高考數(shù)學(xué)考前30天回歸課本知識(shí)技法精細(xì)過(guò)（5）：平面向量

考數(shù)學(xué)考前30天回歸課本知識(shí)技法精細(xì)過(guò)（五）第一節(jié)平面向量的概念及其線性運(yùn)算一、必記3個(gè)知識(shí)點(diǎn)1．向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有①________又有②________的量；向量的大小叫做向量的③________(或④________)平面向量是自由向量零向量長(zhǎng)度為⑤________的向量；其方向是任意的記作⑥________單位向量長(zhǎng)度等于⑦_(dá)_______的向量非零向量a的單位向量為±eq\f(a,|a|)平行向量方向⑧__________或⑨________的非零向量共線向量eq\o(○,\s\up1(10))________________的向量又叫做共線向量0與任一向量?________或共線相等向量長(zhǎng)度?________且方向?________的向量相反向量長(zhǎng)度?________且方向?________的向量0的相反向量為02.向量的表示方法(1)字母表示法：如a，eq\o(AB,\s\up6(→))等．(2)幾何表示法：用一條?____________表示向量．3．向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算?____________法則?______________法則(1)交換律：a＋b＝?____________.(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝?________________.減法求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算叫做a與b的差eq\o(○,\s\up1(21))____________法則a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算(1)|λa|＝eq\o(○,\s\up1(22))________.(2)當(dāng)λ＞0時(shí)，λa與a的方向eq\o(○,\s\up1(23))______；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa與a的方向eq\o(○,\s\up1(24))________；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝eq\o(○,\s\up1(25))________λ(μa)＝eq\o(○,\s\up1(26))______________；(λ＋μ)a＝eq\o(○,\s\up1(27))________________；λ(a＋b)＝eq\o(○,\s\up1(28))________________.二、必明3個(gè)易誤點(diǎn)1．作兩個(gè)向量的差時(shí)，要注意向量的方向是指向被減向量的終點(diǎn)．2．在向量共線的充要條件中易忽視“a≠0”，否則λ可能不存在，也可能有無(wú)數(shù)個(gè)．3．要注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系．三、技法1.向量有關(guān)概念的5個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)向量：方向、長(zhǎng)度．(2)非零共線向量：方向相同或相反．(3)單位向量：長(zhǎng)度是一個(gè)單位長(zhǎng)度．(4)零向量：方向沒(méi)有限制，長(zhǎng)度是0.(5)相等向量：方向相同且長(zhǎng)度相等.2.平面向量的線性運(yùn)算技巧(1)不含圖形的情況：可直接運(yùn)用相應(yīng)運(yùn)算法則求解．(2)含圖形的情況：將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來(lái)求解．3．利用平面向量的線性運(yùn)算求參數(shù)的一般思路(1)沒(méi)有圖形的準(zhǔn)確作出圖形，確定每一個(gè)點(diǎn)的位置．(2)利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為要求的向量形式．(3)比較、觀察可知所求.4.共線向量定理的應(yīng)用(1)證明向量共線，對(duì)于向量a，b，若存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb，則a與b共線．(2)證明三點(diǎn)共線，若存在實(shí)數(shù)λ，使eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，則A，B，C三點(diǎn)共線．(3)求參數(shù)的值，利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值．[提醒]證明三點(diǎn)共線時(shí)，要說(shuō)明共線的兩向量有公共點(diǎn).參考答案大?、诜较颌勰＂荛L(zhǎng)度⑤零⑥0⑦1個(gè)單位長(zhǎng)度⑧相同⑨相反⑩方向相同或相反?平行?相等?相同?相等?相反?有向線段?三角形?平行四邊形?b＋a?a＋(b＋c)eq\o\ac(○,21)三角形eq\o\ac(○,22)|λ||a|eq\o\ac(○,23)相同eq\o\ac(○,24)相反eq\o\ac(○,25)0eq\o\ac(○,26)λμaeq\o\ac(○,27)λa＋μaeq\o\ac(○,28)λa＋λb第二節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示一、必記3個(gè)知識(shí)點(diǎn)1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)①____________向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝②____________.我們把不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組③____________.2．平面向量的坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取與x軸、y軸④____________的兩個(gè)單位⑤____________i、j作為基底，對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得a＝⑥____________，則有序數(shù)對(duì)(x，y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作⑦_(dá)___________，其中x，y分別叫做a在x軸、y軸上的坐標(biāo)，a＝(x，y)叫做向量a的坐標(biāo)表示，相等的向量其⑧________相同，⑨________相同的向量是相等向量．3．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)已知點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(○,\s\up1(10))________________，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝?____________________.(2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝?____________，a－b＝?______________，λa＝?________________，a∥b(b≠0)的充要條件是?________________.(3)非零向量a＝(x，y)的單位向量為?________________或?________________.(4)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a＝b??__________.二、必明3個(gè)易誤點(diǎn)1．若a、b為非零向量，當(dāng)a∥b時(shí)，a，b的夾角為0°或180°，求解時(shí)容易忽視其中一種情形而導(dǎo)致出錯(cuò)．2．要區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的不同，盡管在形式上它們完全一樣，但意義完全不同，向量坐標(biāo)中既有方向也有大小的信息．3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件不能表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)，因?yàn)閤2，y2有可能等于0，應(yīng)表示為x1y2－x2y1＝0.三、技法1.平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)及解題思路(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．(2)用向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決.2.求解向量坐標(biāo)運(yùn)算問(wèn)題的一般思路(1)向量問(wèn)題坐標(biāo)化：向量的坐標(biāo)運(yùn)算，使得向量的線性運(yùn)算都可用坐標(biāo)來(lái)進(jìn)行，實(shí)現(xiàn)了向量運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來(lái)，通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，使幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量運(yùn)算．(2)巧借方程思想求坐標(biāo)：向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，求解過(guò)程中要注意方程思想的運(yùn)用．(3)妙用待定系數(shù)法求系數(shù)：利用坐標(biāo)運(yùn)算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出系數(shù).3.利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo)，一般地，在求與一個(gè)已知向量a共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R)，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于λ的方程，求出λ的值后代入λa，即可得到所求向量.4.平面向量共線的坐標(biāo)表示問(wèn)題的解題策略(1)利用兩向量共線求參數(shù)，如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時(shí)，則利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1”解題比較方便．(2)利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo)，一般地，在求與一個(gè)已知向量a共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R)，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．(3)三點(diǎn)共線問(wèn)題．A，B，C三點(diǎn)共線等價(jià)于eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))共線.參考答案=1\*GB3①不共線②＋③基底④同向⑤向量⑥xi＋yj⑦a＝(x，y)⑧坐標(biāo)⑨坐標(biāo)⑩(－，－)??(＋，＋)?(－，－)?(λ，λ)?－＝0?±eq\f(a,|a|)?±(x，y)?＝且＝第三節(jié)平面向量的數(shù)量積與應(yīng)用舉例一、必記4個(gè)知識(shí)點(diǎn)1．平面向量的數(shù)量積的定義(1)已知兩個(gè)①____________a、b，過(guò)O點(diǎn)作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a與b的②________.很顯然，當(dāng)且僅當(dāng)兩非零向量a、b同方向時(shí)，θ＝③________，當(dāng)且僅當(dāng)a、b反方向時(shí)，θ＝④________，特別地，0與其他任何非零向量之間不談夾角這一問(wèn)題．(2)如果a，b的夾角為90°，則稱a與b垂直，記作⑤________.(3)a，b是兩個(gè)非零向量，它們的夾角為θ，則數(shù)|a|·|b|·cosθ叫做a與b的數(shù)量積．記作a·b，即a·b＝⑥________________.規(guī)定0·a＝0.當(dāng)a⊥b時(shí)，θ＝90°，這時(shí)⑦_(dá)_______＝0.(4)a·b的幾何意義a·b等于a的長(zhǎng)度與b在a的方向上的⑧____________.2．向量數(shù)量積的性質(zhì)(1)如果e是單位向量，則a·e＝e·a＝⑨____________.(2)a⊥b?⑩________且a·b＝0??____________.(a，b為非零向量)(3)a·a＝?________，|a|＝?____________.(4)cos〈a，b〉＝?________________.(5)|a·b|?________|a||b|.3．?dāng)?shù)量積的運(yùn)算律(1)交換律a·b＝?________.(2)分配律(a＋b)·c＝?________________.(3)對(duì)λ∈R，λ(a·b)＝?________________＝?________________.4．?dāng)?shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，則(1)a·b＝?________________.(2)a⊥b?eq\o(○,\s\up1(21))________________.(3)|a|＝eq\o(○,\s\up1(22))____________.(4)cos〈a，b〉＝eq\o(○,\s\up1(23))____________________.二、必明2個(gè)易誤點(diǎn)1．若a，b，c是實(shí)數(shù)，則ab＝ac?b＝c(a≠0)；但對(duì)于向量就沒(méi)有這樣的性質(zhì)，若向量a，b，c滿足a·b＝a·c(a≠0)，則不一定有b＝c，即等式兩邊不能同時(shí)約去一個(gè)向量，但可以同時(shí)乘以一個(gè)向量．2．?dāng)?shù)量積運(yùn)算不適合結(jié)合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)．三、技法1.平面向量數(shù)量積應(yīng)用的技巧=1\*GB2⑴．求兩向量的夾角，cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)，要注意θ∈[0，π]．=2\*GB2⑵．兩向量垂直的應(yīng)用.兩非零向量垂直的充要條件是：a⊥b?a·b＝0?|a－b|＝|a＋b|.=3\*GB2⑶．求向量的模的方法=1\*GB3①公式法：利用|a|＝eq\r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算．=2\*GB3②幾何法：利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解.2.平面向量與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題的解題思路(1)題目條件給出向量的坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式，運(yùn)用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解．(2)給出用三角函數(shù)表