第2章 圓錐曲線（基礎(chǔ)、?？肌⒁族e、壓軸）分類專項訓練-【滿分全攻略】2022-2023學年高二數(shù)學下學期核心考點+重難點講練與測試滬教版2020選

第2章圓錐曲線（基礎(chǔ)、?？肌⒁族e、壓軸）分類專項訓練

【基礎(chǔ)】

一、單選題

1.（2023秋?上海長寧?高二上海市延安中學?？计谀┮阎c（1,1）在圓/+丫2+辦+。=（）外，則實數(shù)a的取

值范圍為（）

A.（-1,+8）B.（-1,0）

C.（-l,0）u（4,+oo）D.（^?,0）u（4,+oo）

【答案】C

【分析】利用點在圓外，列不等式組，即可解得.

【詳解】因為點（U）在圓x2+y2+ax+a=0外，

《一0

所以丁一“,，解得：ae（-l,0）u（4,^）,

F+F+axl+a>0

故選：C

2.（2021春?上海?高二專題練習）關(guān)于以下兩個命題的真假判斷，正確的是（）.

命題①雙曲線繞其中心逆時針旋轉(zhuǎn)90。后，所得曲線即為原雙曲線的共貌雙曲線；

命題②經(jīng)過雙曲線中心的直線不可能與雙曲線相切.

A.命題①為真命題，命題②為真命題；B.命題①為真命題，命題②為假命題；

C.命題①為假命題，命題②為真命題；D.命題①為假命題，命題②為假命題.

【答案】C

【分析】利用共貌雙曲線的定義判斷命題①；利用雙曲線的性質(zhì)判斷命題②.

【詳解】任取雙曲線，不妨取雙曲線￡-4=1,

對于命題①：雙曲線q-衛(wèi)=1繞其中心逆時針旋轉(zhuǎn)90。后得到的雙曲線為亡-《=1,而4-?=1的共鈍

434343

“2

雙曲線為X-三=1,所以①是假命題；

34

對于命題②設(shè)過原點的直線/,當/的斜率不存在時，/與雙曲線沒有公共點；

片—￡=1

當/的斜率存在時，可設(shè)/：y=履，與雙曲線方程聯(lián)立得：//一，

）=日

消去y得：（從—片〃）/=/。2,

當左=±2》時，/為漸近線，與雙曲線不相切；

a

當七±，x時，判別式△=0-4伊-八2）（-4%2）*0,所以/與雙曲線不可能相切.

所以②正確.

故選：C.

3.（2022秋?上海浦東新?高二上海市進才中學?？计谀┮阎匠蘗+y2-2x+碎y+/n=0表示圓，則實數(shù)〃，

的取值范圍是（）

A.（2,+oo）B.（r°,2）

C.[2,^o）D.（o,2）|J（2,叱）

【答案】D

【分析】根據(jù)二元二次方程表示圓的要求可直接構(gòu)造不等式求解.

【詳解】方程表示圓，.,.（-2）2+質(zhì)!一4,〃>0,B|J（m-2）2>0,解得：m手2,

，實數(shù)機的取值范圍是（—,2）（2,2）.

故選：D.

二、填空題

4.（2021秋?上海楊浦?高二上海市控江中學?？计谀┰O(shè)方程工-丁=1表示雙曲線，則實數(shù)加的取值范圍

m

是.

【答案】（0,+8）

【分析】根據(jù)雙曲線的方程與系數(shù)的關(guān)系可求得實數(shù)〃，的取值范圍.

【詳解】因為方程f-尸=1表示雙曲線，則加>0.

m

故答案為：（0,+8）.

5.（2021秋?上海楊浦?高二復旦附中?？茧A段練習）已知點是圓0:/+》2=/（廠>0）外一點，則

直線V+%丫=/與圓O的位置關(guān)系為

【答案】相交

【分析】先由點與圓的位置關(guān)系得+產(chǎn)，再利用圓心到直線的距離與圓的半徑比較即可.

【詳解】因為點/（不，%）是圓O：f+），2=>0）外一點,

所以x：+y：>r2,

2

又圓心。到直線直線xox+=r的距離

所以直線x°x+=/與圓。相交.

故答案為：相交.

6.（2022秋?上海長寧?高二上海市延安中學校考期末）拋物線r=8y的焦點到準線的距離是.

【答案】4

【詳解】試題分析：拋物線W=8y的焦點是（0,2），準線方程是產(chǎn)-2,所以焦點到準線的距離是4.

考點：拋物線性質(zhì).

7.（2022秋.上海浦東新?高二上海市建平中學?？计谥校╇p曲線犬-1=1的實軸長為.

【答案】2

【分析】根據(jù)雙曲線方程可得。，由此可得實軸長.

【詳解】由雙曲線方程得：4=1,.??雙曲線的實軸長為為=2.

故答案為：2.

8.（2022秋.上海浦東新?高二上海市建平中學?？茧A段練習）拋物線y=4/的焦點坐標是.

【答案】RA）

【分析】將拋物線方程轉(zhuǎn)化為標準形式，由此求得拋物線的焦點坐標.

【詳解】由y=4V得f=Jy,所以拋物線的焦點在，'軸上，且2。=：，4=」，所以拋物線的焦點坐標為

44216

故答案為:

【點睛】本小題主要考查拋物線焦點坐標的求法，屬于基礎(chǔ)題.

9.（2022春?上海徐匯?高二上海市南洋模范中學校考期中）圓/+9=5的過點M（l,2）的切線方程為

【答案】x+2y-5=0

【分析】因為點心在圓上，所以過〃點的切線和0(圓心)M垂直，求出斜率，用點斜式求出方程.

【詳解】根據(jù)題意，圓/+丁=5的圓心為。(0,0),半徑「=百，點M(l,2)在圓上，則自“=2,則切線的斜率

則切線的方程為—=_*_1),變形可得2y+x-5=0；

故答案為：x+2y-5=0

10.(2022秋?上海奉賢?高二?？茧A段練習)已知圓心C(-l,l)且經(jīng)過點A(l,3)圓的標準方程為.

【答案】(x+iy+(y-l)2=8

【分析】求得圓的半徑，從而求得圓的標準方程.

【詳解】圓的半徑r=|AC|=V?壽=2a,

所以圓的標準方程為(x+l)2+(y-l『=8.

故答案為：(x+iy+(y-l)2=8

II.(2021秋.上海青浦.高二?？茧A段練習)已知半徑為1的圓經(jīng)過點(3,4),則其圓心到原點的距離的最小

值為.

【答案】4

【分析】依題意可得該動圓圓心在以(3,4)點為圓心，以1為半徑的圓上，再根據(jù)圓外一點到圓上一點的最近

距離為該點到圓心的距離減去半徑，即可得解.

【詳解】根據(jù)題意圓心到定點⑶4)的距離為1,

所以圓心在以(3,4)點為圓心，以1為半徑的圓C上，

易知原點在圓的圓C外，

由圓外一點到圓上一點的最近距離為該點到圓心的距離減去半徑，

所以圓心到原點的距離的最小值為732+42-1=5-1=4，

故答案為：4

22

12.(2021春?上海?高二專題練習)設(shè)p是橢圓三+二=1上的動點，則產(chǎn)到該橢圓的兩個焦點的距離之和為

53

【答案】275

【解析】由橢圓方程求出。，再根據(jù)橢圓的定義可求得結(jié)果.

【詳解】由二+f=1得/=5,所以a=布,

53

由橢圓的定義可得P到該橢圓的兩個焦點的距離之和為2a=20.

故答案為：2百

13.（2021秋.上海長寧.高二上海市延安中學?？计谀佄锞€）F=x的準線方程為.

【答案】T

4

【詳解】拋物線V=x的準線方程為x=-J：故填X=-!.

44

14.（2021春.上海浦東新?高二上海市建平中學?？计谀┰O(shè)機為常數(shù)，若點尸（0,5）是雙曲線上=1的

m9

一個焦點，則加=

【答案】16

【分析】根據(jù)雙曲線的焦點坐標，判斷出雙曲線焦點所在的坐標軸，再根據(jù)/=/+〃列方程，求得加的

值.

【詳解】雙曲線的焦點坐標為尸（0,5）,故焦點在）'軸上，由。2=/+從得25=〃?+9,機=16.

【點睛】本小題主要考查根據(jù)雙曲線的焦點坐標求雙曲線的方程，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題

15.（2021秋?上海楊浦?高二上海市控江中學校考期末）在平面直角坐標系xOy中，己知圓

〃：/+>2_12尤-14），+60=0及其上一點4（2,4）.

（1）設(shè)圓N與x軸相切，與圓例外切，且圓心N在直線x=6上，求圓N的方程；

（2）設(shè)平行于Q4的直線/與圓M相交于B、C兩點，且18cl=|。4|,求直線/的方程；

（3）設(shè)點TQ,0）滿足：存在圓”上的兩點尸和。，使得PQ=r4,求實數(shù)，的取值范圍.

【答案】(l)(x-6)2+(y-l)2=l

⑵2x-y+5=0或2x—y—15=0

(3)[2-2同2+2同

【分析】⑴根據(jù)直線與圓相切則圓心到直線的距離等于半徑和兩圓外切則圓心距等于半徑之和求解；(2)利

用直線與圓相交時的弦長公式結(jié)合點到直線的距離公式求解；(3)將原問題轉(zhuǎn)化為I竊l=|PQ|W2r=10即可求

解.

【詳解】(1)圓M即(X-6)2+()，-7)2=25,圓心M(6,7),半徑r=5,

由題意，設(shè)圓N的方程為(x-6)2+(y-b)2=b2(b>0),

且7(6-6)2+(/j-7)2=b+5,

解得。=1,所以圓N的方程為(x-6)2+()，-1)2=1；

(2)因為％=2,所以可設(shè)/的方程為y=2x+,〃，即2x-y+,〃=0,

又|BC日OA|=V22+42=2后，

由題意，圓例的圓心M(6,7)到直線/的距離為

d==V25-5=25/5,

即,2送(一行=之。5,解得m=5或機=-15,

所以直線/的方程為2x-y+5=0或2x-y-15=0；

(3)因為P,。為圓M上的兩點，所以|PQ142r=10,

由PQ=S,得|SHPQ|410,即"(-2>+4?410,

解得2—2歷W2+2歷，即實數(shù)：的取值范圍為［2-2歷,2+2后］.

16.(2022.上海.高二專題練習)拋物線的頂點在原點，準線過橢圓三+%=1(。>。>。)的一個焦點，且垂

直于橢圓的長軸，拋物線與橢圓的一個交點為尸］|,平)，求此拋物線的標準方程及橢圓的標準方程.

【答案】拋物線的標準方程為：y2=4x；橢圓的標準方程為：［+［=L

【分析】設(shè)出拋物線的標準方程，利用P可求出拋物線方程,利用橢圓與拋物線共一個焦點得到C,

(22

再根據(jù)P干一%:可、求出橢圓方程.

【詳解】設(shè)拋物線的標準方程為：y2=2px,

因為P(|,半)在拋物線上，所以卷=2p1，得p=2,

所以拋物線的標準方程為：y2=4x.

因為拋物線的準線為：尤=-1,所以橢圓的一個焦點為(-1,0),所以c=l,所以〃=02=],

又P(|,2當在橢圓上，424424

所以講+方6所以萬+叩=|解得/=4,

所以橢圓的標準方程為：二+片=1.

43

17.(2022春?上海閔行?高二上海市七寶中學?？奸_學考試)已知直線/:(2M+1)X+(機+1))，=7機+4,圓

C:(x-l)2+(y-2)2=25

(1)證明直線/與圓C恒相交；

(2)若P(x,y)是圓C上任意一點，求》的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析

⑵[3-5夜,3+5&]

【分析】(1)根據(jù)題意求直線/過定點，并證明該定點在圓內(nèi)，即可證明直線/與圓C恒相交;

(2)設(shè)x+y=r,根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系分析運算.

【詳解】(1)由直線/:(2m+l)x+(m+l)y-7m-4=0得(2x+y-7)，〃+(x+y-4)=0,

令盧+1=。fx=3

,解得,

所以直線/過定點43,1),

圓C:(x-l)2+(y-2)2=25圓心為C(l,2),半徑為5,

AC|=7(3-1)2+(1-2)2=>/5<5,即A在圓內(nèi),

所以直線/與圓C總相交.

（2）設(shè)x+y=f,即x+y-f=O為直線，

?.?該直線和圓C有公共點，

則圓心到直線的距離4=史竟目45,解得fe［3-5板,3+50］,

所以x+y的取值范圍是［3-5&,3+5夜］.

18.（2023秋?上海普陀?高二上海市晉元高級中學?？计谀㏎）若直線4過點P（-l,2）,且與直線

3x-4y+5=0垂直，求直線4的方程；

（2）若直線4過點。（L-2）,且與圓產(chǎn)+產(chǎn)二］相切，求直線4的方程.

【答案】（1）4x+3y—2=0；（2）x=l或3x+4y+5=0.

【分析】（1）根據(jù)垂直列出直線《的方程，代入網(wǎng)-1,2）,求出直線6的方程；

（2）考慮直線〃的斜率不存在和存在兩種情況，結(jié)合點到直線距離公式列出方程，求出直線方程.

【詳解】（1）設(shè)直線4：4x+3y+C=。，將P（—1,2）代入得：-4+6+C=0,解得：C=-2,

故直線《的方程為4x+3）-2=0；

（2）當直線4的斜率不存在時，x=\,此時與圓V+y2=i相切，滿足要求，

當直線/,的斜率存在時，設(shè)直線/2：y+2=z（x-i）,則圓心到直線距離母2=1,

解得：k=_g3,

4

故直線4：y+2=-；（x-l）,整理得：3x+4y+5=0,

故直線4的方程為x=l或3x+4y+5=0.

19.（2023秋?上海閔行?高二上海市七寶中學校考期末）已知圓C：（x-2）2+y2=l.

（1）判斷直線丁=》與圓的位置關(guān)系并說明理由；

⑵過點（3,2）向圓作切線，求切線的方程.

【答案】（1）相離

⑵x=3和3x-4y-l=0

【分析】（1）根據(jù)圓心到直線的距離即可判斷直線'與圓的位置關(guān)系.

（2）分別討論切線的斜率存在和不存在的情況，根據(jù)圓心到切線的距離等于半徑求解即可.

【詳解】（1）圓C：（x-2）2+y2=l,圓心C（2,0）,半徑刑=1,

圓心C（2,0）到直線y=x的距離"=差=夜＞1,

所以直線與圓的位置關(guān)系為相離.

（2）當切線的斜率不存在時，設(shè)切線為x=3,

則圓心C（2,0）到直線x=3的距離4=|2-3|=1=r,符合條件.

當切線的斜率存在時，設(shè)切線為：y-2=Mx-3）,即米-y+2-3?=0,

圓心C（2,0）到直線履-y+2-3%=0的距離4=圍售㈣=1,

—+1

3

解得％=；即切線為：3x-4y-l=0.

綜上切線為：x=3和3x-4y-1=0

20.（2023秋?上海浦東新?高二上海市建平中學?？计谀┮阎獔AG：f+y2-2x-2y-l=0和圓

22

C2:x+y=S.

⑴證明：圓a和相交；

（2）求圓G和G公共弦所在的直線方程.

【答案】（1）證明見解析；

⑵2x+2y-7=0

【分析】（1）利用兩圓圓心距與兩圓半徑之間的關(guān)系即可證明圓C1和G相交；

（2）利用兩圓方程相減即可求得圓G和C2公共弦所在的直線方程.

【詳解】（1）圓G：（x-l）2+（y-l『=3,圓心為（1,1）,半徑為石

22

0|C2:x+y=8,圓心為（0,0）,半徑為2A歷

圓心距|GG|=及"2應(yīng)-620+@,故圓G和G相交.

（2）由（1）可得圓G和C2相交,

x2+y2-2x-2y-l=0

聯(lián)立兩圓方程，

^+/-8=0

并上下相減可得圓G和C?公共弦所在的直線方程為2x+2>--7=0.

22

21.(2022秋?上海浦東新?高二上海市建平中學?？茧A段練習)設(shè)f為實數(shù)，若關(guān)于的方程工+工=1

3Tt-\

表示的是曲線C,求滿足下列條件的，的取值范圍.

(1)曲線C是橢圓；

(2)曲線c是焦點在y軸上的雙曲線.

【答案】⑴(1,2)(2,3)

⑵(3,+8)

【分析】由橢圓及雙曲線的定義列不等式求解即可

3T>0

【詳解】(1)由題意知"-1>0,解得次(1,2)(2,3)

3-，工，一1

V?X?it—3>0

(2)由題意知上———=1,則,八，解得fe(3,+oo)

t-\r-3r-l>0

【?？肌?/p>

選擇題(共1小題)

1.(2022?迎澤區(qū)校級模擬)國家體育場“鳥巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥瞰圖如圖1所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率

相同的橢圓；某校體育館的鋼結(jié)構(gòu)與“鳥巢”相同，其平面圖如圖2所示，若由外層橢圓長軸一端點A和

短軸一端點8分別向內(nèi)層橢圓引切線AC,BD,且兩切線斜率之積等于其，則橢圓的離心率為()

8

圖1圖2

A.3B.5C.近D.近

4844

22YYyy

【分析】過P(xo,")且與橢圓三三二1相切的直線方程N為利n用這一結(jié)論分別設(shè)出過C

abab

點和。點與橢圓相切的直線方程，

分別代入A,8坐標，求出C,。的坐標，進而表示出直線AC和直線B。的斜率，再代入k°?k?=至求

KACKBD8

出小人的關(guān)系式，進而求出離心率.

2222

【解答】解：設(shè)內(nèi)圈橢圓的方程為三三=1,外圈橢圓的方程為一)■(一工^=1，其中相〉1,

a2b2(m?1)(rob)

則4(-ma,0),B(0,mb),設(shè)C(xc,yc),D(XD,yo).

過C點且與內(nèi)圈橢圓相切的直線方程為寫］,代入4點坐標，整理得乂「二」"，

Cm

代入且yC<0，解得篙=?爪2-1,所以卜b__1

cALaVm2-1

a2b2mxc+ma

過D點且與內(nèi)圈橢圓相切的直線方程為號代入B點坐標，整理得丫.上，

yDm

代入三二且解得二’所以」

7=1M>°'kBD=2^-*Vm2-l-

abmXDJ

所以kiknn上二，e=,值乙昌運

KKe1

ACBDa28Ua2V84

故選：D.

【點評】本題考查橢圓的切線方程，幾何性質(zhì)，屬于中檔題.

二.填空題(共12小題)

2.(2022春?青浦區(qū)校級期末)直線/：x+wv-w-1=0被圓。：，+/=3截得的弦長最短，則實數(shù)m=1

【分析】求出直線MV過定點A(1,1),進而判斷點A在圓內(nèi)，當OA，/時,IMM取最小值，利用兩直線

斜率之積為-1計算即可.

【解答】解：直線MN的方程可化為x-1+m(y-1)=0,

由卜-i二°,w(x=1,

17-1=01y=l

所以直線MN過定點A(1,1),

因為1+1=2V3,即點A在圓/+y2=3內(nèi).

當0A，/時，|MN］取最小值，

由koA?ki=-1,得ki=-1,

/.--=-1,即m=\.

m

故答案為：1.

【點評】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，也考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

3.（2022春?青浦區(qū)校級期末）已知點P是拋物線y2=4x上的一個動點，則點尸到點（0,我）的距離與尸

到y(tǒng)軸的距離之和的最小值為1.

【分析】求出拋物線的焦點坐標，利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化列出方程，然后求解最值即可.

【解答】解：拋物線V=4x,拋物線的焦點坐標F（l,0）.

依題要求點P到點A（0,M）的距離與點尸到y(tǒng)軸的距離之和的最小值，

就是|網(wǎng)+|產(chǎn)目-l=1.此時尸、4、尸共線.

可得：V（0-l）2+（V3-0）2-1=1-

故答案為：1.

【點評】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，拋物線的定義的應(yīng)用，考查計算能力，是中檔題.

4.（2022春?崇明區(qū)校級期中）與雙曲線--尸=1有相同的漸近線，且過點（12）的雙曲線的標準方程

為ZLJ

-33i-

【分析】可設(shè)與雙曲線/-/=1有相同漸近線的雙曲線的方程為，-）2=入（入#0）,將點a,2）代入，

解方程求得入值，即可得到所求方程.

【解答】解：設(shè)與雙曲線/-尸=1有相同漸近線的雙曲線的方程為：--丫2=入（入#o）,

將點（1,2）代入上式，可得入=1-4=-3,

22

...所求雙曲線的方程為f-尸=-3,即為匚_J=i.

33

故答案為：

33

【點評】本題考查有相同漸近線的雙曲線的方程的求法，注意運用待定系數(shù)法，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)

題.

5.（2022春?嘉定區(qū)校級月考）已知2/7+（?+1）），2+2x+l=0表示圓，則實數(shù)a的值是

【分析】直接利用圓的方程的應(yīng)用求出結(jié)果.

【解答】解：2。2/+（a+1）y^+2x+1=0表示圓，

故2a2=q+l,解得”=1或-工，

2

當。=1時，圓的方程為x2+y2+x,=o，由于l-4X、<0,故不滿足圓的方程的條件，故舍去；

當。=-工時，滿足圓的方程構(gòu)成的條件，故〃=-1.

22

故答案為：-1.

2

【點評】本題考查的知識要點：圓的方程，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

2石

6.（2022春?長寧區(qū)校級期末）若雙曲線Z_-y2=］的一個焦點為/⑵0）,則實數(shù)〃尸3.

m

【分析】根據(jù)雙曲線方程〃計1=4即可得解.

2八

【解答】解：雙曲線三__y2二］的一個焦點為尸（2,0）,

m

所以m>0且"z+l=4,

所以m=3.

故答案為：3

【點評】本題主要考查由雙曲線方程求參數(shù)值的方法，屬于基礎(chǔ)題.

7.（2022春?閔行區(qū)校級期末）已知點P在拋物線），2=4x上，那么點尸到點Q（2,-1）的距離與點P到

拋物線焦點的距離之和取得最小值時，點尸的坐標為-1）—.

4

【分析】先判斷點。與拋物線的位置，即點。在拋物線內(nèi)，再由點P到拋物線焦點距離等于點P到拋物線

準線距離，根據(jù)圖象知最小值在S,P,。三點共線時取得，則答案可求.

【解答】解：點P到拋物線焦點距離等于點尸到拋物線準線距離，如圖，

PF+PQ^PS+PQ,故最小值在S,P,。三點共線時取得，此時P,。的縱坐標都是-1,

把y=-1代入夕=4X，得X=工.

4

.?.點尸的坐標為（工，-1）.

4

故答案為：（工，-1）.

【點評】本題考查拋物線的定義的應(yīng)用，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題.

22

8.（2022春?金山區(qū)期中）已知為，尸2是橢圓的兩個焦點，過Fl的直線交此橢圓于A,B兩點,

93

若團五2|+|8/切=8,則兇81=4.

【分析】根據(jù)橢圓的定義,得（|AFI|+|AF2|）+（|BFI|+|BF2|）=4“=12,由此可得|48|=12-（|A尸2|+逐尸2|）

=4,得到本題答案.

22

【解答】解：；橢圓的方程為工工=1,...4=3,b=?,可得c=五.

93

根據(jù)橢圓的定義，得|AFi|+|AF2|=|BFi|+|8/2|=2a=6

得(|AFI|+|AF2|)+(|BFI|+|BF2|)=12

22

,：AB是過橢圓1+2^=1左焦點F\的弦，得|AFi|+由Fi|=|A用

93

：.\AB\=\2-（IAF2I+IBF2D=12-8=4

故答案為：4

【點評】本題給出橢圓經(jīng)過左焦點的弦48,在已知A、8到右焦點的距離和的情況下求弦AB長.著重考查

了橢圓的定義與標準方程等知識，屬于基礎(chǔ)題.

9.（2022春?寶山區(qū)校級期中）已知直線/1：4x-3j+ll=0和直線b：x=-1,拋物線y2^4x上一動點P

到直線1\和直線11的距離之和的最小值是3.

【分析】如圖所示，過點P分別作PMJJi,PNkh,垂足分別為M,M設(shè)拋物線的焦點為凡由拋物線

的定義可得|PN|=|PF|,求|PM+|PN|轉(zhuǎn)化為求PM+FQ，當三點M，P,尸共線時，IPM+IPQ取得最小值.利

用點到直線的距離公式即可得出.

【解答】解：如圖所示，

過點P分別作PN±l2,垂足分別為M,N.

設(shè)拋物線的焦點為FQ,0）,由拋物線的定義可得|PN|=|Pfl，

：.\PM\+\PN\=\PM\+\PF],當三點M,P,尸共線時,1PM+IPR取得最小值.

其最小值為點F到直線/I的距離，...|五例|=4-0+111=3.

3+32

【點評】本題考查了拋物線的定義及其性質(zhì)、三點共線、點到直線的公式，屬于難題.

22

10.（2022春?徐匯區(qū)校級期末）已知雙曲線￥一今二1（@>0,b>0）的左右焦點分別為八乃，過為

的直線分別交雙曲線的兩條漸近線于點尸，Q.若點P是線段尸1。的中點，且。22,則此雙曲線的離

心率等于2.

【分析】由于。門，。尸2,可得點。在圓/+/=。2.與y」x可得。，再利用中點坐標公式可得P，代入

a

直線y=_^x即可得出.

a

【解答】解：如圖所示，

'：QF\LQFi,

.?.點。在圓/+/=c2.

x2+y2=c2

聯(lián)立「b'C解得（x=a,（]x=-a舍劫.

y—x\y=bly=-b

，。（a,b）.

.?.線段FiQ的中點P（?豆￡,電）.

,22’

代入直線y=±X可得且=aX-，

a2a2

化為c—2n>>?e=c=2*

a

故答案為：2.

【點評】本題綜合考查了雙曲線的標準方程及其性質(zhì)、圓的性質(zhì)、中點坐標公式等基礎(chǔ)知識，屬于中檔題.

11.(2022春?奉賢區(qū)校級期末)已知F是拋物線C：y2=8x的焦點，M是C上一點，的延長線交y軸

于點N.若M為FN的中點，則IFNI=6.

【分析】求出拋物線的焦點坐標，推出M坐標，然后求解即可.

【解答】解：拋物線C：/=8x的焦點F(2,0),M是C上一點，的延長線交y軸于點M若M為FN

的中點，

可知M的橫坐標為：1,則M的縱坐標為：±2\歷，

226

\FN\=2\FM\=2^(1-2)+(±2>/2-0)=-

【也可以利用定義：尸N|=2|FM|=2|-1-2|=6求解工

故答案為：6.

【點評】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力.

12.(2022春?長寧區(qū)校級期末)若將方程I/(x-4)2+y2-J(x+4)2+y2|=6化簡為《-與=1的形式,

貝ija2-廬=2.

【分析】方程M(x-4)2+y2H(x+4)2+y2|=6,表示點(x,>)到(4,0),(-4,0)兩點距離差的

絕對值為6,由此可得雙曲線的方程，從而可得結(jié)論.

【解答】解：方程M(x-4)2+y2f/(x+4)2+y2|=6,表示點(x,y)到(4,0),(-4,0)兩點距離

差的絕對值為6,

...軌跡為以(4,0),(-4,0)為焦點的雙曲線，方程為式_X：=i

97

.,.a2-b2—2

故答案為：2

【點評】本題考查雙曲線的定義與方程，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題.

13.(2022春?寶山區(qū)校級月考)已知AC、為圓O：/+尸=4的兩條相互垂直的弦，垂足為五),

則四邊形ABC。的面積的最大值為5.

【分析】設(shè)圓心到AC、8。的距離分別為力、＜12,則療+療=3,代入面積公式s=LcXB。，使用基本

2

不等式求出四邊形48C。的面積的最大值.

【解答】解：如圖

連接。A、作OEL4C。尸，8。垂足分別為E、F

'：AC±BD

二四邊形OEMF為矩形

己知OA=OC=2OM=y/3,

設(shè)圓心O到AC.BD的距離分別為di、d2,

則d\2+dr=OM2=3.

四邊形A8CO的面積為：s=4?|AC|(\BM\+\MD\),

2

從而：

s=y|AC|?|BD|=聞(4-冷(4-dQ48-(dj+dQ=5，

當且僅當力2=d22時取等號，

故答案為：5.

【點評】此題考查學生掌握垂徑定理及勾股定理的應(yīng)用，靈活運用兩點間的距離公式化簡求值，是一道中

檔題.解答關(guān)犍是四邊形面積可用互相垂直的2條對角線長度之積的一半來計算.

三.解答題（共5小題）

14.（2022春?閔行區(qū)校級期末）已知直線/過點A（-3,1）,且與直線4x-3y+f=0垂直.

（1）求直線/的一般式方程；

（2）若直線/與圓C：x2+y2=z?相交于點p,Q,且|PQ=8,求圓C的方程.

【分析】（1）結(jié)合兩直線垂直時斜率的關(guān)系求出直線/的斜率，進而可以求出結(jié)果；

（2）求出圓心到直線的距離，結(jié)合勾股定理列出方程即可求出結(jié)果.

【解答】解：（1）因為直線/與直線4x-3y+f=0垂直，所以直線/的斜率為上，

4

故直線/的方程為（x+3），即3x+4y+5=0,

因此直線I的一般式方程為3x+4y+5=0.

（2）圓C：/+/=〃?的圓心為（0,0）,半徑為6，

圓心（0,0）到直線I的距離為上'?+士義止也1=1，

則半徑滿足"2=42+12=17,即初=17,所以圓C：x2+y2=17.

【點評】本題主要考查直線方程的求解，圓的方程的求解等知識，屬于基礎(chǔ)題.

15.（2022春?黃浦區(qū)校級期中）設(shè)橢圓￡+武=1（心心0）的左焦點為凡左頂點為A,上頂點為B.已

2,2

ab

知我|。4|=2|。用（0為原點）.

（I）求橢圓的離心率：

（II）設(shè)經(jīng)過點尸且斜率為旦的直線/與橢圓在x軸上方的交點為P,圓C同時與x軸和直線/相切，圓心

4

C在直線x=4上，且OC〃AP.求橢圓的方程.

【分析】（I）由題意可得曰。=2兒再由離心率公式可得所求值；

_22

（II）求得a=2c,b=Mc,可得橢圓方程為-1—+二=1,設(shè)直線FP的方程為>=旦（x+c）,聯(lián)立橢

4c23c2.4

圓方程求得P的坐標，以及直線4P的斜率，由兩條直線平行的條件和直線與圓相切的條件，解方程可得c

=2,即可得到所求橢圓方程.

【解答】解：（I）愿|。4|=2|。用，即為百a=2b,

(II)b=^，-a,c=Aa,

22

即a=2c,b=\[^c,

22

可得橢圓方程為鼻+二=1，

4.c23c2

設(shè)直線尸產(chǎn)的方程為y=3(x+c),

代入橢圓方程可得7/+6cx-13（?=0,

解得x=c或x=-9￡,

7

代入直線PF方程可得了=現(xiàn)或y=-斑（舍去），

214

可得尸（c,也），

2

圓心C在直線x=4上，KOC//AP,可設(shè)C（4,力,

3c

可得主=_工_,解得r=2,

4c+2c

即有C（4,2）,可得圓的半徑為2,

由直線FP和圓C相切的條件為d=r,

可得[3X4-4X2+3c|_2,解得c=2,

49+16

可得a=4,b=2-\[3,

可得橢圓方程為直+￡=1.

1612

【點評】本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，注意運用直線和橢圓方程聯(lián)立，求交點，以及直線和圓相切的條件:

d=r,考查化簡運算能力，屬于中檔題.

16.(2022春?浦東新區(qū)校級期中)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2+j2-12x

-14y+60=0及其上一點A(2,4).

(1)設(shè)圓N與x軸相切，與圓例外切，且圓心N在直線x=6上，求圓N的標準方程；

(2)設(shè)平行于OA的直線/與圓M相交于8、C兩點，且8c=。4,求直線/的方程；

(3)設(shè)點TG,0)滿足：存在圓M上的兩點P和Q,使得干+亍？=而，求實數(shù)f的取值范圍.

【分析】(1)設(shè)N(6,n),則圓N為：(x-6)2+(y-n)2=n2,n>0,從而得到|7-川=|〃|+5,由此能求

出圓N的標準方程.

(2)由題意得OA=2相，koA=2,設(shè)/：y=2x+b,則圓心例到直線/的距離：”=153I,由此能求出

V5

直線/的方程.

(3)法一：TA+TP=TQ-WlTAI=V(t-2)2+42,又I的河1。，得日2-2&T，2+2折］,對于任意日2

-2亞,2+2收］,欲使五=鈍，只需要作直線n的平行線，使圓心到直線的距離為丁25上期土，由

此能求出實數(shù)/的取值范圍.

法二:AT=TP-TQ=QP,從而而可以表示任何長度不超過圓M的直徑的向量，進而問題等價于點7(30)

在圓A：(x-2)2+(y-4)2=100的圓內(nèi)部(包含邊界)，由此能求出實數(shù)1的取值范圍.

【解答】解：(1)在直線x=6上，.?.設(shè)N(6,"),

?.?圓N與x軸相切，...圓N為:(x-6)2+(y-n)2=n2,n>0,

又圓N與圓加外切，圓M：?+/-12x-14j-+60=0,即圓M：(x-6)2+(y-7)2=25,

二|7-川=|川+5,解得〃=1,

.?.圓N的標準方程為(x-6)2+(y-1)2=1.

(2)由題意得。4=2，*^,koA=2,設(shè)/：y—2x+b,

則圓心M到直線1的距離：?l"7+b|

則|BC|=2j52_d2=2{25_(5B)2，BC=2娓,即2425—")2=2&,

解得b=5或b=-15,

???直線/的方程為：y=2x+5或y=2x-15.

(3)解法一：設(shè)尸(xi,y\),Q(X2,"),

VA(2,4),T(r,0),TA+TP=TO

力=丫1+4

?.?點Q在圓M上，(垃-6)2+(”-7)2=25,②

將①代入②,得(XI-r-4)2+(yi-3)2=25,

，點尸(xi,yi)既在圓〃上，又在圓[x-(f+4)]2+(j-3)2=25上，

從而圓(x-6)2+(y-7)2=25與圓[x-(什4)『+(y-3)2=25有公共點,

.??5-5?#&+4)-6]2+(3-7)2人+5.

解得2-2亞〈《2+2技，

.?.實數(shù)f的取值范圍是[2-2屈，2+2V21].

解法二：由題意，AT=TP-TQ=QP，而P，?？梢栽趫AM上任取,

...而可以表示任何長度不超過圓M的直徑的向量,

\fM\

01r

...問題等價于點TG,0)在圓A：(x-2)2+(y-4)2=100的圓內(nèi)部(包含邊界)，

即(L2)2+(y-4)2W100,

解得2-2721^^2+2721，

，實數(shù)f的取值范圍是[2-2&L2+2V21].

【點評】本題考查圓的標準方程的求法，考查直線方程的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，

解題時要認真審題，注意圓的性質(zhì)的合理運用.

17.(2022春?黃浦區(qū)校級期中)如圖，已知動圓M過定點F(l,0)且與y軸相切，點F關(guān)于圓心M的對

稱點為戶，點F'的軌跡為從

(1)求曲線H的方程；

(2)一條直線AB經(jīng)過點F,且交曲線，于A、8兩點，點C為直線x=l上的動點.

①求證：N4cB不可能是鈍角；

②是否存在這樣的點C,使得△ABC是正三角形？若存在，求點C的坐標；否則，說明理由.

【分析】⑴設(shè)P(x,y),則可得M(等，Z),圓M的直徑為|獷l=7(x-l)2+y2,利用動圓〃

與)，軸相切，即可求得曲線C的方程；

(2)①設(shè)直線AB：工=沖+1,A(xi,y\),B(x2,y2),C(-1,〃)，聯(lián)立直線與拋物線方程，進而利用

韋達定理結(jié)合向量的數(shù)量積運算，得到瓦?馥20恒成立，可得結(jié)論；

②由①知M(2川+1,2m),根據(jù)CM與AB垂直，斜率積為-1,可得〃=2/+4機，再由|CM|=零HB|,

求出m值.

【解答】解：(1)設(shè)尸(x,y),因為點”(1,0)在圓M上，且點尸關(guān)于圓心M的對稱點為F,

則M(等，Z),而叱l=7(x-l)2+y2,

則昂(x_1)2+y2=*|x+1|,

化簡得：y2=4x,所以曲線C的方程為)，2=4x…(5分)

(2)①設(shè)直線AB：x=niy+\fA(xi,yi)?B(%2,”)，C(1,n)

,x=my+lo

由《，得y2--4=0,

.y2=4x

貝|Jyi+y2=4/n,y\*yi=-4,x\+xi=m(yi+”)+2=4/w2+2,xi*x2=nry\*y2+m(yi+>2)+1=1…(7分)

CA=(xi-1,y\-n),CB=(X2-1,y2-n),

=e2

CA*CBxix2-XI-x2+l+yi*y2-n(yi+”)+n=(2m-n)之》。恒成立'

則/ACB不可能是鈍角；…（10分）

②假設(shè)存在這樣的點C,由①知川（2川+1,2m）

kcM"kAB=，21nn..._L=-1,則"=2,7?+4,〃，則c（-1,Inv'+^m'）,

2m2+2m

則|CM=1（21^+2）2+（2m3+2m）2=2（瘍+1）Vm2+r

而1n2+1儀1-”|=4（“f+i）,由右陰=444陰得，，”=士