概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)浙大版第三章課件

第三章隨機(jī)變量及其分布本章介紹了隨機(jī)變量的概念及其常見的分布類型。隨機(jī)變量是將隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)值化的工具，它可以幫助我們更好地理解和分析隨機(jī)事件。ffbyfsadswefadsgsa3.1隨機(jī)變量的概念隨機(jī)變量是將隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果用數(shù)值表示的變量。隨機(jī)變量可以是離散的，也可以是連續(xù)的。離散隨機(jī)變量的取值是有限個(gè)或可數(shù)個(gè)，而連續(xù)隨機(jī)變量的取值可以是某個(gè)區(qū)間內(nèi)的任何值。1隨機(jī)現(xiàn)象例如拋硬幣、擲骰子等2隨機(jī)變量將隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果用數(shù)值表示3離散型取值有限個(gè)或可數(shù)個(gè)4連續(xù)型取值可以是某個(gè)區(qū)間內(nèi)的任何值隨機(jī)變量的定義1定義隨機(jī)變量是指其值隨某個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果而變化的變量，它是將隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果用數(shù)值表示的一種方式。2類型隨機(jī)變量可以分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量，取決于其取值是否可以連續(xù)變化。3應(yīng)用隨機(jī)變量在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中扮演著重要的角色，用于描述和分析隨機(jī)現(xiàn)象，例如拋硬幣的結(jié)果、股票價(jià)格的波動(dòng)。4表示通常用大寫字母X、Y等來表示隨機(jī)變量，其取值用小寫字母x、y等來表示。隨機(jī)變量的分類離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量的值只能取有限個(gè)值或可數(shù)個(gè)值，這些值通常是整數(shù)。例如，一個(gè)班級(jí)中，學(xué)生人數(shù)是一個(gè)離散型隨機(jī)變量。連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量的值可以在一定范圍內(nèi)任意取值，這些值通常是實(shí)數(shù)。例如，一個(gè)人的身高是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量。3.2離散型隨機(jī)變量及其分布離散型隨機(jī)變量是其取值可以被枚舉或計(jì)數(shù)的隨機(jī)變量。例如，拋硬幣兩次，正面出現(xiàn)的次數(shù)就是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它可以取值為0,1或2。1定義取值可以被枚舉或計(jì)數(shù)。2分布函數(shù)描述隨機(jī)變量在某個(gè)特定值或以下取值的概率。3概率質(zhì)量函數(shù)描述隨機(jī)變量取每個(gè)特定值的概率。4常見分布伯努利分布、二項(xiàng)分布、泊松分布等。這些分布幫助我們分析和預(yù)測離散隨機(jī)變量的行為，廣泛應(yīng)用于統(tǒng)計(jì)推斷、機(jī)器學(xué)習(xí)等領(lǐng)域。離散型隨機(jī)變量的概念定義離散型隨機(jī)變量是指其取值可以是有限個(gè)或可數(shù)無限個(gè)的隨機(jī)變量.這些取值通常可以用整數(shù)表示,也可能用其他離散的符號(hào)表示.特點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的取值之間存在間斷,無法取到兩個(gè)相鄰取值之間的任何值.例如,擲一枚硬幣的結(jié)果只能是正面或反面,無法取到介于正面和反面之間的值.離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是描述隨機(jī)變量取值的概率。它表示隨機(jī)變量取值小于或等于某個(gè)值的概率。性質(zhì)分布函數(shù)是非遞減的，且在隨機(jī)變量的每個(gè)取值點(diǎn)上是右連續(xù)的。用途分布函數(shù)可以用來計(jì)算隨機(jī)變量取值的概率，并幫助理解隨機(jī)變量的分布規(guī)律。離散型隨機(jī)變量的概率質(zhì)量函數(shù)概率質(zhì)量函數(shù)離散型隨機(jī)變量的概率質(zhì)量函數(shù)(PMF)是一個(gè)函數(shù)，它為每個(gè)可能的隨機(jī)變量值分配一個(gè)概率。表格表示概率質(zhì)量函數(shù)可以方便地以表格的形式表示，列出每個(gè)值的概率。公式表示概率質(zhì)量函數(shù)也可以用數(shù)學(xué)公式表示，描述每個(gè)值與概率之間的關(guān)系。常見的離散型隨機(jī)變量分布伯努利分布伯努利分布描述了只有兩種可能結(jié)果的事件，例如拋硬幣的結(jié)果是正面還是反面。每個(gè)結(jié)果都有一個(gè)對(duì)應(yīng)的概率，兩個(gè)概率之和為1。二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布描述了在n次獨(dú)立試驗(yàn)中，成功次數(shù)的概率分布。每次試驗(yàn)只有兩種可能的結(jié)果，成功或失敗，每個(gè)結(jié)果都有一個(gè)固定的概率。泊松分布泊松分布描述了在給定時(shí)間段或空間內(nèi)，隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)的概率分布。例如，在特定時(shí)間段內(nèi)，電話呼叫的次數(shù)。幾何分布幾何分布描述了在獨(dú)立試驗(yàn)中，第一次成功之前失敗次數(shù)的概率分布。例如，在拋硬幣時(shí)，第一次出現(xiàn)正面的次數(shù)。3.3連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布1連續(xù)型隨機(jī)變量的概念連續(xù)型隨機(jī)變量取值可以在某個(gè)范圍內(nèi)連續(xù)變化，比如身高、體重、溫度等。2分布函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義與離散型隨機(jī)變量相同，但其圖像為連續(xù)曲線。3概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)是分布函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，它描述了隨機(jī)變量在某一點(diǎn)附近取值的可能性。連續(xù)型隨機(jī)變量的概念1定義連續(xù)型隨機(jī)變量是指取值可以是某個(gè)區(qū)間內(nèi)任意實(shí)數(shù)的隨機(jī)變量。2特點(diǎn)連續(xù)型隨機(jī)變量的取值是連續(xù)的，這意味著在任何兩個(gè)取值之間都存在著無數(shù)個(gè)取值。3舉例例如，人的身高、體重、血壓等都是連續(xù)型隨機(jī)變量。4應(yīng)用連續(xù)型隨機(jī)變量在統(tǒng)計(jì)學(xué)、概率論等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)，也稱為累積分布函數(shù)(CDF)，表示隨機(jī)變量取值小于等于某個(gè)值的概率。它描述了隨機(jī)變量取值的累積概率分布。性質(zhì)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是一個(gè)非遞減函數(shù)，且在所有點(diǎn)上連續(xù)。它在負(fù)無窮處取值為0，在正無窮處取值為1。應(yīng)用分布函數(shù)可以用于計(jì)算隨機(jī)變量取值落在某個(gè)區(qū)間的概率，并用于描述隨機(jī)變量的概率分布特征。連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)描述了該隨機(jī)變量在某個(gè)特定取值的概率密度。面積表示概率概率密度函數(shù)下某個(gè)區(qū)間內(nèi)的面積表示該隨機(jī)變量落在這個(gè)區(qū)間內(nèi)的概率。峰值表示可能性概率密度函數(shù)的峰值表示隨機(jī)變量在該取值附近出現(xiàn)的可能性最大。常見的連續(xù)型隨機(jī)變量分布正態(tài)分布正態(tài)分布是統(tǒng)計(jì)學(xué)中最常見的一種連續(xù)型分布，它被廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)和工程領(lǐng)域。正態(tài)分布的形狀類似于鐘形曲線，中心對(duì)稱，概率密度函數(shù)由均值和標(biāo)準(zhǔn)差決定。指數(shù)分布指數(shù)分布主要用于描述事件發(fā)生的時(shí)間間隔，例如機(jī)器故障、電話呼入等。指數(shù)分布的特點(diǎn)是，事件發(fā)生的時(shí)間間隔越短，概率越大。均勻分布均勻分布是指在一個(gè)給定的區(qū)間內(nèi)，所有值出現(xiàn)的概率都相等。均勻分布的概率密度函數(shù)是常數(shù)函數(shù)，形狀為矩形。伽馬分布伽馬分布通常用于描述等待時(shí)間，例如等待設(shè)備故障、等待客戶到達(dá)等。伽馬分布的形狀由形狀參數(shù)和尺度參數(shù)決定。3.4隨機(jī)變量的數(shù)字特征期望期望是隨機(jī)變量所有可能取值的加權(quán)平均值，反映了隨機(jī)變量的平均水平。方差方差是隨機(jī)變量取值與其期望值之差的平方的期望值，反映了隨機(jī)變量的波動(dòng)程度。標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差是方差的平方根，與方差具有相同的單位，便于理解和比較。隨機(jī)變量的期望1定義隨機(jī)變量的期望值是其所有可能取值的概率加權(quán)平均值。它反映了隨機(jī)變量的平均取值。2表示方法用符號(hào)E(X)表示隨機(jī)變量X的期望值，也稱為數(shù)學(xué)期望或均值。3計(jì)算公式對(duì)于離散型隨機(jī)變量，期望值E(X)等于X的所有可能取值與其對(duì)應(yīng)概率的乘積之和。對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，期望值E(X)等于X的概率密度函數(shù)與其對(duì)應(yīng)取值的乘積在整個(gè)定義域上的積分。4意義期望值是隨機(jī)變量的重要數(shù)字特征，它可以用來描述隨機(jī)變量的中心位置或平均取值。隨機(jī)變量的方差方差的概念方差是用來衡量隨機(jī)變量取值與其期望值的偏離程度的指標(biāo)。方差越大，隨機(jī)變量的取值越分散，反之亦然。方差的計(jì)算方差的計(jì)算方法是求隨機(jī)變量與期望值之差的平方的期望值。方差的平方根稱為標(biāo)準(zhǔn)差。隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差定義標(biāo)準(zhǔn)差衡量隨機(jī)變量偏離其期望值的程度。它是一個(gè)正數(shù)，反映了數(shù)據(jù)的分散程度。計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差是方差的平方根。方差是隨機(jī)變量與其期望值之差的平方的期望值。意義標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)越分散，反之亦然。標(biāo)準(zhǔn)差是統(tǒng)計(jì)分析中常用的指標(biāo)。3.5多維隨機(jī)變量及其分布二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量指的是由兩個(gè)隨機(jī)變量共同組成的隨機(jī)向量。它描述了兩個(gè)變量之間的關(guān)系，并可以用于分析它們的變化趨勢和相互影響。聯(lián)合分布二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)描述了兩個(gè)變量取特定值組合的概率，并可以反映它們之間的依賴關(guān)系。邊緣分布邊緣分布是指對(duì)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)進(jìn)行積分或求和后得到的單個(gè)變量的概率分布。條件分布條件分布是指在已知另一個(gè)變量取特定值的情況下，一個(gè)變量的概率分布。數(shù)字特征二維隨機(jī)變量的數(shù)字特征，如期望、方差和協(xié)方差，可以用來描述它們的中心位置、離散程度和相關(guān)性。二維隨機(jī)變量及其分布定義二維隨機(jī)變量是指由兩個(gè)隨機(jī)變量組成的變量對(duì)，每個(gè)變量都代表一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果。二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)是描述二維隨機(jī)變量取值范圍內(nèi)的概率。聯(lián)合分布聯(lián)合分布是指二維隨機(jī)變量中兩個(gè)變量的聯(lián)合概率分布，它描述了兩個(gè)變量取值同時(shí)發(fā)生的概率。聯(lián)合分布函數(shù)可以表示為F(x,y)，其中x和y分別表示兩個(gè)變量的取值。二維隨機(jī)變量的數(shù)字特征期望期望是二維隨機(jī)變量的平均值，表示兩個(gè)隨機(jī)變量的平均取值。方差方差是二維隨機(jī)變量的離散程度，反映了兩個(gè)隨機(jī)變量的波動(dòng)程度。協(xié)方差協(xié)方差度量了兩個(gè)隨機(jī)變量之間的線性關(guān)系，正值表示正相關(guān)，負(fù)值表示負(fù)相關(guān)，0表示不相關(guān)。相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)是協(xié)方差的標(biāo)準(zhǔn)化版本，介于-1和1之間，表示兩個(gè)隨機(jī)變量之間線性關(guān)系的強(qiáng)弱。相關(guān)系數(shù)1定義相關(guān)系數(shù)用來衡量兩個(gè)隨機(jī)變量之間的線性關(guān)系程度。它表示兩個(gè)變量變化趨勢之間的關(guān)系，取值范圍為-1到1。2正相關(guān)當(dāng)相關(guān)系數(shù)接近1時(shí)，表示兩個(gè)變量呈正相關(guān)，一個(gè)變量增大，另一個(gè)變量也傾向于增大。3負(fù)相關(guān)當(dāng)相關(guān)系數(shù)接近-1時(shí)，表示兩個(gè)變量呈負(fù)相關(guān)，一個(gè)變量增大，另一個(gè)變量傾向于減小。4無相關(guān)當(dāng)相關(guān)系數(shù)接近0時(shí)，表示兩個(gè)變量之間幾乎沒有線性關(guān)系。條件分布定義條件分布是指在已知另一個(gè)隨機(jī)變量取某個(gè)特定值的情況下，一個(gè)隨機(jī)變量的分布。計(jì)算條件分布可以通過聯(lián)合概率分布和邊緣概率分布來計(jì)算。應(yīng)用條件分布在統(tǒng)計(jì)推斷、機(jī)器學(xué)習(xí)和風(fēng)險(xiǎn)管理等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。3.6隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布1隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量的函數(shù)是指由一個(gè)或多個(gè)隨機(jī)變量通過函數(shù)關(guān)系得到的新的隨機(jī)變量。函數(shù)關(guān)系可以是線性關(guān)系、非線性關(guān)系、連續(xù)函數(shù)或離散函數(shù)等。2函數(shù)的分布隨機(jī)變量的函數(shù)的分布可以通過原隨機(jī)變量的分布和函數(shù)關(guān)系推導(dǎo)得到。例如，可以使用概率密度函數(shù)、分布函數(shù)或矩母函數(shù)來確定函數(shù)的分布。3應(yīng)用場景隨機(jī)變量的函數(shù)在統(tǒng)計(jì)學(xué)、概率論和機(jī)器學(xué)習(xí)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，例如，可以用來計(jì)算隨機(jī)變量的期望、方差、協(xié)方差等。隨機(jī)變量的函數(shù)函數(shù)定義隨機(jī)變量的函數(shù)是指由隨機(jī)變量作為自變量的函數(shù)。它將隨機(jī)變量的值映射到新的隨機(jī)變量值，因此也是一個(gè)隨機(jī)變量。函數(shù)類型常見函數(shù)類型包括線性函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等，根據(jù)不同