高中數(shù)學(xué)函數(shù)教案

高中數(shù)學(xué)函數(shù)教案

高中數(shù)學(xué)函數(shù)教案「篇一」

一、教學(xué)目標(biāo)：

了解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方

法。

二、教學(xué)重點(diǎn)：

利用導(dǎo)數(shù)判斷一個(gè)函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性。

教學(xué)難點(diǎn)：判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)

性。

三、教學(xué)過(guò)程

(一)復(fù)習(xí)引入

1.增函數(shù)、減函數(shù)的定義

一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮:如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任

意兩個(gè)自變量xl,x2,當(dāng)xl<x2時(shí)，都有f(xl)Vf(x2),那么就說(shuō)f(x)在這個(gè)

區(qū)間上是增函數(shù).當(dāng)xl〈x2時(shí)，都有f(xl)>f(x2),那么就說(shuō)f(x)在這個(gè)區(qū)間上

是減函數(shù).

2.函數(shù)的單調(diào)性

如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在這

一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，這一區(qū)間叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.

在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象是上升的，減函數(shù)的圖象是下降的.

例1討論函數(shù)y=x2—4x+3的單調(diào)性.

解：取xlVx2,xl、x2GR,取值

f(xl)-f(x2)=(xl2-4xl+3)-(x22—4x2+3)作差

=(xl—x2)(xl+x2—4)變形

當(dāng)xlVx2V2時(shí)，xl+x2—4<0,f(xl)>f(x2),定號(hào)

，y=f(x)在(-8,2)單調(diào)遞減.判斷

當(dāng)2<xlVx2時(shí),xl+x2_4>0,f(xl)<f(x2)o

，y=f(x)在(2,+8)單調(diào)遞增.綜上所述y=f(x)在(―8,2)單調(diào)遞減，y

=f(x)在(2,+8)單調(diào)遞增。

能否利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)判斷函數(shù)單調(diào)性？

高中數(shù)學(xué)函數(shù)教案「篇二」

教學(xué)目標(biāo)：

1、知識(shí)目標(biāo)：使學(xué)生理解指數(shù)函數(shù)的定義，初步掌握指數(shù)函數(shù)的圖像和性

質(zhì)。

2、能力目標(biāo)：通過(guò)定義的引入，圖像特征的觀察、發(fā)現(xiàn)過(guò)程使學(xué)生懂得理論

與實(shí)踐的辯證關(guān)系，適時(shí)滲透分類討論的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的探索發(fā)現(xiàn)能力和

分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

3、情感目標(biāo)：通過(guò)學(xué)生的參與過(guò)程，培養(yǎng)他們手腦并用、多思勤練的良好學(xué)

習(xí)習(xí)慣和勇于探索、鍥而不舍的治學(xué)精神。

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：

1、重點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)

2、難點(diǎn)：底數(shù)a的變化對(duì)函數(shù)性質(zhì)的影響，突破難點(diǎn)的關(guān)鍵是利用多媒體

動(dòng)感顯示，通過(guò)顏色的區(qū)別，加深其感性認(rèn)識(shí)。

教學(xué)方法：引導(dǎo)一一發(fā)現(xiàn)教學(xué)法、比較法、討論法

教學(xué)過(guò)程：

一、事例引入

T：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，今天我們來(lái)學(xué)習(xí)與指數(shù)有關(guān)的函數(shù)。

什么是函數(shù)？

S：--------

T：主要是體現(xiàn)兩個(gè)變量的關(guān)系。我們來(lái)考慮一個(gè)與醫(yī)學(xué)有關(guān)的例子：大家對(duì)

“非典”應(yīng)該并不陌生，它與其它的傳染病一樣，有一定的潛伏期，這段時(shí)間里病

原體在機(jī)體內(nèi)不斷地繁殖，病原體的繁殖方式有很多種，分裂就是其中的一種。我

們來(lái)看一種球菌的分裂過(guò)程：

C：動(dòng)畫(huà)演示（某種球菌分裂時(shí)，由1分裂成2個(gè)，2個(gè)分裂成4個(gè)，------。

一個(gè)這樣的球菌分裂x次后,得到的球菌的個(gè)數(shù)y與x的函數(shù)關(guān)系式是：y=

2x）

S,T：（討論）這是球菌個(gè)數(shù)y關(guān)于分裂次數(shù)x的函數(shù)，該函數(shù)是什么樣的

形式（指數(shù)形式）。

從函數(shù)特征分析：底數(shù)2是一個(gè)不等于1的正數(shù)，是常量，而指數(shù)x卻是

變量，我們稱這種函數(shù)為指數(shù)函數(shù)一一點(diǎn)題。

二、指數(shù)函數(shù)的定義

C：定義：函數(shù)y=ax（a〉0且aWl）叫做指數(shù)函數(shù)，xGR。

問(wèn)題1：為何要規(guī)定a>0且aW1?

S：（討論）

C：（1）當(dāng)a<0時(shí)，ax有時(shí)會(huì)沒(méi)有意義，如a=3時(shí)，當(dāng)x=就沒(méi)有意義；

（2）當(dāng)a=0時(shí)，ax有時(shí)會(huì)沒(méi)有意義，如x=-2時(shí)。

（3）當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)值y恒等于1,沒(méi)有研究的必要。

鞏固練習(xí)1：

下列函數(shù)哪一項(xiàng)是指數(shù)函數(shù)

A、y=x2B、y-2x2C、y=2xD、y=-2x

二、函數(shù)圖像的畫(huà)法:

T：引入了指數(shù)函數(shù)的概念，有了函數(shù)的定義域之后，就應(yīng)該研究函數(shù)的圖像

了。根據(jù)底數(shù)a的規(guī)定，考慮兩個(gè)特定底的指數(shù)函數(shù)y=2x,y=的圖像。

S作圖，再投影;后演示動(dòng)畫(huà)比較

三、指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)

C：（演示畫(huà)圖過(guò)程）（列表、描點(diǎn)、連線）

觀察思考：（討論）

C：?jiǎn)栴}2：兩個(gè)函數(shù)圖像有什么共同點(diǎn)？又有何不同特征？

T：兩個(gè)圖像有何共同特點(diǎn)？

S：它們的圖像都在x軸的上方，且都過(guò)同一個(gè)點(diǎn)（0,1）。

T：圖像在x軸上方說(shuō)明y〉0,向下與x軸無(wú)限接近;過(guò)點(diǎn)（0,1）說(shuō)明x=0時(shí)，

y=l。

T：再看看它們有何不同之處？

S：當(dāng)?shù)讛?shù)為2時(shí)圖像上升，當(dāng)?shù)讛?shù)為時(shí)，函數(shù)圖像下降。

T：說(shuō)明當(dāng)a=2即大于a〉l時(shí)函數(shù)在R上為增函數(shù)，當(dāng)a=即大于0小于1時(shí)

函數(shù)在R上為減函數(shù)

T：除此之外，還有什么特征？（S：------------）若在坐標(biāo)系上畫(huà)一條直線

y=l?

S：當(dāng)?shù)讛?shù)是2時(shí)，落在第一象限的圖像都在直線y=l的上邊，落在第二象限

的圖像都在直線y=l的下邊，當(dāng)?shù)讛?shù)是時(shí)恰好相反。

說(shuō)明

C：性質(zhì)：

a>l0<a<l

圖

象

圖圖像分布在一、二象限，與軸相交，落在軸的上方。

像都過(guò)點(diǎn)（0,1）

第一象限的點(diǎn)的縱坐標(biāo)都大第一象限的點(diǎn)的縱坐標(biāo)都大于

特

于1;第二象限的點(diǎn)的縱坐標(biāo)都0且小于1；第二象限的點(diǎn)的縱坐

征大于0且小于1。標(biāo)都大于lo

從左向右圖像逐漸上升。從左向右圖像逐漸下降。

性（1）定義域：R

(2)值域：(0,+co)

質(zhì)

(3)過(guò)定點(diǎn)(0,1),即x=0時(shí)，v=l

（4）x>0時(shí)，y>l;x<0時(shí)，（4）x>0時(shí)，0<y<l;x<0時(shí),

0<y<ly>l.

（5）在R上是增函數(shù)（5）在R上是減函數(shù)

T：?jiǎn)栴}3：影響函數(shù)圖像特征的'主要因素是什么？

S：

四、例題示范

C：1、某種放射性物質(zhì)不斷變化為其它物質(zhì)，每經(jīng)過(guò)1年剩留的這種物質(zhì)

是原來(lái)的84畫(huà)出這種物質(zhì)的剩留量隨時(shí)間變化的圖象，并從圖象上求出經(jīng)過(guò)多少

年，剩留量是原來(lái)的一半(結(jié)果保留一個(gè)有效數(shù)字)。

同學(xué)做，后投影學(xué)生解答，進(jìn)行分析；(好中差各一份)

T：①兩個(gè)“原來(lái)的”的區(qū)別;②函數(shù)定義域的范圍;③結(jié)果是一近似值。

C：2、求下列函數(shù)的定義域：

(1)(2)

T：分析：(1)只要指數(shù)位置上的有意義，則原函數(shù)有意義。

(2)只要指數(shù)位置上的有意義，則原函數(shù)有意義。

C：解：(1)由有意義得XW0,又W0,，原函數(shù)的定義域?yàn)?

xGR且xW0｝o

⑵由有意義，得2x-120即x〉，又...原函數(shù)定義域?yàn)椋鹸|x

2｝。

五、目標(biāo)訓(xùn)練

1、當(dāng)ae時(shí)，函數(shù)y=ax(a>0且a)為增函數(shù)，這

時(shí)，當(dāng)xG時(shí)，y>lo

2、若函數(shù)f(x)=(2a+1)x是減函數(shù)，則a的取值范圍是

3、函數(shù)y=的定義域是=

六、歸納小結(jié)

C：1、本節(jié)課的主要內(nèi)容是：指數(shù)函數(shù)的定義、圖像和性質(zhì)

2、本節(jié)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)是：掌握指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)

3、學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是：弄清楚底數(shù)a的變化對(duì)于函數(shù)值變化的影響。只有徹底弄

清并掌握了指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，才能靈活運(yùn)用性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題。

七、布置作業(yè)

高中數(shù)學(xué)函數(shù)教案「篇三」

教學(xué)任務(wù)：

⑴應(yīng)用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)比較兩個(gè)對(duì)數(shù)的大??；

⑵熟練應(yīng)用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解決一些綜合問(wèn)題；

(3)通過(guò)例題和練習(xí)的講解與演練，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

教學(xué)重點(diǎn)：應(yīng)用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)比較兩個(gè)對(duì)數(shù)的大小。

教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的綜合運(yùn)用。

回顧與總結(jié)

圖

象

定義域

(1)定義域：(0,+8)

值域

(2)值域：R

性

質(zhì)

⑶過(guò)點(diǎn)(1,0),即x=l時(shí)，y=0

(4)00;

x>l時(shí)，y<0x>l時(shí)，y>0

(5)在(0,+8)上是增函數(shù)(5)在(0,+8)上是減函數(shù)

應(yīng)用舉例

例2：比較下列各組中，兩個(gè)值的'大?。?/p>

log23.4與log28.5(2)log0.31.8與log0.32.7

(3)loga5.1與loga5.9(a〉o,且aWl)

(1)解法一：畫(huà)圖找點(diǎn)比高低(略)

解法二：利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

考察函數(shù)y=log2xo

Va-2>lo

y=log2x在(0,+8)上是增函數(shù)；

V3.4<8,5

Iog23.4<log28.5

(2)解：考察函數(shù)y=log0.3x。

Va=O.3<lo

工y=log0.3x在區(qū)間(0,+8)上是減函數(shù)；

VI.8<2,7

log0.31.8>log0.32.7

(3)loga5.1與loga5.9(a>o,且aWl)

解：若a〉l則函數(shù)在區(qū)間(0,+8)上是增函數(shù);

V5.K5.9

Ioga5.1<loga5.9

若0

V5.1<5.9

Ioga5.1>loga5.9

注意：若底數(shù)不確定，那就要對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類討論，即01

三：你能口答嗎？變一變還能口答嗎？

C2

C4

C1

C3

四：想一想？

底數(shù)a對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax的圖象有什么影響？

分析：指數(shù)函數(shù)的圖象按41和0

故對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象也應(yīng)a>l和0

（用幾何畫(huà)板）

五：小試牛刀

如圖所示曲線是y=logax的圖像，已知a的取值為。

你能指出相應(yīng)的CLC2,C3,C4的a的值嗎？

六：勇攀高峰

若Iogn2>logm2>0時(shí)，則m與n的關(guān)系是

A.m>n>lB.n>m>lC.l>m>nD.l>n>m

七：再想一想？

你能比較log34和log43的大小嗎？

方法一提示：用計(jì)算器

方法二提示：想一想如何比較1.70.3與0.93.1的大??？

1.70.3>1,70=0.90>0,93.1

解：Iog34>log33=log44>log43

例6溶液酸堿度的測(cè)量.溶液酸堿度是通過(guò)pH刻畫(huà)的.pH的計(jì)算公式為pH=-

其中［H+］表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升。

(1)根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)及上述pH的計(jì)算公式，說(shuō)明溶液酸堿度與溶液中氫離子

的濃度之間的變化關(guān)系；

(2)已知純凈水中氫離子的濃度為［H+］=10-7摩爾/升，計(jì)算純凈水的pH。

分析：本題已經(jīng)建立了數(shù)學(xué)模型，我們就直接應(yīng)用公式pH=Tg［H+］

解：(1)根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，有

在(0,+8)上隨［H+］的增大，減小，相應(yīng)地，也減少，即pH減少。所以，

隨［H+］的增大pH減少，即溶液中氫離子的濃度越大，溶液的酸堿度就越大。

(2)但[H+]=10-7時(shí)，pH=-lgl0-7=-(-7)=7o所以，純凈水的pH是7。

事實(shí)上，食品監(jiān)督檢測(cè)部門(mén)檢測(cè)純凈水的質(zhì)量時(shí)，需要檢測(cè)很多項(xiàng)目，pH的

檢測(cè)只是其中一項(xiàng)。國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，飲用純凈水的pH應(yīng)該是5.0~7.0之間。

思考：胃酸中氫離子的濃是2.5義10-2爾/升，胃酸的pH是多少？

八.小結(jié)：

一.本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了比較兩個(gè)對(duì)數(shù)大小的方法：

(1)應(yīng)用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較兩個(gè)對(duì)數(shù)的大??；

(2)應(yīng)用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像一“底大圖低”比較兩個(gè)對(duì)數(shù)的大小。

二.本節(jié)課我們還學(xué)習(xí)了建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題。

九：備用習(xí)題

1.已知loga3a<0,則a的取值范圍為。

2.設(shè)0

A.0

十：課后作業(yè)。

1.書(shū)P74,A組題8;

2.書(shū)P75,B組題2,3

3.思考：若1

高中數(shù)學(xué)函數(shù)教案「篇四」

教學(xué)目標(biāo)：

知識(shí)與技能：通過(guò)具體實(shí)例了解幕函數(shù)的圖象和性質(zhì)，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用。

過(guò)程與方法：能夠類比研究一般函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的過(guò)程與方法，來(lái)研究幕函數(shù)的圖

象和性質(zhì)。

情感、態(tài)度、價(jià)值觀：體會(huì)幕函數(shù)的變化規(guī)律及蘊(yùn)含其中的對(duì)稱性。教學(xué)重

點(diǎn)：從五個(gè)具體幕函數(shù)中認(rèn)識(shí)幕函數(shù)的一些性質(zhì)。

教學(xué)難點(diǎn)：畫(huà)五個(gè)具體幕函數(shù)的圖象并由圖象概括其性質(zhì)，體會(huì)圖象的變化規(guī)

律。教學(xué)過(guò)程：

一.溫故知新

復(fù)習(xí)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義

形如yax(a0,a1)的函數(shù)稱指數(shù)函數(shù)；

形如ylogax(a0,a1)的函數(shù)稱指數(shù)函數(shù)。

提問(wèn)：之前還學(xué)過(guò)哪些函數(shù)？

生答：一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、正比例函數(shù)。

將這些函數(shù)的特殊形式寫(xiě)出：yx,yx,yx

提問(wèn)：這些是指數(shù)函數(shù)嗎?若不是說(shuō)出它們與指數(shù)函數(shù)的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)。生

答：相同點(diǎn)：幕的形式。不同點(diǎn)：自變量x的位置。

引出上述三個(gè)函數(shù)的一般形式y(tǒng)x,從而引出課題黑函數(shù)

二.幕函數(shù)定義

1.幕函數(shù)的定義：一般地，形如yx(R)的函數(shù)叫稱為幕函數(shù)(power

function),其中x是自變量，是常數(shù)。

概念辨析：

在下列函數(shù)中哪些是黑函數(shù)？

32(l)y2x(2)yxx(3)y(x2)(4)y2114x

同桌討論，給出觀點(diǎn)

例1：已知幕函數(shù)y=f(x)的圖像過(guò)點(diǎn)(4,2),試求出這個(gè)函數(shù)的解析式。

1解：設(shè)yx,又過(guò)(4,2),所以42yx221

三.探究黑函數(shù)圖象與性質(zhì)

可通過(guò)研究幾個(gè)常見(jiàn)幕函數(shù)的圖象與性質(zhì)------在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出

yx,yx,yx,yx,yx函數(shù)的圖象，然后觀察圖象，歸納特征。學(xué)生活動(dòng):

在事先發(fā)給他們的作圖紙上通過(guò)描點(diǎn)法畫(huà)

圖。

教師巡視并輔導(dǎo)。

師生一起校對(duì)所畫(huà)圖象的正確性，并根據(jù)圖象編成

幕函數(shù)操，(幫助學(xué)生記圖的同時(shí)，也提高學(xué)生學(xué)習(xí)的

興趣)。

要求學(xué)生通過(guò)觀察圖形，完成性質(zhì)表格的填寫(xiě)

21312

師：引導(dǎo)學(xué)生觀察圖象，歸納概括幕函數(shù)的性質(zhì)及圖象變化規(guī)律。

生：觀察圖象，分組討論，探究幕函數(shù)的性質(zhì)和圖象的變化規(guī)律，展示各自的

結(jié)論進(jìn)行交流評(píng)析。

教師幫助歸納總結(jié)

事函數(shù)性質(zhì)歸納：

(1)所有的幕函數(shù)在(0,+8)都有定義，并且圖象都過(guò)點(diǎn)1,1。

(2)0時(shí)，幕函數(shù)的圖象通過(guò)原點(diǎn)，并且在區(qū)間［0,)上是增函數(shù)。

特別地，當(dāng)0〈1時(shí)，幕函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)1時(shí)，塞函數(shù)的圖象上凸;

(3)0時(shí)，幕函數(shù)的圖象在區(qū)間0,上是減函數(shù)。在第一象限內(nèi)，

當(dāng)x從右邊趨向

原點(diǎn)時(shí)，圖象在y軸右方無(wú)限地逼近y軸正半軸，當(dāng)x趨于時(shí)，圖象在x

軸上方無(wú)限地逼近x軸正半軸。

四.探究與發(fā)現(xiàn)

探究題：如圖所示，是塞函數(shù)yx在第一象限內(nèi)的圖象，已知分別取

,1,12

233四個(gè)2

值，則相應(yīng)圖象依次為:

提問(wèn)：你們是否發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？（學(xué)生討論，給出猜測(cè)）利用幾何畫(huà)板探索幕函

數(shù)yx圖象隨的變化規(guī)律

五.小結(jié)

1.幕函數(shù)的概念

2.五種常見(jiàn)的圖象分別為=3,2,1,（1/2）,-1

3.性質(zhì)：定義域

值域

單調(diào)性（〉0和〈0兩種情況）

奇偶性

公共點(diǎn)

體現(xiàn)思想：數(shù)形結(jié)合從特殊到一般

高中數(shù)學(xué)函數(shù)教案「篇五」

【教學(xué)目標(biāo)】

（一）知識(shí)與技能

1、了解幕函數(shù)的概念，會(huì)畫(huà)塞函數(shù)y?x,y?x,y?x,y?x,y?x的圖象，并能結(jié)

合這幾個(gè)塞函數(shù)的圖象，了解幕函數(shù)圖象的變化情況和性質(zhì)。

2、了解幾個(gè)常見(jiàn)的幕函數(shù)的性質(zhì)。

（二）過(guò)程與方法

1、通過(guò)觀察、總結(jié)幕函數(shù)的性質(zhì)，提高概括抽象和識(shí)圖能力。

2、體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想。

（三）情感態(tài)度與價(jià)值觀

1、通過(guò)生活實(shí)例引出幕函數(shù)的概念，體會(huì)生活中處處有數(shù)學(xué)，樹(shù)立學(xué)以致用

的意識(shí)。

2、通過(guò)合作學(xué)習(xí)，增強(qiáng)合作意識(shí)。

【教學(xué)重點(diǎn)】

幕函數(shù)的定義

【教學(xué)難點(diǎn)】

會(huì)求幕函數(shù)的定義域，會(huì)畫(huà)簡(jiǎn)單幕函數(shù)的圖象。

【教學(xué)方法】

啟發(fā)式、講練結(jié)合教學(xué)過(guò)程

一、復(fù)習(xí)舊課

二、創(chuàng)設(shè)情景，引入新課

問(wèn)題L如果張紅購(gòu)買了每千克1元的水果w千克，那么她需要付的錢數(shù)p

（元）和購(gòu)買的水果量w（千克）之間有何關(guān)系？

（總結(jié)：根據(jù)函數(shù)的定義可知，這里p是w的函數(shù)）

問(wèn)題2：如果正方形的邊長(zhǎng)為a,那么正方形的面積S?a2,這里S是a的函

數(shù)。

問(wèn)題3：如果正方體的邊長(zhǎng)為a,那么正方體的體積V?a3,這里V是a的函

數(shù)。

問(wèn)題4：如果正方形場(chǎng)地面積為S,那么正方形的邊長(zhǎng)a?S12,這里a是S的函

數(shù)

問(wèn)題5：如果某人ts內(nèi)騎車行進(jìn)了1km,那么他騎車的速度V?t?lkm/s,這里

v是t的函數(shù)。

以上是我們生活中經(jīng)常遇到的幾個(gè)數(shù)學(xué)模型，你能發(fā)現(xiàn)以上幾個(gè)函數(shù)解析式有

什么共同點(diǎn)嗎？（右邊指數(shù)式，且底數(shù)都是變量）這只是我們生活中常用到的一類函

數(shù)的幾個(gè)具體代表，如果讓你給他們起一個(gè)名字的話，你將會(huì)給他們起個(gè)什么名字

呢？（變量在底數(shù)位置，解析式右邊都是幕的形式）（適當(dāng)引導(dǎo)：從自變量所處的

位置這個(gè)角度）（引入新課，書(shū)寫(xiě)課題）

二、新課講解

（一）幕函數(shù)的概念

如果設(shè)變量為X,函數(shù)值為y,你能根據(jù)以上的生活實(shí)例得到怎樣的一些具體的

函數(shù)式？

這里所得到的函數(shù)是幕函數(shù)的幾個(gè)典型代表，你能根據(jù)此給出幕函數(shù)的一般式

嗎？幕函數(shù)的定義：一般地，我們把形如y?x?的函數(shù)稱為幕函數(shù)（power

function）,其中x是自變量?是常數(shù)?！咎骄恳弧磕缓瘮?shù)有什么特點(diǎn)？

結(jié)論：對(duì)幕函數(shù)來(lái)說(shuō)，底數(shù)是自變量，指數(shù)是常數(shù)試一試：判斷下列函數(shù)那些

是幕函數(shù)練習(xí)1判斷下列函數(shù)是不是幕函數(shù)3(1)y=2x；(2)y=2x5；7(3)y

=x8；(4)y=x2+3o

根據(jù)你的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，你覺(jué)得求一個(gè)函數(shù)的定義域應(yīng)該從哪些方面來(lái)考慮？

(二)：求塞函數(shù)的定義域

1.什么是函數(shù)的定義域？

函數(shù)自變量的取值范圍叫做函數(shù)的定義域2.求函數(shù)的定義域時(shí)依據(jù)哪些原

則？(1)解析式為整式時(shí)，x取值是全體實(shí)數(shù)。

2(2)解析式是分式時(shí),x取值使分母不等于零。

(3)解析式為偶次方根時(shí)，x取值使被開(kāi)方數(shù)取非負(fù)實(shí)數(shù)。(4)以上幾種情況

同時(shí)出現(xiàn)時(shí)，x取各部分的交集。

(5)當(dāng)解析式涉及到具體應(yīng)用題時(shí)，x取值除了使解析式有意義還要使實(shí)際問(wèn)

題有意義。例1寫(xiě)出下列函數(shù)的定義域：1(1)y=x3；(2)y=x2；—32、(3)y

=x—；(4)y=x2解：(1)函數(shù)y=x3的定義域?yàn)镽；

1(2)函數(shù)y=x2,即y=x,定義域?yàn)椋?,+°0)；

12(3)函數(shù)y=x—,即y=2,定義域?yàn)?-8,0)U(0,+°0)；

x3—1(4)函數(shù)y=x2,即y=,其定義域?yàn)?0,+°°)0

3x練習(xí)2求下列函數(shù)的定義域：

11—(1)y=x2；(2)y=x3；(3)y=xT；(4)y=x2。

（三）、幾個(gè)常見(jiàn)塞函數(shù)的圖象和性質(zhì)

我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了幕函數(shù)（1）y=x；（2）y=x2.（3）y=x—、（4）y=x3（5）y

=1x2；請(qǐng)同學(xué)們?cè)谕蛔鴺?biāo)系中畫(huà)出它們的圖象.性質(zhì)：幕函數(shù)隨幕指數(shù)a的取

值不同，它們的性質(zhì)和圖象也不盡相同，但也有一些共性，例如，所有的幕函數(shù)都

通過(guò)點(diǎn)（1,1）,都經(jīng)過(guò)第一象限；當(dāng)0是，圖象過(guò)點(diǎn)（1,1）,（0,0）,且在第一象限隨

x的增大而上升,函數(shù)在區(qū)間?0,上是單調(diào)增函數(shù)。0時(shí)幕函數(shù)y?x?圖象的基本特

征：過(guò)點(diǎn)（1,1）,且在第一象限隨x的增大而下降，函數(shù)在區(qū)間（0,）上是單調(diào)減函

數(shù)，且向右無(wú)限接近X軸，向上無(wú)限接近Y軸。

（四）課堂小結(jié)

（五）課后作業(yè)

1、教材P100,練習(xí)A第1題。

12在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y=x與y=x2的圖象，并指數(shù)這兩個(gè)函數(shù)各有什

么性質(zhì)以

3及它們的圖象關(guān)系

高中數(shù)學(xué)函數(shù)教案「篇六」

整體設(shè)計(jì)

教學(xué)分析

本節(jié)通過(guò)圖象變換，揭示參數(shù)6、①、A變化時(shí)對(duì)函數(shù)圖象的形狀和位置的影

響，討論函數(shù)y=Asin（3x+6）的圖象與正弦曲線的關(guān)系，以及A、3、6的物理

意義，并通過(guò)圖象的變化過(guò)程，進(jìn)一步理解正、余弦函數(shù)的性質(zhì)，它是研究函數(shù)圖

象變換的一個(gè)延伸，也是研究函數(shù)性質(zhì)的一個(gè)直觀反映.這節(jié)是本章的一個(gè)難點(diǎn)。

如何經(jīng)過(guò)變換由正弦函數(shù)y=sinx來(lái)獲取函數(shù)y=Asin（3x+6）的圖象呢?通過(guò)

引導(dǎo)學(xué)生對(duì)函數(shù)y=sinx到y(tǒng)=Asin（3x+6）的圖象變換規(guī)律的探索，讓學(xué)生體會(huì)

到由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、由特殊到一般的化歸思想；并通過(guò)對(duì)周期變換、相位變換先后順

序調(diào)整后，將影響圖象變換這一難點(diǎn)的突破，讓學(xué)生學(xué)會(huì)抓住問(wèn)題的主要矛盾來(lái)解

決問(wèn)題的基本思想方法;通過(guò)對(duì)參數(shù)6、3、A的分類討論，讓學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)圖象

變換與函數(shù)解析式變換的內(nèi)在聯(lián)系。

本節(jié)課建議充分利用多媒體，倡導(dǎo)學(xué)生自主探究，在教師的引導(dǎo)下，通過(guò)圖象

變換和"五點(diǎn)"作圖法，正確找出函數(shù)y=sinx到y(tǒng)=Asin（3x+6）的圖象變換規(guī)

律，這也是本節(jié)課的重點(diǎn)所在。

三維目標(biāo)

1.通過(guò)學(xué)生自主探究，理解6對(duì)y=sin（x+6）的圖象的影響，3對(duì)

y=sin（3x+6）的圖象的影響，A對(duì)y=Asin（3x+6）的圖象的影響。

2.通過(guò)探究圖象變換，會(huì)用圖象變換法畫(huà)出y=Asin（3x+6）圖象的簡(jiǎn)圖，并

會(huì)用"五點(diǎn)法"畫(huà)出函數(shù)y=Asin（3x+6）的簡(jiǎn)圖。

3.通過(guò)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的自主探究，滲透數(shù)形結(jié)合思想.培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立意識(shí)和獨(dú)

立思考能力.學(xué)會(huì)合作意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生理解動(dòng)與靜的辯證關(guān)系，善于從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)

觀察問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題抓主要矛盾的思想.在問(wèn)題逐步深入的研究中喚起學(xué)

生追求真理，樂(lè)于創(chuàng)新的情感需求，引發(fā)學(xué)生渴求知識(shí)的強(qiáng)烈愿望，樹(shù)立科學(xué)的人

生觀、價(jià)值觀。

重點(diǎn)難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn):用參數(shù)思想分層次、逐步討論字母6、3、A變化時(shí)對(duì)函數(shù)圖象的

形狀和位置的影響，掌握函數(shù)丫=八5訕（3*+6）圖象的簡(jiǎn)圖的作法。

教學(xué)難點(diǎn)：由正弦曲線y=sinx到y(tǒng)=Asin（sx+6）的圖象的變換過(guò)程。

課時(shí)安排

2課時(shí)

教學(xué)過(guò)程

第1課時(shí)

導(dǎo)入新課

思路1.（情境導(dǎo)入）在物理和工程技術(shù)的許多問(wèn)題中，都要遇到形如

y=Asin（3x+6）的函數(shù)（其中A、3、6是常數(shù)）.例如，物體做簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)位移y

與時(shí)間x的關(guān)系，交流電中電流強(qiáng)度y與時(shí)間x的關(guān)系等，都可用這類函數(shù)來(lái)表示.

這些問(wèn)題的實(shí)際意義往往可從其函數(shù)圖象上直觀地看出，因此，我們有必要畫(huà)好這

些函數(shù)的圖象揭示課題：函數(shù)丫=八5南（0^+6）的圖象。

思路2.（直接導(dǎo)入）從解析式來(lái)看，函數(shù)y=sinx與函數(shù)y=Asin（3x+6）存在著

怎樣的關(guān)系？從圖象上看，函數(shù)y=sinx與函數(shù)y=Asin（3x+6）存在著怎樣的關(guān)系？

接下來(lái)，我們就分別探索6、3、A對(duì)y=Asin（3x+6）的圖象的影響。

推進(jìn)新課

新知探究

提出問(wèn)題

①觀察交流電電流隨時(shí)間變化的圖象，它與正弦曲線有何關(guān)系？你認(rèn)為可以怎

樣討論參數(shù)6、3、八對(duì)y=Asin(3x+6)的圖象的影響？

②分別在y=sinx和y=sin(x+)的圖象上各恰當(dāng)?shù)剡x取一個(gè)縱坐標(biāo)相同的點(diǎn)，

同時(shí)移動(dòng)這兩點(diǎn)并觀察其橫坐標(biāo)的變化，你能否從中發(fā)現(xiàn)，6對(duì)圖象有怎樣的影

響？對(duì)6任取不同的值，作出y=sin(x+@)的圖象，看看與y=sinx的圖象是否

有類似的關(guān)系？

③請(qǐng)你概括一下如何從正弦曲線出發(fā)，經(jīng)過(guò)圖象變換得到y(tǒng)=sin(x+6)的圖

象。

④你能用上述研究問(wèn)題的方法，討論探究參數(shù)3對(duì)丫=$訕(3*+6)的圖象的

影響嗎？為了作圖的方便，先不妨固定為6=,從而使y=sin(3x+6)在w變化過(guò)

程中的比較對(duì)象固定為y=sin(x+)。

⑤類似地，你能討論一下參數(shù)人對(duì)丫=5訕(2*+)的圖象的影響嗎？為了研究方

便，不妨令3=2,6=.此時(shí)，可以對(duì)A任取不同的值，利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出

這些函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖象，觀察它們與y=sin(2x+)的圖象之間的關(guān)系。

⑥可否先伸縮后平移？怎樣先伸縮后平移的？

活動(dòng)：?jiǎn)栴}①，教師先引導(dǎo)學(xué)生閱讀課本開(kāi)頭一段，教師引導(dǎo)學(xué)生思考研究問(wèn)

題的方法.同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生觀察y=sin(x+)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)和y=sinx的圖象上點(diǎn)的坐

標(biāo)的關(guān)系，獲得6對(duì)丫=5e6+6)的圖象的影響的具體認(rèn)識(shí).然后通過(guò)計(jì)算機(jī)作動(dòng)

態(tài)演示變換過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生觀察變化過(guò)程中的不變量，得出它們的橫坐標(biāo)總是相差

的結(jié)論.并讓學(xué)生討論探究.最后共同總結(jié)出：先分別討論參數(shù)6、川、A對(duì)

y=Asin(3x+6)的圖象的影響，然后再整合。

圖1

問(wèn)題②，由學(xué)生作出6取不同值時(shí)，函數(shù)y=sin(x+6)的圖象，并探究它與

y=sinx的圖象的關(guān)系，看看是否仍有上述結(jié)論.教師引導(dǎo)學(xué)生獲得更多的關(guān)于6

對(duì)丫=5訕&+6)的圖象影響的經(jīng)驗(yàn).為了研究的方便，不妨先取6=,利用計(jì)算機(jī)作

出在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象，如圖1,分別在兩條曲線上恰當(dāng)?shù)剡x取一個(gè)縱坐標(biāo)

相同的點(diǎn)A、B,沿兩條曲線同時(shí)移動(dòng)這兩點(diǎn)，并保持它們的縱坐標(biāo)相等，觀察它

們橫坐標(biāo)的關(guān)系.可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于同一個(gè)y值，y=sin(x+)的圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)總

是等于y=sinx的圖象上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)減去.這樣的過(guò)程可通過(guò)多媒體課件，使得

圖中A、B兩點(diǎn)動(dòng)起來(lái)(保持縱坐標(biāo)相等)，在變化過(guò)程中觀察A、B的坐標(biāo)、xB-

xA、|AB|的變化情況，這說(shuō)明y=sin(x+)的圖象，可以看作是把正弦曲線y=sinx

上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度而得到的，同時(shí)多媒體動(dòng)畫(huà)演示y=sinx的圖象向

左平移使之與y=sin(x+)的圖象重合的過(guò)程，以加深學(xué)生對(duì)該圖象變換的直觀理解

再取6=,用同樣的方法可以得到y(tǒng)=sinx的圖象向右平移后與y=sin(x)的圖象重

合。

如果再變換6的值，類似的情況將不斷出現(xiàn)，這時(shí)6對(duì)丫=5訕6+6)的圖象

的影響的鋪墊已經(jīng)完成，學(xué)生關(guān)于6對(duì)丫=$訕6+6)的圖象的影響的一般結(jié)論已

有了大致輪廓。

問(wèn)題③，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)自己的研究認(rèn)識(shí)6對(duì)丫=5m6+6)的圖象的影響，并

概括出一般結(jié)論：

y=sin(x+6)(其中6W0)的圖象，可以看作是把正弦曲線上所有的點(diǎn)向左(當(dāng)

$〉0時(shí))或向右(當(dāng)6〈0時(shí))平行移動(dòng)I6I個(gè)單位長(zhǎng)度而得到。

問(wèn)題④，教師指導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立或小組合作進(jìn)行探究，教師作適當(dāng)指導(dǎo).注意提醒

學(xué)生按照從具體到一般的思路得出結(jié)論，具體過(guò)程是：(1)以丫=5①&+)為參照，把

y=sin(2x+)的圖象與y=sin(x+)的圖象作比較,取點(diǎn)A、B觀察.發(fā)現(xiàn)規(guī)律:

圖2

如圖2,對(duì)于同一個(gè)y值，y=sin(2x+)的圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)總是等于y=sin(x+)

的圖象上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的倍.教學(xué)中應(yīng)當(dāng)非常認(rèn)真地對(duì)待這個(gè)過(guò)程，展示多媒體課件，體

現(xiàn)伸縮變換過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生在自己獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上給出規(guī)律.(2)取3=,讓學(xué)生

自己比較y=sin(x+)的圖象與y=sin(x+)圖象.教學(xué)中可以讓學(xué)生通過(guò)作圖、觀察和

比較圖象、討論等活動(dòng)，得出結(jié)論:把y=sin(x+)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原

來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，就得到y(tǒng)=sin(x+)的圖象。

當(dāng)取3為其他值時(shí)，觀察相應(yīng)的函數(shù)圖象與丫=5訕&+)的圖象的關(guān)系，得出

類似的結(jié)論.這時(shí)3對(duì)丫=5訕(3*+6)的圖象的影響的鋪墊已經(jīng)完成，學(xué)生關(guān)于3

對(duì)丫=5m(3*+6)的圖象的影響的一般結(jié)論已有了大致輪廓.教師指導(dǎo)學(xué)生將上述

結(jié)論一般化，歸納y=sin(3x+6)的圖象與y=sin(x+6)的圖象之間的關(guān)系，得出

結(jié)論：

函數(shù)y=sin(sx+6)的圖象可以看作是把y=sin(x+6)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐

標(biāo)縮短(當(dāng)3〉1時(shí))或伸長(zhǎng)(當(dāng)0<3<1時(shí))到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變)而得到。

圖3

問(wèn)題⑤，教師點(diǎn)撥學(xué)生，探索A對(duì)圖象的影響的過(guò)程，與探索3、6對(duì)圖象

的影響完全一致，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立完成.學(xué)生觀察y=3sin(2x+)的圖象和y=sin(2x+)

的圖象之間的關(guān)系.如圖3,分別在兩條曲線上各取一個(gè)橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)A、B,沿

兩條曲線同時(shí)移動(dòng)這兩點(diǎn)，并使它們的橫坐標(biāo)保持相同，觀察它們縱坐標(biāo)的關(guān)系.

可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于同一個(gè)x值，函數(shù)y=3sin(2x+)的圖象上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)等于函數(shù)

y=sin(2x+)的圖象上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的3倍.這說(shuō)明，y=3sin(2x+)的圖象，可以看作是

把y=sin(2x+)的圖象上所有的點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍(橫坐標(biāo)不變)而得到

的通過(guò)實(shí)驗(yàn)可以看到，A取其他值時(shí)也有類似的情況.有了前面兩個(gè)參數(shù)的探究,

學(xué)生得出一般結(jié)論：

函數(shù)y=Asin（3x+6）（其中A〉0,3>0）的圖象,可以看作是把y=sin（ax+6）

上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（當(dāng)A〉1時(shí)）或縮短（當(dāng)0由此我們得到了參數(shù)6、川、A對(duì)

函數(shù)y=Asin（3x+6）（其中A〉0,3〉0）的圖象變化的影響情況.一般地，函數(shù)

y=Asin（3x+6）（其中A〉0,3>0）的圖象，可以看作用下面的方法得到:先畫(huà)出函

數(shù)丫=5訕*的圖象;再把正弦曲線向左（右）平移|6|個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)

y=sin（x+6）的圖象；然后使曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，得到函數(shù)

y=sin（ax+6）的圖象；最后把曲線上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A倍，這時(shí)的曲線

就是函數(shù)y=Asin（3x+6）的圖象。

⑥引導(dǎo)學(xué)生類比得出.其順序是:先伸縮橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)），再伸縮縱坐標(biāo)（或

橫坐標(biāo)），最后平移.但學(xué)生很容易在第三步出錯(cuò)，可在圖象變換時(shí)，對(duì)比變換，以

引起學(xué)生注意，并體會(huì)一些細(xì)節(jié)。

由此我們完成了參數(shù)6、川、A對(duì)函數(shù)圖象影響的探究.教師適時(shí)地引導(dǎo)學(xué)生

回顧思考整個(gè)探究過(guò)程中體現(xiàn)的思想：由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由特殊到一般的化歸思想。

討論結(jié)果:①把從函數(shù)y=sinx的圖象到函數(shù)y=Asin（3x+6）的圖象的變換過(guò)

程，分解為先分別考察參數(shù)6、川、A對(duì)函數(shù)圖象的影響，然后整合為對(duì)

y=Asin（3x+6）的整體考察。

②略。

③圖象左右平移，6影響的是圖象與x軸交點(diǎn)的位置關(guān)系。

④縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸縮，3影響了圖象的形狀。

⑤橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸縮，A影響了圖象的形狀。

⑥可以.先伸縮后平移(提醒學(xué)生盡量先平移)，但要注意第三步的平移。

y=sinx的圖象

得y=Asinx的圖象

得y=Asin(sx)的圖象

得y=Asin(3x+6)的圖象。

規(guī)律總結(jié)：

先平移后伸縮的步驟程序如下：

y=sinx的圖象

得y=sin(x+6)的圖象

得y=sin(3x+6)的圖象

得y=Asin(3x+6)的圖象。

先伸縮后平移的步驟程序(見(jiàn)上)。

應(yīng)用示例

例1畫(huà)出函數(shù)y=2sin(x-)的簡(jiǎn)圖。

活動(dòng):本例訓(xùn)練學(xué)生的畫(huà)圖基本功及鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)方法。

(1)引導(dǎo)學(xué)生從圖象變換的角度來(lái)探究，這里的6=,3=,A=2,鼓勵(lì)學(xué)生

根據(jù)本節(jié)所學(xué)內(nèi)容自己寫(xiě)出得到y(tǒng)=2sin(x-)的圖象的過(guò)程:只需把丫=5訕*的曲線

上所有點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=sin(x-)的圖象;再把后者所有點(diǎn)的橫

坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍(縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)=sin(x-)的圖象;再把所得圖象上所

有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(橫坐標(biāo)不變)而得到函數(shù)y=2sin(x-)的圖象，如

圖4所示。

圖4

(2)學(xué)生完成以上變換后，為了進(jìn)一步掌握?qǐng)D象的變換規(guī)律，教師可引導(dǎo)學(xué)生

作換個(gè)順序的圖象變換，要讓學(xué)生自己獨(dú)立完成，仔細(xì)體會(huì)變化的實(shí)質(zhì)。

(3)學(xué)生完成以上兩種變換后，就得到了兩種畫(huà)函數(shù)y=2sin(x-),簡(jiǎn)圖的方

法，教師再進(jìn)一步的啟發(fā)學(xué)生能否利用“五點(diǎn)法”作圖畫(huà)出函數(shù)y=2sin(x-)的簡(jiǎn)

圖，并鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手按“五點(diǎn)法”作圖的要求完成這一畫(huà)圖過(guò)程。

解:方法一:畫(huà)出函數(shù)y=2sin(x-)簡(jiǎn)圖的方法為

y=sinxy=sin(x-)

y=sin(x-)

y=2sin(x-)。

方法二:畫(huà)出函數(shù)y=2sin(x-)簡(jiǎn)圖的又一方法為

y=sinxy=sinx

y=2sinxy=2sin(x-)=2sin(x-)。

方法三：(利用“五點(diǎn)法”作圖一一作一個(gè)周期內(nèi)的圖象)

令X=x-,則x=3(X+).列表:

X

JI

2兀

X

2兀

5兀

Y

2

-2

描點(diǎn)畫(huà)圖，如圖5所示。

圖5

點(diǎn)評(píng):學(xué)生獨(dú)立完成以上探究后，對(duì)整個(gè)的圖象變換及“五點(diǎn)法”作圖會(huì)有一

個(gè)新的認(rèn)識(shí).但教師要強(qiáng)調(diào)學(xué)生注意方法二中第三步的變換，左右平移變換只對(duì)

“單個(gè)”x而言，這點(diǎn)是個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生極易出錯(cuò).對(duì)于“五點(diǎn)法”作圖，要強(qiáng)調(diào)這

五個(gè)點(diǎn)應(yīng)該是使函數(shù)取最大值、最小值以及曲線與x軸相交的點(diǎn).找出它們的方法

是先作變量代換，設(shè)X=3X+6,再用方程思想由X取0,n,2n來(lái)確定對(duì)應(yīng)的x

值。

變式訓(xùn)練

1.20xx山東威海一模統(tǒng)考，12要得到函數(shù)y=sin(2x+)的圖象，只需將函數(shù)

y=sinx的圖象

A.向左平移個(gè)單位，再把所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變

B.向右平移個(gè)單位，再把所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變

C.向左平移個(gè)單位，再把所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變

D.向右平移個(gè)單位，再把所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變

答案:C

2.20xx山東荷澤一模統(tǒng)考，7要得到函數(shù)y=2sin(3x)的圖象，只需將函數(shù)y

=2sin3x的圖象

A.向左平移個(gè)單位B.向右平移個(gè)單位

C.向左平移個(gè)單位D.向右平移個(gè)單位

答案:D

例2將y=sinx的圖象怎樣變換得到函數(shù)y=2sin(2x+)+1的圖象？

活動(dòng):可以用兩種圖象變換得到.但無(wú)論哪種變換都是針對(duì)字母x而言的由

y=sin2x的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的函數(shù)圖象的解析式是y=sin2(x+)而不是

y=sin(2x+),把y=sin(x+)的圖象的橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的，得到的函數(shù)圖象的解析

式是y=sin(2x+),而不是y=sin2(x+)。

解:方法一:①把y=sinx的圖象沿x軸向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得y=sin(x+)的

圖象；②將所得圖象的橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的，得丫=$訕(2*+)的圖象；③將所得圖

象的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，得y=2sin(2x+)的圖象；④最后把所得圖象沿y軸

向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)=2sin(2x+)+l的圖象。

方法二:①把y=sinx的圖象的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，得y=2sinx的圖象；

②將所得圖象的橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的，得y=2sin2x的圖象；③將所得圖象沿x軸

向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得y=2sin2(x+)的圖象；④最后把圖象沿y軸向上平移1個(gè)

單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)=2sin(2x+)+l的圖象。

點(diǎn)評(píng):三角函數(shù)圖象變換是個(gè)難點(diǎn).本例很好地鞏固了本節(jié)所學(xué)知識(shí)方法，關(guān)鍵

是教師引導(dǎo)學(xué)生理清變換思路和各種變換對(duì)解析式的影響。

變式訓(xùn)練

1.將y=sin2x的圖象怎樣變換得到函數(shù)y=cos(2x-)的圖象？

解:y=sin2x=cos(-2x)=cos(2x-)。

在y=cos(2x-)中以x-a代x,有y=cos[2(x-a)-]=cos(2x-2a-).根據(jù)題意，

有2x~2a~—2x~,得a=_o

所以將y=sin2x的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得到函數(shù)y=cos(2x-)的圖象。

2.如何由函數(shù)y=3sin(2x+)的圖象得到函數(shù)y=sinx的圖象？

方法一：y=3sin(2x+)y=sin(2x+)

y=sin(x+)y=sinx。

方法二:y=3sin(2x+)=3sin2(x+)y=3sin2x

y=sin2xy=sinx。

3.20xx山東高考，4要得到函數(shù)y=sinx的圖象，只需將函數(shù)y=cos(x-)的圖

象

A.向右平移個(gè)單位B.向右平移個(gè)單位

C.向左平移個(gè)單位D.向左平移個(gè)單位

答案:A

知能訓(xùn)練

課本本節(jié)練習(xí)1、2o

解答：

1.如圖6o

點(diǎn)評(píng):第(1)(2)(3)小題分別研究了參數(shù)A、3、6對(duì)函數(shù)圖象的影響，第(4)

小題則綜合研究了這三個(gè)參數(shù)對(duì)y=Asin(3x+6)圖象的影響。

2.(1)C;(2)B;(3)Co

點(diǎn)評(píng):判定函數(shù)y=Alsin(3lx+61)與y=A2sin(32x+62)的圖象間的關(guān)系.為

了降低難度，在A1與A2,31與32,61與62中，每題只有一對(duì)數(shù)值不同。

課堂小結(jié)

1.由學(xué)生自己回顧總結(jié)本節(jié)課探究的知識(shí)與方法，以及對(duì)三角函數(shù)圖象及三角

函數(shù)解析式的新的認(rèn)識(shí)，使本節(jié)的總結(jié)成為學(xué)生凝練提高的平臺(tái)。

2.教師強(qiáng)調(diào)本節(jié)課借助于計(jì)算機(jī)討論并畫(huà)出y=Asin(?x+)的圖象，并分別觀

察參數(shù)6、3、A對(duì)函數(shù)圖象變化的影響，同時(shí)通過(guò)具體函數(shù)的圖象的變化，領(lǐng)會(huì)

由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、特殊到一般的化歸思想。

作業(yè)

1.用圖象變換的方法在同一坐標(biāo)系內(nèi)由y=sinx的圖象畫(huà)出函數(shù)y=sin(-2x)的

圖象。

2.要得到函數(shù)y=cos(2x-)的圖象，只需將函數(shù)y=sin2x的圖象通過(guò)怎樣的變

換得到？

3.指出函數(shù)y=cos2x+l與余弦曲線y=cosx的關(guān)系。

解答：1.,；y=sin(-2x)=sin2x,作圖過(guò)程：

y=sinxy=sin2xy=sin2xo

2.*/y=cos(2x-)=sin[+(2x-)]=sin(2x+)=sin2(x+)。

???將曲線y=sin2x向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度即可。

3.Vy=cos2x+lo

將余弦曲線y=cosx上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，再將所得曲線上所有

的點(diǎn)向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，即可得到曲線y=cos2x+lo

設(shè)計(jì)感想

1.本節(jié)圖象較多，學(xué)生活動(dòng)量大，因此本節(jié)設(shè)計(jì)的主要指導(dǎo)思想是充分利用信

息技術(shù)工具，從整體上探究參數(shù)6、3、A對(duì)函數(shù)y=Asin(3x+6)圖象整體變化

的影響.這符合新課標(biāo)精神，符合教育課改新理念.現(xiàn)代教育要求學(xué)生在富有的學(xué)習(xí)

動(dòng)機(jī)下主動(dòng)學(xué)習(xí)，合作探究，教師僅是學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的激發(fā)者和引導(dǎo)者。

2.對(duì)于函數(shù)y=sinx的圖象與函數(shù)y=Asin(3x+6)的圖象間的變換，由于“平

移變換”與“伸縮變換”在“順序”上的差別，直接會(huì)對(duì)圖象平移量產(chǎn)生影響，這

點(diǎn)也是學(xué)習(xí)三角函數(shù)圖象變換的難點(diǎn)所在，設(shè)計(jì)意圖旨在通過(guò)對(duì)比讓學(xué)生領(lǐng)悟它們

的異同。

3.學(xué)習(xí)過(guò)程是一個(gè)認(rèn)知過(guò)程，學(xué)生內(nèi)部的認(rèn)知因素和學(xué)習(xí)情景的因素是影響學(xué)

生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的變量.如果學(xué)生本身缺乏學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)和原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，外部的變量就

不能發(fā)揮它們的作用，但外部變量所提供的刺激也能使內(nèi)部能力引起學(xué)習(xí)。

（設(shè)計(jì)者:張?jiān)迫?/p>

第2課時(shí)

導(dǎo)入新課

思路1.（直接導(dǎo)入）上一節(jié)課中，我們分別探索了參數(shù)6、川、A對(duì)函數(shù)

y=Asin（ax+6）的圖象的影響及“五點(diǎn)法”作圖.現(xiàn)在我們進(jìn)一步熟悉掌握函數(shù)

y=Asin（3x+6）（其中A〉0,?>0,6W0）的圖象變換及其物理背景.由此展開(kāi)新

課。

思路2.（復(fù)習(xí)導(dǎo)入）請(qǐng)同學(xué)們分別用圖象變換及“五點(diǎn)作圖法”畫(huà)出函數(shù)

y=4sin（x-）的簡(jiǎn)圖，學(xué)生動(dòng)手畫(huà)圖，教師適時(shí)的點(diǎn)撥、糾正，并讓學(xué)生回答有關(guān)的

問(wèn)題.在學(xué)生回顧與復(fù)習(xí)上節(jié)所學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)上展開(kāi)新課。

推進(jìn)新課

新知探究

提出問(wèn)題

①在上節(jié)課的學(xué)習(xí)中，用“五點(diǎn)作圖法”畫(huà)函數(shù)y=Asin（3x+6）的圖象時(shí)，

列表中最關(guān)鍵的步驟是什么？

②(1)把函數(shù)y=sin2x的圖象向平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)y=

sin(2x—)的圖象；⑵把函數(shù)y=sin3x的圖象向平移個(gè)單位長(zhǎng)度

得到函數(shù)y=sin(3x+)的圖象；(3)如何由函數(shù)y=sinx的圖象通過(guò)變換得到函數(shù)

y=sin(2x+)的圖象？

③將函數(shù)y=f(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，再向左平移個(gè)單

位長(zhǎng)度，所得到的曲線是丫=5訕*的圖象，試求函數(shù)y=f(x)的解析式。

對(duì)這個(gè)問(wèn)題的求解現(xiàn)給出以下三種解法，請(qǐng)說(shuō)出甲、乙、丙各自解法的正

誤.(多媒體出示各自解法)

甲生:所給問(wèn)題即是將丫=5訕*的圖象先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=sin(x-)

的圖象，再將所得的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，得到y(tǒng)=sin(2x-),即

y=cos2x的圖象，.*.f(x)=cos2xo

乙生:設(shè)f(x)=Asin(3x+6),將它的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2

倍，得到y(tǒng)=Asin(x+6)的圖象，再將所得的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到

y=Asin(x++6)=sinx,；.A=,=1,+6=0。

即A=,3=2,6=-.f(x)=sin(2x-)=cos2x。

丙生:設(shè)f(x)=Asin(ax+6),將它的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2

倍，得到y(tǒng)=Asin(x+6)的圖象，再將所得的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到

y=Asin[(x+)+6]=Asin(x++6)=sinxo

；.A=,=1,+6=0。

解得A=,3=2,6=-。

f(x)=sin(2x-)=cos2x。

活動(dòng)：?jiǎn)栴}①，復(fù)習(xí)鞏固已學(xué)三種基本變換，同時(shí)為導(dǎo)入本節(jié)課重、難點(diǎn)創(chuàng)設(shè)

情境.讓學(xué)生回答并回憶A、3、6對(duì)函數(shù)y=Asin（3x+6）圖象變化的影響.引導(dǎo)

學(xué)生回顧“五點(diǎn)作圖法”，既復(fù)習(xí)了舊知識(shí)，又為學(xué)生準(zhǔn)確使用本節(jié)課的工具提供

必要的保障。

問(wèn)題②，讓學(xué)生通過(guò)實(shí)例綜合以上兩種變換，再次回顧比較兩種方法平移量的

區(qū)別和導(dǎo)致這一現(xiàn)象的根本原因，以此培養(yǎng)訓(xùn)練學(xué)生變換的逆向思維能力，訓(xùn)練學(xué)

生對(duì)變換實(shí)質(zhì)的理解及使用誘導(dǎo)公式的綜合能力。

問(wèn)題③，甲生的解法是考慮以上變換的“逆變換”，即將以上變換倒過(guò)來(lái)，由

y=sinx變換到y(tǒng)=f（x）,解答正確.乙、丙兩名同學(xué)都是采用代換法，即設(shè)

y=Asin（3x+6）,然后按題設(shè)中的變換得到兩次變換后圖象的函數(shù)解析式，這種思

路清晰，但值得注意的是：乙生的解答過(guò)程中存在實(shí)質(zhì)性的錯(cuò)誤，就是將

y=Asin（x+6）的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，把y=Asin（x+6）函數(shù)中的自變量x

變成x+,應(yīng)該變換成y=Asin[（x+）+6],而不是變換成y=Asin（x++6）,雖然結(jié)果

一樣，但這是巧合，丙同學(xué)的解答是正確的

三角函數(shù)圖象的“逆變換”一定要注意其順序，比如甲生解題的過(guò)程中如果交

換了順序就會(huì)出錯(cuò)，故在對(duì)這種方法不是很熟練的情況下，用丙同學(xué)的解法較合適

（即待定系數(shù)法）.平移變換是對(duì)自變量x而言的，比如乙同學(xué)的變換就出現(xiàn)了這種

錯(cuò)誤。

討論結(jié)果:①將3x+6看作一個(gè)整體，令其分別為0,,口，，2h。

②⑴右，；（2）左，；（3）先丫=5訕*的圖象左移，再把所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓

縮到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變）。

③略。

提出問(wèn)題

①回憶物理中簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的相關(guān)內(nèi)容，并閱讀本章開(kāi)頭的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象，你能

說(shuō)出簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的函數(shù)關(guān)系嗎？

②回憶物理中簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的相關(guān)內(nèi)容，回答:振幅、周期、頻率、相位、初相等

概念與A、3、6有何關(guān)系。

活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生閱讀并適時(shí)點(diǎn)撥.通過(guò)讓學(xué)生回憶探究，建立與物理知識(shí)的

聯(lián)系，了解常數(shù)A、3、6與簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的某些物理量的關(guān)系，得出本章開(kāi)頭提到的

“簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象”所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式有如下形式:y=Asin(3x+6),xe[0,

+8),其中A〉0,3〉0.物理中，描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物理量，如振幅、周期和頻率等

都與這個(gè)解析式中的常數(shù)有關(guān):A就是這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅，它是做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物

體離開(kāi)平衡位置的最大距離;這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期是T=,這是做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體往

復(fù)運(yùn)動(dòng)一次所需要的時(shí)間;這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的頻率由公式f==給出，它是做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)

的物體在單位時(shí)間內(nèi)往復(fù)運(yùn)動(dòng)的次數(shù)；3X+6稱為相位;x=0時(shí)的相位6稱為初

相。

討論結(jié)果:①y=Asin(3x+6),xG[0,+8),其中A〉0,?>0?

②略。

應(yīng)用示例

例1圖7是某簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象試根據(jù)圖象回答下列問(wèn)題：

(1)這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅、周期和頻率各是多少？

(2)從0點(diǎn)算起，到曲線上的哪一點(diǎn)，表示完成了一次往復(fù)運(yùn)動(dòng)?如從A點(diǎn)算起

呢？

(3)寫(xiě)出這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的函數(shù)表達(dá)式0

圖7

活動(dòng):本例是根據(jù)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象求解析式.教師可引導(dǎo)學(xué)生再次回憶物理學(xué)中

學(xué)過(guò)的相關(guān)知識(shí)，并提醒學(xué)生注意本課開(kāi)始時(shí)探討的知識(shí)，思考y=Asin(ax+6)

中的參數(shù)6、3、A在圖象上是怎樣反映的，要解決這個(gè)問(wèn)題，關(guān)鍵要抓住什么.

關(guān)鍵是搞清6、川、A等參數(shù)在圖象上是如何得到反映的讓學(xué)生明確解題思路，是

由形到數(shù)地解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)數(shù)形結(jié)合地處理問(wèn)題.完成解題后，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行

反思學(xué)習(xí)過(guò)程，概括出研究函數(shù)丫=八5訕(3*+6)的圖象的思想方法，找兩名學(xué)生

闡述思想方法，教師作點(diǎn)評(píng)、補(bǔ)充。

解：(1)從圖象上可以看到，這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅為2cm;周期為0.8s;頻率

為。

(2)如果從0點(diǎn)算起，到曲線上的D點(diǎn)，表示完成了一次往復(fù)運(yùn)動(dòng);如果從A點(diǎn)

算起，則到曲線上的E點(diǎn)，表示完成了一次往復(fù)運(yùn)動(dòng)。

(3)設(shè)這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的函數(shù)表達(dá)式為y=Asin(3x+6),xG[0,+°0)0

那么A=2;由=0.8,得3=；由圖象知初相6=0。

于是所求函數(shù)表達(dá)式是y=2sinx,xG[0,+°0)0

點(diǎn)評(píng):本例的實(shí)質(zhì)是由函數(shù)圖象求函數(shù)解析式，要抓住關(guān)鍵點(diǎn).應(yīng)用數(shù)學(xué)中重要

的思想方法一一數(shù)形結(jié)合的思想方法，應(yīng)讓學(xué)生熟練地掌握這種方法。

變式訓(xùn)練

函數(shù)y=6sin(x-)的振幅是，周期是,頻率是,初

相是,圖象最iWj點(diǎn)的坐標(biāo)是O

解:68n(8kn+,