《復(fù)變函數(shù)》第1章

復(fù)變函數(shù)

（第四版）

電子教案合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院7/21/20241《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)§1復(fù)數(shù)及其代數(shù)運算1.復(fù)數(shù)的概念復(fù)變函數(shù)——自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù).復(fù)變函數(shù)研究的中心對象:解析函數(shù)．復(fù)變函數(shù)論又稱為解析函數(shù)論．i—虛數(shù)單位i2

=－1復(fù)數(shù)：z=x+iy(或

z=x+yi),x,

y為實數(shù)實部：x=Re(z)虛部：y=Im(z)純虛數(shù)：z=iy(y

≠0)7/21/20242《復(fù)變函數(shù)》(第四版)2.復(fù)數(shù)的代數(shù)運算(1)加(減)法:(2)乘法:按多項式法則相乘z=0x=y=0

z1=x1+iy1,z2=x2+iy2,z1=z2

x1=x2,y1=y2

注意：任意兩個復(fù)數(shù)不能比較大小.z1=x1+iy1,z2=x2+iy2,共軛復(fù)數(shù)：z1±

z2=(x1

±

x2)+i(y1

±

y2)z1·

z2=(x1+iy1)(x2+

iy2)=(x1x2－

y1y2)+i(x2y1+

x1y2)7/21/20243《復(fù)變函數(shù)》(第四版)(3)除法:復(fù)數(shù)的運算滿足交換律、結(jié)合律和分配律.(4)共軛復(fù)數(shù)性質(zhì)i)ii)iii)iv)7/21/20244《復(fù)變函數(shù)》(第四版)證例1解:P.4設(shè)z1=5－5i,z2=－3+4i,求與7/21/20245《復(fù)變函數(shù)》(第四版)例2解:設(shè)求Re(z),Im(z)與7/21/20246《復(fù)變函數(shù)》(第四版)§2復(fù)數(shù)的幾何意義1.復(fù)平面,復(fù)數(shù)的其它表示法復(fù)數(shù)的加減法可用向量的三角形法則和平行四邊形法則.(1)z=x+iy點(

x,y)?(

幾何表示法

)直角坐標(biāo)平面

xoy復(fù)平面.x

—實軸y

—虛軸(2)z=x+iy?(

向量表示法

)模由此:or7/21/20247《復(fù)變函數(shù)》(第四版)結(jié)論:輻角:輻角主值:(兩邊之和大于第三邊)(兩邊之差小于第三邊)(z

0)無窮多個,相差2kπ.k=0,±1,±2,……當(dāng)z=0時,|z|=0,而輻角不確定.7/21/20248《復(fù)變函數(shù)》(第四版)Argz的主值argz(z

0)可由Arctan的主值arctan來確定:例:其中z=－3+3i(圖示)7/21/20249《復(fù)變函數(shù)》(第四版)(3)三角表示法(4)指數(shù)表示法例由歐拉公式得求和的輻角主值.解:7/21/202410《復(fù)變函數(shù)》(第四版)例1解:1)將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式:1)2)

(或∵z

在第三象限)∴三角式:指數(shù)式:書P.77/21/202411《復(fù)變函數(shù)》(第四版)解:2)例2.見書P.8…(自閱)續(xù)上頁例1三角式:指數(shù)式:7/21/202412《復(fù)變函數(shù)》(第四版)平面圖形與復(fù)數(shù)形式方程例3通過兩點

z1=x1+iy1與z2=x2+iy2的直線的方程解法一:由過兩點(x1,y1),(x2,y2)的直線的參數(shù)方程得復(fù)數(shù)形式的參數(shù)方程解法二:如圖,z－z1與z2－z1共線即z2ozz17/21/202413《復(fù)變函數(shù)》(第四版)例4解:1)解:2)求下列方程所表示的曲線1)|z+i|=2;2)|z

－2i|=|z+2|;3)幾何上看|z+i|=|z

－(－i)

|=2:的距離為2的點軌跡,即中心為(－i

),半徑為2的圓.

代數(shù)推導(dǎo):設(shè)z=x+iy

則|x+(y+1)i|=2x2+(y+1)2

=4|z

－2i|=|z+2|——到點2i

和－2距離連結(jié)2i和－2的線段的垂直平分線.與點－i相等的點軌跡:|x+(y－2)i|=|(x+2)+yi|x2+(y－2)2=(x+2)2+y2

y=－x(見書P10圖1.5)7/21/202414《復(fù)變函數(shù)》(第四版)解:3)問:

續(xù)上頁例4

1－y=4

y=－3|z+3

|+|z+1|=4

中z

的軌跡?到定點z

=－3和z=－1的距離和為常數(shù)——橢圓.(左焦點)(右焦點)7/21/202415《復(fù)變函數(shù)》(第四版)2.復(fù)球面任取一與復(fù)平面切于原點的球面,原點稱球面的南極,過原點且垂直平面的直線與球面的交點稱為球面的北極.連接平面上任一點與球面北極的直線段與球面有一個交點,又在平面上引入一個假想點∞與球面北極對應(yīng),構(gòu)成擴充復(fù)平面與球面點的一一對應(yīng),即復(fù)數(shù)與球面上的點的一一對應(yīng),球面稱為復(fù)球面.7/21/202416《復(fù)變函數(shù)》(第四版)規(guī)定:注:1.在高等數(shù)學(xué)中,∞可以分為+∞和－∞.而在復(fù)變函數(shù)中只有唯一的無窮遠點∞.(這樣才能與復(fù)球面一一對應(yīng))2.引入唯一無窮遠點∞在理論上有重要意義.∞可以作為復(fù)平面的唯一的邊界點.在擴充的復(fù)平面上,直線可看成是一個圓.|∞|=+∞α≠∞,α+∞=∞+α=∞α－∞=∞－α=∞α

·∞=∞·α=∞無特殊說明,平面仍指有限平面.7/21/202417《復(fù)變函數(shù)》(第四版)§3復(fù)數(shù)的乘冪與方根1.乘積與商(兩端可能值相等,即集相等)7/21/202418《復(fù)變函數(shù)》(第四版)幾何意義:特別:z1·z2:z1

逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度argz2,并伸長

|z1|到|z2|倍.z2

順時針旋轉(zhuǎn)一個角度argz1,并伸長iz1

——對z1

實行一次旋轉(zhuǎn)變換,旋轉(zhuǎn)角

7/21/202419《復(fù)變函數(shù)》(第四版)例1方法一:已知正三角形的兩個頂點為z1=1與z2=2+i,求它的另一個頂點.解:設(shè)z3=x+yi

??7/21/202420《復(fù)變函數(shù)》(第四版)方法二:類似可得續(xù)上頁例1(書P14圖1.8)Z3xy0Z1Z2Z3

/37/21/202421《復(fù)變函數(shù)》(第四版)補例:證:若|z1|=|z2|=|z3|.求證

三點共圓=α

Z1Z2Z3

7/21/202422《復(fù)變函數(shù)》(第四版)2.冪與根╰—棣莫弗(DeMoivre)公式—╯z

的n

次方根:(n為負整數(shù)時亦成立)r=1:(k=0,1,2,…,n-1)為以原點為中心,為半徑的圓的內(nèi)接正n

邊形的n個頂點.7/21/202423《復(fù)變函數(shù)》(第四版)特別:補例1:1的n

次方根也叫n

次單位根.1的三次方根:∴x11+x7+x3=x2+x+1解:∵x3－1=(x－1)(x2+x+1),而x2+x+1=0故x

是一個三次單位根.從而x11=

x9·x2

=x2,x7=x,x3=1.=0已知

x2+x+1=0,求x11+x7+x3

的值.7/21/202424《復(fù)變函數(shù)》(第四版)補例2:證:求證易知比較虛部與實部,即得所證.7/21/202425《復(fù)變函數(shù)》(第四版)補例3:解:但(1+z)5=(1－z)5

驗證知z≠1.故原方程可寫成:則w5=1.k=0,1,2,3,4故原方程的根為:解方程7/21/202426《復(fù)變函數(shù)》(第四版)§4區(qū)域1.區(qū)域的概念(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)zo的δ–鄰域:|z–zo|<δ的全體點.

(半徑為δ的圓域)模zo的去心δ–鄰域:0<|z–zo|<δ.

的鄰域:|z|>M內(nèi)點:zo

G,zo的某個鄰域?qū)儆贕,zo為G的內(nèi)點開集:集內(nèi)的每個點都是內(nèi)點.連通集:連接G內(nèi)任意兩點的折線也屬于G.區(qū)域:連通的開集.邊界點:zo的任意一個鄰域內(nèi)既有屬于G的點又有不屬于G的點.zo為邊界點。閉區(qū)域:區(qū)域+邊界=邊界可以是曲線,也可以是孤立點.7/21/202427《復(fù)變函數(shù)》(第四版)2.單連通域與多連通域(1)簡單閉曲線:(2)光滑曲線:設(shè)z(t)=x(t)+iy(t)(a≤t≤b)為復(fù)平面上一條連續(xù)曲線,(x(t),y(t)連續(xù))一條沒有重點的連續(xù)曲線稱為簡單曲線或約當(dāng)曲線,如果簡單曲線的起點與終點重合,稱為簡單閉曲線.簡單曲線自身不相交(t1≠t2?z(t1)≠z(t2))稱為光滑曲線.(a≤

t

≤

b)由幾條光滑曲線依次連接而成的曲線,稱為按段光滑曲線.曲線z=z(t)=x(t)+iy(t)7/21/202428《復(fù)變函數(shù)》(第四版)(3)單連通域:從幾何上看:特征:若屬于區(qū)域G的任何簡單閉曲線C的內(nèi)部也屬于G,則稱G為單連通域;否則稱為多連通域.單連通域即是無洞、無割痕的域.屬于單連通域的任何一條簡單閉曲線,在域內(nèi)可以經(jīng)過連續(xù)變形而縮成一點.常見曲線與區(qū)域:7/21/202429《復(fù)變函數(shù)》(第四版)常見曲線與區(qū)域:7/21/202430《復(fù)變函數(shù)》(第四版)1.定義設(shè)G是復(fù)平面上的一個點集,如果有一個確定的法則存在,按照這一法則,對于集合G中的每一個復(fù)數(shù)z,都有一個或幾個復(fù)數(shù)w=u+i

v

與之對應(yīng),那么稱復(fù)變數(shù)w

是復(fù)變數(shù)z

的函數(shù)(簡稱復(fù)變函數(shù)),記作w=f(z)單值:一個z

對應(yīng)w

的一個值.多值:一個z

對應(yīng)w

的兩個或兩個以上的值.§5復(fù)變函數(shù)7/21/202431《復(fù)變函數(shù)》(第四版)※

一個復(fù)變函數(shù)確定了自變量為x、y

的兩個二元實變函數(shù).例:z=x+yi,w=f(z)=f(x+i

y)=u+i

v相當(dāng)于兩個關(guān)系式:u=u(x,y),v=v(x,y).令z=x+iy,w=u+iv

7/21/202432《復(fù)變函數(shù)》(第四版)例:涉及四個變量x、y、u、v,故不能用一個平面,也不能用三維空間中的幾何圖形表示.反映z

平面上的一個點集G(定義集合)到w平面上一個點集G*(函數(shù)值集合)的一個映射.x2+y2≤1u2+v2≥1※

幾何意義:7/21/202433《復(fù)變函數(shù)》(第四版)代入法：已知將其寫成關(guān)于z=x+iy

的解析式.補例:解:常用的方法有三種.7/21/202434《復(fù)變函數(shù)》(第四版)設(shè)零法：將式中項湊成x

±iy

的組合設(shè)式中y

=0,得

f(x),代回f(z)最簡單拼湊法：7/21/202435《復(fù)變函數(shù)》(第四版)Gz平面G*w平面z－原象w－象(映象)w=f(z)今后不再區(qū)分函數(shù)與映射(變換).若G

與G*的映射是一一對應(yīng),則有逆映射z=φ(w).即w=f[φ(w)],

z=φ[f(z)].2.映射的概念7/21/202436《復(fù)變函數(shù)》(第四版)(1)w=

——關(guān)于實軸的一個對稱映射(將z與w重疊)象與映象是關(guān)于實軸對稱的全同圖形.例:7/21/202437《復(fù)變函數(shù)》(第四版)(2)w=z2

z=x+yi

w=u+iv,u=x2－y2,v=2xy.argw=2argz

——輻角增大一倍.角形域→角形域→7/21/202438《復(fù)變函數(shù)》(第四版)z

平面:x2－y2=c1,2xy=c2(以y=±x

和坐標(biāo)軸為漸近線的等軸雙曲線)兩族平行直線:u=c1,v=c2.(圖示見書P24圖1.17)7/21/202439《復(fù)變函數(shù)》(第四版)1.函數(shù)的極限(1)定義:(2)幾何意義w

=f(z)在

zo的去心鄰域0<|z－zo|<ρ內(nèi)有定義.?ε>0,?δ(ε)>0,使

0<|z－zo|<δ

時,有|f(z)－A|<ε

則稱A

為

f(z)當(dāng)z

趨向于zo時的極限,

當(dāng)變點z

一旦進入zo的充分小的δ去心鄰域時,

它的象點f

(z)就落入A

的預(yù)先給定的ε

鄰域中.

§6復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性7/21/202440《復(fù)變函數(shù)》(第四版)(4)極限的計算Th1.定義在形式上與敘述方法上十分相似,意義卻大不相同.z

→zo

的任意性更強,條件更苛刻.其相同點是:只是z(或x)進入

zo(或xo)的δ

鄰域.它的象點f

(z)(或f

(x))就進入A

的ε

鄰域,而且它們有相同的極限運算法則.設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y),A=uo+ivo,zo=xo+iyo,則:?(3)與實變函數(shù)極限的異同7/21/202441《復(fù)變函數(shù)》(第四版)??ε>0,?δ>0,當(dāng)

0<|(x+iy)－(xo+iyo)

|<δ

時,|(u+iv)－(uo+ivo)

|<ε

,|(u－uo)+i(v－vo)

|<ε

.?|u－uo|<ε

,|v－vo|<ε

,?證:

必要性.7/21/202442《復(fù)變函數(shù)》(第四版)??ε>0,?δ>0,?|f(z)－A|=|(u－uo)+i(v－vo)

|≤|u－uo|+|v－vo|=ε?證:

充分性.7/21/202443《復(fù)變函數(shù)》(第四版)由此知：復(fù)變函數(shù)極限的定義，形式上與一元實函數(shù)類似，實質(zhì)上卻相當(dāng)于二元函數(shù)的極限。（導(dǎo)致導(dǎo)數(shù)概念的苛刻）