清華微積分高等數(shù)學(xué)課件第一講函數(shù)

課程簡介本課程是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，主要介紹函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖像及其應(yīng)用。課程內(nèi)容豐富，涵蓋了微積分的基本概念、方法和應(yīng)用，例如函數(shù)的極限、導(dǎo)數(shù)、積分以及它們的應(yīng)用。dsbydrfthgfthsdfgvd集合與函數(shù)的基本概念集合集合是數(shù)學(xué)中最基本的概念之一。它是指具有某種共同屬性的事物的總體。元素集合中的每個事物稱為集合的元素，元素之間沒有重復(fù)。集合的表示集合通常用花括號表示，例如{1,2,3}表示包含元素1,2,3的集合。函數(shù)函數(shù)是將一個集合中的元素映射到另一個集合中的元素的對應(yīng)關(guān)系。函數(shù)的表示函數(shù)通常用符號f(x)表示，其中x是自變量，f(x)是因變量。定義域函數(shù)的定義域是指自變量x能夠取值的范圍。值域函數(shù)的值域是指因變量f(x)能夠取值的范圍。函數(shù)的性質(zhì)1單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性指的是函數(shù)值隨自變量變化的趨勢。單調(diào)遞增函數(shù)的函數(shù)值隨著自變量的增大而增大，單調(diào)遞減函數(shù)的函數(shù)值隨著自變量的增大而減小。2奇偶性奇偶性指的是函數(shù)關(guān)于原點的對稱性。奇函數(shù)關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱。3周期性周期性指的是函數(shù)圖像在一定范圍內(nèi)重復(fù)出現(xiàn)的現(xiàn)象。周期函數(shù)的圖像在一定范圍內(nèi)重復(fù)出現(xiàn)，周期是指圖像重復(fù)出現(xiàn)一次的長度。4有界性有界性指的是函數(shù)的值在一定范圍內(nèi)變化。有界函數(shù)的值不會無限增大或無限減小，它有一個確定的上界和下界。函數(shù)的分類按定義域和值域函數(shù)可以根據(jù)其定義域和值域進行分類。例如，實值函數(shù)的定義域和值域都是實數(shù)集，而復(fù)值函數(shù)的定義域和值域則是復(fù)數(shù)集。按表達式函數(shù)還可以根據(jù)其表達式進行分類。例如，多項式函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)等。按性質(zhì)此外，函數(shù)還可以根據(jù)其性質(zhì)進行分類。例如，單調(diào)函數(shù)、周期函數(shù)、奇函數(shù)和偶函數(shù)等。常見函數(shù)的性質(zhì)線性函數(shù)線性函數(shù)具有單調(diào)性，其圖像為一條直線。二次函數(shù)二次函數(shù)具有對稱性，其圖像為一個拋物線。指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)具有單調(diào)性，其圖像可以是單調(diào)遞增或單調(diào)遞減。對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，也具有單調(diào)性，其圖像與指數(shù)函數(shù)關(guān)于直線y=x對稱。反函數(shù)的概念與性質(zhì)定義若函數(shù)f(x)在定義域D上單調(diào)，則它的反函數(shù)f-1(x)存在。反函數(shù)的定義域是f(x)的值域，值域是f(x)的定義域。f(x)和f-1(x)關(guān)于直線y=x對稱。性質(zhì)反函數(shù)是唯一的。反函數(shù)的圖形是原函數(shù)圖形關(guān)于直線y=x的對稱圖形。反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以用原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來表示。應(yīng)用反函數(shù)在數(shù)學(xué)和物理學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。例如，可以用來求解一些方程，可以用來描述一些物理現(xiàn)象，比如光線通過透鏡的路徑。復(fù)合函數(shù)的概念與性質(zhì)復(fù)合函數(shù)的定義設(shè)函數(shù)$y=f(u)$的定義域為$D_f$，函數(shù)$u=g(x)$的定義域為$D_g$，且$g(x)$的值域$R_g$是$f(u)$的定義域$D_f$的子集，則稱函數(shù)y=f(g(x))為由$u=g(x)$和$y=f(u)$復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)。復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)復(fù)合函數(shù)的定義域是滿足$x\inD_g$且$g(x)\inD_f$的所有$x$的集合。復(fù)合函數(shù)的值域是$f(g(x))$當(dāng)$x$取遍定義域時所取值的集合。復(fù)合函數(shù)的圖像可以通過對$u=g(x)$和$y=f(u)$的圖像進行變換得到。初等函數(shù)1定義初等函數(shù)是指由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復(fù)合運算得到的函數(shù)。2基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)包括冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)和常數(shù)函數(shù)。3性質(zhì)初等函數(shù)具有許多重要的性質(zhì)，例如連續(xù)性、可微性、可積性等，這些性質(zhì)在數(shù)學(xué)分析和應(yīng)用領(lǐng)域中非常重要。4應(yīng)用初等函數(shù)在自然科學(xué)、工程技術(shù)、經(jīng)濟管理等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，例如描述物理現(xiàn)象、建立數(shù)學(xué)模型等。指數(shù)函數(shù)定義指數(shù)函數(shù)是指以常數(shù)為底，以自變量為指數(shù)的函數(shù)。圖像指數(shù)函數(shù)的圖像通常是一條單調(diào)遞增的曲線，曲線的位置取決于底數(shù)的大小。應(yīng)用指數(shù)函數(shù)在許多領(lǐng)域都有應(yīng)用，包括人口增長、利率計算、放射性衰變等。對數(shù)函數(shù)定義對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，用來表示一個數(shù)的底數(shù)。性質(zhì)對數(shù)函數(shù)具有重要的性質(zhì)，例如單調(diào)性、對稱性和無窮大值。應(yīng)用對數(shù)函數(shù)廣泛應(yīng)用于物理學(xué)、化學(xué)、工程學(xué)等領(lǐng)域。三角函數(shù)定義三角函數(shù)是描述直角三角形邊角關(guān)系的函數(shù)。三角函數(shù)通常定義為直角三角形中，某個角的對邊、鄰邊和斜邊之間的比例關(guān)系。常見三角函數(shù)正弦函數(shù)(sin)余弦函數(shù)(cos)正切函數(shù)(tan)余切函數(shù)(cot)正割函數(shù)(sec)余割函數(shù)(csc)反三角函數(shù)定義與性質(zhì)反三角函數(shù)是三角函數(shù)的反函數(shù)。它們用于求出角度值，已知其三角函數(shù)值。例如，arcsin(1/2)等于30度，因為sin(30度)等于1/2。常見反三角函數(shù)常見的反三角函數(shù)包括反正弦函數(shù)arcsin(x)、反余弦函數(shù)arccos(x)、反正切函數(shù)arctan(x)和反余切函數(shù)arccot(x)。圖像與性質(zhì)反三角函數(shù)的圖像通常是曲線，它們的性質(zhì)與三角函數(shù)密切相關(guān)。例如，arcsin(x)的圖像是一條關(guān)于x軸對稱的曲線，它在區(qū)間[-1,1]上單調(diào)遞增。應(yīng)用反三角函數(shù)廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)、物理、工程學(xué)和計算機科學(xué)等領(lǐng)域，例如，用于求解三角方程、計算向量夾角、分析電路等。雙曲函數(shù)定義雙曲函數(shù)是類似于三角函數(shù)的函數(shù)，但它們的定義基于雙曲線，而不是圓。這些函數(shù)包括雙曲正弦(sinh)，雙曲余弦(cosh)，雙曲正切(tanh)，雙曲余切(coth)，雙曲正割(sech)和雙曲余割(csch).性質(zhì)雙曲函數(shù)具有與三角函數(shù)相似的性質(zhì)，例如奇偶性、周期性、導(dǎo)數(shù)和積分公式。它們還具有一些獨特的性質(zhì)，例如它們在某些情況下可以表示為指數(shù)函數(shù)的組合，并且它們在物理學(xué)、工程學(xué)和計算機科學(xué)等領(lǐng)域中有很多應(yīng)用。雙曲反函數(shù)反雙曲正弦函數(shù)反雙曲正弦函數(shù)，也稱雙曲反正弦函數(shù)，是雙曲正弦函數(shù)的反函數(shù)。反雙曲余弦函數(shù)反雙曲余弦函數(shù)，也稱雙曲反正弦函數(shù)，是雙曲余弦函數(shù)的反函數(shù)。反雙曲正切函數(shù)反雙曲正切函數(shù)，也稱雙曲反正切函數(shù)，是雙曲正切函數(shù)的反函數(shù)。反雙曲余切函數(shù)反雙曲余切函數(shù)，也稱雙曲反正切函數(shù)，是雙曲余切函數(shù)的反函數(shù)。函數(shù)的圖像函數(shù)的圖像是在平面直角坐標(biāo)系中，以自變量為橫坐標(biāo)，因變量為縱坐標(biāo)，描繪函數(shù)關(guān)系的圖形。圖像可以直觀地展現(xiàn)函數(shù)的性質(zhì)，例如單調(diào)性、奇偶性、周期性等。函數(shù)的圖像可以幫助我們理解函數(shù)的性質(zhì)，并進行函數(shù)的運算和求解。函數(shù)的平移、伸縮和對稱平移函數(shù)圖像沿著橫軸或縱軸移動，通過改變自變量或因變量的值實現(xiàn)。伸縮函數(shù)圖像沿著橫軸或縱軸拉伸或壓縮，通過改變自變量或因變量的值實現(xiàn)。對稱函數(shù)圖像關(guān)于橫軸、縱軸或原點進行翻轉(zhuǎn)，通過改變自變量或因變量的值實現(xiàn)。函數(shù)的極限概念1無限接近當(dāng)自變量趨于某個值時，函數(shù)值無限接近某個常數(shù)，則稱該常數(shù)為函數(shù)的極限。2不存在極限當(dāng)自變量趨于某個值時，函數(shù)值無限接近不同的常數(shù)，或函數(shù)值無限增大或減小，則函數(shù)極限不存在。3極限的應(yīng)用函數(shù)的極限是微積分的基礎(chǔ)概念，用于研究函數(shù)的性質(zhì)，例如連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、積分等。函數(shù)的連續(xù)性定義函數(shù)在某一點連續(xù)是指該點處的函數(shù)值等于該點處的極限值。如果一個函數(shù)在某一點不滿足連續(xù)性定義，則稱為該點不連續(xù)。重要性連續(xù)性是微積分中重要的概念之一。連續(xù)函數(shù)是可微的，這意味著可以求出其導(dǎo)數(shù)。連續(xù)函數(shù)在物理學(xué)、工程學(xué)和經(jīng)濟學(xué)中有很多應(yīng)用。分類函數(shù)的連續(xù)性可以分為多種類型，例如，在某一點連續(xù)、在區(qū)間上連續(xù)、一致連續(xù)等。不同類型的連續(xù)性反映了函數(shù)在不同情況下的性質(zhì)。間斷點的分類可去間斷點函數(shù)在該點存在極限，但函數(shù)值不存在或不等于極限值。圖像上表現(xiàn)為一個空心點。跳躍間斷點函數(shù)在該點左右極限存在但不相等。圖像上表現(xiàn)為一個跳躍。無窮間斷點函數(shù)在該點左右極限至少有一個為無窮大。圖像上表現(xiàn)為一條垂直漸近線。函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)遞增函數(shù)在定義域內(nèi)，隨著自變量的增大，函數(shù)值也隨之增大，則稱該函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)。單調(diào)遞減函數(shù)在定義域內(nèi)，隨著自變量的增大，函數(shù)值隨之減小，則稱該函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)。判斷方法通過函數(shù)導(dǎo)數(shù)的符號來判斷函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)大于零表示函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)數(shù)小于零表示函數(shù)單調(diào)遞減。應(yīng)用單調(diào)性是研究函數(shù)的重要性質(zhì)之一，可以幫助我們確定函數(shù)的極值、最值、拐點等。函數(shù)的最大值和最小值1定義函數(shù)在定義域內(nèi)取得的最大值和最小值分別稱為函數(shù)的最大值和最小值。2求法可以通過求導(dǎo)數(shù)、閉區(qū)間上的最值定理等方法求解函數(shù)的最大值和最小值。3應(yīng)用函數(shù)的最大值和最小值在實際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，例如優(yōu)化問題、極值問題等。4重要性函數(shù)的最大值和最小值是函數(shù)的重要性質(zhì)，可以幫助我們理解函數(shù)的性質(zhì)和變化規(guī)律。函數(shù)的周期性周期函數(shù)函數(shù)的周期性指的是函數(shù)在一定區(qū)間內(nèi)重復(fù)出現(xiàn)相同形狀的現(xiàn)象。周期函數(shù)的周期是指函數(shù)重復(fù)出現(xiàn)的最小區(qū)間長度。周期性與周期周期函數(shù)通?？梢杂萌呛瘮?shù)來表示，而三角函數(shù)本身就是周期函數(shù)。函數(shù)的奇偶性奇函數(shù)對于定義域內(nèi)任意x，都有f(-x)=-f(x)的函數(shù)稱為奇函數(shù)。奇函數(shù)關(guān)于原點對稱。偶函數(shù)對于定義域內(nèi)任意x，都有f(-x)=f(x)的函數(shù)稱為偶函數(shù)。偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱。函數(shù)的對稱性軸對稱函數(shù)圖像關(guān)于某條直線對稱，這條直線稱為對稱軸。例如，y=x^2的圖像關(guān)于y軸對稱。中心對稱函數(shù)圖像關(guān)于某一點對稱，這個點稱為對稱中心。例如，y=sin(x)的圖像關(guān)于原點對稱。周期性函數(shù)圖像在一定范圍內(nèi)重復(fù)出現(xiàn)，這個范圍稱為周期。例如，y=sin(x)的周期為2π。函數(shù)的漸近線水平漸近線當(dāng)自變量趨于正負(fù)無窮時，函數(shù)值無限接近于一個常數(shù)，該常數(shù)即為水平漸近線的方程。垂直漸近線當(dāng)自變量趨近于某個值時，函數(shù)值無限增大或無限減小，該值為垂直漸近線的方程。斜漸近線當(dāng)自變量趨于正負(fù)無窮時，函數(shù)值與一個一次函數(shù)的差值無限接近于零，該一次函數(shù)即為斜漸近線的方程。函數(shù)的微分導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)是函數(shù)變化率的度量，表示函數(shù)在某一點處的斜率。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)在物理學(xué)、工程學(xué)和經(jīng)濟學(xué)中有很多應(yīng)用，例如求解速度、加速度和利潤最大化問題。微分公式微分公式提供了計算導(dǎo)數(shù)的規(guī)則，例如求多項式函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。微分的應(yīng)用微分可以用來近似計算函數(shù)的值，求解函數(shù)的極值，以及研究函數(shù)的圖形。函數(shù)的積分1積分的概念積分是微分的逆運算，用來求函數(shù)的原函數(shù)，表示函數(shù)曲線與坐標(biāo)軸之間所圍成的面積。積分是一個累加的過程，是對無窮多個微小量進行求和。2積分的分類積分分為定積分和不定積分。不定積分是指求一個函數(shù)的所有原函數(shù)，而定積分是指求函數(shù)在某一區(qū)間上的積分值，代表函數(shù)曲線與坐標(biāo)軸之間所圍成的面積。3積分的應(yīng)用積分在科學(xué)和工程領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，例如計算面積、體積、質(zhì)量、重心等。積分也是理解和解決微分方程的關(guān)鍵工具。4積分的性質(zhì)積分具有線性性質(zhì)，即積分的和等于各部分積分之和。積分也具有可加性，即在兩個區(qū)間上的積分等于分別在兩個區(qū)間上的積分之和。基本積分公式常見基本積分公式基本積分公式是微積分中最重要的公式之一，它可以幫助我們求解各種積分問題。它定義了某些基本函數(shù)的積分形式，可以通過簡單的代換來進行計算。常數(shù)函數(shù)的積分：∫Cdx=Cx+C冪函數(shù)的積分：∫x^ndx=(x^(n+1))/(n+1)+C(n≠-1)指數(shù)函數(shù)的積分：∫e^xdx=e^x+C三角函數(shù)的積分三角函數(shù)的積分公式可以通過三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)關(guān)系進行推導(dǎo)，例如，正弦函數(shù)的積分公式：∫sinxdx=-cosx+C∫sinxdx=-cosx+C∫cosxdx=sinx+C∫tanxdx=ln|secx|+C不定積分的性質(zhì)線性性不定積分運算滿足線性性質(zhì)，即常數(shù)倍和加減運算可以分別作用于被積函數(shù)。積分常數(shù)不定積分運算結(jié)果中包含一個任意常數(shù)，稱為積分常數(shù)，體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)的唯一性。微積分基本定理不定積分與導(dǎo)數(shù)運算互為逆運算，體現(xiàn)了微積分的統(tǒng)一性與聯(lián)系。重要公式一些基本函數(shù)的不定積分有相應(yīng)的公式，例如常見函數(shù)的積分公式。定積分的概念與性質(zhì)1定義定積分是用來計算函數(shù)曲線下方區(qū)域的面積的。2性質(zhì)定