新教材適用2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第8章立體幾何初步8.6空間直線平面的垂直8.6.3平面與平面垂直第2課時(shí)平面與平面垂直的性質(zhì)素養(yǎng)作業(yè)新人教A版必修第二冊(cè)

第8章8.68.6.3第2課時(shí)A組·素養(yǎng)自測(cè)一、選擇題1．如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1的棱AB上任取一點(diǎn)E，作EF⊥A1B1交A1B1于F，則EF與平面A1B1C1D1的關(guān)系是(D)A．平行B．EF?平面A1B1C1D1C．相交但不垂直D．相交且垂直[解析]由于長(zhǎng)方體中平面ABB1A1⊥平面ABCD，所以依據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知，EF⊥平面A1B1C1D1相交且垂直．2．已知空間中a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是(D)A．a(chǎn)?α，b?β，α∥β?a與b異面B．β⊥α，α∩β＝b，a⊥b?a⊥βC．a(chǎn)⊥α，a⊥b?b∥αD．a(chǎn)⊥α，b⊥α?a∥b[解析]因?yàn)閍?α，b?β，α∥β，可得a與b異面或平行，故A錯(cuò)誤；因?yàn)棣隆挺粒痢搔拢絙，a⊥b，但不確定a與α的位置關(guān)系，故無(wú)法確定a與β是否垂直，故B錯(cuò)誤；因?yàn)閍⊥α，a⊥b，可得b∥α或b?α，故C錯(cuò)誤；因?yàn)閍⊥α，b⊥α，依據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得a∥b，故D正確；故選D.3．(2024·昆明高一檢測(cè))已知直線l⊥平面α，直線m∥平面β，若α⊥β，則下列結(jié)論正確的是(A)A．l∥β或l?β B．l∥mC．m⊥α D．l⊥m[解析]直線l⊥平面α，α⊥β，則l∥β或l?β，A正確；直線l⊥平面α，直線m∥平面β，且α⊥β，則l∥m或l與m相交或l與m異面，∴B錯(cuò)誤；直線l⊥平面α，直線m∥平面β，且α⊥β，則m⊥α或m與α相交或m?α或m∥α，∴C錯(cuò)誤；直線l⊥平面α，直線m∥平面β，且α⊥β，則l∥m或l與m相交或l與m異面，∴D錯(cuò)誤．故選A.4．已知直線m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n?α，要使n⊥β，則應(yīng)增加的條件是(B)A．m∥n B．n⊥mC．n∥α D．n⊥α[解析]由面面垂直的性質(zhì)定理知，要使n⊥β，應(yīng)有n與交線m垂直，∴應(yīng)增加條件n⊥m.5．如圖所示，三棱錐P－ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，則(B)A．PD?平面ABCB．PD⊥平面ABCC．PD與平面ABC相交但不垂直D．PD∥平面ABC[解析]∵PA＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB.又∵平面ABC⊥平面PAB，PD?平面PAB，平面ABC∩平面PAB＝AB，∴PD⊥平面ABC.二、填空題6．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n?β，n⊥l，直線m⊥α，則直線m與n的位置關(guān)系是_平行__.[解析]因?yàn)棣痢挺?，α∩β＝l，n?β，n⊥l，所以n⊥α.又m⊥α，所以m∥n.7.如圖，在三棱錐P－ABC內(nèi)，側(cè)面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，則PB＝eq\r(5).[解析]∵側(cè)面PAC⊥底面ABC，交線為AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，∴PA⊥平面ABC，又AB?平面ABC，∴PA⊥AB，∴PB＝eq\r(PA2＋AB2)＝eq\r(1＋4)＝eq\r(5).8.如圖，在三棱錐C－ABD內(nèi)，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O為AB中點(diǎn)，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為_(kāi)6__.[解析]∵CA＝CB，O為AB的中點(diǎn)，∴CO⊥AB.又平面ABC⊥平面ABD，交線為AB，∴CO⊥平面ABD.∵OD?平面ABD，∴CO⊥OD，∴△COD為直角三角形．∴圖中的直角三角形有△AOC，△COB，△ABC，△AOD，△BOD，△COD共6個(gè)．三、解答題9．如圖，AE，CD都垂直于平面ABC，平面BCD⊥平面BDE，且BC＝CD＝2AE，F(xiàn)為BD的中點(diǎn)，求證：(1)EF∥平面ABC；(2)EF⊥平面BCD.[證明](1)如圖所示，取BC的中點(diǎn)G，連接AG，F(xiàn)G，因?yàn)镕為BD的中點(diǎn)，F(xiàn)G為△BCD的中位線，所以FG∥CD，F(xiàn)G＝eq\f(1,2)CD，又因?yàn)锳E，CD都垂直于平面ABC，且CD＝2AE，所以AE∥CD，AE＝eq\f(1,2)CD，所以FG∥AE，F(xiàn)G＝AE，所以四邊形AEFG為平行四邊形，所以EF∥AG，又因?yàn)镋F?平面ABC，AG?平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)連接CF，因?yàn)锽C＝CD，F(xiàn)為BD的中點(diǎn)，所以CF⊥BD，又因?yàn)槠矫鍮CD⊥平面BDE，平面BCD∩平面BDE＝BD，CF?平面BCD，所以CF⊥平面BDE，因?yàn)镋F?平面BDE，所以CF⊥EF，因?yàn)镃D⊥平面ABC，AG?平面ABC，所以CD⊥AG，又因?yàn)镋F∥AG，所以CD⊥EF，因?yàn)镃F∩BD＝F，且CF，BD?平面BCD，所以EF⊥平面BCD.10．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點(diǎn)．(1)求證：PE⊥BC；(2)求證：平面PAB⊥平面PCD；(3)求證：EF∥平面PCD.[證明](1)∵PA＝PD，且E為AD的中點(diǎn)，∴PE⊥AD.∵底面ABCD為矩形，∴BC∥AD，∴PE⊥BC.(2)∵底面ABCD為矩形，∴AB⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD，∴AB⊥平面PAD.∴AB⊥PD.又PA⊥PD，AB∩PA＝A，∵PD⊥平面PAB，PD?平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD.(3)如圖，取PC中點(diǎn)G，連接FG，GD.∵F，G分別為PB和PC的中點(diǎn)，∴FG∥BC，且FG＝eq\f(1,2)BC.∵四邊形ABCD為矩形，且E為AD的中點(diǎn)，∴ED∥BC，DE＝eq\f(1,2)BC，∴ED∥FG，且ED＝FG，∴四邊形EFGD為平行四邊形，∴EF∥GD.又EF?平面PCD，GD?平面PCD，∴EF∥平面PCD.B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．如圖所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則點(diǎn)C1在底面ABC上的射影H必在(A)A．直線AB上B．直線BC上C．直線AC上D．△ABC內(nèi)部[解析]連接AC1.∠BAC＝90°，即AC⊥AB，又AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，所以AC⊥平面ABC1.又AC?平面ABC，于是平面ABC1⊥平面ABC，且AB為交線，因此，點(diǎn)C1在平面ABC上的射影必在直線AB上，故選A.2．把邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD，沿對(duì)角線BD折成空間四邊形ABCD，使得平面ABD⊥平面BCD，則空間四邊形ABCD的對(duì)角線AC的長(zhǎng)為(A)A．4 B．4eq\r(2)C．2 D．2eq\r(2)[解析]如圖所示，取BD的中點(diǎn)O，連接AO，CO，則AO⊥BD，CO⊥BD，由平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，所以∠AOC＝90°；又AO＝CO＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(1,2)×4eq\r(2)＝2eq\r(2)，所以AC2＝AO2＋CO2＝8＋8＝16，所以AC＝4，即空間四邊形ABCD的對(duì)角線AC＝4.3．如圖，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB與兩平面α、β所成的角分別為eq\f(π,4)和eq\f(π,6).過(guò)A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為A′、B′，則AB∶A′B′等于(A)A．2∶1 B．3∶1C．3∶2 D．4∶3[解析]由已知條件可知∠BAB′＝eq\f(π,4)，∠ABA′＝eq\f(π,6)，設(shè)AB＝2a，則BB′＝2asineq\f(π,4)＝eq\r(2)a，A′B＝2acoseq\f(π,6)＝eq\r(3)a，∴在Rt△BB′A′中，得A′B′＝a，∴AB∶A′B′＝2∶1.二、填空題4．如圖所示，已知兩個(gè)正方形ABCD和DCEF不在同一平面內(nèi)，M，N分別為AB，DF的中點(diǎn)．若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，則線段MN的長(zhǎng)等于eq\r(6).[解析]如圖，取CD的中點(diǎn)G，連接MG，NG.因?yàn)樗倪呅蜛BCD，DCEF為正方形，且邊長(zhǎng)為2，所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝eq\r(2).因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面DCEF，平面ABCD∩平面DCEF＝CD，MG?平面ABCD，所以MG⊥平面DCEF，又NG?平面DCEF，所以MG⊥NG，所以MN＝eq\r(MG2＋NG2)＝eq\r(6).5．(2024·山東師范高校附屬中學(xué)期中)在四面體ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，則△ABC的形態(tài)是直角三角形.[解析]如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BD，交BD于點(diǎn)E，∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AE?平面ABD，∴AE⊥平面BCD，又∵BC?平面BCD，∴AE⊥BC.∵DA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴DA⊥BC，又∵AE∩DA＝A，∴BC⊥平面ABD，而AB?平面ABD，所以BC⊥AB.即△ABC為直角三角形．三、解答題6．(2024·江西新余期末)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝CC1＝1.(1)求證：平面BD1C1⊥平面A1B1CD；(2)在棱AB上是否存在一點(diǎn)M，使D1B⊥平面MB1C？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)M的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．[解析](1)證明：在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，D1C1⊥平面BCC1B1.∵B1C?平面BCC1B1，∴D1C1⊥B1C，∵BC＝CC1＝1，∴四邊形BCC1B1為正方形，∴B1C⊥BC1.又BC1∩D1C1＝C1，∴B1C⊥平面BD1C1.∵B1C?平面A1B1CD，∴平面BD1C1⊥平面A1B1CD.(2)假設(shè)在棱AB上存在點(diǎn)M，使D1B⊥平面MB1C.連接BD交MC于點(diǎn)O.∵CM?平面MB1C，∴D1B⊥CM.在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD.∵CM?平面ABCD，∴D1D⊥CM.又D1D∩D1B＝D1，∴CM⊥平面BDD1.∵BD?平面BDD1，∴CM⊥BD.∵四邊形ABCD為矩形，∴△ABD∽△BCM，∴eq\f(AB,AD)＝eq\f(BC,BM)，設(shè)AM＝m(0<m<2)，則eq\f(2,1)＝eq\f(1,2－m)，∴m＝eq\f(3,2).∴在棱AB上存在點(diǎn)M，使