2024-2025學年高中數(shù)學 第3章 導數(shù)及其應用 3.2 3.2.2 基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的運算法則（二）（教師用書）教案 新人教A版選修1-1

2024-2025學年高中數(shù)學第3章導數(shù)及其應用3.23.2.2基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的運算法則（二）（教師用書）教案新人教A版選修1-1授課內容授課時數(shù)授課班級授課人數(shù)授課地點授課時間教學內容本節(jié)課為2024-2025學年高中數(shù)學第3章導數(shù)及其應用中的3.2.2節(jié)，內容主要包括基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的運算法則（二）。具體教學內容如下：

1.掌握冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導數(shù)公式；

2.熟悉反函數(shù)的導數(shù)公式及其應用；

3.掌握復合函數(shù)的鏈式法則求導；

4.能夠運用上述導數(shù)公式和法則解決實際數(shù)學問題。核心素養(yǎng)目標1.培養(yǎng)學生邏輯推理與分析問題的能力，使學生能夠理解和運用導數(shù)公式，解決實際問題；

2.培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象和數(shù)學建模素養(yǎng)，通過導數(shù)的運算法則，提高對函數(shù)性質的理解和運用；

3.培養(yǎng)學生數(shù)學運算和直觀想象能力，熟練掌握復合函數(shù)的鏈式法則，并進行相關運算；

4.培養(yǎng)學生合作交流與自主學習能力，通過討論、探索導數(shù)公式及其應用，激發(fā)學生的學習興趣和主動探究精神。教學難點與重點1.教學重點

（1）掌握冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導數(shù)公式。

-如：冪函數(shù)f(x)=x^n的導數(shù)為f'(x)=nx^(n-1)；

指數(shù)函數(shù)f(x)=a^x的導數(shù)為f'(x)=a^x*ln(a)；

對數(shù)函數(shù)f(x)=log_a(x)的導數(shù)為f'(x)=1/(x*ln(a))。

（2）熟悉反函數(shù)的導數(shù)公式及其應用。

-如：若y=f(x)的反函數(shù)為x=g(y)，則g'(y)=1/f'(x)。

（3）掌握復合函數(shù)的鏈式法則求導。

-如：復合函數(shù)f(g(x))的導數(shù)為f'(g(x))*g'(x)。

2.教學難點

（1）理解并應用導數(shù)的基本公式。

-難點：對于不同類型的函數(shù)，學生可能難以記住相應的導數(shù)公式。

（2）靈活運用反函數(shù)的導數(shù)公式。

-難點：學生需要理解反函數(shù)與原函數(shù)導數(shù)之間的關系，并能夠正確運用公式。

（3）掌握復合函數(shù)的鏈式法則。

-難點：學生需要理解復合函數(shù)內部和外部函數(shù)之間的關系，并熟練運用鏈式法則進行求導。

（4）解決實際問題中的導數(shù)運算。

-難點：將實際問題抽象為數(shù)學模型，運用導數(shù)公式和法則解決問題。

舉例說明：

1.教學重點舉例：

-舉例1：求函數(shù)f(x)=x^3-2x^2+x的導數(shù)。

解：f'(x)=3x^2-4x+1。

-舉例2：求函數(shù)f(x)=e^x的導數(shù)。

解：f'(x)=e^x。

-舉例3：求函數(shù)f(x)=ln(x)的導數(shù)。

解：f'(x)=1/x。

2.教學難點舉例：

-難點1：求反函數(shù)的導數(shù)。

-舉例：已知y=f(x)=2x+3，求反函數(shù)的導數(shù)。

解：反函數(shù)為x=g(y)=(y-3)/2，g'(y)=1/2。

-難點2：復合函數(shù)的鏈式法則求導。

-舉例：求函數(shù)f(x)=ln(x^2)的導數(shù)。

解：f(x)=ln(u)，其中u=x^2，f'(u)=1/u，u'(x)=2x。

故f'(x)=f'(u)*u'(x)=1/(x^2)*2x=2/x。

-難點3：實際問題中的導數(shù)運算。

-舉例：物體在t時刻的速度v(t)=2t+3，求物體在t=2時的加速度。

解：加速度a(t)=v'(t)=2。在t=2時，加速度為2m/s2。教學資源1.硬件資源：

-投影儀

-白板

-計算器

-學生用教科書及練習冊

2.軟件資源：

-教學課件（PPT）

-數(shù)學軟件（如GeoGebra、Mathematica等）

-習題庫

3.課程平臺：

-學校教學管理系統(tǒng)（如校內外學習平臺）

-在線教學平臺（用于資源共享和作業(yè)布置）

4.信息化資源：

-電子教案

-網(wǎng)絡教學視頻

-電子圖書資源

5.教學手段：

-探究式學習

-小組合作學習

-課堂講授

-案例分析

-課后在線討論與答疑

-作業(yè)與測驗評價

6.輔助教具：

-函數(shù)圖像海報

-導數(shù)公式卡片

-數(shù)學模型實物（如幾何模型）教學過程設計1.導入新課（5分鐘）

目標：引起學生對導數(shù)的興趣，激發(fā)其探索欲望。

過程：

開場提問：“你們知道導數(shù)是什么嗎？它與我們的生活有什么關系？”

展示一些關于導數(shù)在實際問題中應用的圖片或視頻片段，讓學生初步感受導數(shù)的魅力和重要性。

簡短介紹導數(shù)的基本概念和其在描述物體運動、優(yōu)化問題等方面的應用，為接下來的學習打下基礎。

2.導數(shù)基礎知識講解（10分鐘）

目標：讓學生了解導數(shù)的基本概念、組成部分和求導法則。

過程：

講解導數(shù)的定義，包括導數(shù)的幾何意義和物理意義。

詳細介紹冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導數(shù)公式，使用圖表或示意圖幫助學生理解。

3.導數(shù)案例分析（20分鐘）

目標：通過具體案例，讓學生深入了解導數(shù)的特性和應用。

過程：

選擇幾個典型的導數(shù)案例進行分析，如物體運動速度與加速度的關系、最優(yōu)化問題等。

詳細介紹每個案例的背景、特點和意義，讓學生全面了解導數(shù)在解決實際問題中的作用。

引導學生思考這些案例對實際生活或學習的影響，以及如何應用導數(shù)解決實際問題。

4.學生小組討論（10分鐘）

目標：培養(yǎng)學生的合作能力和解決問題的能力。

過程：

將學生分成若干小組，每組選擇一個與導數(shù)相關的主題進行深入討論，如導數(shù)在經(jīng)濟學中的應用、導數(shù)在物理學中的應用等。

小組內討論該主題的現(xiàn)狀、挑戰(zhàn)以及可能的解決方案。

每組選出一名代表，準備向全班展示討論成果。

5.課堂展示與點評（15分鐘）

目標：鍛煉學生的表達能力，同時加深全班對導數(shù)的認識和理解。

過程：

各組代表依次上臺展示討論成果，包括主題的現(xiàn)狀、挑戰(zhàn)及解決方案。

其他學生和教師對展示內容進行提問和點評，促進互動交流。

教師總結各組的亮點和不足，并提出進一步的建議和改進方向。

6.課堂小結（5分鐘）

目標：回顧本節(jié)課的主要內容，強調導數(shù)的重要性和意義。

過程：

簡要回顧本節(jié)課的學習內容，包括導數(shù)的定義、基本公式、案例分析等。

強調導數(shù)在現(xiàn)實生活或學習中的價值和作用，鼓勵學生進一步探索和應用導數(shù)。

布置課后作業(yè)：讓學生撰寫一篇關于導數(shù)應用的短文或報告，以鞏固學習效果。教學資源拓展1.拓展資源：

-相關數(shù)學歷史資料：了解導數(shù)的發(fā)展歷程，如牛頓和萊布尼茨在導數(shù)研究方面的貢獻。

-實際問題案例：收集涉及導數(shù)在實際應用中的案例，如物理學中的速度與加速度、經(jīng)濟學中的最優(yōu)化問題等。

-數(shù)學軟件教程：學習使用數(shù)學軟件（如GeoGebra、Mathematica等）進行導數(shù)計算和圖像繪制。

-同類教材比較：閱讀其他版本教材中關于導數(shù)的章節(jié)，以拓寬知識視野。

-科普讀物：尋找關于微積分和導數(shù)的科普書籍，以便于學生更深入地理解導數(shù)的概念和應用。

2.拓展建議：

-建議學生閱讀數(shù)學歷史資料，了解導數(shù)的起源和發(fā)展，增強對數(shù)學學科的興趣。

-鼓勵學生關注實際問題中導數(shù)的應用，通過收集案例、參與討論，提高將理論知識應用于實際問題的能力。

-教授學生使用數(shù)學軟件進行導數(shù)計算和圖像繪制，培養(yǎng)他們運用現(xiàn)代技術工具解決問題的能力。

-建議學生對比不同教材中關于導數(shù)的章節(jié)，以了解各種表述方式和解題思路，提高自身分析問題和解決問題的能力。

-推薦學生閱讀科普讀物，加深對導數(shù)概念的理解，激發(fā)他們對數(shù)學學習的熱情。內容邏輯關系①重點知識點

-導數(shù)的定義及其幾何意義

-冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導數(shù)公式

-反函數(shù)的導數(shù)公式

-復合函數(shù)的鏈式法則

-導數(shù)在實際問題中的應用案例

②邏輯關系詞

-因為...所以...：導數(shù)公式推導的邏輯關系

-首先...然后...：復合函數(shù)求導的步驟關系

-例如：引入實際案例說明導數(shù)的應用

-所以：總結導數(shù)法則和性質

③板書設計

1.導數(shù)的定義與性質

-導數(shù)的定義

-導數(shù)的幾何意義

2.基本函數(shù)的導數(shù)公式

-冪函數(shù)：f'(x)=nx^(n-1)

-指數(shù)函數(shù)：f'(x)=a^x*ln(a)

-對數(shù)函數(shù)：f'(x)=1/(x*ln(a))

3.反函數(shù)的導數(shù)

-g'(y)=1/f'(x)

4.復合函數(shù)的鏈式法則

-(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)

5.導數(shù)的應用案例

-物理學：速度與加速度

-經(jīng)濟學：最優(yōu)化問題

6.總結

-導數(shù)的求導法則

-導數(shù)在實際問題中的應用

板書設計應確保每個知識點之間的邏輯關系清晰，通過直觀的箭頭、步驟或關鍵詞，幫助學生理解導數(shù)的概念、性質、公式和應用之間的內在聯(lián)系。重點題型整理1.重點題型一：求冪函數(shù)的導數(shù)

-題型：求函數(shù)f(x)=x^n的導數(shù)。

-答案：f'(x)=nx^(n-1)

舉例：

-求函數(shù)f(x)=x^5的導數(shù)。

答案：f'(x)=5x^4

2.重點題型二：求指數(shù)函數(shù)的導數(shù)

-題型：求函數(shù)f(x)=a^x的導數(shù)。

-答案：f'(x)=a^x*ln(a)

舉例：

-求函數(shù)f(x)=e^x的導數(shù)。

答案：f'(x)=e^x

3.重點題型三：求對數(shù)函數(shù)的導數(shù)

-題型：求函數(shù)f(x)=log_a(x)的導數(shù)。

-答案：f'(x)=1/(x*ln(a))

舉例：

-求函數(shù)f(x)=ln(x)的導數(shù)。

答案：f'(x)=1/x

4.重點題型四：求反函數(shù)的導數(shù)

-題型：已知y=f(x)，求反函數(shù)x=g(y)的導數(shù)。

-答案：g'(y)=1/f'(x)

舉例：

-已知y=f(x)=2x+3，求反函數(shù)的導數(shù)。

答案：反函數(shù)為x=g(y)=(y-3)/2，g'(y)=1/2

5.重點題型五：復合函數(shù)的鏈式法則求導

-題型：求復合函數(shù)f(g(x))的導數(shù)。

-答案：f'(g(x))*g'(x)

舉例：

-求函數(shù)f(x)=ln(x^2)的導數(shù)。

答案：f(x)=ln(u)，其中u=x^2，f'(u)=1/u，u'(x)=2x。

故f'(x)=f'(u)*u'(x)=1/(x^2)*2x=2/x

1.求冪函數(shù)的導數(shù)

-這類題型的關鍵在于應用冪函數(shù)的導數(shù)公式，即f(x)=x^n的導數(shù)為f'(x)=nx^(n-1)。

-在解答過程中，注意將指數(shù)n代入公式，計算出導數(shù)的結果。

2.求指數(shù)函數(shù)的導數(shù)

-對于指數(shù)函數(shù)f(x)=a^x，其導數(shù)公式為f'(x)=a^x*ln(a)。

-在解答過程中，要確保正確使用自然對數(shù)ln(a)進行計算。

3.求對數(shù)函數(shù)的導數(shù)

-對數(shù)函數(shù)f(x)=log_a(x)的導數(shù)公式為f'(x)=1/(x*ln(a))。

-在解答過程中，注意區(qū)分對數(shù)的底數(shù)a，并正確應用導數(shù)公式。

4.求反函數(shù)的導數(shù)

-反函數(shù)的導數(shù)求法是基于原函數(shù)的導數(shù)，即g'(y)=1/f'(x)。

-解答時，首先找到原函數(shù)的反函數(shù)，然后根據(jù)原函數(shù)的導數(shù)計算反函數(shù)的導數(shù)。

5.復合函數(shù)的鏈式法則求導

-復合函數(shù)求導的關鍵是應用鏈式法則，即(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)。

-在解答過程中，將復合函數(shù)拆分成內外函數(shù)，分別求導后再相乘。教學評價與反饋2.小組討論成果展示：評估學生在小組討論中的合作能力和問題解決能力。觀察學生在討論中的參與程度，以及他們對于導數(shù)應用的深入理解和創(chuàng)新思維。

3.隨堂測試：設計隨堂測試題，以檢驗學生對導數(shù)公式的記憶和應用能