四川省雅安市2023-2024學年高二下學期開學聯(lián)考 數(shù)學試題

數(shù)學開學考試卷注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內容：人教A版必修第二冊第8，9，10章，選擇性必修第一冊．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．直線的傾斜角為（）A． B． C． D．2．雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．33．拋物線的準線方程為（）A． B． C． D．4．一組數(shù)據(jù)3，5，6，8，12，10，則該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為（）A．6 B．8 C．9 D．75．點關于直線對稱的點的坐標為（）A． B． C． D．6．經(jīng)過橢圓的左焦點的直線交橢圓于兩點，是橢圓的右焦點，則的周長為（）A．24 B．12 C．36 D．487．一圓臺上、下底面的直徑分別為4，12，高為10，則該圓臺的側面積為（）A． B． C． D．8．某學校開展關于“飲食民俗”的選修課程，課程內容分為日常食俗，節(jié)日食俗，祭祀食俗，待客食俗，特殊食俗，快速食俗6個模塊，甲、乙兩名學生準備從中各選擇2個模塊學習，則甲、乙選修的模塊中至少有1個模塊相同的概率為（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知橢圓，則（）A．橢圓的長軸長為 B．橢圓的焦距為12C．橢圓的短半軸長為 D．橢圓的離心率為10．2023年春節(jié)影市非?；鸨渲杏腥侩娪捌狈坎粩嗨⑿乱酝涗?，為了解某校3000名學生（其中高一1200人，高二1000人，高三800人）的觀影情況，按年級采用分層抽樣的方式隨機調查了300名在校學生，看過這三部電影的學生共有240人，其中高一100人，高二80人，高三60人，據(jù)統(tǒng)計觀看過這二部電影的學生對這三部電影的綜合評分的平均數(shù)和方差如下：高一高二高三平均數(shù)987方差321則下列說法正確的是（）A．抽取的300名學生中高三學生有80人B．估計該校高一學生觀看這三部電影的概率為C．估計該校學生對這三部電影的綜合評分的平均數(shù)為8D．該校高三學生對這三部電影的綜合評分波動最小11．已知圓，直線，則下列選項正確的是（）A．直線恒過定點B．直線與圓可能相切C．直線被圓截得的弦長的最小值為4D．當時，圓上到直線距離為2的點恰有三個三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．一圓柱側面展開圖是邊長為8的正方形，則該圓柱的體積為______．13．已知，則在方向上的投影向量的模為______．14．在三棱錐中，和是邊長為2的正三角形，且平面平面，是棱上一點，點是三棱錐外接球上一動點，當?shù)闹荛L最小時，的最小值為______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知直線，直線．（1）若，求實數(shù)的值；（2）若，求實數(shù)的值．16．（15分）設拋物線的焦點為是拋物線上的點，且．（1）求拋物線的方程；（2）已知直線交拋物線于兩點，且的中點為，求直線的方程．17．（15分）鎮(zhèn)安大板栗又稱中國甘栗、東方珍珠，以味道甜脆，甘美可口，老幼皆宜，營養(yǎng)豐富而著稱于世．現(xiàn)從某板栗園里隨機抽取部分板栗進行稱重（單位：克），將得到的數(shù)據(jù)按分成五組，繪制的頻率分布直方圖如圖所示．（1）請估計該板栗園的板栗質量的中位數(shù)；（2）現(xiàn)采用分層抽樣的方法從質量在和內的板栗中抽取5顆，再從這5顆板栗中隨機抽取2顆，求抽取到的2顆板栗中至少有1顆的質量在內的概率．18．（17分）如圖，在四棱臺中，底面是菱形，，平面．（1）求三棱錐的體積；（2）求平面與平面夾角的余弦值．19．（17分）已知焦點在軸上的等軸雙曲線的左、右頂點分別為，且到的漸近線的距離為，直線與雙曲線的左、右支分別交于點（異于點）．（1）當時，證明：以為直徑的圓經(jīng)過兩點．（2）設直線的斜率分別為，若點在雙曲線上，證明為定值，并求出該定值．數(shù)學開學考試卷參考答案1．A直線的斜率為，所以其傾斜角為．2．B雙曲線的標準方程為．因為，所以，所以離心率為．3．C拋物線的標準方程為，所以其準線方程為．4．B因為，所以該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為8．5．D設所求對稱點的坐標為，則解得6．A因為，所以的周長為24．7．D將圓臺補形為圓錐，可得圓錐的底面半徑為6．因為圓臺的高為10，所以圓錐的高為15，母線長為，則該圓臺的側面積為．8．C記6個模塊分別為，則甲從中選擇2個共有，種不同的選擇，而甲每種的選擇中乙與甲都不同有6種，所以甲、乙各選2個共有種不同選擇，而甲、乙選擇都不同有種不同選擇，所以甲、乙選修的模塊中至少有1個相同的概率．9．AD因為，且橢圓的焦點在軸上，所以橢圓的長軸長為，焦距為，短半軸長為，離心率．10．AD因為3000人中抽取300人，所以按抽取，所以抽取的300人中高三有80人，故A正確；因為抽取的高一學生人數(shù)為120，其中觀看這三部電影的有100人，所以觀看這三部電影的頻率為，所以估計該校高一學生觀看這三部電影的概率為，故B錯誤；因為觀看這三部電影的學生共240人，其中高一100人，高二80人，高三60人，設高一、高二、高三學生對這三部電影的綜合評分的平均數(shù)分別為，方差分別為，則，所以該校學生對這三部電影的綜合評分的平均數(shù)，故C錯誤；因為該校高三學生對這三部電影的綜合評分的方差最小，所以D正確．11．ACD直線的方程整理可得，由，得即直線恒過定點，故A正確．因為點在圓內部，所以直線與圓不可能相切，故B不正確．設點為，當時，直線被圓截得的弦長最?。驗?，所以直線被圓截得的弦長的最小值為，故C正確．圓心，半徑為3，當時，直線的方程為．因為圓心到直線的距離為，所以圓上到直線距離為2的點恰有三個，故D正確．12．設該圓柱的底面半徑為，則，所以，故該圓柱的體積為．13．因為，所以，所以在方向上的投影向量的模為．14．如圖1，當為的中點時，的周長最?。藭r，且．三棱錐的外接球為圖2中右側長方體的外接球，因為該長方體的長寬高分別為，所以外接球的半徑為．建立空間直角坐標系，可知，則，所以．15．解：（1）因為，所以，整理得，解得或．當時，，重合；當時，，符合題意．故．（2）因為，所以，解得．16．解：（1）因為，所以，故拋物線的方程為．（2）易知直線的斜率存在，設直線的斜率為，則兩式相減得，整理得．因為的中點為，所以，所以直線的方程為，即．17．解：（1）因為，所以該板栗園的板栗質量的中位數(shù)在內．設該板栗園的板栗質量的中位數(shù)為，則，解得，即該板栗園的板栗質量的中位數(shù)約為57.5．（2）由題意可知采用分層抽樣的方法從質量在內的板栗中抽取顆，分別記為；從質量在內的板栗中抽取顆，分別記為．從這5顆板栗中隨機抽取2顆的情況有，共10種，其中符合條件的情況有，共7種，故所求概率．18．解：（1）在直角梯形中，因為，所以連接（圖略）．因為，所以．因為，所以．（2）如圖，以為坐標原點，以的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標系，則，．設平面的法向量為，因為，所以令，得．設平面的法向量為，因為，所以令，得．因為，所以平面與平面夾角的余弦值為．19