高中數(shù)學(xué)人教A版 習(xí)題課時(shí)提升作業(yè) 八 2

課時(shí)提升作業(yè)八

反證法與放縮法

回25分鐘練/

分值：60分

一、選擇題（每小題6分，共18分）

1.（2016?泰安高二檢測(cè)）證明命題"a,b￡N,如果ab可被5整除，那么a,b至少有

一個(gè)能被5整除"，則假設(shè)的內(nèi)容是（）

A.a,b都能被5整除

B.a,b都不能被5整除

C.a不能被5整除

D.a,b有一個(gè)不能被5整除

【解析】選B."a,b至少有一個(gè)能被5整除"包括"a,b中有且只有一個(gè)能被5

整除或a,b都能被5整除"，其反面為"a,b都不能被5整除".

【補(bǔ)償訓(xùn)練】用反證法證明命題"三角形的內(nèi)角中至多有一個(gè)鈍角"時(shí),反設(shè)正

確的是（）

A.三個(gè)內(nèi)角中至少有一個(gè)鈍角

B.三個(gè)內(nèi)角中至少有兩個(gè)鈍角

C.三個(gè)內(nèi)角都不是鈍角

D.三個(gè)內(nèi)角都不是鈍角或至少有兩個(gè)鈍角

【解析】選B."至多有一個(gè)"即要么一個(gè)都沒(méi)有，要么有一個(gè)，故反設(shè)為"至少有

兩個(gè)".

2.已知a+b+c>0,ab+bc+ac>0,abc>0,用反證法求證a>0,b>0,c>0時(shí)的假設(shè)

為

（）

A.a<0,b<0,c<0B.a<0,b>0,c>0

C.a,b,c不全是正數(shù)D.abc<0

【解析】選C.a>0,b>0,c>0的反面是a,b,c不全是正數(shù).

3.已知a>0,b>0,設(shè)P=2+言;,，則P與Q的大小關(guān)系是（）

JL+aJL+DJL+d+u

A.P>QB.P<Q

C.P=QD.無(wú)法確定

【解析】選A.因?yàn)閍>O,b>。,所以P喘+盤>高+嬴二黑所以

P>Q.

【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知等比數(shù)列｛an｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比qwl,設(shè)

P=四#,不，則P與Q的大小關(guān)系是（）

A.P>QB.P<Q

C.P=QD.無(wú)法確定

【解析】選A.由等比數(shù)列知識(shí)得焉,

又「二學(xué)駕且

a3>0,33^39,

所以的,9>,內(nèi)?aq=1,a7,故P>Q.

二、填空題（每小題6分，共12分）

4.（2016?泰安高二檢測(cè)）用反證法證明"一個(gè)三角形不能有兩個(gè)直角"有三個(gè)步

驟:①NA+NB+NC=90°+90°+NC>180。,這與三角形的內(nèi)角和為180°矛盾，故結(jié)

論錯(cuò)誤；

②所以一個(gè)三角形不可能有兩個(gè)直角；

③假設(shè)^ABC有兩個(gè)直角,不妨設(shè)NA=NB=90°;

上述步驟的正確M頁(yè)序是.

【解析】由反證法的證題步驟可知，正確W頁(yè)序應(yīng)該是③①②.

答案:③①②

5.已知a￡R+廁，，焉，小工從大到小的順序?yàn)開(kāi)_____.

27a2Va+lVa+va+1-------

【解析】因?yàn)楦?孤+l>V^+7i=2V^,

Va+Va+1<Va+1+Va+1=2Va+1,

所以2VaVa+Va+1<2Va+1,

所以「L>>_l—

11、1

1=1Va+Va+1>2Va+l

【補(bǔ)償訓(xùn)練】log23與log34的大小關(guān)系是.

【解析】國(guó)3-嗨4嘿普嚕磬

Ig23-g(lg2+lg4)]2

>152153

2

^Ig23-(|lg8)

__1521^3-

2

2

>ig3-(M_Q

lg21g3'

所以Iog23-log34>0,所以Iog23>log34.

答案：log23>log34

三、解答題(每小題10分，共30分)

6.已知a>0,b>0,Sa+b>2.求證:出，當(dāng)中至少有一個(gè)小于2.

ab

【證明】假設(shè)出，牛都不小于2,

ab

貝壯乎之2,皆22.

因?yàn)閍>0,b>0,

所以l+bN2a,l+a22b.

所以2+a+bN2(a+b),即2之a(chǎn)+b,

這與a+b>2矛盾.

故假設(shè)不成立.即出，胃中至少有一個(gè)小于2.

ab

7.設(shè)n是正整數(shù)求證:/-7+t+…+}<1.

2n+ln+22n

【證明】由2nNn+k>n(k=L2,...,n),

得；

2nn+kn

當(dāng)k=l時(shí)4去4

當(dāng)匕2時(shí)務(wù)焉4；

當(dāng)k=n時(shí),；4工<乙

2nn+nn

所以…+去<』.

22nn+1n+22nn

即原不等式成立.

8.已知a2-1,求證以下三個(gè)方程：

x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-l)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)解.

【證明】假設(shè)三個(gè)方程都沒(méi)有實(shí)根,則三個(gè)方程的判別式都小于0,即：

((4a)2-4(-4a+3)<0

](a-I)2-4a2<0,

l(2a)2+4x2a<0,

「|va<|,

所以ja>g或avT

V-2<a<0,

所以-|<a<-L這與已知a>-l矛盾，所以假設(shè)不成立,故三個(gè)方程中至少有一個(gè)方

程有實(shí)數(shù)解.

簸理?)20分鐘練/

分值：40分

一、選擇題（每小題5分，共10分）

1.（2016錦州高二檢測(cè)）（1）已知p3+q3=2,求證p+q42,用反證法證明時(shí),可假設(shè)

p+q>2.

（2）已知a,b￡R,|a|+|b|<l,求證方程x2+ax+b=O的兩根的絕對(duì)值都小于1.用

反證法證明時(shí)可假設(shè)至少有一根的絕對(duì)值大于等于1.以下結(jié)論正確的是（）

A.Q）與⑵的假設(shè)都錯(cuò)誤

B.Q）與⑵的假設(shè)都正確

C.Q）的假設(shè)正確,（2）的假設(shè)錯(cuò)誤

D.（l）的假設(shè)錯(cuò)誤,⑵的假設(shè)正確

【解析】選D.⑴的假設(shè)應(yīng)為p+q>2,⑵的假設(shè)正確.

2.設(shè)x,y,z都是正實(shí)數(shù),a=x+；b=y+；c=z+；貝!]a,b,c三個(gè)數(shù)（）

V2K

A.至少有一個(gè)不大于2B.都小于2

C.至少有一個(gè)不小于2D.都大于2

【解析】選C.因?yàn)閍+b+c=x+」+y+L+z+工22+2+2=6,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=l時(shí)

xyz

等號(hào)成立，

所以a,b,c三者中至少有一個(gè)不小于2.

二、填空題（每小題5分，共10分）

1111

3.設(shè)M=-^+J-+J-+…+[-廁M與1的大小關(guān)系為_(kāi)____.

2卬2U+12u+22X-1-------------

101010101110

【解析】因?yàn)?+1>2,2+2>2,.../2-1>2,

所以M=-JQ+^:----—+...+-JY—

21021U+121U+2211-1

111_-

〈建+源+…+建=L

答案:M<1

4.(2016?石家莊高二檢測(cè))某同學(xué)準(zhǔn)備用反證法證明如下一個(gè)問(wèn)題：

函數(shù)f(x)在［0,1］上有意義且f(0)=f(l).如果對(duì)于不同的Xi,X2￡［0,l］都有|f(xi)-

f(X2)|<|X1-X2|.求證：|f(Xl)-f(X2)|<g,那么他的反設(shè)應(yīng)該是.

【解析】對(duì)任意*1雙2日0,1］僅1-2)都有|僅)-僅)層的反面是存在*1水2司0口

且X1WX2有|f(Xl)-f(X2)|斗

答案:存在X1,X2￡［0,1］且乂1"2使|1：的)-1：a2)|弓

三、解答題(每小題10分，共20分)

5.已知0<a<3,0<b<3,0<c<3.

Q

求證:a(3-b),b(3-c),c(3-a)不可能都大于去

【證明】假設(shè)a(3-b)>|,b(3-c)>|,c(3-a)>|.

因?yàn)閍,b,c均為小于3的正數(shù).

所以Ja(3—b)>—c)>屏(3—a)>

從而有Ja(3-b)+Jb(3-c)+Jc(3-a)>|V2.?

但是Ja(3-b)+Jb(3-c)+Jc(3-a)

a+(3—b)b+(3—c)c+(3-a)

一-2--2--2~

_9+(a+b+c)-(a+b+c)_9?

=2=5?②

顯然②與①相矛盾，假設(shè)不成立，故命題得證.

【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知f(x)=ax+富(a>l),證明方程f(x)=O沒(méi)有負(fù)數(shù)根.

X?X

【證明】假設(shè)X0是f(x)=0的負(fù)數(shù)根，

貝”。<0且xoAl且aXo=H，

XO+1

由09。<1=0<-叼<L解得｝<XO<2,這與XO<0矛盾,所以假設(shè)不成立.

XO+1乙

故方程f(x)=O沒(méi)有負(fù)數(shù)根.

6.設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn滿足

Sn-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,neN*.

⑴求ai的值.

(2)求數(shù)列&｝的通項(xiàng)公式.

⑶證明:對(duì)一切正整數(shù)項(xiàng)^^石+一^+…+房昌.

al(al+1)a2(a2+1)AnSn+l)3

【解析】⑴令n=l得:S”(-1)SL3X2=O,

即S：+SI-6=0,所以(SI+3)(SI-2)=0,

因?yàn)镾i>0,所以Si=2,即ai=2.

(2)由S>(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=(X得：

2

(Sn+3)[Sn-(n+ri)]=0z

因?yàn)閍n>0(neN*),Sn>0,

2

從而Sn+3>0,所以Sn=n+n,

所以當(dāng)n>2時(shí),

an=Sn-Sn-i=n2+n-[(n-l)2+(n