專題07某點(diǎn)恰好為中點(diǎn)(原卷版+解析)

專題07某點(diǎn)恰好為中點(diǎn)類型一一動兩定成中點(diǎn)1．如圖，數(shù)軸上有三個點(diǎn)A、B、C，它們可以沿著數(shù)軸左右移動，請回答：（1）點(diǎn)A、B、C分別表示的數(shù)是______________________．（2）將點(diǎn)B向右移動三個單位長度后到達(dá)點(diǎn)D，點(diǎn)D表示的數(shù)是_____________．（3）移動點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)E，使B、C、E三點(diǎn)的其中任意一點(diǎn)為連接另外兩點(diǎn)之間線段的中點(diǎn)，請直接寫出所有點(diǎn)A移動的距離和方向．2．如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)C表示的數(shù)為6，點(diǎn)A表示的數(shù)是-10，點(diǎn)P、Q分別從A、C同時出發(fā)，點(diǎn)P以每秒6個單位的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動，點(diǎn)Q以每秒3個單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動，點(diǎn)M為AP的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到原點(diǎn)O時，點(diǎn)P、Q同時停止，設(shè)運(yùn)動時間為t（t＞0）秒．（1）求MQ的長（用含t的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)t為何值時，原點(diǎn)O恰為線段PQ的中點(diǎn)．3．動點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，向數(shù)軸負(fù)方向運(yùn)動，同時動點(diǎn)也從原點(diǎn)出發(fā)，向數(shù)軸正方向運(yùn)動．后，兩點(diǎn)相距（1個單位長度為）．已知動點(diǎn)、的速度比是（速度單位：）．（1）直接寫出，運(yùn)動后、兩點(diǎn)在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別為______；（2）若、兩點(diǎn)從（1）中的位置同時向數(shù)軸負(fù)方向運(yùn)動，經(jīng)過幾秒，原點(diǎn)恰好處在兩個動點(diǎn)的正中間？類型二兩動一定成中點(diǎn)4．如圖，數(shù)軸上，兩點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)分別是和10，，兩點(diǎn)同時從原點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動，以每秒5個單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)后立即返回，以相同的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動．點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時，，兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為秒．（1）當(dāng)時，線段________；（2）當(dāng)時，求的值；（3）在，兩點(diǎn)運(yùn)動的過程中，若點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)三點(diǎn)中的一個點(diǎn)是另外兩個點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)，直接寫出的值．5．如圖，A、B、C是數(shù)軸上的三點(diǎn)，O是原點(diǎn)，BO＝3，AB＝2BO，5AO＝3CO．點(diǎn)P、Q分別從A、C同時出發(fā)，點(diǎn)P以每秒2個單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動，點(diǎn)Q以每秒6個單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動，M為線段AP的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段CQ上，且CN＝CQ．設(shè)運(yùn)動的時間為t秒．(1)當(dāng)點(diǎn)M、N在數(shù)軸上相遇時，求t的值；(2)t為何值時，M、N兩點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離相等？6．在數(shù)軸上，若點(diǎn)M、點(diǎn)N表示的數(shù)分別是m、n，則M、N兩點(diǎn)間的距離可以表示為MN=|m-n|．例如，在數(shù)軸上，表示數(shù)-7和數(shù)1的兩點(diǎn)間的距離是|-7-1|=8，表示數(shù)3和數(shù)8的兩點(diǎn)間的距離是|8-3|=5．利用上述結(jié)論，解決問題：（1）若|x-3|=7，則x=________；（2）若有一個半徑為r的圓上有一點(diǎn)P，與數(shù)軸上表示-1的點(diǎn)重合，將圓沿?cái)?shù)軸無滑動的滾動1周，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)Q的位置，則點(diǎn)Q表示的數(shù)為________（用含有r的代數(shù)式表示）；（3）A，B為數(shù)軸上的兩個動點(diǎn)，點(diǎn)A表示的數(shù)為a，點(diǎn)B表示的數(shù)為b，且|a-b|=6（b>a），點(diǎn)C表示的數(shù)為-2，若點(diǎn)A、B、C、三點(diǎn)中的某一點(diǎn)到另外兩點(diǎn)的距離相等，求a、b的值．類型三三動成中點(diǎn)一解7．已知數(shù)軸上、兩點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)分別為、．（1）如果、兩點(diǎn)的中點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為，求的值；（2）設(shè)點(diǎn)P以每秒鐘個單位長度的速度從數(shù)軸上原點(diǎn)O出發(fā)，點(diǎn)、分別以每秒鐘個單位長度和每秒鐘個單位長度的速度出發(fā)，且三點(diǎn)同時向右運(yùn)動，那么經(jīng)過多少秒鐘時，點(diǎn)P是、兩點(diǎn)的中點(diǎn)？8．已知數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)對應(yīng)數(shù)分別為﹣2和4，P為數(shù)軸上一動點(diǎn)，對應(yīng)數(shù)為x．（1）若P為線段AB的三等分點(diǎn)，求P點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)．（2）數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P，使P點(diǎn)到A點(diǎn)、B點(diǎn)距離之和為10？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由．（3）若點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)P（點(diǎn)P在原點(diǎn)）同時向左運(yùn)動，它們的速度分別為1個單位長度/分、2個單位長度/分和1個單位長度/分，則經(jīng)過多長時間點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)？類型四三動成中點(diǎn)三解9．現(xiàn)象感知如圖1，在數(shù)軸上，線段AB的中點(diǎn)為E，點(diǎn)E表示的數(shù)與點(diǎn)A、點(diǎn)B表示的數(shù)關(guān)系存在：＝6；線段CD的中點(diǎn)為F，點(diǎn)F表示的數(shù)與點(diǎn)C、點(diǎn)D表示的數(shù)的關(guān)系也存在：＝﹣2歸納性質(zhì)如圖2，在數(shù)軸上，線段GH的中點(diǎn)為P．（1）如圖2，在數(shù)軸上，點(diǎn)G、H、P表示的數(shù)分別為a，b，c，請猜想a，b，c的等量關(guān)系，請寫出一等量關(guān)系式．小宇同學(xué)為了說明a，b，c的等量關(guān)系是正確的，采用了字母表示數(shù)的方法，設(shè)PG＝PH＝m，從而表示出G、H兩點(diǎn)的數(shù)（含c和m）．請完成小宇的說理過程．拓展應(yīng)用（2）如圖，點(diǎn)A，B，C在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別為﹣3，1，9，它們分別以每秒2個單位長度、1個單位長度和4個單位長度的速度在數(shù)軸上同時向左做勻速運(yùn)動，設(shè)同時運(yùn)動的時間為t秒．若A，B，C三點(diǎn)中，有一點(diǎn)恰為另外兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)，求t的值．10．定義：若線段上有一點(diǎn)，當(dāng)時，則稱點(diǎn)為線段的中點(diǎn).已知數(shù)軸上，兩點(diǎn)對應(yīng)數(shù)分別為和，，為數(shù)軸上一動點(diǎn)，對應(yīng)數(shù)為.（1）若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為______.若為線段的中點(diǎn)時則點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為______.（2）若點(diǎn)、點(diǎn)同時向左運(yùn)動，它們的速度都為1個單位長度/秒，與此同時點(diǎn)從-16處以2個單位長度/秒向右運(yùn)動.①設(shè)運(yùn)動的時間為秒，直接用含的式子填空______；______.②經(jīng)過多長時間后，點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)三點(diǎn)中其中一點(diǎn)是另外兩點(diǎn)的中點(diǎn)？11．如圖，在直線上順次取A，B，C三點(diǎn)，使得AB＝40cm，BC＝280cm，點(diǎn)P、點(diǎn)Q分別由A、B點(diǎn)同時出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動，點(diǎn)P的速度為3cm/s，點(diǎn)Q的速度為lcm/s．（1）如果點(diǎn)D是線段AC的中點(diǎn)，那么線段BD的長是cm；（2）①求點(diǎn)P出發(fā)多少秒后追上點(diǎn)Q；②直接寫出點(diǎn)P出發(fā)秒后與點(diǎn)Q的距離是20cm；（3）若點(diǎn)E是線段AP中點(diǎn)，點(diǎn)F是線段BQ中點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)P出發(fā)秒時，點(diǎn)B，點(diǎn)E，點(diǎn)F，三點(diǎn)中的一個點(diǎn)是另外兩個點(diǎn)所在線段的中點(diǎn)．12．[知識背景]：數(shù)軸上，點(diǎn)，表示的數(shù)為，，則，兩點(diǎn)的距離，，的中點(diǎn)表示的數(shù)為，[知識運(yùn)用]：若線段上有一點(diǎn)，當(dāng)時，則稱點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．已知數(shù)軸上，兩點(diǎn)對應(yīng)數(shù)分別為和，，為數(shù)軸上一動點(diǎn)，對應(yīng)數(shù)為．（1）______，______；（2）若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為______．若為線段的中點(diǎn)時則點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為______（3）若點(diǎn)、點(diǎn)同時向左運(yùn)動，點(diǎn)的速度為1個單位長度/秒，點(diǎn)的速度為3個單位長度/秒，則經(jīng)過多長時間點(diǎn)追上點(diǎn)？（列一元一次方程解應(yīng)用題）；此時點(diǎn)表示的數(shù)是______（4）若點(diǎn)、點(diǎn)同時向左運(yùn)動，它們的速度都為1個單位長度/秒，與此同時點(diǎn)從-16處以2個單位長度/秒的速度向右運(yùn)動，經(jīng)過多長時間后，點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)三點(diǎn)中其中一點(diǎn)是另外兩點(diǎn)的中點(diǎn)？__________________（直接寫出答案．）類型五三動成中點(diǎn)多解13．?dāng)?shù)軸上A點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為－10，B點(diǎn)在A點(diǎn)右邊，甲、乙在B分別以2個單位／秒、1個單位／秒的速度向左運(yùn)動，丙在A以3個單位／秒的速度向右運(yùn)動．（1）若它們同時出發(fā)，經(jīng)過5秒丙和乙相遇，求B點(diǎn)表示的數(shù)；（2）在（1）的條件下，設(shè)它們同時出發(fā)的時間為t秒，是否存在t(t0)的值，使得甲、乙、丙三個點(diǎn)中的其中一個點(diǎn)，到另外兩個點(diǎn)的距離相等．專題07某點(diǎn)恰好為中點(diǎn)類型一一動兩定成中點(diǎn)1．如圖，數(shù)軸上有三個點(diǎn)A、B、C，它們可以沿著數(shù)軸左右移動，請回答：（1）點(diǎn)A、B、C分別表示的數(shù)是______________________．（2）將點(diǎn)B向右移動三個單位長度后到達(dá)點(diǎn)D，點(diǎn)D表示的數(shù)是_____________．（3）移動點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)E，使B、C、E三點(diǎn)的其中任意一點(diǎn)為連接另外兩點(diǎn)之間線段的中點(diǎn)，請直接寫出所有點(diǎn)A移動的距離和方向．答案:（1）﹣4，﹣2，3；（2）1；（3）點(diǎn)A向右移動4.5個單位長度或12個單位長度，點(diǎn)A向左移動3個單位長度.解析：分析：（1）根據(jù)點(diǎn)A、B、C在數(shù)軸上的位置寫出即可；（2）將點(diǎn)B向右移動三個單位長度后到達(dá)點(diǎn)D，則點(diǎn)D表示的數(shù)為-2+3=1；（3）分類討論：當(dāng)點(diǎn)A向左移動時，則點(diǎn)B為線段AC的中點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)A向右移動并且落在BC之間，則A點(diǎn)為BC的中點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)A向右移動并且在線段BC的延長線上，則C點(diǎn)為BA的中點(diǎn)，然后根據(jù)中點(diǎn)的定義分別求出對應(yīng)的A點(diǎn)表示的數(shù)，從而得到移動的距離．【詳解】解：（1）點(diǎn)A、B、C分別表示的數(shù)分別是﹣4，﹣2，3；（2）將點(diǎn)B向右移動三個單位長度后到達(dá)點(diǎn)D，點(diǎn)D表示的數(shù)是1；（3）當(dāng)點(diǎn)A向左移動時，則點(diǎn)B為線段AC的中點(diǎn)，∵線段BC=3-（-2）=5，∴點(diǎn)A距離點(diǎn)B有5個單位，∴點(diǎn)A要向左移動3個單位長度；當(dāng)點(diǎn)A向右移動并且落在BC之間，則A點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，∴A點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)，距離B點(diǎn)2.5個單位，∴點(diǎn)A要向右移動4.5

單位長度；當(dāng)點(diǎn)A向右移動并且在線段BC的延長線上，則C點(diǎn)為BA的中點(diǎn)，∴點(diǎn)A要向右移動12個單位長度．故答案為（1）﹣4，﹣2，3；（2）1；（3）點(diǎn)A向右移動4.5個單位長度或12個單位長度，點(diǎn)A向左移動3個單位長度．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸：數(shù)軸三要素（原點(diǎn)、正方向和單位長度）；數(shù)軸上左邊的點(diǎn)表示的數(shù)比右邊的點(diǎn)表示的數(shù)要?。部疾榱似揭频男再|(zhì)，注意數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用．2．如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)C表示的數(shù)為6，點(diǎn)A表示的數(shù)是-10，點(diǎn)P、Q分別從A、C同時出發(fā)，點(diǎn)P以每秒6個單位的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動，點(diǎn)Q以每秒3個單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動，點(diǎn)M為AP的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到原點(diǎn)O時，點(diǎn)P、Q同時停止，設(shè)運(yùn)動時間為t（t＞0）秒．（1）求MQ的長（用含t的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)t為何值時，原點(diǎn)O恰為線段PQ的中點(diǎn)．答案:（1）MQ=16-6t；（2）t=解析：分析：（1）利用圖形得出AO，CO的長，根據(jù)M為AP的中點(diǎn)，進(jìn)而得出AM=3t，再利用QC=3t，即可得出MQ的長；（2）根據(jù)O恰為線段PQ的中點(diǎn)，得出PO=AO-AP=10-6t，QO=CO-QC=6-3t，進(jìn)而列方程求解．【詳解】解：（1）∵在數(shù)軸上，點(diǎn)C表示的數(shù)為6，點(diǎn)A表示的數(shù)是-10，∴AO=10，CO=6，∵點(diǎn)P、Q分別從A、C同時出發(fā)，點(diǎn)P以每秒6個單位的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動，點(diǎn)Q以每秒3個單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動，點(diǎn)M為AP的中點(diǎn)，∴AP=6t，QC=3t，則AM=3t，∴MQ=10+6-3t-3t=16-6t；（2）當(dāng)O恰為線段PQ的中點(diǎn)，則PO=QO，即PO=AO-AP=10-6t，QO=CO-QC=6-3t，∴10-6t=6-3t，解得：t=，故當(dāng)t為秒時，原點(diǎn)O恰為線段PQ的中點(diǎn)．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用以及線段的計(jì)算，根據(jù)數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵．3．動點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，向數(shù)軸負(fù)方向運(yùn)動，同時動點(diǎn)也從原點(diǎn)出發(fā)，向數(shù)軸正方向運(yùn)動．后，兩點(diǎn)相距（1個單位長度為）．已知動點(diǎn)、的速度比是（速度單位：）．（1）直接寫出，運(yùn)動后、兩點(diǎn)在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別為______；（2）若、兩點(diǎn)從（1）中的位置同時向數(shù)軸負(fù)方向運(yùn)動，經(jīng)過幾秒，原點(diǎn)恰好處在兩個動點(diǎn)的正中間？答案:（1），12；（2）．解析：分析：（1）設(shè)動點(diǎn)A的速度是x個單位長度/秒，則點(diǎn)的速度是個單位長度/秒，根據(jù)題意列方程再解方程可得答案；（2）設(shè)運(yùn)動時間為，再分別表示對應(yīng)的數(shù)，求解利用原點(diǎn)恰好處在兩個動點(diǎn)的正中間，列方程，解方程可得答案．【詳解】解：（1）設(shè)動點(diǎn)A的速度是x個單位長度/秒，則點(diǎn)的速度是個單位長度/秒，根據(jù)題意得：∴

解得：則

所以動點(diǎn)A對應(yīng)的數(shù)為動點(diǎn)B對應(yīng)的數(shù)為；故答案為：（2）如圖，由題意可得：設(shè)運(yùn)動時間為，則運(yùn)動后對應(yīng)的數(shù)為：對應(yīng)的數(shù)為：原點(diǎn)恰好處在兩個動點(diǎn)的正中間，所以經(jīng)過秒，原點(diǎn)恰好處在兩個動點(diǎn)的正中間．【點(diǎn)睛】本題考查的是數(shù)軸及數(shù)軸上的動點(diǎn)問題，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，一元一次方程的應(yīng)用，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．類型二兩動一定成中點(diǎn)4．如圖，數(shù)軸上，兩點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)分別是和10，，兩點(diǎn)同時從原點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動，以每秒5個單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)后立即返回，以相同的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動．點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時，，兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為秒．（1）當(dāng)時，線段________；（2）當(dāng)時，求的值；（3）在，兩點(diǎn)運(yùn)動的過程中，若點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)三點(diǎn)中的一個點(diǎn)是另外兩個點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)，直接寫出的值．答案:（1）7；（2）當(dāng)點(diǎn)在上時，；當(dāng)點(diǎn)在上且在點(diǎn)右側(cè)時，；當(dāng)點(diǎn)在上且在點(diǎn)左側(cè)時，；（3）或．解析：【詳解】解：（1）當(dāng)t=1時，點(diǎn)P在OA上，點(diǎn)Q在OB上，此時OP+OQ=2+5=7，故答案為：7；（2）當(dāng)點(diǎn)在上時時，，解得；當(dāng)點(diǎn)在上且在點(diǎn)右側(cè)時，，解得；當(dāng)點(diǎn)在上且在點(diǎn)左側(cè)時，，解得，（3）當(dāng)Q在射線OA上時，點(diǎn)P、Q對應(yīng)的數(shù)分別是-2t，20-5t，分兩種情況：如圖：當(dāng)Q為A、P的中點(diǎn)時，由AQ=PQ得：20-5t+20=-2t-20+5t，解得；如圖：當(dāng)A為Q、P的中點(diǎn)時，由AQ=AP得：-20-20+5t=-2t+20，解得；故t的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，兩點(diǎn)間的距離和數(shù)軸．解題時，需要采用“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想．5．如圖，A、B、C是數(shù)軸上的三點(diǎn)，O是原點(diǎn)，BO＝3，AB＝2BO，5AO＝3CO．點(diǎn)P、Q分別從A、C同時出發(fā)，點(diǎn)P以每秒2個單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動，點(diǎn)Q以每秒6個單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動，M為線段AP的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段CQ上，且CN＝CQ．設(shè)運(yùn)動的時間為t秒．(1)當(dāng)點(diǎn)M、N在數(shù)軸上相遇時，求t的值；(2)t為何值時，M、N兩點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離相等？答案:(1)4.8(2)當(dāng)t值為2或4.8解析：分析：（1）分別用帶t的表達(dá)式表示出M和N表示的數(shù)，當(dāng)它們相等時求出t值即可；（2）分情況討論分別求出t值即可．(1)解：∵O是原點(diǎn)，BO＝3，AB＝2BO，5AO＝3CO，又∵從數(shù)軸上知A、B點(diǎn)在O點(diǎn)左側(cè)，C點(diǎn)在O點(diǎn)右側(cè)，∴B表示的點(diǎn)是-3，A表示的點(diǎn)是-9，C表示的點(diǎn)是15，∵點(diǎn)P以每秒2個單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動，M為線段AP的中點(diǎn)，∴AM＝2t÷2＝t，∴點(diǎn)M表示的數(shù)是t-9，∵點(diǎn)Q以每秒6個單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動，點(diǎn)N在線段CQ上，且CN＝CQ，則CN＝×6t＝4t，∴點(diǎn)N表示的數(shù)為15-4t，當(dāng)點(diǎn)M、N在數(shù)軸上相遇時，t-9＝15-4t，解得t＝4.8，∴當(dāng)點(diǎn)M、N在數(shù)軸上相遇時，t的值為4.8；(2)解：①當(dāng)M、N在原點(diǎn)兩側(cè)時，-（t-9）＝15-4t，解得t＝2，②當(dāng)M、N重合時，t-9＝15-4t，解得t＝4.8，綜上當(dāng)t值為2或4.8時M、N兩點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離相等．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸的動點(diǎn)問題和一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)已知條件熟練列出方程是解題的關(guān)鍵．6．在數(shù)軸上，若點(diǎn)M、點(diǎn)N表示的數(shù)分別是m、n，則M、N兩點(diǎn)間的距離可以表示為MN=|m-n|．例如，在數(shù)軸上，表示數(shù)-7和數(shù)1的兩點(diǎn)間的距離是|-7-1|=8，表示數(shù)3和數(shù)8的兩點(diǎn)間的距離是|8-3|=5．利用上述結(jié)論，解決問題：（1）若|x-3|=7，則x=________；（2）若有一個半徑為r的圓上有一點(diǎn)P，與數(shù)軸上表示-1的點(diǎn)重合，將圓沿?cái)?shù)軸無滑動的滾動1周，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)Q的位置，則點(diǎn)Q表示的數(shù)為________（用含有r的代數(shù)式表示）；（3）A，B為數(shù)軸上的兩個動點(diǎn)，點(diǎn)A表示的數(shù)為a，點(diǎn)B表示的數(shù)為b，且|a-b|=6（b>a），點(diǎn)C表示的數(shù)為-2，若點(diǎn)A、B、C、三點(diǎn)中的某一點(diǎn)到另外兩點(diǎn)的距離相等，求a、b的值．答案:（1）10或-4；（2）（3）或或．解析：分析：（1）根據(jù)題意可直接進(jìn)行求解；（2）根據(jù)題意可分當(dāng)圓向數(shù)軸正方向滾動和向負(fù)方向滾動進(jìn)行分類求解即可；（3）根據(jù)題意可進(jìn)行分類求解．【詳解】解：（1）∵，∴或，解得：或；故答案為10或-4；（2）由有一個半徑為r的圓上有一點(diǎn)P，與數(shù)軸上表示-1的點(diǎn)重合，將圓沿?cái)?shù)軸無滑動的滾動1周可得：圓的周長為，∴①當(dāng)圓向數(shù)軸正方向滾動時，則點(diǎn)Q表示的數(shù)為：；②當(dāng)圓向負(fù)方向滾動時，則點(diǎn)Q表示的數(shù)為：；故答案為；（3）∵，∴點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，且A、B兩點(diǎn)的距離為6，∴①當(dāng)點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)時，如圖所示：∴，∵點(diǎn)C表示的數(shù)為-2，∴；②當(dāng)點(diǎn)A為線段BC的中點(diǎn)時，如圖所示：∴AC=AB=6，∵點(diǎn)C表示的數(shù)為-2，∴；③當(dāng)點(diǎn)B為線段AC的中點(diǎn)時，如圖所示：∴BC=AB=6，∵點(diǎn)C表示的數(shù)為-2，∴；綜上所述：當(dāng)或或時，點(diǎn)A、B、C、三點(diǎn)中的某一點(diǎn)到另外兩點(diǎn)的距離相等．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)軸上的動點(diǎn)問題及線段中點(diǎn)，熟練掌握數(shù)軸上的動點(diǎn)問題及線段中點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．類型三三動成中點(diǎn)一解7．已知數(shù)軸上、兩點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)分別為、．（1）如果、兩點(diǎn)的中點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為，求的值；（2）設(shè)點(diǎn)P以每秒鐘個單位長度的速度從數(shù)軸上原點(diǎn)O出發(fā)，點(diǎn)、分別以每秒鐘個單位長度和每秒鐘個單位長度的速度出發(fā)，且三點(diǎn)同時向右運(yùn)動，那么經(jīng)過多少秒鐘時，點(diǎn)P是、兩點(diǎn)的中點(diǎn)？答案:（1）；（2）秒解析：分析：（1）根據(jù)“、兩點(diǎn)的中點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為，”可列出關(guān)于的方程，解出即可求解；（2）設(shè)經(jīng)過秒時，點(diǎn)P是、兩點(diǎn)的中點(diǎn)，可得，可列出關(guān)于的方程，解出即可求解．【詳解】解：（1）由題意得：，解得，∴；（2）根據(jù)三點(diǎn)的運(yùn)動速度可知，只有一個時刻點(diǎn)P是、兩點(diǎn)的中點(diǎn)，此時點(diǎn)在點(diǎn)P的左側(cè)，點(diǎn)在點(diǎn)P的右側(cè)，設(shè)經(jīng)過秒時，點(diǎn)P是、兩點(diǎn)的中點(diǎn)，則三點(diǎn)、、P表示的數(shù)分別是、、，∵點(diǎn)P是、兩點(diǎn)的中點(diǎn)，∴，即，解得：，答：經(jīng)過秒鐘時點(diǎn)P是、兩點(diǎn)的中點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)軸，一元一次方程的應(yīng)用，明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想，得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．8．已知數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)對應(yīng)數(shù)分別為﹣2和4，P為數(shù)軸上一動點(diǎn)，對應(yīng)數(shù)為x．（1）若P為線段AB的三等分點(diǎn)，求P點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)．（2）數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P，使P點(diǎn)到A點(diǎn)、B點(diǎn)距離之和為10？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由．（3）若點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)P（點(diǎn)P在原點(diǎn)）同時向左運(yùn)動，它們的速度分別為1個單位長度/分、2個單位長度/分和1個單位長度/分，則經(jīng)過多長時間點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)？答案:點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)為0或2；（2）存在；（3）經(jīng)過2分鐘點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)．解析：分析：（1）根據(jù)題意結(jié)合圖形即可解決問題；（2）因?yàn)锳B=6，所以分點(diǎn)P在線段AB的左邊或右邊兩種情況來解答，列出方程即可解決問題．（3）根據(jù)三點(diǎn)的運(yùn)動速度，準(zhǔn)確表示出某一時刻三點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)，列出方程即可解決問題．【詳解】解：（1）∵P為線段AB的三等分點(diǎn)，且點(diǎn)A、B的對應(yīng)的數(shù)分別為﹣2，4，∴點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)為0或2．（2）存在．設(shè)點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)為x，∵P點(diǎn)到A點(diǎn)、B點(diǎn)距離之和為10，AB=6，∴﹣2﹣x+4﹣x＝10或x+2+x﹣4＝10，解得：x＝﹣4或x＝6．（3）設(shè)經(jīng)過t分點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，由題意得：（﹣t﹣2）+（﹣2t+4）＝2（﹣t），解得：t＝2，即經(jīng)過2分鐘點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸與一元一次方程的綜合應(yīng)用問題，解答的關(guān)鍵是理解題意，明確數(shù)量間的關(guān)系，從而正確列出方程解決問題．類型四三動成中點(diǎn)三解9．現(xiàn)象感知如圖1，在數(shù)軸上，線段AB的中點(diǎn)為E，點(diǎn)E表示的數(shù)與點(diǎn)A、點(diǎn)B表示的數(shù)關(guān)系存在：＝6；線段CD的中點(diǎn)為F，點(diǎn)F表示的數(shù)與點(diǎn)C、點(diǎn)D表示的數(shù)的關(guān)系也存在：＝﹣2歸納性質(zhì)如圖2，在數(shù)軸上，線段GH的中點(diǎn)為P．（1）如圖2，在數(shù)軸上，點(diǎn)G、H、P表示的數(shù)分別為a，b，c，請猜想a，b，c的等量關(guān)系，請寫出一等量關(guān)系式．小宇同學(xué)為了說明a，b，c的等量關(guān)系是正確的，采用了字母表示數(shù)的方法，設(shè)PG＝PH＝m，從而表示出G、H兩點(diǎn)的數(shù)（含c和m）．請完成小宇的說理過程．拓展應(yīng)用（2）如圖，點(diǎn)A，B，C在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別為﹣3，1，9，它們分別以每秒2個單位長度、1個單位長度和4個單位長度的速度在數(shù)軸上同時向左做勻速運(yùn)動，設(shè)同時運(yùn)動的時間為t秒．若A，B，C三點(diǎn)中，有一點(diǎn)恰為另外兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)，求t的值．答案:（1），見解析；（2）1秒或4秒或16秒解析：分析：（1）用表示出點(diǎn)，然后求解即可；（2）分三種情況討論求解即可，當(dāng)點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)、點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)、點(diǎn)A是線段BC的中點(diǎn)時，分別求解即可．【詳解】（1）；理由：H點(diǎn)：b＝c＋m，G點(diǎn)：a＝c－m，，即．（2）運(yùn)動t秒后A、B、C三點(diǎn)表示的數(shù)分別為A：－3－2t，B：1－t，C：9－4t①當(dāng)點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)時：②當(dāng)點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)時：③當(dāng)點(diǎn)A是線段BC的中點(diǎn)時：綜上所述，t的值為1秒或4秒或16秒．【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)軸的有關(guān)應(yīng)用，涉及了用數(shù)軸表示數(shù)，數(shù)軸上的動點(diǎn)問題，中點(diǎn)公式，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)軸的有關(guān)性質(zhì)，正確求解．10．定義：若線段上有一點(diǎn)，當(dāng)時，則稱點(diǎn)為線段的中點(diǎn).已知數(shù)軸上，兩點(diǎn)對應(yīng)數(shù)分別為和，，為數(shù)軸上一動點(diǎn)，對應(yīng)數(shù)為.（1）若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為______.若為線段的中點(diǎn)時則點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為______.（2）若點(diǎn)、點(diǎn)同時向左運(yùn)動，它們的速度都為1個單位長度/秒，與此同時點(diǎn)從-16處以2個單位長度/秒向右運(yùn)動.①設(shè)運(yùn)動的時間為秒，直接用含的式子填空______；______.②經(jīng)過多長時間后，點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)三點(diǎn)中其中一點(diǎn)是另外兩點(diǎn)的中點(diǎn)？答案:（1）1，10；（2）①或（或者寫），或（或者寫），②或或解析：分析：(1)根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得出規(guī)律,再利用規(guī)律解答即可.(2)①根據(jù)題意得出A、B、P表示的數(shù),從而得出結(jié)論;②分三種情況討論:若P為AB的中點(diǎn),若A為BP的中點(diǎn),若B為AP的中點(diǎn),根據(jù)(1)所得結(jié)論列方程求解即可.【詳解】(1)∵P為線段AB的中點(diǎn),∴AP=PB,∴x-a=b-x,2x=a+b,∴x=;若B為線段AP的中點(diǎn),則2b=a+x,解得:x=2b-a=8-(-2)=10.故答案為:1,10.(2)由題意得:A表示的數(shù)為-2-t,B表示的數(shù)為:4-t,P表示的數(shù)為:-16+2t.①AP=|(-16+2t)-(-2-t)=|14-3t|,BP=|(-16+2t)-(4-t)|=|20-3t|,∴AP=-3t+14或14-3t;BP=20-3t或3t-20.故答案為:-3t+14或14-3t;20-3t或3t-20.②分三種情況討論:若P為AB的中點(diǎn),則:2(-16+2t)=(-2-t)+(4-t),解得:t=;若A為BP的中點(diǎn),則:2(-2-t)=(-16+2t)+(4-t),解得:t=;若B為AP的中點(diǎn),則:2(4-t)=(-2-t)+(-16+2t),解得:t=.綜上所述:t的值為:或或時,點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)三點(diǎn)中其中一點(diǎn)是另外兩點(diǎn)的中點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì),數(shù)軸,兩點(diǎn)間的距離,一元一次方程的應(yīng)用,運(yùn)用方程思想、分類討論思想結(jié)合是解題關(guān)鍵.11．如圖，在直線上順次取A，B，C三點(diǎn)，使得AB＝40cm，BC＝280cm，點(diǎn)P、點(diǎn)Q分別由A、B點(diǎn)同時出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動，點(diǎn)P的速度為3cm/s，點(diǎn)Q的速度為lcm/s．（1）如果點(diǎn)D是線段AC的中點(diǎn)，那么線段BD的長是cm；（2）①求點(diǎn)P出發(fā)多少秒后追上點(diǎn)Q；②直接寫出點(diǎn)P出發(fā)秒后與點(diǎn)Q的距離是20cm；（3）若點(diǎn)E是線段AP中點(diǎn)，點(diǎn)F是線段BQ中點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)P出發(fā)秒時，點(diǎn)B，點(diǎn)E，點(diǎn)F，三點(diǎn)中的一個點(diǎn)是另外兩個點(diǎn)所在線段的中點(diǎn)．答案:（1）120；（2）①20s后點(diǎn)P追上點(diǎn)Q；②10或30；（3）20或32或80．解析：分析：（1）根據(jù)題意可求出AC與AD的長度，利用BD＝AD﹣AB即可求出答案．（2）①設(shè)ts后P點(diǎn)追上Q點(diǎn)，列出方程即可求出答案．②分兩種情況求解：當(dāng)P在Q的左側(cè)時，當(dāng)P在Q的右側(cè)時；（3）設(shè)點(diǎn)A對應(yīng)數(shù)軸上的數(shù)為0，點(diǎn)B對應(yīng)數(shù)軸上的數(shù)為40，則ts后，點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)為3t，點(diǎn)Q對應(yīng)的數(shù)為40+t，根據(jù)中點(diǎn)公式即可列出方程求出答案．【詳解】解：（1）如圖，∵AB+BC＝AC，∴AC＝320cm，∵D是線段AC的中點(diǎn)，∴AD＝160cm，∴BD＝AD﹣AB＝120cm；（2）①設(shè)ts后P點(diǎn)追上Q點(diǎn)，根據(jù)題意列出方程可知：3t＝t+40，∴t＝20，答：20s后點(diǎn)P追上點(diǎn)Q；②當(dāng)P在Q的左側(cè)時，此時3t+20＝40+t，解得：t＝10，當(dāng)P在Q的右側(cè)時，此時3t＝40+t+20，解得：t＝30，答：當(dāng)t＝10或30s時，此時P、Q相距20cm；（3）設(shè)點(diǎn)A對應(yīng)數(shù)軸上的數(shù)為0，點(diǎn)B對應(yīng)數(shù)軸上的數(shù)為40，則ts后，點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)為3t，點(diǎn)Q對應(yīng)的數(shù)為40+t，∵點(diǎn)E是線段AP中點(diǎn)，∴點(diǎn)E表示的數(shù)為＝t，∵點(diǎn)F是線段BQ中點(diǎn)，∴點(diǎn)F表示的數(shù)為＝40+，當(dāng)B是EF的中點(diǎn)時，∴＝40，解得：t＝20，當(dāng)E是BF的中點(diǎn)時，∴＝，∴t＝32，當(dāng)F是BE的中點(diǎn)時，∴＝40+，∴t＝80，綜上所述，t＝20或32或80．故答案為：（1）120；（2）10或30；（3）20或32或80【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上的動點(diǎn)問題，以及一元一次方程的應(yīng)用，解題點(diǎn)的關(guān)鍵是正確找出題中的等量關(guān)系，本題屬于中等題型．12．[知識背景]：數(shù)軸上，點(diǎn)，表示的數(shù)為，，則，兩點(diǎn)的距離，，的中點(diǎn)表示的數(shù)為，[知識運(yùn)用]：若線段上有一點(diǎn)，當(dāng)時，則稱點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．已知數(shù)軸上，兩點(diǎn)對應(yīng)數(shù)分別為和，，為數(shù)軸上一動點(diǎn)，對應(yīng)數(shù)為．（1）______，______；（2）若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為______．若為線段的中點(diǎn)時則點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為______（3）若點(diǎn)、點(diǎn)同時向左運(yùn)動，點(diǎn)的速度為1個單位長度/秒，點(diǎn)的速度為3個單位長度/秒，則經(jīng)過多長時間點(diǎn)追上點(diǎn)？（列一元一次方程解應(yīng)用題）；此時點(diǎn)表示的數(shù)是______（4）若點(diǎn)、點(diǎn)同時向左運(yùn)動，它們的速度都為1個單位長度/秒，與此同時點(diǎn)從-16處以2個單位長度/秒的速度向右運(yùn)動，經(jīng)過多長時間后，點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)三點(diǎn)中其中一點(diǎn)是另外兩點(diǎn)的中點(diǎn)？__________________（直接寫出答案．）答案:（1）﹣2、4；（2）1、10；（3）經(jīng)過3秒點(diǎn)追上點(diǎn)．此時點(diǎn)表示的數(shù)是－5；（4）、、解析：分析：（1）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解即可；（2）利用線段中點(diǎn)定義，和數(shù)軸求兩點(diǎn)距離的方法列出方程，解方程即可；（3）利用點(diǎn)A的行程+AB間距離=B行程，列出方程t+6=3t求出t，點(diǎn)B表示的數(shù)用4減B點(diǎn)行程即可；（4）設(shè)運(yùn)動的時間為tS，先用“t”表示A、B、P表示的數(shù)分三種情況考慮，①點(diǎn)A為點(diǎn)P與點(diǎn)B的中點(diǎn)，PA=AB，列方程4-t-(-2-t)=-2-t-(-16+2t)，②點(diǎn)P為點(diǎn)A與點(diǎn)B的中點(diǎn)，即