如圖，aABC中，DE是BC的垂直平分線，DE交AC于點E,連接BE,若BE=9,BC=12,則

cosC=.t

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【解析】

【詳解】試題分析：線段中垂線上的點到線段的兩個端點的距離相等.根據(jù)DE是BC的中垂線可

由1,CD62

得CE=BE=9,CD=：BC=6,NEDC=90°,則ncosC=——=一=一.

2CE93

考點：中垂線的性質(zhì)、三角形函數(shù).

16.如圖，在Rt/iAOB中，直角邊OA、0B分別在X軸的負半軸和y軸的正半軸上，將AAOB

繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90。后，得到AA'O'B，且反比例函數(shù)y=-的圖象恰好斜邊A'B的中點C,

x

若SABO=4，tan/BAO=2,則卜=.

【答案】6

【解析】

【分析】先根據(jù)凡.。=4,tan/8/O=2求出40、8。的長度，再根據(jù)點C為斜邊⑷8的

中點，求出點C的坐標，點C的橫縱坐標之積即為左值.

【詳解】設(shè)點C坐標為(x,y),作CDLBO'交邊BO'于點D,

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AO

?.0ABO=；AOBO=4，

AO=2,BO=4，

?.?△ABOgAABO,

.,.AO=A'O'=2,BO=BO'=4,

???點C為斜邊A'B的中點，CD1BO',

CD=-AV=1,BD=-BO'=2,

22

y=BO-CD=4-1=3,x=BD=2,

k=x-y=3x2=6.

故答案為6.

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，解答本題的關(guān)鍵在于讀懂題意，作出合

適的輔助線，求出點C的坐標，然后根據(jù)點C的橫縱坐標之積等于左值求解即可.

17.如圖,在四邊形ABCD中，ZABC=90°,AB=6,BC=8,CD=2O,DA=10751則BD的長為_.

【答案】

【解析】

【詳解】作。A/LBC,交BC延長線于連接/C,如圖所示:

則NAf=90°,

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，ZDCM+ZCDM=90°,

VZJBC=90°,AB=6,BC=8,

."G/iaBCMOO,

VCL>=20,AD=l()B

:.A^CD2=AD2,

.?.△/CD是直角三角形，N4CD=90。,

：.N4CB+NDCM=9O。,

：.ZACB=ZCDM,

'：ZABC=ZM=90°,

:AABCSACMD,

.ABBCACJ

**CMDMAD2，

:.CM=2AB=6,DM=2BC=8,

：.BM=BC+CM=IO,

???BZBM+DM2^^.

故答案為2a.

18.如圖1,在平面直角坐標系中，將MBCD放置在象限，且AB〃x軸.直線y=-x從原點出發(fā)

沿x軸正方向平移，在平移過程中直線被平行四邊形截得的線段長度1與直線在x軸上平移的

【答案】JIU或上叵

4

【解析】

【詳解】①當/8>4時如圖1,

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：.EF=AG=OF-0E=4

???直線解析式為：尸-x

???ZAGD=ZEFD=45°

???△4G。是等腰直角三角形

：.DH=GH=—DG=—X3正=3,

22.一

：.AH=AG-GH=4-3=1,

心而健+慶滬正+產(chǎn)Vio；

②當48=4時，如圖2,

：.1J=AB=4,IM=AN=5,

,直線解析式為：y=-x,

:?MKLB是等腰直角三角形,

：.KL=BL=—KB=3,

2

,?Z8=4,

：?AL=AB-BL=1,

同①得，DM=MN,

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，過K作KM〃/M,

.?.tan/￡MN=^=3,

AL

DM_DM

tanZDAN3

4

JAN=AM+MN=^DM=5，

3

15

：.DM=MN=-

4f

1RB

：.AM=AN-MN=5-,

44

AD=yJAM2+DM

故答案為JiU或生叵.

點睛：此題考查平移的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理等知識點，以及滲透分類討論思想.正

確求得平行四邊形的高是關(guān)鍵.

三.解答題(本大題共10小題，共84分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時

應寫證明過程或演算步驟)

19.(1)計算：(g)1-GCOS30°+(2014-n)°；

(2)化簡：a(a+1)-(a+1)(a-1).

3

【答案】(1)-(2)a+1

2

【解析】

【詳解】試題分析：(1)項根據(jù)一個數(shù)的負整數(shù)指數(shù)幕等于這個數(shù)正整數(shù)次暴的倒數(shù)計算，第

二項根據(jù)角的三角函數(shù)值計算，第三項非零數(shù)的零次幕等于1；

(2)項根據(jù)單項式與多項式的乘法法則計算，第二項根據(jù)平方差公式計算，第二項運算的結(jié)果

要先寫到括號里..

解：(1)(1)1-73：OS30O+(2014-n)0

=2-Vj亭］

3

2

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-_3'"

21

(2)a(a+1)-(a+1)(a-1)

=a2+a-(a2-1)

=a+l.

20.(1)解方程：x2-4x-6=0

x-3(x-2)<4

(2)解沒有等式組：<x—1<x+1>

【答案】(1)X=2±710(2)1<X<5

【解析】

【詳解】試題分析：(1)把-6移到方程的右邊，然后兩邊都加上4,把左邊寫成完全平方的形

式，然后兩邊開平方求解；

(2)先分別解兩個沒有等式，然后求兩個沒有等式解集的公共部分即可.

解：(1)Vx2-4x=6,

Ax2-4x+4=6+4,即(x-2)2=10,

則x-2=±而5，

.■.x=2±yio；

(2)解沒有等式x-3(x-2)<4,得：x>l,

解沒有等式與空L,得:x<5,

23

則沒有等式組的解集為Kx<5.

21.如圖，在平行四邊形ABCD中，CE是NDCB的角平分線，且交AB于點E,DB與CE相交于點

0,

(1)求證：AEBC是等腰三角形；

(2)己知：AB=7>BC=5,求---的值.

DB

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【答案】（1）證明見解析（2）—

12

【解析】

【詳解】試題分析：（I）欲證明△EBC是等腰三角形，只需推知8c=8E即可，可以由N2=N3

得至lj：BC=BE；

CDOD7

（2）通過相似三角形△COOS/XEOB的對應邊成比例得到——=——=-,然后利用分式的

EBOB5

OR

性質(zhì)可以求得J5

DB12

解：（1）催四邊形ABCD是平行四邊形,

?.CD〃AB,

\Z1=Z2.

；CE平分/BCD,

\Z1=Z3,

,?Z2=Z3,

?.BC=BE,

?.△EBC是等腰三角形；

(2)VZ1=Z2,Z4=Z5,

,.△COD^AEOB,

.CD^OD

,麗■而

?,平行四邊形ABCD,

,.CD=AB=7.

；BE=BC=5,

.CDOD7

'EBOB

.OB.5

"WX2'

點睛：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的判定.在判

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定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本

圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形；在運用三角形相似

的性質(zhì)時主要利用相似比計算相應線段的長.

22.如圖，在平面直角坐標系中，已知△/BC三個頂點的坐標分別是Z(2,2),B(4,0),C

(4,-4).

(1)請在圖中，畫出ANBC向左平移6個單位長度后得到的△小8|。；

(2)以點。為位似，將△/BC縮小為原來的g,得到ZU282C2,請在圖中y軸右側(cè)，畫出△/2S2C2,

并求出N/2C282的正弦值.

【答案】(1)見解析(2)巫

10

【解析】

【分析】(1)直接利用平移的性質(zhì)得出對應點位置進而得出答案；

(2)利用位似圖形的性質(zhì)得出對應點位置，再利用銳角三角三角函數(shù)關(guān)系得出答案.

試題解析：

【詳解】(1)如圖所示：△小SG，即為所求；

(2)如圖所示：ZU282c2，即為所求，由圖形可知，ZA2CIB2=ZACB,

過點A作AD±BC交BC的延長線于點D,

由X(2,2),C(4,-4),B(4,0),易得D(4,2),

故Z￡)=2,CD=6,AC=V22+62=2-\/10,

sinZ^C5=—=—

AC2Mlo-

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即sinN4GB2Vw

2lo-

【點睛】考點：作圖-位似變換；作圖-平移變換；解直角三角形.

23.如圖，為了測量出樓房AC的高度，從距離樓底C處60石米的點D（點D與樓底C在同一

水平面上）出發(fā)，沿斜面坡度為i=l：6的斜坡DB前進30米到達點B,在點B處測得樓頂A

_4

的仰角為53°,求樓房AC的局度（參考數(shù)據(jù)：sin53°g0.8,cos53°80.6,tan53°?=-,

3

計算結(jié)果用根號表示，沒有取近似值）.

【答案】15+60

【解析】

【分析】如圖作BN_LCD于N,BMJ_AC于M,先在RT/SBDN中求出線段BN,在RTAABM

中求出AM,再證明四邊形CMBN是矩形，得CM=BN即可解決問題.

【詳解】如圖作BN_LCD于N,BM_LAC于M.

在RT^BDN中，

BD=30,BN：ND=1：也,

；.BN=15,DN=155

VZC=ZCMB=ZC=90°,

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，四邊形CMBN是矩形，

，CM=BM=15,BM=CN=6073-15^3=45，

在RTAABM中，tanZABM=

~BM~3

.?.AM=60G，

/.AC=AM+CM=15+60A/3.

【點睛】構(gòu)造適當?shù)闹苯侨切危娩J角的三角函數(shù)，正確理解坡比的概念.

24.2014年，錫東新城碧桂苑樓盤以均價每平方米8000元的均價對外.由于受周邊地區(qū)及炒房

的影響，該樓盤在二年內(nèi)瘋漲，至2016年該樓盤的均價為每平方米11520元.如果設(shè)每年的增

長率相同.

(1)求平均每年增長的百分率；

(2)假設(shè)2017年該樓盤的均價仍然增長相同的百分率，有一工作了十年的李老師準備購買一

套100平方米的住房，他持有現(xiàn)金80萬元，可在銀行貸款50萬元，李老師的愿望能否實現(xiàn)？

(房價按照均價計算，沒有考慮其它因素.)

【答案】(1)平均每年增長的百分率為20%(2)李老師的愿望沒有能實現(xiàn)

【解析】

【詳解】試題分析：(1)設(shè)平均每年增長的百分率為x,根據(jù)“2016年的房價=2014年的房價

XI加增加百分率的平方”，即可列出關(guān)于x的一元二次方程，解方程即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)“房屋的總價=2017年房屋單價X房屋面積”，即可求出100平方米的住房的總價，

再于李老師持有的現(xiàn)金及銀行貸款的總和進行比較后即可得出結(jié)論.

解：(1)設(shè)平均每年增長的百分率為X,

根據(jù)題意得:8000x(1+x)2=11520,

解得：x=20%,x=-144%(舍去)，

答：平均每年增長的百分率為20%.

(2)100xll520x(1+20%)=1382400(元),

1382400>800000+500000=1300000,

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...李老師的愿望沒有能實現(xiàn).

25.如圖，在平面直角坐標系中，點A坐標(0,6),AC_Ly軸，且AC=AO,點B,C橫坐標相同,

1人

點D在AC上，tanNAOD=一，若反比例函數(shù)y=-(x>0)的圖象點B、D.

3x

(1)求：k及點B坐標：

(2)將AAOD沿著0D折疊，設(shè)頂點A的對稱點Ai的坐標是Ai(m,n),求：代數(shù)式m+3n的值

以及點Ai的坐標.

【答案】(1)(6,2)；(2)(3.6,4.8)

【解析】

【詳解】試題分析：(1)先根據(jù)tanN4OD='，』坐標(0,6)得出力。的長，再根據(jù)點。在

3

反比例函數(shù)片"(x>0)的圖象上可求出發(fā)的值，由8c〃/。，得出8點坐標；

X

(2)過點小作防〃。力交力。于交x軸于R連接04，根據(jù)ZC〃x軸可知

NAiED=/4FO=90°,由相似三角形的判定定理得出△。及1產(chǎn)人4］萬。，設(shè)小(〃?，〃)，可得

m6-/7

出一=-----，加2+〃2=2加+6〃，，再根據(jù)勾股定理可得出m2+〃2=36,于是得到結(jié)論.

nm-2

解：(1)??,點A坐標(0,6),tanZAOD=y,

AAD=2,

AD(2,6)

?.?點D在反比例函數(shù)y=上(x>0)的圖象上，

X

.,.6=—,解得k=12,

2

VAC=AO,點B,C橫坐標相同，

...點B、C的橫坐標都是6,

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:.BCZ/AO,

AB(6,2)；

(2)過點Ai作EF〃0A交AC于E,交x軸于F,連接0A「

,?，AC〃x軸，

.\ZAiED=ZAiFO=90°,

VZOAiD=90°,

??.NAiDE=NOAiF,

AADEAi^AAiFO,

VAi(m,n),

?

..—m=—6n—,

nID-2

/.m2+n2=2m+6n,

Vm2+n2=OAi2=OA2=36,

/.m+3n=18,

即m=18-3n,

:.(18-3n)2+n2=36,

解得ni=6(舍去),n2=4.8,

/.m=18-3x4.8=3.6,

即點A的坐標為(3.6,4.8).

點睛：本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，翻折的性質(zhì)，勾股定理、相似三角形的

判定與性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點等知識，難度適中.

26.如圖，直線AB分別與兩坐標軸交于點A(6,0),B(0,12),點C的坐標為(3,0)

(1)求直線AB的解析式；

(2)在線段AB上有一動點P.

①過點P分別作x,y軸的垂線，垂足分別為點E,F,若矩形OEPF的面積為16,求點P的坐

標.

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②連結(jié)Q,,是否存在點P,使△ACP與△AOB相似？若存在，求出點P的坐標；若沒有存在,

請說明理由.

(2)①點P(2,8)或(4,4)；②存在，點P的坐標為(3,6)或

一/276、

點P(--,—)

55

【解析】

【詳解】試題分析：(1)由于/((6,0),B(0,12),利用待定系數(shù)法即可求出直線N8的解

析式;

(2)①可以設(shè)動點尸(x,-2x+12),由此得到PF=-2x+12,再利用矩形OE尸產(chǎn)的面積

為16即可求出點尸的坐標;

②存在，分兩種情況:種由CP//OB得△4CPS”O(jiān)B,由此即可求出P的坐標；第二種CPA.AB,

根據(jù)已知條件可以證明然后利用相似三角形的對應邊成比例即可求出長，再過

點尸作軸，垂足為“，由此得到進一步得到然后利用相似

三角形的對應邊成比例就可以求出點尸的坐標.

解：(1)設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,如圖1：

依題意,6k+b=0

b=12

/.y=-2x+12；

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圖1

(2)①設(shè)動點P(x,-2X+12),則PE=x,PF=-2x+12,

；SOEPF=PE?PF=X(-2x+12)=16,

??Xi=2fXz=4；

經(jīng)檢驗XI=2,xz=4都符合題意，

.,.點P(2,8)或(4,4)；

②存在，分兩種情況

VA(6,0),B(0,12),

，OA=6,OB=12,AB=6收

種：CP//OB,

.'.△ACP^AAOB,

而點C的坐標為(3,0),

...點P(3,6)；

第二種CP_LAB,

VZAPC=ZAOB=90",ZPAC=ZBAO,

AAAPC^AAOB,

?.?A""P二AC，

0AAB

.AP3

5

如圖2,過點P作PHJ_x軸，垂足為H,

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，PH〃OB,

.?.△APH^AABO,

.PHAPAH

??麗■二AB=OA'

詬

???PH5AH-

?DU_6AI_I_3

??rn——~?AH———,

55

?97

/.OH=OA-AH=6--^―

55

.?.點p（烏，堤）.

55

.?.點P的坐標為（3,6）或點P（21，?）.

55

點睛：本題綜合考查了函數(shù)與幾何知識的應用，熟練運用相似三角形的性質(zhì)與判定以及直角三

角形等知識求出線段的長是解題的關(guān)鍵.

27.將a/BC繞點4按逆時針方向旋轉(zhuǎn)6度，并使各邊長變?yōu)樵瓉淼姆脖?，得?9。，即如圖

①，我們將這種變換記為［仇?］.

（1）如圖①，對△48C作變換［60。，6］得△力*C,則Swo：SMBC=;直線BC與直線

夕C所夾的銳角為度；

（2）如圖②，△48C中,NB4c=3Q°,4c8=90°,對△ZBC作變換［仇川得使點8、

第22頁/總28頁

C、C在同一直線上，且四邊形N8夕。為矩形，求6和〃的值；

(3)如圖③，ZUBC中，AB=AC,ZBAC=36°,BC=I,對作變換［仇川得使點

B、C、9在同一直線上，且四邊形/3BC為平行四邊形，求。和〃的值.

1+亞

【答案】(1)3；60(2)60°,2(3)72°,

2

【解析】

【分析】(1)先證△NBCSA48，C,得出心.。：=(百￥

=3，NB=/B'.可

證NBMB'=NB4B'=60°即可.

(2)由四邊形是矩形，可得N84C=90。，然后由%NC4C=NB4C-NA4C,即可求得。

的度數(shù)，又由含30。角的直角三角形的性質(zhì)，即可求得〃的值.

(3)由四邊形9。是平行四邊形，易求得4NCAC'=N4CB=72。,又由MBCsAB物,根

據(jù)相似三角形的對應邊成比例，易得4B2=CB?BB，=CB(BC+CB'),繼而求得答案.

iiARr-

【詳解】解：(1)如圖，??,NA4C=N8NC',0-二工二V3,

ACAB

:?AAB'C'S/\ABC,

*.*/A=/B'NM,

：./BMB'=NBAB'=60°,

故答案為：3；60.

(2)??,四邊形是矩形，

jNBAC=90°.

；?0=/CAC=NBAC-ZBAC=900-30°=60°.

在RtLABB1中，N/89=90。，N8/斤=60。，

JN4B'B=30。.

第23頁/總28頁

：.AB^rAB,即n=——=2.

AB

(3),??四邊形力8夕。是平行四邊形,

工AC〃BB：

又〈/BAC=36。,

9：AB=AC,

J/ABC=C8=g(180。-36。)=72°

，O=ZCAC'=ZACB=120.

：.ZCfABr=ZBAC=36°.

而NB=NB,

：.AABCs^B'BA.

:.AB：BB'=CB：AB.

：.AB2=CB-BB'=CB(BC+CBD.

而CB'=AC=AB=B'C,BC=\,

：.AB2=\(]+0,

解得，〃8=上正.

2

VJ5>0,

.B'C'1+亞

??n=----=-----

BC2

28.愛好思考的小茜在探究兩條直線的位置關(guān)系查閱資料時，發(fā)現(xiàn)了“中垂三角形”，即兩條

中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”.如圖(1)、圖(2)、圖(3)中，AF、BE是4ABC

的中線，AF_LBE于點P,像AABC這樣的三角形稱為“中垂三角形”.設(shè)BC=a,AC=b,AB=c.

【特例探究】

(1)如圖1,當tan/PAB=l,c=2，5時，a=,b=；

如圖2,當NPAB=30°,c=4時，a=,b=；

【歸納證明】

(2)請你觀察(1)中的計算結(jié)果，猜想a?、b2、c2三者之間的關(guān)系，用等式表示出來，并利

用圖3證明你的結(jié)論.

【拓展證明】

(3)如圖4,oABCD中，E、F分別是AD、BC的三等分點，且AD=3AE,BC=3BF,連接AF、BE、

第24