初中數(shù)學(xué)經(jīng)典幾何模型

初中數(shù)學(xué)經(jīng)典幾何模型（模型即套路）

幾何問題

初中幾何常見模型解析

A模型一：手拉手模型-全等

<1）等邊三角形

a條件：均為等邊三角形

a結(jié)論：C-NOBD.②LAEB=60°一&OE甘分乙4fo.

a條件：A。1從A"C7J均為等展百用二角形

?結(jié)論：IACMC*RO肛②乙4EB=90°..tOE、j，分乙4ED

（3）任意等眼三角形

DD

?條件：A。'%AOCC均為等腰二角形

a結(jié)論「LACMC?4U8D；②LAEB=乙408.；j,O￡丫分LAED.

A模型三2對魚里惟嬰

（1）全等型-90°

A證明提示：

①作垂直.如圖.證明ACQM-ACEN：

以上三個結(jié)論，?C，（E（不變）：②OE-OD』6OC、③5\小小5℃

此結(jié)論證明方法與前一種情況一致，可自行嘗試.

a結(jié)論，①℃平分乙408]+OE=IOC?cosa,③§甌￡=§92+S&OCE="ina.cosa

A當(dāng)￡℃E的一邊交力。的延長線丁點。時（如右上圖）；

原結(jié)論變成：①__________________________________3

③_________________________

O請思考初始條件的變化對模型的影響.

...結(jié)論③得證

A對角互撲模型總結(jié)，

①常見初始條件：四邊形對向互補，

注意兩點：四點共胭及宜用二用形斜邊中線：

②'釗始條件“角平分線”U“兩邊相等”的區(qū)別:

③兩種意見的輔助線作法：

可注意卜圖小℃平分4/JO8時,LCDE-LCED-LCOA-4CO相等是如何推導(dǎo)的？

?模型四：角含半角模型90,

（1）角含半物模型90°-1

?條件：①正方形"CD：②4右"=45"；

?結(jié)論，［EF-0尸+8￡：々ACE廣的代長為］1：方形X8C/5周長的一半:

也可以這樣：

a條件：”d：方后48CD：⑵EF?0F+8E

a結(jié)論，國…5°

>條件一U1E方彬X8S：②4EXF-45,

a結(jié)論：EF-DF-BE

?輔助線如下圖所示，

<3）角含半角模型90*-3

條件，①RT&4BC*②乙D.4E=4S\

結(jié)論，BD^CE^-DE1

若LDAE旋找到MBC外部時，結(jié)論8”，+/仍然成立.

（2）倍長中線類模型-2

a條件：0平行四邊形XBCC；oBC-2AB.AM-DM,4,CE1JD.

》結(jié)論8人EMD-3ZJW￡4

輔助線：布平忖.西〃CP,有中點

建長EA/?構(gòu)造?連接CM構(gòu)

遣等腰^EAfC.&UCF

通過構(gòu)造8字￡孑葩段敦世及但工夫系?痢的大

小樣化

a模型六：相似三角形360°旋轉(zhuǎn)模型

（1）相似三角形（等腰直角）360°旋轉(zhuǎn)模型-倍長中線法

輔助班:些長D尸到點G,?FG-DF.連

MCG,BG、BD證明WX,為等樓面南

突At點；&W9MBG

^點：法明NZUD-4CG

a條件：?MDE、&4伙’均為等腰內(nèi)角二角形；？/『?（'"

》結(jié)論：i0產(chǎn)-B/7：②/）尸J.8尸

（1）相似三角形（等展宜用）360-旋轉(zhuǎn)模型斗卜全法

a條件：Q2DE、&4BC均為等腰11第二角形；￡EF=CF；

a結(jié)論：1加7-8尸；②。“,BF

輔助線：構(gòu)造等腰直角AJEG、SAHC

輔助線思路：將。尸與8F轉(zhuǎn)化到CG與EH

(2)任意相似宜角三角形360°旋轉(zhuǎn)模型-補全法

A條件：！^OAB^ODC2^OAB=LODC=90"府/E=CE.

a結(jié)論：?-DE；⑵乙"0-2LABO

輔財線■:坦長艮d到點G?使.出三妗,延長

CD好點.H便DH=CD,林全ACXiB?

OCH均造就轉(zhuǎn)根筌.轉(zhuǎn)化AE局DE累CG

5RH.乖點在勢化NJED

(2)任意相似宜角三角形360,旋轉(zhuǎn)模型■倍長法

a條件：?M)ABSA()DC.②L.OAB=L.ODC=90°,aBE=CE.

a結(jié)論：i.4E=/)Ei②乙=2乙480

輔助線：廷長QE至M，使ME-Z2￡.將紂

論的兩個條件紂，匕為證明此

為用點,將\A^fL^^ABC推精抑化為證明

2,利懷AOr^使陽兩邊應(yīng)比1L夫同等

此處端點在證明/jR”=Nja>

A?S/'+g/Pift餞

Ha:點/'握打蛇，*K

J為屈A作.收點〃作

嬉論：。4*1***4優(yōu),45V.itAP停

ry，，，.*R.FV--；JP.iiAl?nM'PQ±AC.帽化小?；力P?rt.*.B作AC

冷叁蛾與＜產(chǎn)的要點為所求（叁我W如）“鑫及A4r的史也為秋衣

PB^—PA

a問題，"為何值時,5最小

oc、sinL.OAC———

a求解方法,①X軸」JRC(2,0),使5.②過8作8AJ.4C,交J'軸1-點￡,即為所求:

tanLEBO-tanLOAC--_...

③2.mE(OA.l).

"仲；OJ-4,<oc“熠）**：（l：aiaat-4.<?r-2

￥?：①&AMW.N詠"U1

⑵OB電總OIt早南向360：M②以&tJon,<X'與f3你?

?OC-2；0；Q4-1i④上「專取'上動原

③七產(chǎn)?四園*忸+國“內(nèi)哪（金邊M）-A

R4:的羹大值.it小值分M力多少？（可與嗚丸克合）：飾VJZW擅卡"殘制

M注2以點。力?心.。3今本僮仲■.加由M<：答/H的**值為iu.時or-6

結(jié)論：〃4=1+?4

去AM種改卜值由l,tlOC-3

第京.我可履4?化中"三看彩網(wǎng)迪士勺夫于累三

/M*小0*々朋P/f-l

出.科康之*?小于第三城”?PA約最小值為2.?A/的飄色忍陽W

0<R'S2

at^（JH：改小值；QA-cmX/圖一■的?小K仔#aHHtAAHk

（6）殿短路程模型三（動點在HI上）

國海r

某件：①正方辦ABCD1L邊長為』：

②06的半徑為2:③尸為08上動點

RM:求尸D+（/Y'2）最小值

輔助投：過點￡作EM//IK'.取BE中啟N

身,：以或.O為國心三個圖,OA,OD?<

轉(zhuǎn)化思訪：將PC2轉(zhuǎn)化將ME轉(zhuǎn)化為

OP統(tǒng)點O茂HME.

間卷：點。在什么低JL時，EP+.UB最小MV.因此MD+MN的最小值為DN長度

住助性：造我3?QC.40.D.「三總結(jié)：產(chǎn)C2的比值不看隨京如出的.而靈圈

點具蝶葉.￡尸一八必=2K+pr=pr最小的半徑4BC

A模型八：二倍角模型

8CBC

條性：X4BC-

植勸線,：以8（的垂直牛分稅為紂體觸.作.支

.＜的葉缽層r.連mr?BAI.c.r

射BH為ZABC的麗多分線.

〃么如■4T-B《；f1這個公佗）

牝件精財城的下法是二”南三角■常七的發(fā)財

ry”A之一，但舁不乏f一出人

<2）相似三角形模型-斜交型

斯文型

條件：如左面兩個圍N出）。/五8二90

然論：AExAB?dCxAD

.當(dāng)伴：如右面兩個國NJ〈￡?NJ2R'

結(jié)論：AC^.AEKAB

第四個圖逕存在ABxEC?BCx.M

BC：=RExHA,CE'=BE義AE

（3）相似三角形模型?一線三角型

條件：左用：乙4BC=乙/￡=NCDE=9（r

中國：NJ次-乙限7：?47）”,60

右圍：乙出（=乙ICE=CCDE=45"

體論：所有四彩都存在的結(jié)論

①&4BCs\CDE:②ABxDE-^x（7）

一我三哥南蛾魚也經(jīng)常用表建立方穆立晶依美

系

【應(yīng)用上面模型解決如下問題】

一、第一次月考

1.（中）如圖,在正方形A8CC中.￡為AD中點.A//1.8E干點//.連接（7/并延長交人。戶

點上CCF交A0的延長線上點P.KEf-1.則。P的長為.

【答案】—

3

【況示】八字相似+射影定理

2.（三中）如圖,正方形ABC。的邊長為3,延長C8至點M,假8M-I.連接M.過止8作8N_LAA/.

垂足為M。是對角紋AC、8。的交點.連接OM則ON的長為.

【答案】曰6

【捉小】旋Mr拘「根恒建系

3.（八中）如圖.八:方形ABC。的邊K為6.E玲BCI點.CE-1BE.將△ABE沿A￡折曾得到

△4FE.連接OF.則線段OF的長為.

【祚案】yV5

【揭示】折合特殊結(jié)論＜13鬧i梯構(gòu)成345）/it系

4.（一外）如圖.在邊長為4的正方杉A8c。中.點￡.F分別為A/L8c邊的中點.連結(jié)GC.

/,'DHLGC,曜足為H.MODM-.

【容案】y

【搬小】廢轉(zhuǎn)空翻根巾（弦圖）3系

5.＜育才）如圖，正方形ABC。的邊長為6.點￡在邊A8上,HAE-2BE.過點八作CE的延長線

的垂線AF交C8的延長線j?*H,連接BF.Hi]BF的長為.

【答案】-＞/5

5

【提小】旋轉(zhuǎn)手拉手模型，建系

6.（西大）如圖，在邊長為6/1的正方形A8CD中.E是八8邊I?點，G是A0延長線上點，

8E-DG,連接EG.CF_LEG交EG「點，.交八￡＞丁點、F.連接CE、BH,若BH-8.則FG.

【答案】5應(yīng)

【提示】旋轉(zhuǎn)手拉手帙型十八字相似健系

7.（-中）如圖.等腰Rt2\ABC中.。為斜邊AC的中點,NCA8的平分線分別交8。，BCPE.

F.BPLAFfH.PCLBC.AET,PG-.

【答案】0-1

【提示】旋轉(zhuǎn)之翻模型

8（￡?!＜）如圖.矩形ABCD中.BE平分NABC交AD尸點E.F為BE上一點，連接DF.過F

作FG_LDF交BC于點G.連接BD交FG點H.FD-FG.BF-2JI.BG-3,則FH的長.

【答案】

【提小】等血枳法+八字相似/建系

11（一外）如圖.在△ABC中./ABC-900,AB-1.XC-3.以心、AC為邊向形外作正方形

八80E和正方形ACFG.連接EG.則￡G=.

【答案】20

【提示】卜箝手拉「模型

11（有才）如圖.在正方比八8CD外取?點E,il?AE.BE、CE.過點8作8￡的率線交A￡f

點F.連接CF.?；BE=BF=l,CF=口，則il:方形ABCD的面枳為.

［捽案］5+275

【提示】旋轉(zhuǎn)戶拉F橫型

13.（兩人）如圖.正方杉ABCD的3K為3.延長CB至a.M.使BM-1.連接AM.過點B作

BN工AM,小足為N.。是*"“線AC.BD的交點.連接ON.MION的長為.

【答窠】

【提小】旋轉(zhuǎn)手拉f源儀便祭

?三角形，

圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。

也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系斑

角平分線平行線，等腰三角形來添。

角平分線加垂線，三線合一試試看。

線段垂直平分線，常向兩端把線連。

線段和差及倍半，延長縮短可試驗。

線段和差不等式，移到同一三角去。

三角形中兩中點，連接則成中位線。

三角形中有中線，倍長中線得全等。

?四邊形。

平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點.

梯形問題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)槿腔蚱剿?

平移腰，移對角，兩腰延長作出高。

如果出現(xiàn)腰中點，細(xì)心連上中位線.

上述方法不奏效，過腰中點全等造。

證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣.

等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。

直接證明有困難，等量代換少麻煩.

斜邊上面作高線，比例中頂一大片.

?國形?

半徑與弦長計算，弦心距來中間站。

國上若有一切線，切點國心半徑聯(lián)。

切線長度的計算，勾股定理最方便.

要想證明是切線，半徑垂線仔細(xì)辨,

是直徑，成半國，想成直角徑連弦.

強有中點國心連，垂徑定理要記全。

國周角邊兩條弦，直徑和弦端點連。

弦切角邊切線弦，同弧對角等我完。

要想作個外接國，各邊作出中垂線。

還要作個內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線夢圓。

如果遇到相交國，不要忘作公共弦。

內(nèi)外相切的兩國，經(jīng)過切點公切線。

若是添上連心線，切點肯定在上面.

要作等角添個國,證明題目少困難.

?一.截取構(gòu)全等1

如圖,AB//CD,BE平分zABC,CE平分/BCD,點E在AD上,

求證：BOAB+CD.

分析：在此越中可在長線段BC上截取BF=AB,再證明CF=CD.

從而達(dá)到證明的目的.這里面用到了角平分線來構(gòu)造全等三角

形.另外一個全等自己證明.此題的證明也可以延長BE與CD的延

長線交于一點來證明。自已試一試.

?四、角平分線+半行線?

如圖.AB>AC,z1=z2，求證：AB-AC>BD-CD.

c

分析：AB上取E使AC=AE,通過全等和組成三角形邊邊邊的關(guān)系

W.

由線段和差想到的輔助線

?截長補短法?

AC平分工BAD,CE±AB,目/B+/D=180。，求證：AE=AD+B

E.

分析：過C點作AD垂線，得到全等即可.

由中點想到的軸脅線

?一、中線杷三角形面枳等分?|

如圖,AABC中,AD是中線,延長AD到E,使DE=AD,DF是AD

CE的中線.已知AABCfttl面枳力2點：ACDF帕福枳.

分析：利用中線分等底和同高得面枳關(guān)系。

云、中點聯(lián)中點得中位.

如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD,E、F分別是BC、AD

的中點,BA,CD的延長線分別交EF的延長線G、H.求

證:

zBGE=zCHE0

B￡EC

分析：聯(lián)BD取中點聯(lián)接聯(lián)接，通過中位線得平行傳遞角

度。

?一、倍長過中點得線段

已知，如圖ABC中,AB=5,AC=3,則中線AD的取值

苑園是。

分析：利用倍長中線做。

?二、截長補理?

如圖，在四邊形ABCD中,BC>BA,AD=CD,BD平分

分析：在角上截取相同的線段得到全等。

?三、平移變換?1

如圖，在-ABC的邊上取兩點D.E,SBD=CE，求證：A

B+AC>AD+AE

分析：將-ACE平移使EC與BD重合。

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人人都說幾何難，難就難在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。

還要刻苦加鉆研找出規(guī)律憑經(jīng)驗。圖中有角平分線可向兩邊作垂線。

角平分線平行線等腰三角形來添。角平分線加垂線三線合一試試看。

線段垂直平分線常向兩端把線連。三角形中兩中點連接則成中位線。

三角形中有中線延長中線等中線。平行四邊形出現(xiàn)對稱中心等分點。

梯形里面作高線平移一腰試試看。平行移動對角線補成三角形常見。

證相似，比線段添線平行成習(xí)慣。等積式子比例換尋找線段很關(guān)鍵。

直接證明有困難等量代換少麻煩。斜邊上面作高線比例中項一大片。

半徑與弦長計算弦心距來中間站。圓上若有一切線切點圓心半徑連。

切線長度的計算勾股定理最方便。要想證明是切線半徑垂線仔細(xì)辨。

是直徑，成半圓想成直角徑連弦?；∮兄悬c圓心連垂徑定理要記全。

圓周角邊兩條弦直徑和弦端點連。弦切角邊切線弦同弧對角等找完。

如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過切點公切線。

若是添上連心線，切點肯定在上面。輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。

基本作圖很關(guān)鍵，平時掌握要熟練。解題還要多心眼，經(jīng)?？偨Y(jié)方法顯。

切勿盲目亂添線，方法靈活應(yīng)多變。分析綜合方法選，困難再多也會減。

虛心勤學(xué)加苦練，成績上升成直線。

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小Ixn1044549883

2012-06-02

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人說幾何很困難，難點就在輔助線。

輔助線，如何添？把握定理和概念。

還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗。

圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。

也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。

角平分線平行線，等腰三角形來添。

角平分線加垂線三線合一試試看。

線段垂直平分線常向兩端把線連。

要證線段倍與半延長縮短可試驗。

三角形中兩中點連接則成中位線。

三角形中有中線延長中線等中線。

平行四邊形出現(xiàn)對稱中心等分點。

梯形里面作高線平移一腰試試看。

平行移動對角線補成三角形常見。

證相似，比線段添線平行成習(xí)慣。

等積式子比例換尋找線段很關(guān)鍵。

直接證明有困難等量代換少麻煩。

斜邊上面作高線比例中項一大片。

半徑與弦長計算弦心距來中間站。

圓上若有一切線切點圓心半徑連。

切線長度的計算勾股定理最方便。

要想證明是切線半徑垂線仔細(xì)辨。

是直徑，成半圓想成直角徑連弦。

弧有中點圓心連垂徑定理要記全。

圓周角邊兩條弦直徑和弦端點連。

弦切角邊切線弦同弧對角等找完。

要想作個外接圓，各邊作出中垂線。

還要作個內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線夢圓

如果遇到相交圓不要忘作公共弦。

內(nèi)外相切的兩圓經(jīng)過切點公切線。

若是添上連心線切點肯定在上面。

要作等角添個圓證明題目少困難。

輔助線，是虛線畫圖注意勿改變。

假如圖形較分散對稱旋轉(zhuǎn)去實驗。

基本作圖很關(guān)鍵平時掌握要熟練。

解題還要多心眼經(jīng)?？偨Y(jié)方法顯。

切勿盲目亂添線方法靈活應(yīng)多變。

分析綜合方法選困難再多也會減。

虛心勤學(xué)加苦練成績上升成直線。

幾何證題難不難關(guān)鍵常在輔助線;

知中點、作中線中線處長加倍看;

底角倍半角分線有時也作處長線;

線段和差及倍分延長截取證全等;

公共角、公共邊隱含條件須挖掘;

全等圖形多變換旋轉(zhuǎn)平移加折疊;

中位線、常相連出現(xiàn)平行就好辦;

四邊形、對角線比例相似平行線;

梯形問題好解決平移腰、作高線;

兩腰處長義一點，亦可平移對角線;

正余弦、正余切有了直角就方便;

特殊角、特殊邊作出垂線就解決;

實際問題莫要慌數(shù)學(xué)建模幫你忙；

圓中問題也不難下面我們慢慢談;

弦心距、要垂弦遇到直徑周角連;

切點圓心緊相連切線常把半徑添;

兩圓相切公共線兩圓相交公共弦;

切割線，連結(jié)弦兩圓三圓連心線;

基本圖形要熟練復(fù)雜圖形多分解;

以上規(guī)律屬一般靈活應(yīng)用才方便。

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fw870475183

2012-06-02

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人人都說幾何難難就難在輔助線。輔助線，如何添把握定理和概念。

還要刻苦加鉆研找出規(guī)律憑經(jīng)驗。圖中有角平分線可向兩邊作垂線。

角平分線平行線等腰三角形來添。角平分線加垂線三線合一試試看。

線段垂直平分線常向兩端把線連。三角形中兩中點連接則成中位線。

三角形中有中線延長中線等中線。平行四邊形出現(xiàn)對稱中心等分點。

梯形里面作高線平移一腰試試看。平行移動對角線補成三角形常見。

證相似，比線段添線平行成習(xí)慣。等積式子比例換尋找線段很關(guān)鍵。

直接證明有困難等量代換少麻煩。斜邊上面作高線比例中項一大片。

半徑與弦長計算弦心距來中間站。圓上若有一切線切點圓心半徑連。

切線長度的計算勾股定理最方便。要想證明是切線半徑垂線仔細(xì)辨。

是直徑，成半圓想成直角徑連弦。弧有中點圓心連垂徑定理要記全。

圓周角邊兩條弦直徑和弦端點連。弦切角邊切線弦同弧對角等找完。

如果遇到相交圓不要忘作公共弦。內(nèi)外相切的兩圓經(jīng)過切點公切線。

若是添上連心線切點肯定在上面。輔助線，是虛線畫圖注意勿改變。

基本作圖很關(guān)鍵平時掌握要熟練。解題還要多心眼經(jīng)?？偨Y(jié)方法顯。

切勿盲目亂添線方法靈活應(yīng)多變。分析綜合方法選困難再多也會減。

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2012-06-01

人人都說幾何難難就難在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。

還要刻苦加鉆研找出規(guī)律憑經(jīng)驗。圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。

角平分線平行線等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。

線段垂直平分線常向兩端把線連。三角形中兩中點，連接則成中位線。

三角形中有中線延長中線等中線。平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點。

梯形里面作高線平移一腰試試看。平行移動對角線，補成三角形常見。

證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。

直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線，比例中項一大片。

半徑與弦長計算弦心距來中間站。圓上若有一切線切點圓心半徑連。

切線長度的計算勾股定理最方便。要想證明是切線半徑垂線仔細(xì)辨。

是直徑，成半圓想成直角徑連弦?；∮兄悬c圓心連垂徑定理要記全。

圓周角邊兩條弦直徑和弦端點連。弦切角邊切線弦同弧對角等找完。

如果遇到相交圓不要忘作公共弦。內(nèi)外相切的兩圓經(jīng)過切點公切線。

若是添上連心線切點肯定在上面。輔助線，是虛線畫圖注意勿改變。

基本作圖很關(guān)鍵平時掌握要熟練。解題還要多心眼經(jīng)