新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題八平面解析幾何8-4拋物線練習(xí)含答案

8.4拋物線五年高考高考新風(fēng)向(多選)(2024新課標(biāo)Ⅱ,10,6分,中)拋物線C:y2=4x的準(zhǔn)線為l,P為C上動點(diǎn).過P作☉A:x2+(y-4)2=1的一條切線,Q為切點(diǎn).過P作l的垂線,垂足為B.則(ABD)A.l與☉A相切B.當(dāng)P,A,B三點(diǎn)共線時,|PQ|=15C.當(dāng)|PB|=2時,PA⊥ABD.滿足|PA|=|PB|的點(diǎn)P有且僅有2個考點(diǎn)1拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程1.(2023北京,6,4分,易)已知拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M在C上.若M到直線x=-3的距離為5,則|MF|=(D)A.7B.6C.5D.42.(2021新高考Ⅱ,3,5分,易)若拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)到直線y=x+1的距離為2,則p=(B)A.1B.2C.22D.43.(2020課標(biāo)Ⅰ理,4,5分,易)已知A為拋物線C:y2=2px(p>0)上一點(diǎn),點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12,到y(tǒng)軸的距離為9,則p=(C)A.2B.3C.6D.94.(2022全國乙,文6,理5,5分,中)設(shè)F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),點(diǎn)A在C上,點(diǎn)B(3,0),若|AF|=|BF|,則|AB|=(B)A.2B.22C.3D.325.(2023全國乙,文13,理13,5分,易)已知點(diǎn)A(1,5)在拋物線C:y2=2px上,則A到C的準(zhǔn)線的距離為

946.(2021全國乙文,20,12分,中)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2.(1)求C的方程;(2)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P在C上,點(diǎn)Q滿足PQ=9QF,求直線OQ斜率的最大值.解析(1)∵拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2,∴p=2.∴拋物線C的方程為y2=4x.(2)第一步:設(shè)點(diǎn)寫向量坐標(biāo),利用向量相等坐標(biāo)相同得點(diǎn)Q的坐標(biāo).設(shè)點(diǎn)P(4x02,4x0),Q(x1,y則PQ=(x1-4x02,y1-4x∵F(1,0),∴QF=(1-x1,-y1),∵PQ=9QF,∴x1?4第二步:用參數(shù)x0表示kOQ,利用基本不等式求其最值.∴kOQ=y1x1當(dāng)kOQ最大時,x0>0,∴kOQ=49x0+4x當(dāng)且僅當(dāng)4x0=9x0時取“=”,此時x0=32,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(9,6),因此kOQ考點(diǎn)2拋物線的幾何性質(zhì)1.(2020課標(biāo)Ⅲ文,7,5分,中)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線x=2與拋物線C:y2=2px(p>0)交于D,E兩點(diǎn),若OD⊥OE,則C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(B)A.14,0B.12,0C.(1,0)D.(2.(2020北京,7,4分,中)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為O,焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P是拋物線上異于O的一點(diǎn),過P作PQ⊥l于Q,則線段FQ的垂直平分線(B)A.經(jīng)過點(diǎn)OB.經(jīng)過點(diǎn)PC.平行于直線OPD.垂直于直線OP3.(多選)(2023新課標(biāo)Ⅱ,10,5分,中)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線y=-3(x-1)過拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),且與C交于M,N兩點(diǎn),l為C的準(zhǔn)線,則(AC)A.p=2B.|MN|=8C.以MN為直徑的圓與l相切D.△OMN為等腰三角形4.(多選)(2022新高考Ⅰ,11,5分,中)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A(1,1)在拋物線C:x2=2py(p>0)上,過點(diǎn)B(0,-1)的直線交C于P,Q兩點(diǎn),則(BCD)A.C的準(zhǔn)線為y=-1B.直線AB與C相切C.|OP|·|OQ|>|OA|2D.|BP|·|BQ|>|BA|25.(多選)(2022新高考Ⅱ,10,5分,中)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),過拋物線C:y2=2px(p>0)焦點(diǎn)F的直線與C交于A,B兩點(diǎn),其中A在第一象限,點(diǎn)M(p,0).若|AF|=|AM|,則(ACD)A.直線AB的斜率為26B.|OB|=|OF|C.|AB|>4|OF|D.∠OAM+∠OBM<180°6.(2020新高考Ⅰ,13,5分,易)斜率為3的直線過拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),且與C交于A,B兩點(diǎn),則|AB|=

1637.(2021新高考Ⅰ,14,5分,中)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,P為C上一點(diǎn),PF與x軸垂直,Q為x軸上一點(diǎn),且PQ⊥OP.若|FQ|=6,則C的準(zhǔn)線方程為x=-32

三年模擬練速度1.(2024山東濰坊一模,2)已知拋物線C:x2=y上點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為1,則M到C的焦點(diǎn)的距離為(B)A.1B.54C.322.(2024安徽黃山一模,2)已知拋物線C:y2=2px的焦點(diǎn)為F12,0,則p的值為(CA.14B.12C.13.(2024浙江杭州二中、湖南長沙長郡中學(xué)、江蘇南京師大附中聯(lián)考,4)拋物線y2=2px(p>0)上的點(diǎn)P(2,2)到焦點(diǎn)的距離為(A)A.52B.2C.324.(2024T8聯(lián)盟聯(lián)考一,3)若圓C:x2+y2-4x+3=0與拋物線x2=2py(p>0)的準(zhǔn)線相切,則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(C)A.(2,0)B.(0,2)C.(0,1)D.(1,0)5.(2024湖北武漢二調(diào),5)設(shè)拋物線y2=2x的焦點(diǎn)為F,過拋物線上點(diǎn)P作其準(zhǔn)線的垂線,設(shè)垂足為Q,若∠PQF=30°,則|PQ|=(A)A.23B.33C.346.(2024江西南昌一模,5)已知拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn)為F,A是拋物線C在第一象限部分上一點(diǎn),若|AF|=4,則拋物線C在點(diǎn)A處的切線方程為(A)A.3x-y-3=0B.2x-y-1=0C.x-y-1=0D.2x-y-2=07.(2024廣東五粵名校第一次聯(lián)考,3)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,過F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),則|AF|+4|BF|的最小值為(D)A.6B.7C.8D.98.(2024河北唐山一模,6)已知拋物線E:y2=4x的焦點(diǎn)為F,以F為圓心的圓與E交于A,B兩點(diǎn),與E的準(zhǔn)線交于C、D兩點(diǎn),若|CD|=221,則|AB|=(D)A.3B.4C.6D.89.(2024浙江金麗衢十二校聯(lián)考,6)已知拋物線C1:x2=2y的焦點(diǎn)為F,以F為圓心的圓C2交C1于A,B兩點(diǎn),交C1的準(zhǔn)線于C,D兩點(diǎn),若四邊形ABCD是矩形,則圓C2的方程為(D)A.x2+(y-1)2=12B.x2+(y-1)2=16C.x2+y?122=3D.x10.(2024安徽阜陽一模,13)拋物線C1:y2=2px(p>0)繞其頂點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)θ0<θ<π2之后,得到拋物線C2,其準(zhǔn)線方程為3x+y+4=0,則拋物線C1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,練思維1.(2024安徽蚌埠第三次教學(xué)質(zhì)量檢查,8)已知拋物線C:y2=4x,過其焦點(diǎn)F的直線交C于A,B兩點(diǎn),M為AB中點(diǎn),過M作準(zhǔn)線的垂線,垂足為N,若|AF|=4,則|NF|=(B)A.43B.433C.82.(2024山東棗莊一模,8)已知F為拋物線E:y2=4x的焦點(diǎn),△ABC的三個頂點(diǎn)都在E上,P為AB的中點(diǎn),且CF=2FP,則|FA|+|FB|的最大值為(B)A.4B.5C.33D.423.(多選)(2024山東臨沂一模,11)已知圓C:x2+y2-10x+13=0,拋物線W:y2=4x的焦點(diǎn)為F,P為W上一點(diǎn).(AC)A.存在點(diǎn)P,使△PFC為等邊三角形B.若Q為C上一點(diǎn),則|PQ|的最小值為1C.若|PC|=4,則直線PF與圓C相切D.若以PF為直徑的圓與圓C相外切,則|PF|=22-1234.(多選)(2024湖南長沙雅禮中學(xué)月考七,10)拋物線的弦與弦的端點(diǎn)處的兩條切線形成的三角形稱為阿基米德三角形,該三角形以其深刻的背景、豐富的性質(zhì)產(chǎn)生了無窮的魅力.設(shè)A,B是拋物線C:x2=4y上兩個不同的點(diǎn),以A(x1,y1),B(x2,y2)為切點(diǎn)的切線交于P點(diǎn).若弦AB過點(diǎn)F(0,1),則下列說法正確的有(ABD)A.x1x2=-4B.若x1=2,則A點(diǎn)處的切線方程為x-y-1=0C.存在點(diǎn)P,使得PA·PB>0D.△PAB面積的最小值為45.(多選)(2024浙江杭州二模,11)過點(diǎn)P(2,0)的直線與拋物線C:y2=4x交于A,B兩點(diǎn).拋物線C在點(diǎn)A處的切線與直線x=-2交于點(diǎn)N,作NM⊥AP交AB于點(diǎn)M,則(BC)A.直線NB與拋物線C有2個公共點(diǎn)B.直線MN恒過定點(diǎn)C.點(diǎn)M的軌跡方程是(x-1)2+y2=1(x≠0)D.|MN|3|AB|6.(多選)(2024東北三省三校一模,10)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P在拋物線C上,點(diǎn)Q在拋物線C的準(zhǔn)線上,則以下命題正確的是(ABD)A.|PQ|+|PF|的最小值是2B.|PQ|≥|PF|C.當(dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4時,存在點(diǎn)Q,使得QF=3FPD.若△PQF是等邊三角形,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是37.(多選)(2024福建畢業(yè)班適應(yīng)性練習(xí),10)已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)D,過F的直線交C于A,B兩點(diǎn),AF的中點(diǎn)M在y軸上的射影為點(diǎn)N,|MN|=|NF|,則(ABD)A.|AF|=3|BF|B.∠ADB是銳角C.△BDN是銳角三角形D.四邊形DFMN是菱形8.(2024遼寧大連三校聯(lián)考,13)已知拋物線C1:y2=2x,C2:y2=4x的焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)P,Q分別在C1,C2上,且線段PQ平行于x軸.若△F2PQ是等腰三角形,則|PQ|=

239.(2024湖南衡陽第二次聯(lián)考,13)已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在第一象限),∠AFO=120°(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),|AF|=4,則|BF|=

4310.(2024浙江金華十校模擬,18)設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0),直線x=-1是拋物線C的準(zhǔn)線,且與x軸交于點(diǎn)B,過點(diǎn)B的直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M,N,A(1,n)是不在直線l上的一點(diǎn),直線AM,AN分別與準(zhǔn)線交于P,Q兩點(diǎn).(1)求拋物線C的方程;(2)證明:|BP|=|BQ|;(3)記△AMN,△APQ的面積分別為S1,S2,若S1=2S2,求直線l的方程.解析(1)由題意知-p2=-1,則p=2故拋物線C的方程為y2=4x.(3分)(2)證明:設(shè)l:x=ty-1,M(x1,y1),N(x2,y2),聯(lián)立y2=4x,x=ty?1,消去則Δ=16(t2-1)>0,且y1+y2=4AM:y-n=y1?nx1?1(x-1),令x同理可得Q?1,n?2(y2?則|BP|=|yP|,|BQ|=|yQ|,因?yàn)閥P+yQ=n-2(y1?n)x1?1=2n-2(=2n-4ty1y2?(2所以|yP|=|yQ|,故|BP|=BQ|.(10分)(3)解法一:設(shè)點(diǎn)A到直線PQ,MN的距離分別為d1,d2,易知d1=2.由(2)可得,d2=|2?nt|t2+1,|MN|=(t2+1)[(y1+y2)2?4y1y2]=4(t2S1=12|MN|d2=12×4(t2+1)(t2?1)·|2?nt|t由S1=2S2得t2-1=2,解得t=±3,所以直線l的方程為x±3y+1=0.(17分)解法二:S1S2=12|AM|·|AN|·sin∠MAN12|AP|·|AQ|·所以S1S2=|(ty1?2)(ty2?2)由S1=2S2得t2-1=2,解得t=±3,所以直線l的方程為x±3y+1=0.(17分)11.(2024湖北武漢四調(diào),18)已知拋物線E:y=x2,過點(diǎn)T(1,2)的直線與拋物線E交于A,B兩點(diǎn),設(shè)拋物線E在點(diǎn)A,B處的切線分別為l1和l2,已知l1與x軸交于點(diǎn)M,l2與x軸交于點(diǎn)N,設(shè)l1與l2的交點(diǎn)為P.(1)證明:點(diǎn)P在定直線上;(2)若△PMN面積為2,求點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)若P,M,N,T四點(diǎn)共圓,求點(diǎn)P的坐標(biāo).解析(1)證明:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(xP,yP).由y=x2,得y'=2x,所以l1的方程為y=2x1(x-x1)+y1,整理得y=2x1x-x12.同理,l2的方程為y=2x2x-聯(lián)立得y=2x1x?x12,y=2x2x設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1)+2,聯(lián)立得y消y得x2-kx+k-2=0,故x1+x2=k,x1x2=k-2,所以xP=k2,yP=k-2,有yP=2xP-2所以點(diǎn)P在定直線y=2x-2上.(6分)(2)在l1,l2的方程中,令y=0,得Mx12,0,所以△PMN的面積S=12|MN|·|yP|=14|(x1-x2)x1x2|=故(x1-x2)2(x1x2)2=32,即[(x1+x2)2-4x1x2](x1x2)2=32,則(k2-4k+8)(k2-4k+4)=32.即[(k-2)2+8][(k-2)2-4]=0,解得k=0或k=4.所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,-2)或(2,2).(11分)(3)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F0,14,由Mx12,0得直線MF的斜率kMF=-12x1同理NF⊥NP,所以PF是△PMN外接圓的直徑.若點(diǎn)T也在該圓上,則TF⊥TP.由kTF=74,得直線TP的方程為y=-47(x-1)又