新教材高中數(shù)學(xué)11-2平面的基本事實(shí)與推論課件新人教B版必修第四冊(cè)

11.2平面的基本事實(shí)與推論基礎(chǔ)預(yù)習(xí)初探1.直線l與平面α有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)P.直線l是否在平面α內(nèi)?有兩個(gè)公共點(diǎn)呢?2.觀察圖中的三腳架,你能得出什么結(jié)論?繼續(xù)探究:(1)三點(diǎn)確定一個(gè)平面嗎?提示:當(dāng)三點(diǎn)在一條直線上時(shí),不能確定一個(gè)平面,當(dāng)三點(diǎn)不在同一條直線上時(shí),確定一個(gè)平面.(2)直線和平面都是由點(diǎn)組成的,聯(lián)系集合的觀點(diǎn),點(diǎn)和直線、平面的位置關(guān)系,如何用符號(hào)來表示?直線和平面呢?提示:點(diǎn)和直線、平面的位置關(guān)系可用數(shù)學(xué)符號(hào)“∈”或“?”表示,直線和平面的位置關(guān)系,可用數(shù)學(xué)符號(hào)“?”或“?”表示.【概念生成】平面的基本事實(shí)及推論基本事實(shí)內(nèi)容圖形符號(hào)基本事實(shí)1經(jīng)過_______________的3個(gè)點(diǎn),有且只有一個(gè)平面

A,B,C三點(diǎn)不共線?存在唯一的平面α使A,B,C∈α不在一條直線上基本事實(shí)2如果一條直線上的_______在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)

A∈l,B∈l,且____________?l?α基本事實(shí)3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條_________________

____________?α∩β=l,且P∈l兩個(gè)點(diǎn)過該點(diǎn)的公共直線A∈α,B∈αP∈α,P∈β推論1經(jīng)過一條直線和直線外的一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面(圖①).推論2經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個(gè)平面(圖②).推論3經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個(gè)平面(圖③).核心互動(dòng)探究探究點(diǎn)一文字語言、圖形語言、符號(hào)語言的相互轉(zhuǎn)化【典例1】根據(jù)下列符號(hào)表示的語句,說明點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系,并畫出相應(yīng)的圖形:(1)A∈α,B?α;(2)l?α,m?α,m∩α=A,A?l;(3)P∈l,P?α,Q∈l,Q∈α.【思維導(dǎo)引】解答本題要正確理解立體幾何中表示點(diǎn)、線、面之間位置關(guān)系的符號(hào)“∈”“?”“?”“?”“∩”的意義,在此基礎(chǔ)上,由符號(hào)表示已知語句,寫出相應(yīng)的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系,畫出圖形.【解析】(1)點(diǎn)A在平面α內(nèi),點(diǎn)B不在平面α內(nèi);(2)直線l在平面α內(nèi),直線m與平面α相交于點(diǎn)A,且點(diǎn)A不在直線l上;(3)直線l經(jīng)過平面α外一點(diǎn)P和平面α內(nèi)一點(diǎn)Q.圖形分別如圖(1),(2),(3)所示.【解析】(1)點(diǎn)A在平面α內(nèi),點(diǎn)B不在平面α內(nèi);(2)直線l在平面α內(nèi),直線m與平面α相交于點(diǎn)A,且點(diǎn)A不在直線l上;(3)直線l經(jīng)過平面α外一點(diǎn)P和平面α內(nèi)一點(diǎn)Q.圖形分別如圖(1),(2),(3)所示.【類題通法】文字語言、圖形語言、符號(hào)語言的應(yīng)用1.用文字語言、符號(hào)語言表示一個(gè)圖形時(shí),首先仔細(xì)觀察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何,試著用文字語言表示,再用符號(hào)語言表示.2.要注意符號(hào)語言的意義.如點(diǎn)與直線的位置關(guān)系只能用“∈”或“?”表示,直線與平面的位置關(guān)系只能用“?”或“?”表示.3.由符號(hào)語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時(shí),要注意實(shí)線和虛線的區(qū)別.【定向訓(xùn)練】如圖所示,用符號(hào)語言可表示為 (

)

A.α∩β=l B.α∥β,l∈αC.l∥β,l?α D.α∥β,l?α【解析】選D.顯然題干圖中α∥β,且l?α.探究點(diǎn)二點(diǎn)、線共面問題【典例2】已知四條直線兩兩相交,且不共點(diǎn),求證:這四條直線在同一平面內(nèi).【思維導(dǎo)引】四條直線兩兩相交且不共點(diǎn),可能有兩種情況:一是有三條直線共點(diǎn);二是任意三條直線都不共點(diǎn).【解析】已知:a,b,c,d四條直線兩兩相交,且不共點(diǎn),求證:a,b,c,d四線共面.證明:(1)若a,b,c三線共點(diǎn)于O,如圖所示,因?yàn)镺?d,

所以經(jīng)過d與點(diǎn)O有且只有一個(gè)平面α.因?yàn)锳,B,C分別是d與a,b,c的交點(diǎn),所以A,B,C三點(diǎn)在平面α內(nèi).由基本事實(shí)2知a,b,c都在平面α內(nèi),故a,b,c,d共面;(2)若a,b,c,d無三線共點(diǎn),如圖所示,

因?yàn)閍∩b=A,所以經(jīng)過a,b有且僅有一個(gè)平面α,所以B,C∈α.由基本事實(shí)2知c?α.同理,d?α,從而有a,b,c,d共面.綜上所述,四條直線兩兩相交,且不共點(diǎn),這四條直線在同一平面內(nèi).(2)若a,b,c,d無三線共點(diǎn),如圖所示,

因?yàn)閍∩b=A,所以經(jīng)過a,b有且僅有一個(gè)平面α,所以B,C∈α.由基本事實(shí)2知c?α.同理,d?α,從而有a,b,c,d共面.綜上所述,四條直線兩兩相交,且不共點(diǎn),這四條直線在同一平面內(nèi).【類題通法】證明多線共面的兩種方法1.方法一:先由部分直線確定一個(gè)平面,再證明其他直線也在這個(gè)平面內(nèi).2.方法二:先說明一些直線在一個(gè)平面內(nèi),另一些直線在另一個(gè)平面內(nèi),再證明兩個(gè)平面重合.【定向訓(xùn)練】一條直線與三條平行直線都相交,求證:這四條直線共面.【證明】已知:a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.求證:直線a,b,c,l共面.證明:方法一:因?yàn)閍∥b,所以a,b確定一個(gè)平面α,因?yàn)锳∈l,B∈l,且A∈α,B∈α,故l?α.又因?yàn)閍∥c,所以a,c確定一個(gè)平面β.同理可證l?β,所以α∩β=a且α∩β=l.因?yàn)檫^兩條相交直線a,l有且只有一個(gè)平面,故α與β重合,即直線a,b,c,l共面.方法二:由方法一得a,b,l共面α,也就是說b在a,l確定的平面α內(nèi).同理可證c在a,l確定的平面α內(nèi).因?yàn)檫^a和l只能確定一個(gè)平面,所以a,b,c,l共面.探究點(diǎn)三交線問題【典例3】如圖,G是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱DD1延長(zhǎng)線上一點(diǎn),E,F是棱AB,BC的中點(diǎn).試分別畫出過下列各點(diǎn)、直線的平面與正方體表面的交線:(1)過點(diǎn)G及AC;(2)過三點(diǎn)E,F,D1.【思維導(dǎo)引】找兩個(gè)平面的兩個(gè)公共點(diǎn),則過這兩個(gè)公共點(diǎn)的直線為兩平面的交線.【解析】(1)畫法:連接GA交A1D1于點(diǎn)M;連接GC交C1D1于點(diǎn)N;連接MN,AC,則MA,CN,MN,AC為所求平面與正方體表面的交線.如圖①.(2)畫法:連接EF交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q;連接D1P交CC1于點(diǎn)M,連接D1Q交AA1于點(diǎn)N;連接MF,NE,則D1M,MF,FE,EN,ND1為所求平面與正方體表面的交線.如圖②.【類題通法】畫截面圖形的方法畫截面截得正方體的截面圖形,關(guān)鍵是利用好三個(gè)基本事實(shí),找到兩個(gè)平面上的公共點(diǎn)是解決此類問題的突破口.【定向訓(xùn)練】如圖,在棱長(zhǎng)是a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是AA1,D1C1的中點(diǎn),過D,M,N三點(diǎn)的平面與正方體的下底面A1B1C1D1相交于直線l:(1)畫出交線l;(2)設(shè)l∩A1B1=P,求PB1的長(zhǎng).【解析】(1)如圖,延長(zhǎng)DM,D1A1,交于點(diǎn)Q,則點(diǎn)Q是平面DMN與平面A1B1C1D1的一個(gè)公共點(diǎn).連接QN,則直線QN就是交線l;(2)因?yàn)镸是AA1的中點(diǎn),MA1∥DD1,所以A1是QD1的中點(diǎn).又A1P∥D1N,所以A1P=D1N.因?yàn)镹是D1C1的中點(diǎn),所以A1P=D1C1=,所以PB1=A1B1-A1P=a.【補(bǔ)償訓(xùn)練】在平面α外,△ABC三邊所在的直線滿足AB∩α=P,BC∩α=Q,AC∩α=R,如圖所示.求證:P,Q,R三點(diǎn)共線.【證明】方法一:因?yàn)锳B∩α=P,所以P∈AB,P∈平面α.又AB?平面ABC,所以P∈平面ABC.所以由基本事實(shí)3可知:點(diǎn)P在平面ABC與平面α的交線上,同理可證Q,R也在平面ABC與平面α的交線上.所以P,Q,R三點(diǎn)共線.方法二:因?yàn)锳P∩AR=A,所以直線AP與直線AR確定平面APR.又因?yàn)锳B∩α=P,AC∩α=R,所以平面APR∩平面α=PR.因?yàn)锽∈平面APR,C∈平面APR,所以BC?平面APR.因?yàn)镼∈BC,所以Q∈平面APR,又Q∈α,所以Q∈PR,所以P,Q,R三點(diǎn)共線.【課堂小結(jié)】課堂素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.若點(diǎn)A在平面α內(nèi),直線a在平面α內(nèi),點(diǎn)A不在直線a上,用符號(hào)語言可表示為 (

)A.A∈α,a?α,A?aB.A∈α,a∈α,A?aC.A?α,a?α,A?aD.A∈α,a?α,A?a【解析】選A.點(diǎn)與線、面的關(guān)系用∈、?;線與面的關(guān)系用?、?.B選項(xiàng)中,“a∈α”錯(cuò)誤;C選項(xiàng)中“A?α”錯(cuò)誤;D選項(xiàng)中“A?a”錯(cuò)誤.2.若兩個(gè)不重合的平面有公共點(diǎn),則公共點(diǎn)有 (

)A.1個(gè)B.2個(gè)C.1個(gè)或無數(shù)個(gè)D.無數(shù)個(gè)且在同一條直線上【解析】選D.利用基本事實(shí)3可知如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn),則它們就一定有一條交線,而線是由無數(shù)個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的,所以這兩個(gè)平面有無數(shù)個(gè)在同一直線上的交點(diǎn).3.如果直線a?平面α,直線b?平面α,M∈a,N∈b,且M∈l,N∈l,那么 (

)A.l?α B.l?αC.l∩α=M D.l∩α=N【解析】選A.因?yàn)镸∈a,N∈b,a,b?α,所以M,N∈α,根據(jù)基本事實(shí)2可知l?α.4.由4條平行直線最多可以確定 (

)A.2個(gè)平面 B.4個(gè)平面C.5個(gè)平面 D.6個(gè)平面【解析】選D.本題從確定平面的條件來考慮即可,要使四條平行直線確定的平面最多,只有當(dāng)這四條直線中任兩條所確定的平面互不相同時(shí)即為最多,從而得到結(jié)果.由確定平面的條件知,由4條平行直線最多可以確定6個(gè)平面.Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個(gè)孩子在你的臂彎入睡,你會(huì)體會(huì)到世間最安寧的感覺.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠(yuǎn)不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時(shí)候,一個(gè)人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創(chuàng)傷的并非時(shí)間,而是愛.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艱苦的,但我應(yīng)更堅(jiān)強(qiáng).勵(lì)志名言請(qǐng)您欣賞3.如果直線a?平面α,直線b?平面α,M∈a,N∈b,且M∈l,N∈l,那么 (

)A.l?α B.l?αC.l∩α=M D.l∩α=N【解析】選A.因?yàn)镸∈a,N∈b,a,b?α,所以M,N∈α,根據(jù)基本事實(shí)2可知l?α.課堂素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.若點(diǎn)A在平面α內(nèi),直線a在平面α內(nèi),點(diǎn)A不在直線a上,用符號(hào)語言可表示為 (

)A.A∈α,a?α,A?aB.A∈α,a∈α,A?aC.A?α,a?α,A?aD.A∈α,a?α,A?a【解析】選A.點(diǎn)與線、面的關(guān)系用∈、?;線與面的關(guān)系用?、?.B選項(xiàng)中,“a∈α”錯(cuò)誤;C選項(xiàng)中“A?α”錯(cuò)誤;D選項(xiàng)中“A?a”錯(cuò)誤.【概念生成】平