四川省成都市2024-2025學年高三數(shù)學上學期12月一診模擬文試題含解析

四川省成都市2024-2025學年高三數(shù)學上學期12月一診模擬（文）試題考試時間：120分鐘總分：150分一、選擇題（每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求.把答案涂在答題卷上.）1.已知集合，，則集合的元素個數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意結合一元二次不等式求集合A，再利用集合的交集運算求解.【詳解】∵，∴，即集合的元素個數(shù)為3.故選：C.2.若復數(shù)z滿意，則的虛部是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由復數(shù)除法運算可求得，由虛部定義得到結果.【詳解】由得：，的虛部為.故選：B.3.“”是“方程表示橢圓”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】先求出“方程表示橢圓”的充要條件，即可推斷.【詳解】“方程表示橢圓”的充要條件為，即且.故“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件.故選：B4.已知圓臺形的花盆的上、下底面的直徑分別為8和6，該花盆的側面綻開圖的扇環(huán)所對的圓心角為，則母線長為（）A.4 B.8 C.10 D.16【答案】A【解析】【分析】利用扇形的弧長公式和圓心角，即可計算求解.【詳解】如圖，弧長為，弧長為，因為圓心角為，，，則母線.故選：A.5.一種藥品在病人血液中的量不低于1500mg時才有療效，假如用藥前，病人血液中該藥品的量為0mg，用藥后，藥在血液中以每小時20%的比例衰減．現(xiàn)給某病人靜脈注射了3000mg的此藥品，為了持續(xù)保持療效，則最長須要在多少小時后再次注射此藥品（，結果精確到0.1）（）A.2.7 B.2.9 C.3.1 D.3.3【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意列出關于的式子，依據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)即可求解.【詳解】設注射個小時后須要向病人血液中再次注射該藥品，則，由得：故最大值為3.1,故選：C6.如圖所示的程序框圖中，若輸出的函數(shù)值在區(qū)間內(nèi)，則輸入的實數(shù)x的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)程序框圖，明確該程序的功能是求分段函數(shù)的值，由此依據(jù)該函數(shù)值域，可求得答案.【詳解】由程序框圖可知：運行該程序是計算分段函數(shù)的值，該函數(shù)解析式為：，輸出的函數(shù)值在區(qū)間內(nèi)，必有當時，，當時，，即得．故選∶C．7.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)給定條件，利用誘導公式及二倍角的余弦公式計算作答.【詳解】因，所以.故選：C8.已知函數(shù)，則的大致圖象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先函數(shù)的奇偶性解除兩個選項，在依據(jù)函數(shù)的零點位置及范圍內(nèi)的函數(shù)值正反，得最符合的函數(shù)圖象即可.【詳解】解：函數(shù)，定義域為，所以所以函數(shù)為奇函數(shù)，故解除B，D選項；當時，令得，所以函數(shù)最小正零點為，則，則符合圖象特點的是選項A，解除選項C.故選：A.9.記數(shù)列是等差數(shù)列，下列結論中肯定成立的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】C【解析】【分析】依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，舉反例推斷ABD即可，依據(jù)基本量法推斷C即可.【詳解】對A，若，則，但，故A錯誤；對B，若，則，但，故B錯誤；對C，設公差為，則由可得，即，故，故C正確；對D，設公差為，則，故D錯誤；故選：C．10.已知拋物線的焦點F到準線的距離為4，點，在拋物線C上，若，則（）．A.4 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】由焦準距求出，結合拋物線第肯定義得，整理得，由代換即可求解.【詳解】拋物線焦點F到準線的距離為4，所以，依題意，，而，，故，即，則，故，故選：A．11.在正方體中，P是平面內(nèi)的一動點，M為線段的中點，則下列說法錯誤的是（）A.平面內(nèi)隨意一條直線都不與平行B.平面和平面的交線不與平面平行C.平面內(nèi)存在多數(shù)條直線與平面平行D.平面和平面的交線不與平面平行【答案】B【解析】【分析】對A，依據(jù)與平面相交推斷即可；對B，依據(jù)線面平行的判定與性質(zhì)推斷即可；對CD，延長，交于，依據(jù)線面平行的性質(zhì)推斷即可.【詳解】對A，因為與在平面內(nèi)且不平行，故與相交，故與平面相交，若平面內(nèi)隨意一條直線與平行，則平面，沖突，故A正確；對B，由平行，平面，平面，故平面.設平面和平面的交線為，由線面平行的性質(zhì)可得，又平面，平面，故平面，故B錯誤；對CD，延長，交于，連接如圖.由題意，平面和平面的交線即直線，故當平面內(nèi)的直線與平行時，與平面也平行，故C正確；交線與平面交于，故D正確；故選：B12.已知，且，則下列說法正確的有（）①；②；③；④.A.①②③ B.②③④ C.②④ D.③④【答案】B【解析】【分析】令，利用導數(shù)探討其單調(diào)性后可推斷①②④正負，利用極值點偏移可推斷③的正誤.【詳解】令，則，當時，；當時，；故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，而，，故，而，故，故①錯誤.又，故，故②正確，此時，故④正確.設，則（不恒為零），故在上為增函數(shù)，故，必有即，所以，即，由的單調(diào)性可得即，故③成立.故選：B.【點睛】思路點睛：導數(shù)背景下不等關系的探討，留意依據(jù)等式或不等式的關系構建新函數(shù)，并結合單調(diào)性來比較大小關系，在不等式關系的探討中，留意利用極值點偏移來處理大小關系.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，答案填在答題卷的橫線上.）13.若滿意約束條件則的最大值為________.【答案】5【解析】【分析】由約束條件做出可行域，將問題轉(zhuǎn)化為在軸的截距，采納數(shù)形結合的方式即可得到結果.【詳解】由約束條件可知，可行域如上圖所示，令，則，當在軸的截距最小時，最大由，求得，則所以故答案為:14.已知（），則的最小值為___________.【答案】4【解析】【分析】依據(jù)可得，再依據(jù)基本不等式求解即可.【詳解】因為，故，當且僅當，即時取等號.故的最小值為4.故答案為：415.為了測量一個不規(guī)則公園兩點之間的距離，如圖，在東西方向上選取相距的兩點，點在點A的正東方向上，且四點在同一水平面上．從點A處觀測得點在它的東北方向上，點在它的西北方向上；從點處觀測得點在它的北偏東方向上，點在它的北偏西方向上，則之間的距離為______km.【答案】2【解析】【分析】由題意確定相應的各角的度數(shù)，在中，由正弦定理求得BC,同理再求出DB，解，求得答案.【詳解】由題意可知，,,故在中，，故，，在中，，故，，所以在中，，則,故答案為：216.已知，，且，則的最小值是_____________．【答案】【解析】【分析】由題意，均在圓心為原點，半徑為的圓上，再依據(jù)數(shù)量積公式，結合幾何意義分析最值求解即可.【詳解】解：由題知，三點共圓，圓心為坐標原點，半徑為，所以，，設，數(shù)形結合可得在上的投影，所以，，即，故當，時有最小值，此時當時，時有最大值，所以，綜上，的取值范圍是，所以，的最小值是故答案為：三、解答題：共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟，第17～21題為必考題，每個試題考生都必需作答、第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分，每題12分.17.已知銳角三角形的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別記作a，b，c，滿意，且．（1）求；（2）若點，分別在邊和上，且將分成面積相等的兩部分，求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)二倍角公式、正弦定理和得到，，再利用同角三角函數(shù)基本公式得到，利用和差公式得到，即可得到；（2）利用三角形面積公式得到，然后利用余弦定理和基本不等式即可得到的最小值.【小問1詳解】因，所以，因為，所以，又，且為銳角，所以，所以．因為．所以．所以．【小問2詳解】設，，依據(jù)題設有，所以，可得，所以，當且僅當時等號成立．所以的最小值為．18.新冠肺炎是近百年來人類遭受的影響范圍最廣的全球性大流行病毒．對前所未知、突如其來、來勢洶洶的疫情天災，習近平總書記親自指揮、親自部署，強調(diào)把人民生命平安和身體健康放在第一位．明確堅決打贏疫情防控的人民斗爭、總體戰(zhàn)、阻擊戰(zhàn)．當前，新冠肺炎疫情防控形勢依舊困難嚴峻．在傳染病學中，通常把從致病刺激物侵入機體或者對機體發(fā)生作用起，到機體出現(xiàn)反應或起先呈現(xiàn)該疾病對應的相關癥狀時止的這一階段稱為潛藏期．一探討團隊統(tǒng)計了某地區(qū)1000名患者的相關信息，得到如下表格：分組第1組第2組第3組第4組第5組第6組第7組潛藏期（單位：天）人數(shù)100200300250130155（1）現(xiàn)在用分層抽樣的方法在其次，三組共選取5人參與傳染病學問學習，若從參與學習的5人中隨機選取2人參與考試，求恰有一人來自其次組的概率；（2）該傳染病的潛藏期受諸多因素的影響，為探討潛藏期與患者年齡的關系，以潛藏期是否超過6天為標準進行分層抽樣，從上述1000名患者中抽取200人，得到如下列聯(lián)表．請將列聯(lián)表補充完整，并依據(jù)列聯(lián)表推斷是否有95%的把握認為潛藏期與患者年齡有關．潛藏期天潛藏期天總計50歲以上（含50歲）10050歲以下55總計200附：0.050.0250.00103.8415.0246.635，其中．【答案】（1）（2）填表見解析；沒有【解析】【分析】（1）依據(jù)分層抽樣確定抽取人數(shù)，然后列舉出全部結果，由古典概型概率公式可得；（2）依據(jù)公式計算，然后查表可得.小問1詳解】依據(jù)分層抽樣方法，其次組抽取人數(shù)為，第三組抽取人數(shù)為，假設其次組2人為，；第三組3人為，，，從5人中抽取2人有和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，共10種選擇，恰有一人來自其次組有6種，故恰有一人來自其次組的概率為；【小問2詳解】依據(jù)分層抽樣方法，潛藏期不超過6天的抽取人數(shù)為，潛藏期超過6天的抽取人數(shù)為，依據(jù)題意補充完整的列聯(lián)表如下：潛藏期天潛藏期天總計50歲以上（含50歲）653510050歲以下5545100總計12080200則，所以沒有95%的把握認為潛藏期與患者年齡有關.19.如圖所示，已知是邊長為6的等邊三角形，點M、N分別在，上，，O是線段的中點，將沿直線進行翻折，A翻折到點P，使得平面平面，如圖所示.（1）求證：；（2）若，求點M到平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）由，證得，利用面面垂直的性質(zhì)，證得平面，進而證得；（2）設點到平面的距離為，結合，求得的值，結合平面，利用點到平面的距離與點到平面的距離相等，即可求解.【小問1詳解】證明：因為是邊長為6的等邊三角形，且，在中，可得，又因為點是線段的中點，所以，因為平面平面，且平面，平面平面，所以平面，又因為平面，所以.【小問2詳解】解：由是邊長為6的等邊三角形，可得的高為，因為,，可得，,則的面積為，又由平面，且，所以三棱錐的體積為，在直角中，，可得，所以的面積為，設點到平面的距離為，因為，可得，解得，又由，且平面，平面，所以平面，則點到平面的距離與點到平面的距離相等，所以點到平面的距離為.20.已知橢圓且四個點、、、中恰好有三個點在橢圓C上，O為坐標原點.（1）求橢圓C的方程；（2）若直線l與橢圓C交于A，B兩點，且，證明：直線l與定圓相切，并求出的值.【答案】（1）；（2）證明見解析，.【解析】【分析】（1）依據(jù)給定條件，利用橢圓的對稱性推斷橢圓經(jīng)過的三點，再代入求解作答.（2）直線l的斜率存在時，設出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理結合垂直的向量表示，并求出原點到直線l的距離，再探討直線斜率不存在的狀況作答.【小問1詳解】由橢圓的對稱性知，，必在橢圓上，則不在橢圓上，有在橢圓上，因此，解得，所以橢圓C的方程為.【小問2詳解】當直線l的斜率不存在時，設，則點，因，則，解得，即原點O到直線l的距離為，當直線l的斜率存在時，設直線，，由消去y并整理得：，有，，，因，則，整理得，滿意，原點O到直線l的距離，綜上得：原點O到直線l的距離恒為，即直線l與圓相切，所以直線l與定圓相切，.21.設函數(shù)（）．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若的兩個零點且，求證：【答案】（1）答案見解析.（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由題知，進而分和兩種狀況探討求解即可；（2）由題知，，進而將問題轉(zhuǎn)化為證，再令，則，進而證明，再構造函數(shù)，，求解最小值即可證明.【小問1詳解】解：由已知，當時，在恒成立，在上單調(diào)遞增；當時，由得，若時，，在上單調(diào)遞增，若時，，在上單調(diào)遞減；綜上，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；【小問2詳解】解：由題：（）因為是函數(shù)的兩個零點，所以，，即，，要證，只需證明，即證，只需證，即證，令，而，則，只需證明，令函數(shù)，，求導得：令函數(shù)，，求導得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是有，因此，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即成立，所以原不等式得證．【點睛】本題其次問解題的關鍵在于依據(jù)題意得，，進而將問題轉(zhuǎn)化為證明，再依據(jù)題意，結合換元法進一步轉(zhuǎn)化為證明證明即可.（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.假如多做，則按所做的第一題計分.22.在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為，，點，以坐標原點O為極點，x軸為正半軸為極軸的建立極坐標系．（1）求曲線C的極坐標方程；（2）過坐標原點O任作直線l與曲線C交于E、F兩點，求的值．【答案】（1）（2）12【解析】【分析】（1）將曲線C的參數(shù)方程化為一般方程，再化為極坐標方程即可；（2）由韋達定理可知，依據(jù)余弦定理可知從而求解結果．【小問1詳解】曲線的平面直角坐標系方程為，故曲線的極坐標方程為．【小問2詳解】設直線的傾斜角為，則，∵，由韋達