第13講 直線與圓、圓與圓的位置關系（學生版）-2023年新高二暑期數學銜接（新人教版）

第13講直線與圓、圓與圓的位置關系【學習目標】1.能根據給定直線、圓的方程，判斷直線與圓，圓與圓的位置關系2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的數學問題與實際問題【基礎知識】一、直線與圓的位置關系設圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),直線l:Ax+By+C=0,圓心C(a,b)到直線l的距離d=?,由?消去y(或x),得到關于x(或y)的一元二次方程,其判別式為Δ.位置關系相交相切相離公共點個數2

1

0

幾何法

d<r

d=r

d>r

代數法Δ>0

Δ=0

Δ<0

二、圓的切線1.若點在圓外,則過此點可以作圓的兩條切線;2.若點在圓上,則過此點只能作圓的一條切線,且此點是切點;3.若點在圓內,則過此點不能作圓的切線.4.過點P(x0,y0)的圓的切線方程的求法(1)若點P在圓上,求點P與圓心連線的斜率,若斜率存在且不為0,記為k,則切線斜率為-?;若斜率為0,則切線斜率不存在;若斜率不存在,則切線斜率為0.(2)若點P在圓外,設切線斜率為k,寫出切線方程,利用圓心到切線的距離等于半徑r,解出k即

可(若僅求出一個k值,則有一條斜率不存在的切線).5.過圓上一點的切線僅有一條,可熟記下列結論(1)若點P(x0,y0)在圓x2+y2=r2(r>0)上,則過點P的切線方程為x0x+y0y=r2;(2)若點P(x0,y0)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,則過點P的切線方程為(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2;(3)若點P(x0,y0)在圓x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)上,則過點P的切線方程為x0x+y0y+D·

+E·+F=0.三、圓的弦長的方法1.交點法:若直線與圓的交點坐標容易求出,則直接利用兩點間的距離公式求解.2.弦長公式:設直線l:y=kx+b與圓的兩個交點分別為A(x1,y1),B(x2,y2),將直線l的方程代入圓的方程,消元后利用根與系數的關系得弦長公式:|AB|=.(3)幾何法:圓的半徑r、圓心到弦的距離d、弦長l三者之間的關系為r2=d2+,即弦長l=四、利用圓的方程解決最大(小)值問題的方法1.由某些代數式的結構特征聯想其幾何意義,然后利用直線與圓的方程及解析幾何的有關

知識并結合圖形的直觀性來分析解決問題,常涉及的幾何量有:①關于x、y的一次分式形式常轉化為直線的斜率;②關于x、y的一次式常轉化為直線的截距;③關于x、y的二次式常轉化為兩點間的距離等.2.轉化成函數解析式,利用函數的性質解決.3.利用三角代換,若點P(x,y)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,則設?(θ為參數),代入目標函數,利用三角函數知識求最大(小)值.五、圓與圓的位置關系1.兩圓的位置關系外離、外切、相交、內切和內含.2.兩圓的位置關系的判定(1)代數法:設兩圓的一般方程為C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(),C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(),聯立得方程組?消元后得到一元二次方程(若得到的是一元一次方程,則要求出方程組的解進行判斷),計算判別式Δ的值,按(2)的表中的標準進行判斷.(2)幾何法:兩圓的半徑分別為r1,r2,計算兩圓連心線的長為d,按表中標準進行判斷.位置關系外離外切相交內切內含圖示?????公共點個數01210位置關系外離外切相交內切內含Δ的值Δ<0Δ=0Δ>0Δ=0Δ<0d與的關系

公切線條數4

32

10

3.兩圓的公共弦所在直線方程的求法設☉C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(),☉C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(),聯立?①-②,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.③若兩圓交點分別為A(x1,y1),B(x2,y2),則A,B的坐標適合方程①②,也適合方程③,因此方程③就是經過兩圓交點的直線方程.故當兩圓相交時,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是經過兩圓交點的直線方程,即公共弦所在直線的方程.當兩圓外離時,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是垂直于兩圓圓心連線的一條直線方程.當兩圓相切時,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是兩圓的一條公切線的方程.若兩圓是等圓,則(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是以兩圓圓心為端點的線段的垂直平分線的方程.【考點剖析】考點一：直線與圓位置關系的判斷例1．(2022學年黑龍江省齊齊哈爾市恒昌中學校高二上學期期中)直線與圓的位置關系是(

)A．相離 B．相切 C．相交 D．不確定考點二：求圓的切線方程例2．(2022學年新疆石河子第二中學高二上學期月考)在平面直角坐標系xOy中，點，直線，圓C：．(1)求b的取值范圍，并求出圓心坐標(2)若圓C的半徑為1，過點A作圓C的切線，求切線的方程；(3)有一動圓M的半徑為1，圓心在l上，若動圓M上存在點N，使，求圓心M的橫坐標a的取值范圍．考點三：與切線長有關的問題例3．(2022學年四川省巴中市南江中學高二上學期12月月考)直線上一點向圓引切線長的最小值為(

)A． B．1 C． D．3考點四：與弦長有關的問題例4．(2022學年遼寧省遼南協作校高二上學期期中)已知過點的直線與圓相交于，兩點，若，則直線的方程為___________.考點五：與圓有關的最值問題例5．過圓內點作圓的兩條互相垂直的弦和，則的最大值為__．考點六：兩圓位置關系的判斷例6．(2022學年湖南省株洲市炎陵縣第一中學高二下學期3月月考)圓與圓的位置關系是(

)A．內切 B．相交 C．外切 D．相離考點七：兩圓的公切線與公共弦問題例7．(2022學年四川省綿陽市綿陽南山中學高二上學期期中)已知點在直線上，過點作圓的兩條切線，切點分別為，，點在圓上，則點到直線距離的最大值為(

)A．4 B．6 C． D．【真題演練】1.(2020年高考全國卷Ⅰ)已知⊙M：，直線：，為上的動點，過點作⊙M的切線，切點為，當最小時，直線的方程為A．B． C． D．2．(2020年高考全國卷Ⅱ)若過點(2，1)的圓與兩坐標軸都相切，則圓心到直線的距離為 A． B． C． D．3．(2018年高考全國卷Ⅲ)直線分別與軸，軸交于兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是 ()A． B． C． D．4．(2016高考全國卷Ⅱ)圓的圓心到直線的距離為1，則 ()A． B． C． D．5．(2021年新高考全國卷Ⅰ)已知點在圓上,點,,則A．點到直線的距離小于10 B．點到直線的距離大于2 C．當最小時, D．當最大時,6.(2021年新高考全國卷Ⅱ)已知直線與圓,點,則下列說法正確的是()A.若點A在圓C上,則直線l與圓C相切 B.若點A在圓C內,則直線l與圓C相離C.若點A在圓C外,則直線l與圓C相離 D.若點A在直線l上,則直線l與圓C相切7.(2022年新高考全國卷Ⅱ)設點,若直線關于對稱的直線與圓有公共點,則a的取值范圍是_____．8.(2022年新高考全國卷Ⅰ)寫出與圓和都相切的一條直線的方程_______．【過關檢測】1.(2022學年四川省涼山州寧南中學高二下學期月考)已知圓和直線，則圓心C到直線l的最大距離為(

)A．1 B．2 C．3 D．2.(2022學年安徽省皖南地區(qū)高二下學期開學調研)過點作圓的切線，切點為B，則(

)A．2 B． C．3 D．3.(2022學年云南省保山市昌寧縣高二下學期期中)若直線與圓有兩個公共點，則點與圓的位置關系是(

)A．在圓上 B．在圓外 C．在圓內 D．以上都有可能4.(2022學年河南省安陽市高二下學期5月月考)已知圓：和圓：有且僅有4條公切線，則實數的取值范圍是(

)A． B．C． D．5.(多選)(2022學年重慶市清華中學高二上學期第二次月考)對于定點和圓：，下列說法正確的是(

)A．點在圓內部B．過點有兩條圓的切線C．過點被圓截得的弦長最大時的直線方程為D．過點被圓截得的弦長最小值為6.(多選)(2022學年廣東省深圳市重點中學高二上學期期末)點P在圓上，點Q在圓上，則(

)A．兩個圓心所在的直線斜率為B．兩個圓相交弦所在直線的方程為C．兩圓公切線有兩條D．|PQ|的最小值為07.(2022學年黑龍江省哈爾濱市第六中學校高二上學期期末)過點作圓的切線，則切線方程為______.8.(2022學年江蘇省南京市江寧區(qū)高二下學期期末)若點到直線l的距離分別為1和4，則這樣的直線l共有__