第15講三角函數(shù)的概念及誘導(dǎo)公式（學(xué)生版）-2023年新高一（初升高）暑期數(shù)學(xué)銜接（新人教版）

第15講三角函數(shù)的概念及誘導(dǎo)公式【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.借助單位圓理解三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義2.借助于單位圓的對(duì)稱(chēng)性，利用定義指導(dǎo)出誘導(dǎo)公式(，的正弦，余弦，正切)3.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：【基礎(chǔ)知識(shí)】一、三角函數(shù)的概念1.單位圓中三角函數(shù)的定義2.三角函數(shù)值的符號(hào)規(guī)律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．二、利用三角函數(shù)的定義求值的策略1.已知角α的終邊在直線(xiàn)上求α的三角函數(shù)值時(shí)，常用的解題方法有以下兩種：方法一：先利用直線(xiàn)與單位圓相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后再利用正、余弦函數(shù)的定義求出相應(yīng)三角函數(shù)值．方法二：在α的終邊上任選一點(diǎn)P(x，y)，P到原點(diǎn)的距離為r(r>0)．則sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r).已知α的終邊求α的三角函數(shù)值時(shí)，用這幾個(gè)公式更方便．2.當(dāng)角α的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時(shí)，要根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際情況對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論．3.若終邊在直線(xiàn)上時(shí)，因?yàn)榻堑慕K邊是射線(xiàn)，應(yīng)分兩種情況處理．三、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系1.兩個(gè)基本關(guān)系式2.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的變形形式(1)平方關(guān)系變形sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.(2)商的變形sinα＝tanαcosα，cosα＝eq\f(sinα,tanα).3.求三角函數(shù)值的方法(1)已知sinθ(或cosθ)求tanθ常用以下方式求解(2)已知tanθ求sinθ(或cosθ)常用以下方式求解當(dāng)角θ的范圍不確定且涉及開(kāi)方時(shí)，常因三角函數(shù)值的符號(hào)問(wèn)題而對(duì)角θ分區(qū)間(象限)討論．4．已知角α的正切求關(guān)于sinα，cosα的齊次式的值的方法(1)關(guān)于sinα，cosα的齊次式就是式子中的每一項(xiàng)都是關(guān)于sinα，cosα的式子且它們的次數(shù)之和相同，設(shè)為n次，將分子、分母同除以cosα的n次冪，其式子可化為關(guān)于tanα的式子，再代入求值．(2)若無(wú)分母時(shí)，把分母看作1，并將1用sin2α＋cos2α來(lái)代換，將分子、分母同除以cos2α，可化為關(guān)于tanα的式子，再代入求值．4.三角函數(shù)求值中常見(jiàn)的變形公式(1)sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα三個(gè)式子中，已知其中一個(gè)，可以求其他兩個(gè)，即“知一求二”，它們的關(guān)系是：(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα；(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα.(2)求sinα＋cosα或sinα－cosα的值，要根據(jù)α的范圍注意判斷它們的符號(hào)．四、利用同角三角函數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)的常用方法1.化切為弦，減少函數(shù)名稱(chēng)，便于約分化簡(jiǎn)；2.對(duì)含根號(hào)的，應(yīng)先把被開(kāi)方式化為完全平方，去掉根號(hào)，為防止出錯(cuò)，去掉根號(hào)后首先用絕對(duì)值符號(hào)表示，然后考慮正負(fù)；3.對(duì)含有高次的三角函數(shù)式，可借助于因式分解，或構(gòu)造平方關(guān)系，以便于降冪化簡(jiǎn).五、簡(jiǎn)單的三角恒等式的證明思路1.從一邊開(kāi)始，證明它等于另一邊；2.證明左、右兩邊等于同一個(gè)式子；3.逐步尋找等式成立的條件，達(dá)到由繁到簡(jiǎn).六、誘導(dǎo)公式(1)在公式一～四中，角α是任意角．(2)公式一、二、三、四都叫做誘導(dǎo)公式，它們可概括如下：①記憶方法：2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α的三角函數(shù)值，等于α的同名函數(shù)值，前面加上一個(gè)把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)，可以簡(jiǎn)單地說(shuō)成“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”．②解釋?zhuān)骸昂瘮?shù)名不變”是指等式兩邊的三角函數(shù)同名；“符號(hào)”是指等號(hào)右邊是正號(hào)還是負(fù)號(hào)；“看象限”是指假設(shè)α是銳角，要看原三角函數(shù)是取正值還是負(fù)值，如sin(π＋α)，若把α看成銳角，則π＋α在第三象限，正弦在第三象限取負(fù)值，故sin(π＋α)＝－sinα.【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：利用三角函數(shù)定義求值例1．(2022學(xué)年遼寧省大連市大連育明高級(jí)中學(xué)高一下學(xué)期期中)已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則角的正弦值為(

)A． B． C． D．考點(diǎn)二：確定三角函數(shù)值的符號(hào)例2．(2022學(xué)年湖北省問(wèn)津聯(lián)合體高一下學(xué)期5月質(zhì)量檢測(cè))下列各式的符號(hào)為正的是(

)A． B．C． D．考點(diǎn)三：確定角所在象限例3．(2021－2022學(xué)年北京市八一學(xué)校高一6月月考)若且，則角所在的象限是(

)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限考點(diǎn)四：給出一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)值求該角的其他三角函數(shù)值例4．(2022學(xué)年海南省華僑中學(xué)高一上學(xué)期期末)已知，且為第二象限角，則下列選項(xiàng)正確的是(

)A． B． C． D．考點(diǎn)五：齊次分式求值例5.(2022學(xué)年江西省名校高一下學(xué)期期中)已知，則(

)A． B． C． D．考點(diǎn)六：根據(jù)sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα的關(guān)系求值例6．(2022學(xué)年山東省德州市第一中學(xué)高一下學(xué)期6月月考)在ABC中，若，則(

)A． B． C． D．考點(diǎn)七：利用誘導(dǎo)公式求值例7．(2022學(xué)年河南省駐馬店市環(huán)際大聯(lián)考“逐夢(mèng)計(jì)劃”高一下學(xué)期期中)______．考點(diǎn)八：三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)例8．(2020-2021學(xué)年黑龍江省綏化市第一中學(xué)高一上學(xué)期期末)若角，則()A． B． C． D．考點(diǎn)九：三角函數(shù)式證明例9．求證：(1)(2)【真題演練】1．(2022學(xué)年遼寧省沈陽(yáng)市部分學(xué)校高一下學(xué)期期中)已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸正半軸，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則(

)A． B． C． D．12．(2022學(xué)年遼寧省遼南協(xié)作體高一下學(xué)期期中)已知角終邊在第一象限，，那么的值為(

)A． B． C． D．3.(2022學(xué)年四川省德陽(yáng)市第五中學(xué)高一上學(xué)期12月月考)若，則(

)A． B． C． D．4.(多選)(2022學(xué)年湖北省部分重點(diǎn)高中高一上學(xué)期期末)已知，，那么的可能值為(

)A． B． C． D．5.(多選)(2022學(xué)年遼寧省朝陽(yáng)市建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一下學(xué)期期中)已知點(diǎn)在第一象限，則在內(nèi)的取值范圍是(

)A． B． C． D．6.(2022學(xué)年上海財(cái)經(jīng)大學(xué)附屬北郊高級(jí)中學(xué)高一下學(xué)期3月月考)已知，則的取值范圍是__．7.(2022學(xué)年廣西桂林市第十九中學(xué)高一下學(xué)期期中)(1)已知，求的值．(2)化簡(jiǎn)．8.(2022學(xué)年陜西省咸陽(yáng)市武功縣高一下學(xué)期月考)已知.(1)求的值(2)若，求的值.【過(guò)關(guān)檢測(cè)】1.(2022學(xué)年北京市昌平區(qū)第一中學(xué)高一下學(xué)期期中)若角滿(mǎn)足，，則在(

)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2.(2022學(xué)年安徽省皖中名校高一下學(xué)期期中)設(shè)，，則(

)A． B． C． D．3.(2022學(xué)年北京市中國(guó)人民大學(xué)附中高一3月檢測(cè))若，則(

)A． B． C． D．4.(多選)(2022學(xué)年福建省德化一中、漳平一中、永安一中三校協(xié)作聯(lián)考高一上學(xué)期月考)以原點(diǎn)為圓心的單位圓上一點(diǎn)從出發(fā)，沿逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)到達(dá)點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)不可能的是(

)A． B． C． D．5.(多選)(2022學(xué)年山東省德州市高一上學(xué)期數(shù)學(xué)期末)已知，，則可能等于(

)A． B． C． D．6.(2022學(xué)年江西省景德鎮(zhèn)一中高一下學(xué)期期中)______．7.(2022學(xué)年遼寧省沈陽(yáng)市同澤高中高一下學(xué)期4