《復變函數》第1章

復變函數

（第四版）

電子教案合肥工業(yè)大學數學學院7/21/20241《復變函數》(第四版)第一章復數與復變函數§1復數及其代數運算1.復數的概念復變函數——自變量為復數的函數.復變函數研究的中心對象:解析函數．復變函數論又稱為解析函數論．i—虛數單位i2

=－1復數：z=x+iy(或

z=x+yi),x,

y為實數實部：x=Re(z)虛部：y=Im(z)純虛數：z=iy(y

≠0)7/21/20242《復變函數》(第四版)2.復數的代數運算(1)加(減)法:(2)乘法:按多項式法則相乘z=0x=y=0

z1=x1+iy1,z2=x2+iy2,z1=z2

x1=x2,y1=y2

注意：任意兩個復數不能比較大小.z1=x1+iy1,z2=x2+iy2,共軛復數：z1±

z2=(x1

±

x2)+i(y1

±

y2)z1·

z2=(x1+iy1)(x2+

iy2)=(x1x2－

y1y2)+i(x2y1+

x1y2)7/21/20243《復變函數》(第四版)(3)除法:復數的運算滿足交換律、結合律和分配律.(4)共軛復數性質i)ii)iii)iv)7/21/20244《復變函數》(第四版)證例1解:P.4設z1=5－5i,z2=－3+4i,求與7/21/20245《復變函數》(第四版)例2解:設求Re(z),Im(z)與7/21/20246《復變函數》(第四版)§2復數的幾何意義1.復平面,復數的其它表示法復數的加減法可用向量的三角形法則和平行四邊形法則.(1)z=x+iy點(

x,y)?(

幾何表示法

)直角坐標平面

xoy復平面.x

—實軸y

—虛軸(2)z=x+iy?(

向量表示法

)模由此:or7/21/20247《復變函數》(第四版)結論:輻角:輻角主值:(兩邊之和大于第三邊)(兩邊之差小于第三邊)(z

0)無窮多個,相差2kπ.k=0,±1,±2,……當z=0時,|z|=0,而輻角不確定.7/21/20248《復變函數》(第四版)Argz的主值argz(z

0)可由Arctan的主值arctan來確定:例:其中z=－3+3i(圖示)7/21/20249《復變函數》(第四版)(3)三角表示法(4)指數表示法例由歐拉公式得求和的輻角主值.解:7/21/202410《復變函數》(第四版)例1解:1)將下列復數化為三角表示式與指數表示式:1)2)

(或∵z

在第三象限)∴三角式:指數式:書P.77/21/202411《復變函數》(第四版)解:2)例2.見書P.8…(自閱)續(xù)上頁例1三角式:指數式:7/21/202412《復變函數》(第四版)平面圖形與復數形式方程例3通過兩點

z1=x1+iy1與z2=x2+iy2的直線的方程解法一:由過兩點(x1,y1),(x2,y2)的直線的參數方程得復數形式的參數方程解法二:如圖,z－z1與z2－z1共線即z2ozz17/21/202413《復變函數》(第四版)例4解:1)解:2)求下列方程所表示的曲線1)|z+i|=2;2)|z

－2i|=|z+2|;3)幾何上看|z+i|=|z

－(－i)

|=2:的距離為2的點軌跡,即中心為(－i

),半徑為2的圓.

代數推導:設z=x+iy

則|x+(y+1)i|=2x2+(y+1)2

=4|z

－2i|=|z+2|——到點2i

和－2距離連結2i和－2的線段的垂直平分線.與點－i相等的點軌跡:|x+(y－2)i|=|(x+2)+yi|x2+(y－2)2=(x+2)2+y2

y=－x(見書P10圖1.5)7/21/202414《復變函數》(第四版)解:3)問:

續(xù)上頁例4

1－y=4

y=－3|z+3

|+|z+1|=4

中z

的軌跡?到定點z

=－3和z=－1的距離和為常數——橢圓.(左焦點)(右焦點)7/21/202415《復變函數》(第四版)2.復球面任取一與復平面切于原點的球面,原點稱球面的南極,過原點且垂直平面的直線與球面的交點稱為球面的北極.連接平面上任一點與球面北極的直線段與球面有一個交點,又在平面上引入一個假想點∞與球面北極對應,構成擴充復平面與球面點的一一對應,即復數與球面上的點的一一對應,球面稱為復球面.7/21/202416《復變函數》(第四版)規(guī)定:注:1.在高等數學中,∞可以分為+∞和－∞.而在復變函數中只有唯一的無窮遠點∞.(這樣才能與復球面一一對應)2.引入唯一無窮遠點∞在理論上有重要意義.∞可以作為復平面的唯一的邊界點.在擴充的復平面上,直線可看成是一個圓.|∞|=+∞α≠∞,α+∞=∞+α=∞α－∞=∞－α=∞α

·∞=∞·α=∞無特殊說明,平面仍指有限平面.7/21/202417《復變函數》(第四版)§3復數的乘冪與方根1.乘積與商(兩端可能值相等,即集相等)7/21/202418《復變函數》(第四版)幾何意義:特別:z1·z2:z1

逆時針旋轉一個角度argz2,并伸長

|z1|到|z2|倍.z2

順時針旋轉一個角度argz1,并伸長iz1

——對z1

實行一次旋轉變換,旋轉角

7/21/202419《復變函數》(第四版)例1方法一:已知正三角形的兩個頂點為z1=1與z2=2+i,求它的另一個頂點.解:設z3=x+yi

??7/21/202420《復變函數》(第四版)方法二:類似可得續(xù)上頁例1(書P14圖1.8)Z3xy0Z1Z2Z3

/37/21/202421《復變函數》(第四版)補例:證:若|z1|=|z2|=|z3|.求證

三點共圓=α

Z1Z2Z3

7/21/202422《復變函數》(第四版)2.冪與根╰—棣莫弗(DeMoivre)公式—╯z

的n

次方根:(n為負整數時亦成立)r=1:(k=0,1,2,…,n-1)為以原點為中心,為半徑的圓的內接正n

邊形的n個頂點.7/21/202423《復變函數》(第四版)特別:補例1:1的n

次方根也叫n

次單位根.1的三次方根:∴x11+x7+x3=x2+x+1解:∵x3－1=(x－1)(x2+x+1),而x2+x+1=0故x

是一個三次單位根.從而x11=

x9·x2

=x2,x7=x,x3=1.=0已知

x2+x+1=0,求x11+x7+x3

的值.7/21/202424《復變函數》(第四版)補例2:證:求證易知比較虛部與實部,即得所證.7/21/202425《復變函數》(第四版)補例3:解:但(1+z)5=(1－z)5

驗證知z≠1.故原方程可寫成:則w5=1.k=0,1,2,3,4故原方程的根為:解方程7/21/202426《復變函數》(第四版)§4區(qū)域1.區(qū)域的概念(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)zo的δ–鄰域:|z–zo|<δ的全體點.

(半徑為δ的圓域)模zo的去心δ–鄰域:0<|z–zo|<δ.

的鄰域:|z|>M內點:zo

G,zo的某個鄰域屬于G,zo為G的內點開集:集內的每個點都是內點.連通集:連接G內任意兩點的折線也屬于G.區(qū)域:連通的開集.邊界點:zo的任意一個鄰域內既有屬于G的點又有不屬于G的點.zo為邊界點。閉區(qū)域:區(qū)域+邊界=邊界可以是曲線,也可以是孤立點.7/21/202427《復變函數》(第四版)2.單連通域與多連通域(1)簡單閉曲線:(2)光滑曲線:設z(t)=x(t)+iy(t)(a≤t≤b)為復平面上一條連續(xù)曲線,(x(t),y(t)連續(xù))一條沒有重點的連續(xù)曲線稱為簡單曲線或約當曲線,如果簡單曲線的起點與終點重合,稱為簡單閉曲線.簡單曲線自身不相交(t1≠t2?z(t1)≠z(t2))稱為光滑曲線.(a≤

t

≤

b)由幾條光滑曲線依次連接而成的曲線,稱為按段光滑曲線.曲線z=z(t)=x(t)+iy(t)7/21/202428《復變函數》(第四版)(3)單連通域:從幾何上看:特征:若屬于區(qū)域G的任何簡單閉曲線C的內部也屬于G,則稱G為單連通域;否則稱為多連通域.單連通域即是無洞、無割痕的域.屬于單連通域的任何一條簡單閉曲線,在域內可以經過連續(xù)變形而縮成一點.常見曲線與區(qū)域:7/21/202429《復變函數》(第四版)常見曲線與區(qū)域:7/21/202430《復變函數》(第四版)1.定義設G是復平面上的一個點集,如果有一個確定的法則存在,按照這一法則,對于集合G中的每一個復數z,都有一個或幾個復數w=u+i

v

與之對應,那么稱復變數w

是復變數z

的函數(簡稱復變函數),記作w=f(z)單值:一個z

對應w

的一個值.多值:一個z

對應w

的兩個或兩個以上的值.§5復變函數7/21/202431《復變函數》(第四版)※

一個復變函數確定了自變量為x、y

的兩個二元實變函數.例:z=x+yi,w=f(z)=f(x+i

y)=u+i

v相當于兩個關系式:u=u(x,y),v=v(x,y).令z=x+iy,w=u+iv

7/21/202432《復變函數》(第四版)例:涉及四個變量x、y、u、v,故不能用一個平面,也不能用三維空間中的幾何圖形表示.反映z

平面上的一個點集G(定義集合)到w平面上一個點集G*(函數值集合)的一個映射.x2+y2≤1u2+v2≥1※

幾何意義:7/21/202433《復變函數》(第四版)代入法：已知將其寫成關于z=x+iy

的解析式.補例:解:常用的方法有三種.7/21/202434《復變函數》(第四版)設零法：將式中項湊成x

±iy

的組合設式中y

=0,得

f(x),代回f(z)最簡單拼湊法：7/21/202435《復變函數》(第四版)Gz平面G*w平面z－原象w－象(映象)w=f(z)今后不再區(qū)分函數與映射(變換).若G

與G*的映射是一一對應,則有逆映射z=φ(w).即w=f[φ(w)],

z=φ[f(z)].2.映射的概念7/21/202436《復變函數》(第四版)(1)w=

——關于實軸的一個對稱映射(將z與w重疊)象與映象是關于實軸對稱的全同圖形.例:7/21/202437《復變函數》(第四版)(2)w=z2

z=x+yi

w=u+iv,u=x2－y2,v=2xy.argw=2argz

——輻角增大一倍.角形域→角形域→7/21/202438《復變函數》(第四版)z

平面:x2－y2=c1,2xy=c2(以y=±x

和坐標軸為漸近線的等軸雙曲線)兩族平行直線:u=c1,v=c2.(圖示見書P24圖1.17)7/21/202439《復變函數》(第四版)1.函數的極限(1)定義:(2)幾何意義w

=f(z)在

zo的去心鄰域0<|z－zo|<ρ內有定義.?ε>0,?δ(ε)>0,使

0<|z－zo|<δ

時,有|f(z)－A|<ε

則稱A

為

f(z)當z

趨向于zo時的極限,

當變點z

一旦進入zo的充分小的δ去心鄰域時,

它的象點f

(z)就落入A

的預先給定的ε

鄰域中.

§6復變函數的極限和連續(xù)性7/21/202440《復變函數》(第四版)(4)極限的計算Th1.定義在形式上與敘述方法上十分相似,意義卻大不相同.z

→zo

的任意性更強,條件更苛刻.其相同點是:只是z(或x)進入

zo(或xo)的δ

鄰域.它的象點f

(z)(或f

(x))就進入A

的ε

鄰域,而且它們有相同的極限運算法則.設f(z)=u(x,y)+iv(x,y),A=uo+ivo,zo=xo+iyo,則:?(3)與實變函數極限的異同7/21/202441《復變函數》(第四版)??ε>0,?δ>0,當

0<|(x+iy)－(xo+iyo)

|<δ

時,|(u+iv)－(uo+ivo)

|<ε

,|(u－uo)+i(v－vo)

|<ε

.?|u－uo|<ε

,|v－vo|<ε

,?證:

必要性.7/21/202442《復變函數》(第四版)??ε>0,?δ>0,?|f(z)－A|=|(u－uo)+i(v－vo)

|≤|u－uo|+|v－vo|=ε?證:

充分性.7/21/202443《復變函數》(第四版)由此知：復變函數極限的定義，形式上與一元實函數類似，實質上卻相當于二元函數的極限。（導致導數概念的苛刻）