新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8-5-1直線與直線平行同步課件新人教A版必修第二冊(cè)

8.5空間直線、平面的平行8.5.1直線與直線平行必備知識(shí)·自主學(xué)習(xí)1.基本事實(shí)4(1)事實(shí):平行于_______直線的兩條直線平行;(2)本質(zhì):判定空間中兩直線平行的依據(jù),也叫平行線的傳遞性;(3)應(yīng)用:判定空間直線的平行,平移空間直線.同一條【思考】平面中有哪些常用的證明兩直線平行的定理?提示:三角形的中位線平行于底邊、平行四邊形的對(duì)邊平行等.2.等角定理如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別_________,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).對(duì)應(yīng)平行【思考】平面中怎樣利用平行證明兩個(gè)角相等?提示:兩直線平行同位角、內(nèi)錯(cuò)角相等,平行四邊形中對(duì)角相等.【基礎(chǔ)小測(cè)】1.辨析記憶(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)分別平行于兩條異面直線的兩條直線一定是異面直線. (

)(2)如果空間中的兩個(gè)角相等或互補(bǔ),那么這兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行. (

)(3)空間中兩條相交直線與另外兩條相交直線分別平行,則兩組直線所成的銳角(或直角)相等. (

)提示:(1)×.也可能是相交直線.(2)×.等角定理的逆定理不成立.(3)√.由等角定理可知正確.2.(教材二次開(kāi)發(fā):練習(xí)改編)如圖所示,在長(zhǎng)方體木塊AC1中,E,F分別是B1O和C1O的中點(diǎn),則長(zhǎng)方體的各棱中與EF平行的有 (

)A.3條 B.4條 C.5條 D.6條【解析】選B.由于E,F分別是B1O,C1O的中點(diǎn),故EF∥B1C1,因?yàn)楹屠釨1C1平行的棱還有3條:AD,BC,A1D1,所以共有4條.2.(教材二次開(kāi)發(fā):練習(xí)改編)如圖所示,在長(zhǎng)方體木塊AC1中,E,F分別是B1O和C1O的中點(diǎn),則長(zhǎng)方體的各棱中與EF平行的有 (

)A.3條 B.4條 C.5條 D.6條【解析】選B.由于E,F分別是B1O,C1O的中點(diǎn),故EF∥B1C1,因?yàn)楹屠釨1C1平行的棱還有3條:AD,BC,A1D1,所以共有4條.關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一空間直線平行的判定及應(yīng)用(直觀想象、邏輯推理)【題組訓(xùn)練】1.下列各圖中,直線a與b平行的只可能是 (

)【解析】選D.對(duì)于A,B,C中直線a,b是異面直線,D中直線a,b共面,可能是平行直線.2.(2020·浦東高一檢測(cè))在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是BC,A1D1的中點(diǎn).求證:四邊形B1EDF是菱形.【證明】取AD的中點(diǎn)G,連接FG,BG,可得B1B∥FG,B1B=FG,所以四邊形B1BGF為平行四邊形,則BG∥B1F,BG=B1F,由ABCD-A1B1C1D1為正方體,且E,G分別為BC,AD的中點(diǎn),可得BEDG為平行四邊形,所以BG∥DE,BG=DE,則B1F∥DE,且B1F=DE,所以四邊形B1EDF為平行四邊形,由△B1BE≌△B1A1F,可得B1E=B1F,所以四邊形B1EDF是菱形.【解題策略】關(guān)于空間中兩直線平行的證明(1)輔助線:常見(jiàn)的輔助線作法是構(gòu)造三角形中位線,平行四邊形的對(duì)邊.(2)證明依據(jù):三角形中位線定理,平行線分線段成比例定理的逆定理,基本事實(shí)4,幾何體中相對(duì)的棱、對(duì)角線等的平行關(guān)系.類型二等角定理及應(yīng)用(直觀想象、邏輯推理)【典例】如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分別是棱AD和A1D1的中點(diǎn).求證:∠BMC=∠B1M1C1.類型二等角定理及應(yīng)用(直觀想象、邏輯推理)【典例】如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分別是棱AD和A1D1的中點(diǎn).求證:∠BMC=∠B1M1C1.步驟內(nèi)容理解題意1.條件:正方體中,M,M1分別是棱的中點(diǎn);2.求證:∠BMC=∠B1M1C1思路探求證明角的兩邊分別平行,利用等角定理證明.步驟內(nèi)容書寫表達(dá)【證明】連接MM1,

因?yàn)樵谡叫蜛DD1A1中,M,M1分別為AD,A1D1的中點(diǎn),所以MM1

AA1.又因?yàn)锳A1

BB1,所以MM1∥BB1,且MM1=BB1.所以四邊形BB1M1M為平行四邊形.所以B1M1∥BM.①同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形,所以C1M1∥CM.由平面幾何知識(shí)可知,∠BMC和∠B1M1C1都是銳角,②所以∠BMC=∠B1M1C1.①構(gòu)造平行四邊形證明對(duì)邊平行是常用的方法;②等角定理的結(jié)論是角相等或互補(bǔ),因此必須說(shuō)明相等的依據(jù).步驟內(nèi)容題后反思(1)基本事實(shí)4、三角形的中位線、平行四邊形的性質(zhì)是證明空間直線平行的常用工具(2)應(yīng)用等角定理證明角相等時(shí)要區(qū)分互補(bǔ)的情況【解題策略】關(guān)于等角定理的應(yīng)用(1)根據(jù)空間中相應(yīng)的定理證明角的兩邊分別平行,即先證明線線平行.(2)根據(jù)角的兩邊的方向、角的大小判定角相等.【跟蹤訓(xùn)練】如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為AD,AB的中點(diǎn),M,N分別為B1C1,C1D1的中點(diǎn).求證:∠EA1F=∠NCM.【證明】如圖,取A1D1的中點(diǎn)I,連接DI,MI,又M為B1C1的中點(diǎn),幾何體ABCD-A1B1C1D1為正方體,所以C1D1

CD,MI

C1D1,根據(jù)基本事實(shí)4知CD

MI,故四邊形IDCM為平行四邊形,所以MC∥ID,又I,E分別為A1D1,AD的中點(diǎn),所以A1I

ED,所以四邊形A1IDE為平行四邊形,所以A1E∥ID.故MC∥A1E.同理可證A1F∥CN.因?yàn)锳1F∥CN,MC∥A1E,又∠EA1F與∠NCM兩邊的方向均相反,所以∠EA1F=∠NCM.類型三空間中平行關(guān)系的綜合應(yīng)用(邏輯推理、直觀想象)角度1共面問(wèn)題

【典例】如圖,在空間四邊形ABCD中,E,H分別為BC,AB的中點(diǎn),F在CD上,G在AD上,且有DF∶FC=DG∶GA=2∶3,求證:四邊形EFGH是梯形.【思路導(dǎo)引】首先證明E,F,G,H四點(diǎn)共面,再證明是梯形.【證明】連接AC,因?yàn)镋,H分別為BC,AB的中點(diǎn),F在CD上,G在AD上,且有DF∶FC=DG∶GA=2∶3,所以HE∥AC,GF∥AC,所以HE∥GF,則E,F,G,H四點(diǎn)共面.又HE=AC,GF=AC,所以HE≠GF,所以四邊形EFGH是梯形.【變式探究】本例中,試證明EF,GH,BD交于一點(diǎn).【證明】由例題可知,E,F,G,H四點(diǎn)共面,HG與EF不平行,不妨設(shè)EF,HG交于點(diǎn)P,所以P∈平面BCD,且P∈平面ABD,而平面BCD∩平面ABD=BD,所以P∈BD,所以EF,GH,BD交于一點(diǎn).角度2探究性問(wèn)題

【典例】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,點(diǎn)M,N分別在AC,PB上,且AM=MC,BN=BP,作出直線MN與PB確定的平面與平面PAD的交線l,直線l與MN是否平行,如果平行請(qǐng)給出證明,如果不平行請(qǐng)說(shuō)明理由.【思路導(dǎo)引】先作出直線l,再利用比例關(guān)系證明是否平行.【解析】連接BM并延長(zhǎng),交DA于點(diǎn)E,連接PE,則PE即為直線MN與PB確定的平面與平面PAD的交線l,因?yàn)榈酌鍭BCD是平行四邊形,所以AE∥BC,所以△AEM∽△CBM,所以,因?yàn)辄c(diǎn)M,N分別在AC,PB上,且AM=MC,BN=BP,所以,所以,所以MN∥PE,即直線l∥MN.【解題策略】1.關(guān)于共面問(wèn)題根據(jù)兩平行直線確定一個(gè)平面,可以證明共面問(wèn)題,其實(shí)質(zhì)是證明直線平行.2.關(guān)于探究問(wèn)題處理探究問(wèn)題時(shí)一般假設(shè)其存在,再進(jìn)行證明,或先選取如中點(diǎn)等特殊位置進(jìn)行驗(yàn)證,再給出嚴(yán)格證明.【題組訓(xùn)練】如圖,在空間四邊形ABCD中,E,F分別是AD,AB的中點(diǎn),G,H分別在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2.(1)求證:E,F,G,H四點(diǎn)共面.(2)設(shè)FG與HE交于點(diǎn)P,求證:P,A,C三點(diǎn)共線.【證明】(1)在△ABD中,因?yàn)镋,F為AD,AB中點(diǎn),所以EF∥BD.在△CBD中,BG∶GC=DH∶HC=1∶2,所以GH∥BD,所以EF∥GH,所以E,F,G,H四點(diǎn)共面.(2)因?yàn)镕G∩HE=P,P∈FG,P∈HE,所以P∈平面ABC,P∈平面ADC,又平面ABC∩平面ADC=AC,所以P∈直線AC.所以P,A,C三點(diǎn)共線.【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中,AB=BC=1,AA′=2,E,F分別是BB′,A′B′的中點(diǎn).求證:E,F,C,D′四點(diǎn)共面.【證明】如圖所示,連接A′B,D′C,EF,則EF∥A′B∥D′C,所以E,F,C,D′四點(diǎn)共面.核心知識(shí)方法總結(jié)易錯(cuò)提醒核心素養(yǎng)空間直線平行的證明（1）輔助線：構(gòu)造三角形中位線、平行四邊形的對(duì)邊（2）證明依據(jù)：基本事實(shí)4，三角形中位線定理，平行線分線段成比例定理的逆定理，幾何體中相對(duì)的棱、對(duì)角線等的平行關(guān)系.基本事實(shí)定理應(yīng)用定理時(shí)注意角的方向直觀想象、邏輯推理：通過(guò)空間直線平行的證明得以體現(xiàn)直線與直線平行課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.一條直線與兩條平行線中的一條成為異面直線,則它與另一條 (

)

A.相交 B.異面C.相交或異面 D.平行【解析】選C.舉例說(shuō)明:給出正方體模型,如圖,①直線AB與直線A1B1平行,且直線BC與直線A1B1異面,此時(shí),直線BC與直線AB相交;②直線AB與直線A1B1平行,且直線CC1與直線A1B1異面,此時(shí),直線CC1與直線AB異面;綜上所述,一條直線與兩條平行線中的一條異面,則它與另一條可能相交,也可能異面.2.若兩個(gè)三角形不在同一平面內(nèi),它們的邊兩兩對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)三角形 (

)A.全等 B.相似C.僅有一個(gè)角相等 D.無(wú)法判斷【解析】選B.由等角定理知,這兩個(gè)三角形的三個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等,所以這兩個(gè)三角形相似.3.(教材二次開(kāi)發(fā):例題改編)如圖所示,E,F,G,H分別是空間四邊形ABCD各邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),若BD=2,AC=4,則四邊形EFGH的周長(zhǎng)為

.

【解析】

?EH=FG=BD=1.同理EF=GH=AC=2,所以四邊形EFGH的周長(zhǎng)為6.答案:64.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分別是AB,AC上的點(diǎn),且AE∶EB=AF∶FC,則EF與B1C1的位置關(guān)系是

.

【解析】在△ABC中,因?yàn)锳E∶EB=AF∶FC,所以EF∥BC.又BC∥B1C1,所以EF∥B1C1.答案:平行Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個(gè)孩子在你的臂彎入睡,你會(huì)體會(huì)到世間最安寧的感覺(jué).Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠(yuǎn)不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時(shí)候,一個(gè)人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds