第15講 拋物線（七大題型）（教師版）-2024年高中數學新高二暑期銜接講義

第15講拋物線【題型歸納目錄】題型一：拋物線的定義題型二：求拋物線的標準方程題型三：拋物線的綜合問題題型四：軌跡方程題型五：拋物線的幾何性質題型六：拋物線中的范圍與最值問題題型七：焦半徑問題【知識點梳理】知識點一：拋物線的定義定義：平面內與一個定點和一條定直線(不經過點)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準線．知識點詮釋:(1)上述定義可歸納為“一動三定”，一個動點，一定直線；一個定值(2)定義中的隱含條件：焦點F不在準線上，若F在上，拋物線變?yōu)檫^F且垂直與的一條直線.(3)拋物線定義建立了拋物線上的點、焦點、準線三者之間的距離關系，在解題時常與拋物線的定義聯系起來，將拋物線上的動點到焦點的距離與動點到準線的距離互化，通過這種轉化使問題簡單化.知識點二：拋物線的標準方程拋物線標準方程的四種形式：根據拋物線焦點所在半軸的不同可得拋物線方程的的四種形式，，，。知識點詮釋：①只有當拋物線的頂點是原點，對稱軸是坐標軸時，才能得到拋物線的標準方程；②拋物線的焦點在標準方程中一次項對應的坐標軸上，且開口方向與一次項的系數的正負一致，比如拋物線的一次項為，故其焦點在軸上，且開口向負方向(向下)③拋物線標準方程中一次項的系數是焦點的對應坐標的4倍.④從方程形式看，求拋物線的標準方程僅需確定一次項系數。用待定系數法求拋物線的標準方程時，首先根據已知條件確定拋物線的標準方程的類型(一般需結合圖形依據焦點的位置或開口方向定型)，然后求一次項的系數，否則，應展開相應的討論.⑤在求拋物線方程時，由于標準方程有四種形式，易混淆，可先根據題目的條件作出草圖，確定方程的形式，再求參數p，若不能確定是哪一種形式的標準方程，應寫出四種形式的標準方程來，不要遺漏某一種情況。知識點三：拋物線的簡單幾何性質：拋物線標準方程的幾何性質范圍：，，拋物線y2=2px(p＞0)在y軸的右側，開口向右，這條拋物線上的任意一點M的坐標(x，y)的橫坐標滿足不等式x≥0；當x的值增大時，|y|也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸。拋物線是無界曲線。對稱性：關于x軸對稱拋物線y2=2px(p＞0)關于x軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸。拋物線只有一條對稱軸。頂點：坐標原點拋物線y2=2px(p＞0)和它的軸的交點叫做拋物線的頂點。拋物線的頂點坐標是(0，0)。拋物線標準方程幾何性質的對比圖形標準方程y2=2px(p＞0)y2=－2px(p＞0)x2=2py(p＞0)x2=－2py(p＞0)頂點O(0，0)范圍x≥0，x≤0，y≥0，y≤0，對稱軸x軸y軸焦點離心率e=1準線方程焦半徑知識點詮釋：(1)與橢圓、雙曲線不同，拋物線只有一個焦點、一個頂點、一條對稱軸，一條準線；(2)標準方程中的參數p的幾何意義是指焦點到準線的距離；p＞0恰恰說明定義中的焦點F不在準線上這一隱含條件；參數p的幾何意義在解題時常常用到，特別是具體的標準方程中應找到相當于p的值，才易于確定焦點坐標和準線方程.【典例例題】題型一：拋物線的定義例1．(2023·高二課時練習)若P為拋物線y2=2px(p>0)上任意一點，F為拋物線的焦點，則以|PF|為直徑的圓與y軸的位置關系為()A．相交 B．相離C．相切 D．不確定【答案】C【解析】如圖所示，設的中點，作軸、軸分別交軸于點，由拋物線的定義，可得，又由梯形的中位線的性質，可得，所以以為直徑的圓與軸相切.故選：C.

例2．(2023·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末)若拋物線上一點到軸的距離為，則點到該拋物線焦點的距離為(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】因為點到軸的距離為，所以點P的橫坐標為，所以點P的縱坐標，拋物線的準線為.所以到拋物線準線的距離為，即點到該拋物線焦點的距離為.故選：C例3．(2023·浙江臺州·高二期末)已知拋物線的焦點為F，是C上一點，，則(

)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】依題意知，焦點，由定義知：，所以，所以．故選：C.例4．(2023·四川德陽·高二四川省廣漢中學?？茧A段練習)拋物線的方程為，拋物線上一點P的橫坐標為，則點P到拋物線的焦點的距離為(

)A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】依題意，拋物線的準線方程為，而點在拋物線上，則，所以點P到拋物線焦點的距離為.故選：B例5．(2023·四川綿陽·高二四川省綿陽實驗高級中學?？茧A段練習)已知為拋物線：的焦點，縱坐標為5的點在C上，，則(

)A．2 B．3 C．5 D．6【答案】D【解析】依題意，拋物線：的焦點，準線方程為，顯然有，所以.故選：D題型二：求拋物線的標準方程例6．(2023·河南洛陽·高二校考階段練習)點到拋物線的準線的距離為6，那么拋物線的標準方程是(

)A． B．或C．或 D．【答案】C【解析】當時，拋物線開口向上，準線方程，點到準線的距離為，解得，所以拋物線方程為；當時，拋物線開口向下，準線方程，點到準線的距離為，解得或(舍去)，所以拋物線方程為．所以拋物線的方程為或．故選：C例7．(2023·四川南充·高二四川省南充高級中學?？计谥?準線方程為的拋物線的標準方程是(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】根據題意，拋物線的準線方程為，即其焦點在軸負半軸上，且，得，故其標準方程為：.故選：D.例8．(2023·四川內江·高二四川省內江市第六中學?？计谥?準線方程為的拋物線的標準方程是(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】準線方程，則，故拋物線的標準方程是.故選：B例9．(2023·內蒙古呼倫貝爾·高二?？茧A段練習)經過點的拋物線的標準方程是(

)A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【解析】設拋物線的方程為或，將點代入，可得或，解得或，故拋物線的標準方程為或，故選：C例10．(2023·寧夏石嘴山·高二平羅中學?？计谥?若拋物線上一點到其準線的距離為3，則拋物線的標準方程為(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】到其準線的距離為，故拋物線方程為，故選：A例11．(2023·四川樂山·高二統(tǒng)考期末)已知拋物線的準線方程為，則該拋物線的標準方程為(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】由題知，拋物線的準線方程為，所以拋物線開口向左，，即，設拋物線的標準方程為，所以拋物線的標準方程為，故選：D例12．(2023·廣東惠州·高二博師高中?？茧A段練習)已知拋物線的焦點為，則拋物線的標準方程為(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】因為拋物線的焦點為在y軸上，令x2=2py(p>0)且，得所以拋物線的標準方程為.故選：D題型三：拋物線的綜合問題例13．(多選題)(2023·浙江·高二校聯考階段練習)已知拋物線的焦點為，，是拋物線上兩點，則下列結論正確的(

)A．點的坐標為B．若直線經過焦點，則C．若，則線段的中點到軸的距離為D．若直線經過焦點且滿足，則直線的傾斜角為【答案】BC【解析】拋物線的焦點為,故A錯誤；過作直線交拋物線于兩點，顯然的斜率存在，設的方程為，與聯立消去整理得0恒成立.設，則，故B正確；∵，根據拋物線定義得，則，而由中點坐標公式得點P的縱坐標，即為點P到x軸的距離為，故C正確；由得，又當解得：，則直線的傾斜角為，當，解得：，則直線的傾斜角為，故D錯誤.故選：BC例14．(多選題)(2023·貴州黔東南·高二凱里一中?？茧A段練習)斜率為1的直線l經過拋物線的焦點F，且與拋物線相交于兩點則下列結論正確的有(

)A． B．拋物線的準線方程為C． D．【答案】AC【解析】由拋物線知，焦點，準線方程為，所以A正確，B不正確.由，消去得：，所以，所以，所以C正確；所以，所以D不正確.故選：AC例15．(多選題)(2023·遼寧鞍山·高二鞍山一中校聯考期末)已知點，點，點在拋物線上，則(

)A．當時，最小值為1 B．當吋，的最小值為4C．當時，的最小值為3 D．當吋，的最大值為2【答案】ABD【解析】當時，作拋物線的準線，過作，過作，如下圖所示：可得恰為拋物線的焦點，由拋物線定義可得，則，故A、B正確；當時，連接，如下圖所示：設，則，當時，取得最小值為，故C錯誤；則，當在線段的延長線上時，等號成立，故D正確.故選：ABD.例16．(多選題)(2023·福建福州·高二校聯考期末)已知拋物線的焦點到準線的距離為，直線過點且與拋物線交于A、B兩點，若是線段AB的中點，則(

)A． B． C．直線的方程為 D．【答案】BC【解析】由題知，，故拋物線方程為.設，易知，則，由點差法可得又是線段AB的中點，所以，所以直線l的斜率因為直線l過焦點，所以l的方程為，即對于A：將代入可得，A錯誤；對于B：B正確；對于C：C正確；對于D：將代入得，所以，所以，故D錯誤.故選：BC例17．(多選題)(2023·河北石家莊·高二石家莊二十三中校考期末)已知直線過拋物線的焦點F，且與拋物線C交于A，B兩點，過A，B兩點分別作拋物線準線的垂線，垂足分別為M，N，則下列說法正確的是(

)A．拋物線的方程為 B．線段的中點到y(tǒng)軸的距離為C．線段的長度為 D．【答案】ACD【解析】顯然拋物線的焦點F在x軸上，直線與x軸交于點，即，則，解得，拋物線的方程為，準線方程為，A正確；由消去并整理得：，設，則有，線段的中點橫坐標為，因此線段的中點到y(tǒng)軸的距離為，B錯誤；，因此線段的長度為，C正確；顯然點，，則，即，因此，D正確.故選：ACD題型四：軌跡方程例18．(2023·安徽蕪湖·高二校聯考期中)若動點到點的距離等于它到直線的距離，則點的軌跡方程是(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】依題意，動點到點的距離等于它到直線的距離，所以的軌跡為拋物線，，所以點的軌跡方程為.故選：D例19．(2023·遼寧沈陽·高二東北育才學校?？茧A段練習)已知圓的方程為，若拋物線過點A(﹣1，0)，B(1，0)，且以圓的切線為準線，則拋物線的焦點軌跡方程為(

)A． B．C． D．【答案】C【解析】設切點為(a，b)，∴，則切線為：，即，當時也成立，設焦點(x，y)，由拋物線定義可得：①，②，②-①得，代入②得化簡可得拋物線的焦點軌跡方程為，(依題意焦點不能與A，B共線，∴y≠0．)故選：C例20．(2023·全國·高二專題練習)在平面直角坐標系xOy中，動點到直線的距離比它到定點的距離小1，則P的軌跡方程為(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意知動點到直線的距離與定點的距離相等，由拋物線的定義知，P的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，所以，軌跡方程為，故選：D例21．(2023·江蘇·高二專題練習)已知動圓M與直線y=2相切，且與定圓外切，則動圓圓心M的軌跡方程為(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】設動圓圓心為M(x，y)，半徑為r，由題意可得M到C(0，－3)的距離與到直線y＝3的距離相等,由拋物線的定義可知，動圓圓心的軌跡是以C(0，-3)為焦點，以y＝3為準線的一條拋物線，所以，其方程為，故選：A例22．(2023·江蘇·高二專題練習)已知在平面直角坐標系中有一定點，動點到y(tǒng)軸的距離為d，且，則動點P的軌跡方程為(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】動點到y(tǒng)軸的距離為d，且，動點到定點的距離與到直線的距離相等，根據拋物線的定義可知：動點的軌跡是拋物線，并且其焦點為：，準線為：，所以其拋物線的方程為.故選：B.例23．(2023·江蘇·高二專題練習)與圓：外切，又與軸相切的圓的圓心的軌跡方程是(

)A． B．()和()C．() D．()和()【答案】D【解析】將化為，則圓心的坐標為，半徑為2．設動圓的圓心為，半徑為，則根據題意，且，即．當時，得，即，當時，得，即．故選：D.例24．(2023·四川遂寧·高二射洪中學?？计谥?已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，點P是拋物線C上一動點，則線段FP的中點Q的軌跡方程是(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】設Q(x，y)，P(x1，y1)，則①，又F(2，0)，由Q為PF的中點，得從而代入①，得(2y)2＝8(2x－2)，即y2＝4(x－1)．故選：A例25．(2023·高二課時練習)已知動圓⊙經過定點，且和直線相切，則點的軌跡方程為(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】因為動圓⊙經過定點，且和直線相切，所以點到點的距離等于它到直線的距離，即的軌跡為以點為焦點，直線為準線的拋物線，所以，解得，軌跡方程為．故選：B．題型五：拋物線的幾何性質例26．(2023·高二課時練習)拋物線上一點到準線和拋物線的對稱軸距離分別為10和6，則該點的橫坐標是__________．【答案】1或9【解析】拋物線的準線方程為，對稱軸為軸，設該點的坐標為，由題意可得，，則，即，解得或，因為，所以或.故答案為：1或9.例27．(2023·高二課時練習)一個正三角形的三個頂點都在拋物線上，其中一個頂點在原點，則這個三角形的面積為__________．【答案】【解析】設等邊三角形，點為原點，點和點在拋物線上，與軸的交點為，如圖所示，

由圖可知，點與點關于軸對稱，則，則，即，因為，所以，解得或(不合題意舍去)，則，所以，故答案為：．例28．(2023·福建·高二校聯考階段練習)已知拋物線的焦點為，過且傾斜角為的直線交于兩點，線段中點的縱坐標為，則__________.【答案】【解析】由拋物線，可得其焦點坐標為，過焦點且傾斜角為的直線方程為，設，聯立方程組，整理得，可得，則的中點的縱坐標為，因為線段中點的縱坐標為，可得，解得，又由拋物線的定義可得.故答案為：.例29．(2023·貴州·高二校聯考階段練習)拋物線在第一象限上一點，滿足，為該拋物線的焦點，則直線的斜率為______.【答案】【解析】由題意作圖如下：過引拋物線準線的垂線，垂足為，則，所以，在中，，所以，所以.故答案為：.例30．(2023·山東德州·高二統(tǒng)考期末)如圖是一座拋物線型拱橋，拱橋是拋物線的一部分且以拋物線的軸為對稱軸，當水面在l時，拱頂離水面2米，水面寬4米．當水位下降，水面寬為6米時，拱頂到水面的距離為______米．【答案】4.5/【解析】如圖，建立平面直角坐標系，設拋物線方程為，將代入，得，所以．設，代入，得．所以拱橋到水面的距離為．故答案為：4.5.例31．(2023·四川涼山·高二統(tǒng)考期末)過點的直線與拋物線交于，兩點，點在軸上方，若，則直線的斜率___________.【答案】【解析】設，直線與拋物線聯立得，即；，因為，所以，所以，代入可得即，，所以故答案為：例32．(2023·陜西漢中·高二?？计谥?已知拋物線：經過點，若點到拋物線的焦點的距離為4，則______【答案】4【解析】拋物線的焦點的坐標為，準線方程為，因為點到拋物線的焦點的距離為4，由拋物線定義可得到的距離為4，所以，所以.故答案為：4.題型六：拋物線中的范圍與最值問題例33．(2023·上海虹口·高二上外附中?？计谥?已知點在拋物線上，則點到直線的距離的最小值是__________．【答案】【解析】因為點在拋物線上，設點，則點到直線的距離為，當且僅當時，等號成立，所以，即點到直線的距離的最小值為.故答案為：.例34．(2023·廣東廣州·高二仲元中學?？茧A段練習)已知點為拋物線上的動點，點為圓上的動點，則點到軸的距離與點到點的距離之和最小值為__________.【答案】【解析】由題可知，拋物線的準線方程為，焦點坐標為，過點作軸交軸于點，由拋物線的定義可知點到軸的距離即為，圓的圓心坐標為，半徑為，故點到軸的距離與點到點的距離之和，根據圓的性質可知點到軸的距離與點到點的距離之和最小值為，當且僅當、、、四點共線(、在之間)時取等號.

故答案為：.例35．(2023·廣東汕頭·高二?？计谥?已知M為拋物線上的動點，F為拋物線的焦點，點，則的最小值為__________．【答案】2【解析】設點在準線上的射影為，根據拋物線的定義可知,所以,要使最小，只需要最小即可，由于在拋物線內，故當三點共線時，此時最小，故最小值為，故答案為：2例36．(2023·四川內江·高二威遠中學校?？计谥?已知拋物線的焦點為F，定點，點P是拋物線上一個動點，則的最小值為______________.【答案】5【解析】拋物線的準線方程為，根據拋物線的定義可知，的最小值是到準線的距離，即的最小值為.故答案為：例37．(2023·廣東江門·高二?？茧A段練習)已知點P到直線與到點的距離相等，點Q在圓上，則的最小值為_____.【答案】3【解析】設，因為點P到直線與到點的距離相等，所以P點軌跡是以為焦點的拋物線，即；設圓的圓心為M，則，，當且僅當時等號成立，所以，即，故答案為：3.例38．(2023·黑龍江綏化·高二海倫市第一中學?？计谥?已知拋物線：，，為上一點，則取最小值時點的坐標為________．【答案】【解析】設點，則，當時，，此時點.故答案為：.例39．(2023·云南楚雄·高二?？茧A段練習)是拋物線的焦點，P是拋物線上任一點，A(3，1)是定點，則的最小值是___________．【答案】4【解析】如圖所示：設點在準線上的射影為，拋物線準線為，焦點,則根據拋物線的定義可知，所以要求取得最小值，即求取得最小，由圖可知當三點共線即三點處于時有最小值，且為：，故答案為：4.例40．(2023·高二課時練習)若點的坐標為，F為拋物線的焦點，點在拋物線上移動，為使最小，點的坐標應為__________．【答案】【解析】由以及拋物線可知，點在拋物線內部，如下圖所示：拋物線的焦點坐標，準線方程為；作垂直于準線，垂足為，由拋物線定義可得，則，當且僅當三點共線時，取最小值，此時三點縱坐標相同，所以點的縱坐標為，代入拋物線方程可得.故答案為：例41．(2023·上海靜安·高二上海市回民中學校考期中)已知點在拋物線上，那么點到點的距離與點到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點的坐標為_________【答案】【解析】拋物線的焦點為，準線為，過點作，垂足為點，如下圖所示：由拋物線的定義，可得，則，當、、三點共線，即當時，取最小值，此時直線的方程為，聯立，解得，即點.因此，點到點的距離與點到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點的坐標為.故答案為：.例42．(2023·湖南·高二校聯考期中)已知點P為拋物線C：上的動點，直線l：，點為圓M：上的動點，設點P到直線l的距離為d，則的最小值為________．【答案】/【解析】由題意可得：拋物線的焦點為，準線為直線l：，圓M：的圓心，半徑，由拋物線的定義知，，則，當P，F，M三點共線時，取最小值為．故答案為：.題型七：焦半徑問題例43．(2023·廣西·高二校聯考階段練習)已知拋物線的焦點為F，是拋物線C上一點，若，則________．【答案】9【解析】由題可知，，解得．故答案為：9例44．(2023·北京·高二北京師大附中?？计谥?若拋物線的焦點為，點在此拋物線上且橫坐標為，則________.【答案】【解析】設，由題意可知，則，故答案為：6例45．(2023·河南平頂山·高二統(tǒng)考期末)已知拋物線的焦點為F，直線與拋物線交于點M，且，則_______.【答案】2【解析】把代入拋物線標準方程，得，根據拋物線的定義有，，化簡得，，解得.故答案為：2例46．(2023·吉林白城·高二校考階段練習)過拋物線的焦點F作直線l交拋物線C于兩點，若，則__________．【答案】【解析】由拋物線可知，焦點，準線方程為，，，不妨設在第一象限，則，則，即，解得或(舍去)所以，故答案為：例47．(2023·云南紅河·高二?？茧A段練習)過拋物線M：焦點的直線交拋物線M于A，B兩點，若線段AB的中點P到M的準線的距離等于9，則__________．【答案】【解析】因為拋物線M：，所以記拋物線M的焦點為F，拋物線準線方程為，設，，，則，所以點P到M的準線的距離為，所以，由拋物線定義知：，，則故答案為：．例48．(2023·遼寧錦州·高二渤海大學附屬高級中學?？计谀?若拋物線上一點P到焦點的距離為4，則點P到原點的距離為______．【答案】【解析】設，則點P到準線的距離為，所以，則，所以點P到原點的距離為.故答案為：.例49．(2023·福建漳州·高二統(tǒng)考期末)拋物線的焦點為，過原點的直線交于另一點，若，則______.【答案】【解析】拋物線的焦點為，若，則，，.故答案為：.例50．(2023·河北邢臺·高二統(tǒng)考階段練習)已知拋物線的焦點為，點，在上，，則線段的中點到準線的距離為___________.【答案】7【解析】設，，易知，因為，所以，解得，則線段的中點的橫坐標為4，所以該中點到準線的距離為.故答案為：7例51．(2023·內蒙古通遼·高二校聯考開學考試)已知拋物線的焦點為，準線為，是上一點，交于兩點，且滿足，則_____________________.【答案】【解析】拋物線，則，準線方程為，由于，所以是的中點，設，而，所以，將點坐標代入拋物線方程得，不妨設，則.設，由于三點共線，所以，整理得，解得，(舍去)，所以，所以.故答案為：例52．(2023·重慶沙坪壩·高二重慶八中?？茧A段練習)已知拋物線的焦點為F，點M在拋物線上，MN垂直x軸于點N，若，則的面積為_________.【答案】【解析】拋物線的焦點為，準線方程為，，故，不妨設在第一象限，故，.故答案為：例53．(2023·河南安陽·高二統(tǒng)考期中)拋物線有如下光學性質：由焦點射出的光線經拋物線反射后反射光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸入射光線經拋物線反射后反射光線必經過拋物線的焦點．已知拋物線的焦點為，一平行于軸的光線從點射出，經過拋物線上的點反射后，再經拋物線上的另一點射出，則______．【答案】4【解析】已知拋物線，則，所以焦點，因為平行于軸的光線從點射出，所以，代入，則，直線AB的方程為，聯立，求得，所以，，則.故答案為：4例54．(2023·高二課時練習)已知點為拋物線的焦點，點在拋物線上，為坐標原點，若的面積為2，則到直線的距離為______.【答案】/0.8【解析】，設，因為，所以，不妨取，則,,則，故到距離為.故答案為：例55．(2023·江蘇·高二專題練習)已知拋物線的焦點為F，點在點F的右邊，若C上的點Q滿足，則_____________．【答案】【解析】，又為正三角形，易知，又，點Q的橫坐標為，解得．故答案為：.例56．(2023·寧夏石嘴山·高二石嘴山市第一中學?？计谀?設O為坐標原點，拋物線的焦點為F，P為拋物線上一點，若，則的面積為____________．【答案】【解析】由題可得，設，則由拋物線定義可得，解得，代入拋物線方程可得，所以.故答案為：.【過關測試】一、單選題1．(2023·高二課時練習)拋物線的焦點關于直線的對稱點的坐標是(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】拋物線即，其焦點坐標為，設關于直線的對稱點的坐標是，則，解得，則，故選：A．2．(2023·貴州銅仁·高二統(tǒng)考期末)過拋物線的焦點作直線，交拋物線于，兩點，若，則(

)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】如圖所示，由題得，拋物線的準線方程為.所以.故選：C

3．(2023·浙江嘉興·高二統(tǒng)考期末)已知是拋物線：的焦點，點在上且，則的坐標為(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】因為是拋物線：的焦點，所以，又，由拋物線的定義可知，解得，所以.故選：A4．(2023·重慶沙坪壩·高二重慶一中校考期中)已知拋物線，直線交該拋物線于兩點．若線段的中點坐標為，則直線斜率為(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】設，則，，故，由于線段的中點坐標為，故由拋物線對稱性可知斜率存在，即，且，故，即，所以直線的斜率為.故選：C5．(2023·高二單元測試)已知AB是經過拋物線的焦點的弦，若點A、B的橫坐標分別為1和，則該拋物線的準線方程為(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】拋物線的焦點，準線方程為，顯然直線斜率存在且不為0，設直線的方程為，由消去y整理得，，因為點A、B的橫坐標分別為1和，顯然,于是，解得，所以該拋物線的準線方程為.故選：D

6．(2023·高二課時練習)已知直線，拋物線，l與有一個公共點的直線有(

)A．1條 B．2條 C．3條D．1條、2條或3條【答案】C【解析】聯立直線和拋物線方程可得，整理可得，直線l與有一個公共點等價于方程只有一個實數根，當時，方程為僅有一解，符合題意；當時，一元二次方程僅有一解，即，解得，所以滿足題意得直線有三條，即，和.故選：C7．(2023·高二課時練習)拋物線的頂點在原點，對稱軸是x軸，拋物線上的點到焦點的距離是6，則拋物線的方程為(

)A． B．C． D．或【答案】B【解析】由已知，拋物線開口向左，設其方程為,，則準線方程為，由拋物線的定義知，點到焦點的距離是，所以，所以拋物線的方程是：，故選：B.8．(2023·高二課時練習)過拋物線的焦點F作傾斜角為的弦AB，則的值為(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】根據拋物線方程得：焦點坐標，直線的斜率為，由直線方程的點斜式方程，設，將直線方程代入到拋物線方程中，得：，整理得：，設，，，，由一元二次方程根與系數的關系得：，，所以弦長．故選：B．二、多選題9．(2023·高二課時練習)設拋物線的焦點為，點為上一點，若，則直線的傾斜角可能是()A． B． C． D．【答案】AC【解析】如圖，作于，則，作于，則，在中，，又，所以，即直線的傾斜角為，同理，當點在軸下方時，直線的傾斜角為．

故選：AC.10．(2023·高二課時練習)對拋物線，下列描述正確的是()A．開口向上，焦點為B．開口向右，準線方程為-C．開口向右，焦點為D．開口向上，準線方程為【答案】AD【解析】由題意，把拋物線化為標準形式，則拋物線的開口向上，且，所以焦點為，直線方程為.故選：AD.11．(2023·湖北·高二校聯考期中)已知拋物線：的焦點為，為上一點，且，直線交于另一點，記坐標原點為，則(

)A． B． C． D．【答案】AD【解析】依題意，拋物線C的準線為，因為為C上一點，且，則，解得，故A正確；可得拋物線C:，焦點為，因為A為C上一點，則4，所以，故B錯誤；若，則線的方程為，代入，得，整理得，解得或，因為B與A分別在x軸的兩側，可得；同理：若，可得；綜上所述：或，故C錯誤；若，則，則；同理：若，可得；故D正確；故選：AD.12．(2023·廣西柳州·高二柳州地區(qū)高中校考期中)已知拋物線的焦點為F，點P在準線上，過點F作PF的垂線且與拋物線交于A，B兩點，則(

)A．最小值為2 B．若，則C．若，則 D．若點P不在x軸上，則【答案】ABC【解析】點，拋物線的準線方程為，設，，所以點P在橫軸上時有最小值2，所以選項A正確；若，根據拋物線的對稱性可知點P在橫軸上，把代入中，得，，此時，于是有，所以選項B正確；因為，顯然點P不在橫軸上，則有，所以直線的方程為代入拋物線方程中，得，設，，，所以選項C正確，點P不在x軸上，由上可知：，，，而，顯然，所以選項D不正確，故選：ABC三、填空題13．(2023·廣東廣州·高二廣州市白云中學校考期末)已知是拋物線的焦點，點在拋物線上，則__________．【答案】【解析】因為拋物線，所以,因為是拋物線的焦點，點在拋物線上，由拋物線的定義可得：.故答案為：.14．(2023·湖北·高二黃石二中校聯考階段練習)拋物線上的點到焦點的距離為，則點的縱坐標為________.【答案】1【解析】拋物線，，設點，依題意可知，，得，故答案為：15．(2023·高二課時練習)拋物線的焦點為F，過點F作斜率為的直線l與拋物線在y軸右側的部分相交于點A，過點A作拋物線準線的垂線，垂足為H，則△AHF的面積是____.【答案】【解析】由拋物線的定義可得|AF|=|AH|，直線AF的斜率為，AF的傾斜角為30°.直線AH垂直于準線，，故△AHF為等邊三角形.設Am，，m>0，過F作FM⊥AH于點M，則在△FAM中，|AM|=|AF|，，解得，故等邊三角形AHF的邊長|AH|=4，∴△AHF的面積是.

故答案為：16．(2023·江蘇揚州·高二統(tǒng)考開學考試)已知點F為拋物線的焦點，，點P為拋物線上一動點，則的最小值為______．【答案】4【解析】如圖，過作拋物線準線的垂線，垂足為，連接，由拋物線的定義可知，則，當且僅當共線時等號成立，故的最小值為4.故答案為：4.

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