2022屆新高考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法

2022屆新高考數(shù)學(xué)沖刺精品復(fù)習(xí)

數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)學(xué)歸納法

一般地,當(dāng)要證明一個命題對于不小于某正整數(shù)N的所有正整數(shù)n都成立時，可以用以下兩個

步驟：

(D證明當(dāng)n=n()時命題成立；

(2)假設(shè)當(dāng)n=k(kGN+，且k>n0)時命題成立,證明n=k+l時命題也成立.

在完成了這兩個步驟后,就可以斷定命題對于不小于n。的所有正整數(shù)都成立.這種證明方法

稱為數(shù)學(xué)歸納法.

一、恒等式問題

例1：1.用數(shù)學(xué)歸納法證明(1-X乂1+X+/+…+x"T)=l-x".

【答案】詳見解析

【解析】

【分析】

由”=1時，等式成立，假設(shè)〃=&(心1,*N*)時，等式成立，再證得鹿=&+1時，等式成立

即可.

【詳解】

證明：(1)當(dāng)九二1時，左邊二l?x,右邊=1■戶左邊，等式成立；

(2)假設(shè)〃=時，等式成立，gp(l-x)(l+x+x2+...+^-')=l-x\

當(dāng)〃=%+］時，(1—x)0+x+x2+,

二(1-X)(l+X+%2+…+x"T)+(l_x)x",

=1—x"+(1—f

=1-尸，

故當(dāng)〃=k+1時，，等式成立，

由(1)(2)可知，原等式對于任意〃成立.

2.已知數(shù)列｛叫滿足4=1,且4--的向+2a,=9(〃eN)

(1)求。2,〃3，04；

（2）由（1）猜想｛a,,｝的通項公式。,；

（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明（2）的結(jié)果.

一.八、71319

【答案】(1)%=§,4=《，?4=y

小、677-5

⑵"""O―T

2/?-1

（3）證明見解析.

【解析】

【分析】

(1)山遞推公式依次計算求解;

(2)由（1）的結(jié)論猜想通項公式;

(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明.

(I)

9eN，

4a向一?A+i+X=(?)

7

6=1,則4c4-出+2=9,a2=—

，714c13

4%----ci-,H-----=9,4=—,

3335

“1326,、19

4a4-ya4+y=9,a4=y；

⑵

由（1）猜想4=誓!

277-1

(3)

證明：（i）n=l,命題成立,

6k-5

（ii）假設(shè)幾=女時命題成立，即為=2J，

6A:—52(6%—5)6A+16(^+1)—5

則〃=八1時，由4%-口加+=9,解得％=罰=年1k，命題成立,

2k-\

6n-5

綜上，時，命題成立，即?！?

2/7-1

舉一反三

1.如圖，6（%，%）、2（孫必）、L、匕（冷穌）（0〈*<%<…<%）是曲線C：y2=3x（y*0）

上的〃個點，點A（%0）（i=l,2,3,…,〃）在》軸的正半軸上，且△ATAI是正三角形（4是坐

標(biāo)原點）.

(1)寫出為、%、%;

(2)猜想點4(%,OgeN")的橫坐標(biāo)a,關(guān)于〃的表達式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

【答案】(1)4=2,%=6,《=12；(2)猜想：an=n(/i+l)(neN"),證明見解析.

【解析】

【分析】

⑴推導(dǎo)出(%-。,1丫=2(a“_1,結(jié)合4的值，可求得％、%、%的值;

(2)結(jié)合%、%、出的值可猜想得出a”=〃(〃+D(〃eN*),然后利用數(shù)學(xué)歸納法結(jié)合

(a”-%)。=2(a,z+aJ("eN")可證得猜想成立.

【詳解】

(1)設(shè)4=0,則依題意，可得%=也受，巨，

代入/=3x,得".號可=|(*+a,

即(4-%『=2(。,I+an)(neN"),

所以4=2,%=6,4=12.

(2)由⑴可猜想:a?=n(n+l)(neN*).

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

(i)當(dāng)”=1時，猜想顯然成立；

(ii)假設(shè)當(dāng)〃=%時猜想成立，即有4=%(%+1),

則當(dāng)〃=%+1時，由(am-=2(4+J得[/一&(上+1)丁=2僅僅+1)+%],

即吭-2伏2+k+1)%+伙(八3[(&+1)任+2)]=0,

解得%=(左+1)(4+2)(%=/伏一1)<《不符合題意，舍去),

即當(dāng)"=4+1時，猜想成立.

由(i)(ii)知猜想成立，即4=〃(〃+l)(〃wN").

不等式問題

例2：1.用數(shù)學(xué)歸納法證明l+/+g+…+￡&g+〃(〃eN*).

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

按數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟直接證明即可.

【詳解】

13

(1)當(dāng)〃=1時，左邊=1+]=2=右邊，

即當(dāng)〃=1時，原不等式成立，

⑵假設(shè)當(dāng)"Y(k￡N*)時，原不等式成立，

即1+;+:+…+:=3+七

則當(dāng)n=k+1時，

[+!+-—rH—;1—;---1-…H—;T<!+(+2*■-T=3+伏+1)，

232*2*+12,+22*4-2*22*2

即當(dāng)〃=%+1時，不等式成立，

綜合⑴和(2)得，原不等式對所有的“WN*都成立.

2.己知等差數(shù)列何｝的前n項和為5,，等比數(shù)列出｝的前〃項和為T.，且q=4=2,仇=

T3=S4.

(1)求u?,b“；

111c222

⑵己知匕n=二+二+…+「，Qn=—+——+…+-----,試比較匕,，?！暗拇笮?

ab2bnata2a2a34A+i

【答案】⑴《="+1,2=2"；

(2)P?>Q?.

【解析】

【分析】

(1)設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差，等比數(shù)列｛〃｝的公比，由已知列式計算得解.

(2)由(1)的結(jié)論，用等比數(shù)列前〃項和公式求出匕，用裂項相消法求出再比較大小作答.

⑴

2q2=2+f>d

設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為"，等比數(shù)列｛a｝的公比為4,依題意,

2+2q+2q'=8+6d

/=1+3d

整理得：<解得d=l,q=2,

q+q2=3+3d

所以%="+l,hn=2".

⑵

111i.；(1一51

由⑴知，7=市，數(shù)列｛7｝是首項為公比為3的等比數(shù)列，則6=2~=

~2

4a〃+](〃+1)(〃+2)〃+1n+2'

八1、/I1、/1、11、】“I1、12

Q=2[(---)+(---)+(---)+???+(z-----)]=2(------)=1------,則

tl233445〃+1〃+22雇+2n+2

Pn-Qn=^-—j

-+12'

2

用數(shù)學(xué)歸納法證明+〃wN*,

2

3

①當(dāng)〃=1時，左邊=2,右邊=：，左邊〉右邊，即原不等式成立，

②假設(shè)當(dāng)"=時，不等式成立，即2*>g+l,

則2”1>2伶+1]=+1+^~1>“J+1,即〃=4+1時，原不等式成立,

VI

綜合①②知，VnGN*,2">]+1成立，

因此，勺"0"=刀二一的>°,即B>Q“，

--1-1

2

所以右>?！?

舉一反三

1.已知數(shù)列｛%｝滿足4=g，.

⑴求。2，。3，。,；

⑵若包=麻二-%，且數(shù)列也｝的前〃項和為5.，求證：5?<1.

23n

【答案】⑴％=y*4，=商

（2）證明見解析

【解析】

【分析】

（1）先求得的，%，猜想4=」，然后利用數(shù)學(xué)歸納法進行證明.

n+l

（2）利用放縮法證得結(jié)論成立.

⑴

依題意q=—^，?/°，

2〃+2

12

/,4=產(chǎn)生=§，

213

=/=%="

猜想見=3,下面用數(shù)學(xué)歸納法進行證明：

當(dāng)“=1,2,3時，結(jié)論成立，

假設(shè)當(dāng)〃=々時結(jié)論成立，即q=上，

k+1

〃K,

n+2k+2

k1k4+lk+1

a,,..=-----------=----------=-----，

k+2akk+2kk+2

k+1

所以當(dāng)〃=Z+1時，有%i=（后+:+］，結(jié)論成立,

所以>PlnGN"時，％=——.

n+\

⑵

1

由（1）得4=——>0,且4=二7為單調(diào)遞增數(shù)列,

/?+11+一

n

所以/=?（向?一阮）=2^,（>/^1一瘋）

〈區(qū)盧（H:3號.

所以5.西+4+…+2〈當(dāng)幺+寧+.??+巴口

H+1172+2-1111

=a向f=〃+2=」一^7?=1_]<1.

222242（〃+2）4

2.已知函數(shù)〃制=以-1/的最大值不大于!，且當(dāng)xe1,口時，/（x）>l

261_4，」o

（1）求a的值；

（2）設(shè)。<4<<，""+1=/（。"），neN*>證明0<a“<—].

【答案】（1）a=l；（2）證明見解析.

【解析】

【分析】

⑴利用二次函數(shù)的性質(zhì)，可得〃之「嗎）4,轉(zhuǎn)化當(dāng)xe號時,

1

>,結(jié)合〃的范圍可得/（力向小/6），求解即可.

-8-

（2）利用數(shù)學(xué)歸納法，按照步驟證明即可.

【詳解】

4.

(1)由題意，^0/(x)=ax——x2=

乂?。┟?所以/（撲V

所以即T4a41.

又函數(shù)〃力圖象的對稱軸為x=],月.-4三4：，

所以當(dāng)時，=

所以解得心1,

2oo

所以a=l.

（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)”=1時，0<a,<p顯然原不等式成立.

因為當(dāng)時，0</（x）<l,

所以0<%.

故當(dāng)〃=2時，原不等式也成立.

②假設(shè)當(dāng)n=k（k>2,ZeN"）時，不等式0<4<上成立.

由（1）知/⑺*#,其圖象的對稱軸為宜線X=；,

所以當(dāng)xe（o,g時，/（X）為增函數(shù).

所以由,得°</（4）</（總］）.

工日C"'13rl丫111：+4:1

T-^,0<^1=/（?J<-J+_____=__-2^+i）2（^2）k+2,

所以當(dāng)〃=上+1時，原不等式也成立.

根據(jù)①②，知對任何〃熱，不等式成立.

鞏固提升

一、單選題

1.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+<+:+…+不二時，第一步應(yīng)驗證不等式（）

232-1

A.1+—<2B.1H1—<2

223

C.1+-+-<3D.1+-+-+-<3

23234

【答案】B

【解析】

【分析】

取〃=2即可得到第一步應(yīng)驗證不等式.

【詳解】

由題意得，當(dāng)〃=2時，不等式為l+；+g<2.

故選：B.

2.用數(shù)學(xué)歸納法證明"」7+—二+…+的過程中，從〃=%（%€憶）到〃=4+1時，

n+\n+23n6

不等式的左邊增加了（)

A.-------B.--------1-----------

3Z+13&+13A+23Z+3

1^111

C.-------D.--------1------1-----

3k+33A+13攵+23k+3

【答案】B

【解析】

【分析】

依題意，由〃=上伏€乂）遞推到“=^+l（ZeNj時，不等式左邊為

11111

力+…+正+E+w+F不，與,=&時不等式的左邊作差比較即可得到答案?

K十N3KDK十13K十/J）IAt11I

【詳解】

用數(shù)學(xué)歸納法證明等式一1+—二+…+乙2?的過程中，

72+1〃+23no

假設(shè)”=%仕€乂）時不等式成立，左邊擊+力+…+全，

11111

則當(dāng)〃=%+1時,左邊布+…+泰+而+至百+啊,

???從〃=%（%￡乂）至lJ〃=R+l時，不等式的左邊增加了

--1--1---1--1----1----1---=-1---1-----2------

3A+13k+23優(yōu)+1）k+\3k+l3k+23%+3，

故選:B.

3.用數(shù)學(xué)歸納法證明匕1>3_對任意”2女，（?,ZwN）的自然數(shù)都成立，則女的最

3〃+13〃+1

小值為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】

分別令〃=1,2,3,4代入不等式驗證，即可解出.

【詳解】

3〃一12_j_3n313

當(dāng)?shù)?1時,-<-，不等式不成立;

3〃+14-23〃+1-"

3"-1843n646

當(dāng)〃=2時,-------=——,——<——不等式不成立;

3"+1105371+1757

3n-l26133/29139

當(dāng)“=3時,-------——,—>—,不等式成立:

3"+1-28-143〃+1101410

3"-180403n124012

當(dāng)〃=4時,----——，—>—,不等式成立,

3M+1-82-4?3〃+1134113

所以滿足題意的女的最小值為3.

故選：C.

4.用數(shù)學(xué)歸納法證明—1+3—5+…1)=(-1)“〃(〃￡%*)時，若記

/(〃)=—1+3-5+…+(-1)"(2〃一1),則()

A.(-l)*+lkB.(-1)*'(4+1)C.(-1)*"(2%)D.(一1)*'儂+1)

【答案】D

【解析】

【分析】

利用數(shù)學(xué)歸納法求解.

【詳解】

因為〃%)=_1+3_5+...+(_葉(21),

/()l+l)=-l+3-5+..?+(-!)*(2A:-l)+(-l/+'(2jt+l),

所以〃"1)_/㈤=(-1廣(2%+1),

故選：D

5.用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于/5)=(〃+1)(〃+2)…(〃+”)的命題時，f(k+l)=f(k)x

，4為正整數(shù)，則空格處應(yīng)填()

A.2EB,四二+2)c.如里D.”起

%+1A+1上+1

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)已知條件，寫出〃=4時/(Q的表達式及〃=%+1時/(%+1)的表達式即可求解.

【詳解】

解：因為時,/"(：)=伏+1)(%+2)…(1+A),

〃=%+1,f(k+1)=(&+1+1)(k+1+2)...+1+%—1)(A+1+k)(k+1+左+1),

所以從〃=%到〃=%+1時，/a+D=f（k）x"+1+?！?舊）=/WX（2A+：）（2：+2）,

女+1k+\

故選：B.

6.用數(shù)學(xué)歸納法證明：對于任意正偶數(shù)〃均有

］一<+…=++…,在驗證“=2正確后，歸納假設(shè)應(yīng)寫

234n-1n\n+2〃+4In）

成（）

A.假設(shè)〃=M%eN*）時命題成立

B.假設(shè)〃2%（左€4）時命題成立

C.假設(shè)"=2A（&eN*）時命題成立

D.彳限設(shè)"=2仕+1乂々€^^*）時命題成立

【答案】C

【解析】

【分析】

依題意根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證明判斷即可；

【詳解】

解：因為要證明的是對任意正偶數(shù)〃均有等式成立，所以在驗證〃=2正確后，

歸納假設(shè)應(yīng)寫成：假設(shè)〃=2&（%61<）時命題成立.

故選：C.

二、多選題

7.對于不等式J〃2+2〃<〃+2（+eN"）,某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法證明的過程如下：

①當(dāng)”=1時，JF+2<1+2,不等式成立；

②假設(shè)當(dāng)N'）時，不等式成立，即“2+2&<4+2,

則當(dāng)〃=4+1時，++2（&+1）=J%?+4Z+3

<J（/+4k+3）+（2&+6）=41+3）2=（%+］）+2.

故當(dāng)九=4+1時,不等式成立.

則下列說法錯誤的是（)

A.過程全部正確B.〃=1的驗證不正確

C.”=&的歸納假設(shè)不正確D.從〃=%至1）“=%+1的推理不正確

【答案】ABC

【解析】

【分析】

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證明的基本過程可得出結(jié)論.

【詳解】

在〃=左+1時，沒有應(yīng)用〃=4時的假設(shè)，即從〃=4到"=4+1的推理不正確.

故選：ABC.

8.一個與正整數(shù)”有關(guān)的命題，當(dāng)〃=2時命題成立，且由〃=&時命題成立可以推得〃=k+2

時命題也成立，則下列說法正確的是（）

A.該命題對于〃=6時命題成立

B.該命題對于所有的正偶數(shù)都成立

C.該命題何時成立與欠取值無關(guān)

D.以上答案都不對

【答案】AB

【解析】

【分析】

利用數(shù)學(xué)歸納法原理可判斷各選項的正誤.

【詳解】

命題對于〃=左依eN*）時成立，那么它對于n=k+2也成立，

若當(dāng)〃=2時命題成立，則對〃=4時命題成立，從而對〃=6時命題成立，

假設(shè)當(dāng)”=2m（帆eN*）時命題成立，則當(dāng)〃=2加+2時命題也成立，

因此，該命題對于所有的正偶數(shù)都成立，當(dāng)〃為奇數(shù)時，無法確定該命題的真假.

故選：AB.

三、填空題

1_zi+2

9.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式：1+。+/+…+優(yōu)“=與匚（?1,”。*）,驗證”=1時，等式左邊

\-a

【答案】1+a+a2

【解析】

【分析】

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟即可解答.

【詳解】

1.?+2

用數(shù)學(xué)歸納法證明等式：1+。+々2+...+4用=?z—

驗證"=1時，等式左邊=1+4+/.

故答案為：1+〃+/.

10.對任意"WN*3%+2+//*/都能被14整除，則最小的自然數(shù)〃=.

【答案】5

【解析】

【分析】

當(dāng)"=1時，求出。=3或5,再由當(dāng)。=3月.”=2時，不能被14整除，即可得出答案.

【詳解】

當(dāng)”=1時，36+/能被14整除的數(shù)為。=3或5；

當(dāng)。=3且”=2時，3")+35不能被14整除，故a=5.

故答案為：5

四、解答題

11.己知數(shù)列｛""｝的前〃項和S“=

(1)計算M02,03,04；

(2)猜想an的表達式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.

【答案】(Dq=[a2=1,的=]，

2o12ZU

1

(2)%=而而，證明見解析

【解析】

【分析】

(1)由S.=1-陷,(〃wN*)代值即可求解；

(2)猜想見=舟可，由數(shù)學(xué)歸納法的步驟證明即可

⑴

由S,=1-〃a“(〃wN*)得，

4=E=l-q,解得q=g；

山S,=q+〃，=1-2”，，解得出=!；

由53=4+4+43=1-30,,解得％='；

由S’=q+4+%+4=1-4%,解得了=了;

所以計算得/=:，%=，%==;

261220

(2)

猜想""=下短