第04講 用樣本估計(jì)總體（主干知識(shí)復(fù)習(xí)）（教師版）-2023年新高二暑期數(shù)學(xué)銜接（新人教版）

第04講用樣本估計(jì)總體【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)圖表對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行可視化描述，體會(huì)合理使用統(tǒng)計(jì)圖表的重要性．2.結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù)(平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù))，3.結(jié)合實(shí)例，理解集中趨勢(shì)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義，能用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)(標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差)，4.結(jié)合實(shí)例，理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義，5.能用樣本估計(jì)總體的取值規(guī)律，能用樣本估計(jì)百分位數(shù)，理解百分位數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義【基礎(chǔ)知識(shí)】一、頻率分布直方圖1.制作頻率分布直方圖的步驟第一步：求極差，決定組數(shù)和組距，組距＝eq\f(極差,組數(shù))；第二步：分組，通常對(duì)組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開(kāi)區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間；第三步：登記頻數(shù)，計(jì)算頻率，列出頻率分布表；第四步：畫(huà)頻率分布直方圖。2.解決頻率分布直方圖問(wèn)題時(shí)要抓住3個(gè)要點(diǎn)(1)直方圖中各小長(zhǎng)方形的面積之和為1.(2)直方圖中縱軸表示eq\f(頻率,組距),故每組樣本的頻率為組距×eq\f(頻率,組距),即矩形的面積．(3)直方圖中每組樣本的頻數(shù)為頻率×總體數(shù)．二、樣本的數(shù)字特征1.眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．2.中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)3.平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即．4．百分位數(shù)：求總體百分位數(shù)的估計(jì)，首先要從小到大排列數(shù)據(jù)，然后計(jì)算出i＝n×p%，當(dāng)i不是整數(shù)要取整，當(dāng)i是整數(shù)，則百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i＋1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)．5．方差與標(biāo)準(zhǔn)差(1)標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離．(2)方差：(是樣本數(shù)據(jù)，是樣本容量，是樣本平均數(shù))．(3)標(biāo)準(zhǔn)差：．6.平均數(shù)、方差公式的推廣若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，方差為s2，則數(shù)據(jù)mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)為meq\o(x,\s\up6(－))＋a，方差為m2s2.7.平均數(shù)和方差是重要的數(shù)字特征，是對(duì)總體的一種簡(jiǎn)明的闡述．平均數(shù)描述總體的平均水平,方差反映了數(shù)據(jù)偏離于平均數(shù)的程度,它們從整體和全局上刻畫(huà)了總體特征,是生產(chǎn)實(shí)際中用于方案取舍的重要的理論依據(jù),一般先比較平均數(shù),若平均數(shù)相同,再用方差來(lái)決定．8.用頻率分布直方圖估計(jì)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的方法(1)眾數(shù)為頻率分布直方圖中最高矩形底邊中點(diǎn)橫坐標(biāo)；(2)中位數(shù)為平分頻率分布直方圖面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(3)平均數(shù)等于每個(gè)小矩形面積與小矩形底邊中點(diǎn)橫坐標(biāo)之積的和。三、統(tǒng)計(jì)圖1.統(tǒng)計(jì)圖是利用點(diǎn)、線、面、體等繪制成幾何圖形,以表示各種數(shù)量間的關(guān)系及其變動(dòng)情況的工具.其中有條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖、象形圖等.其特點(diǎn)是:形象具體、簡(jiǎn)明生動(dòng)、通俗易懂、一目了然.其主要用途有:表示現(xiàn)象間的對(duì)比關(guān)系;揭露總體結(jié)構(gòu);檢查計(jì)劃的執(zhí)行情況;揭示現(xiàn)象間的依存關(guān)系,反映總體單位的分配情況;說(shuō)明現(xiàn)象在空間上的分布情況.一般采用直角坐標(biāo)系.橫坐標(biāo)用來(lái)表示事物的組別或自變量x,縱坐標(biāo)常用來(lái)表示事物出現(xiàn)的次數(shù)或因變量y;或采用角度坐標(biāo)(如圓形圖)、地理坐標(biāo)(如地形圖)等.2.莖葉圖的畫(huà)法步驟第一步：將每個(gè)數(shù)據(jù)分為莖(高位)和葉(低位)兩部分；第二步：將最小莖與最大莖之間的數(shù)按大小次序排成一列；第三步：將各個(gè)數(shù)據(jù)的葉依次寫(xiě)在其莖的兩側(cè)．3.折線圖折線圖是用直線段將各數(shù)據(jù)點(diǎn)連接起來(lái)而組成的圖形,以折線方式顯示數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì).折線圖可以顯示隨時(shí)間(根據(jù)常用比例設(shè)置)而變化的連續(xù)數(shù)據(jù),因此非常適用于顯示在相等時(shí)間間隔下數(shù)據(jù)的趨勢(shì).在折線圖中,類(lèi)別數(shù)據(jù)沿水平軸均勻分布,所有值數(shù)據(jù)沿垂直軸均勻分布.另外,在折線圖中,數(shù)據(jù)是遞增還是遞減、增減的速率、增減的規(guī)律(周期性、螺旋性等)、峰值等特征都可以清晰地反映出來(lái).所以,折線圖常用來(lái)分析數(shù)據(jù)隨時(shí)間的變化趨勢(shì),也可用來(lái)分析多組數(shù)據(jù)隨時(shí)間變化的相互作用和相互影響.例如可用來(lái)分析某類(lèi)商品或是某幾類(lèi)相關(guān)的商品隨時(shí)間變化的銷(xiāo)售情況,從而進(jìn)一步預(yù)測(cè)未來(lái)的銷(xiāo)售情況.在折線圖中,一般x軸用來(lái)表示時(shí)間的推移,并且間隔相同；而y軸代表不同時(shí)刻的數(shù)據(jù)的大小.四、頻率分布折線圖和總體密度曲線1.頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形上端的中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖．2.總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時(shí)所分的組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻率折線圖會(huì)越來(lái)越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計(jì)中稱(chēng)這條光滑曲線為總體密度曲線．【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：頻率分布直方圖例1．(2022學(xué)年河北省邢臺(tái)市卓越聯(lián)盟高一下學(xué)期第三次月考)為了解學(xué)生在“弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化，品讀經(jīng)典文學(xué)”月的閱讀情況，現(xiàn)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生，并統(tǒng)計(jì)了他們的閱讀時(shí)間(閱讀時(shí)間)，分組整理數(shù)據(jù)得到如圖所示的頻率分布直方圖．則圖中a的值為(

)A．0.028 B．0.029 C．0.280 D．0.290【答案】A【解析】由得.故選A考點(diǎn)二：折線圖例2．(2022學(xué)年山東省濱州市陽(yáng)信縣高一下學(xué)期期中)走路是“最簡(jiǎn)單、最優(yōu)良的鍛煉方式”，它不僅可以幫助減肥，還可以增強(qiáng)心肺功能、血管彈性、肌肉力量等.下圖為甲、乙兩名同學(xué)在同一星期內(nèi)日步數(shù)的折線統(tǒng)計(jì)圖，則下列結(jié)論中不正確的是(

)A．這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的中位數(shù)為11600 B．這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的平均值大于乙C．這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的方差大于乙 D．這一星期內(nèi)乙的日步數(shù)的30%分位數(shù)是7030【答案】D【解析】對(duì)于A：甲的步數(shù)：16000，7965，12700，2435，16800，9500，11600.從小到大排列為：2435，7965，9500，11600，12700，16000，16800.中位數(shù)是11600.故A正確；對(duì)于B：，.所以.故B正確；對(duì)于C：所以.故C正確；甲的步數(shù)從小到大排列為：5340，7030，10060，11600，12300，12970，14200，，故這一星期內(nèi)乙的日步數(shù)為分位數(shù)是10060，故D錯(cuò)誤.故選D.考點(diǎn)三：其他統(tǒng)計(jì)圖表例3．(多選)(2020-2021學(xué)年湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)高一下學(xué)期期末)中興?華為事件暴露了我國(guó)計(jì)算機(jī)行業(yè)中芯片?軟件兩大短板，為防止“卡脖子”事件的再發(fā)生，科技專(zhuān)業(yè)人才就成了決勝的關(guān)鍵．為了解我國(guó)在芯片?軟件方面的潛力，某調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)我國(guó)若干大型科技公司進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到了這兩個(gè)行業(yè)從業(yè)者的年齡分布的餅形圖和“90后”從事這兩個(gè)行業(yè)的崗位分布雷達(dá)圖，則下列說(shuō)法中正確的是(

)A．芯片、軟件行業(yè)從業(yè)者中，"90后”占總?cè)藬?shù)的比例超過(guò)60%B．芯片、軟件行業(yè)中從事技術(shù)、設(shè)計(jì)崗位的"90后”人數(shù)超過(guò)總?cè)藬?shù)的25%C．芯片、軟件行業(yè)從事技術(shù)崗位的人中，“90后”比“80后”多D．芯片、軟件行業(yè)中，“90后”從事市場(chǎng)崗位的人數(shù)比“80前”的總?cè)藬?shù)多【答案】BD【解析】對(duì)于A，由餅形圖知，芯片、軟件行業(yè)從業(yè)者中，"90后”占總?cè)藬?shù)的比例為55%，沒(méi)超過(guò)60%，A不正確；對(duì)于B，由雷達(dá)圖和餅形圖知，芯片、軟件行業(yè)中從事技術(shù)、設(shè)計(jì)崗位的"90后”人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，B正確；對(duì)于C，芯片、軟件行業(yè)從事技術(shù)崗位的人中，“90后”占總?cè)藬?shù)的，而“80后”占總?cè)藬?shù)的40%，從事技術(shù)崗位的人數(shù)比例不知，無(wú)法確定兩者間的大小關(guān)系，C不正確；對(duì)于D，芯片、軟件行業(yè)中，從事市場(chǎng)崗位的“90后”人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，而“80前”總數(shù)占總?cè)藬?shù)的5%，D正確.故選BD考點(diǎn)四：眾數(shù)與中位數(shù)例4．(多選)(2022學(xué)年吉林省長(zhǎng)春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一下學(xué)期期中)某人射箭10次，射中的環(huán)數(shù)依次為：8，7，8，9，7，6，9，8，10，8關(guān)于這組數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法正確的是(

)A．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是8 B．這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是8C．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是8 D．這組數(shù)據(jù)的方差是【答案】ABCD【解析】數(shù)據(jù)從小到大排列為：，所以眾數(shù)為，A選項(xiàng)正確；中位數(shù)為，C選項(xiàng)正確；平均數(shù)為，所以B選項(xiàng)正確；方差為，所以D選項(xiàng)正確.故選ABCD考點(diǎn)五：百分位數(shù)例5．(2022學(xué)年山西省太原市第五中學(xué)校高一下學(xué)期5月階段性檢測(cè))互不相等的5個(gè)正整數(shù)從小到大排序?yàn)?，，，，，若它們的和為18，且其分位數(shù)是分位數(shù)的2倍，則的值為_(kāi)________．【答案】【解析】因?yàn)椋赃@組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，同理可知這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，據(jù)題意有，若，則這5個(gè)數(shù)為1，3，，6，，由，，，知，不滿(mǎn)足題意，所以，則這5個(gè)數(shù)為1，2，，4，，由，，知，由，知．考點(diǎn)六：平均數(shù)與方差例6．已知某省二、三、四線城市數(shù)量之比為1∶3∶6，2019年8月份調(diào)查得知該省所有城市房產(chǎn)均價(jià)為1.2萬(wàn)元/平方米，方差為20，二、三、四線城市的房產(chǎn)均價(jià)分別為2.4萬(wàn)元/平方米，1.8萬(wàn)元/平方米，0.8萬(wàn)元/平方米，三、四線城市房?jī)r(jià)的方差分別為10，8，則二線城市房?jī)r(jià)的方差為_(kāi)_______.【答案】【解析】設(shè)二線城市的房?jī)r(jià)的方差為，由題意可知解得，即二線城市房?jī)r(jià)的方差為.考點(diǎn)七：用樣本估計(jì)總體例7．(2022學(xué)年福建省德化一中、永安一中、漳平一中三校協(xié)作高一5月聯(lián)考)2021年根據(jù)移動(dòng)通信協(xié)會(huì)監(jiān)測(cè)，某校全體教師通訊費(fèi)用(單位：元)如圖所示，數(shù)據(jù)分組依次為[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．(1)若該校有200名教師，采用分層抽樣的方法從這200名教師中抽取容量為20的樣本，求每組應(yīng)抽取的樣本量；(2)估計(jì)該校教師話(huà)費(fèi)的80%分位數(shù)；(3)估計(jì)該校教師通訊費(fèi)用的眾數(shù)和平均數(shù)．【解析】(1)采用分層抽樣的方法從這200名該校教師中抽取容量為20的樣本，即費(fèi)用(單位：元)在[20，40)中抽取2位教師在[40，60)中抽取4位教師.在[60，80)中抽取8位教師在[80，100]中抽取6位教師.(2)該校教師話(huà)費(fèi)在80元以下的頻率為：，該校教師話(huà)費(fèi)在[80，100]的頻率為0.3，因此，該校教師話(huà)費(fèi)的80%分位數(shù)在[80，100]內(nèi)，由．可以估計(jì)該校教師話(huà)費(fèi)的80%分位數(shù)為.(3)該校教師通訊費(fèi)用的眾數(shù)為70；平均數(shù)為：考點(diǎn)八：平均數(shù)與方差的實(shí)際應(yīng)用例8．為了比較兩種治療失眠癥的藥(分別稱(chēng)為A藥，B藥)的療效，隨機(jī)地選取20位患者服用A藥，20位患者服用B藥，這40位患者在服用一段時(shí)間后，記錄他們?nèi)掌骄黾拥乃邥r(shí)間(單位：h)．試驗(yàn)的觀測(cè)結(jié)果如下：服用A藥的20位患者日平均增加的睡眠時(shí)間：0．61.22.71.52.81.82.22.33.23．52.52.61.22.71.52.93.03.12．32.4服用B藥的20位患者日平均增加的睡眠時(shí)間：3．21.71.90.80.92.41.22.61.31．41.60.51.80.62.11.12.51.22．70.5分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，從計(jì)算結(jié)果看，估計(jì)哪種藥的療效更好？【解析】設(shè)A藥觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，B藥觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為.由觀測(cè)結(jié)果可得＝×(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，＝×(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.由以上計(jì)算結(jié)果可得＞，因此可以估計(jì)A藥的療效更好【真題演練】1．(多選)(2021新高考全國(guó)卷Ⅰ卷)有一組樣本數(shù)據(jù)，，，，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，，，，其中，2，，，為非零常數(shù)，則A．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同 B．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同 C．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同 D．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同【答案】CD【解析】對(duì)于，兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的差為，故錯(cuò)誤；對(duì)于，兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)的差是，故錯(cuò)誤；對(duì)于，標(biāo)準(zhǔn)差，兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同，故正確；對(duì)于，，2，，，為非零常數(shù)，的極差為，的極差為，兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同，故正確．故選．2.(2021新高考全國(guó)卷Ⅱ)下列統(tǒng)計(jì)量中，能度量樣本的離散程度的是()A.樣本的標(biāo)準(zhǔn)差 B.樣本的中位數(shù)C.樣本的極差 D.樣本的平均數(shù)【答案】AC【解析】由標(biāo)準(zhǔn)差的定義可知，標(biāo)準(zhǔn)差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；由中位數(shù)的定義可知，中位數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)；由極差的定義可知，極差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；由平均數(shù)的定義可知，平均數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)；故選AC3.(2021高考全國(guó)卷Ⅱ)為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶(hù)家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是A．該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率估計(jì)為 B．該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率估計(jì)為 C．估計(jì)該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入的平均值不超過(guò)6.5萬(wàn)元 D．估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶(hù)，其家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間【答案】C【解析】對(duì)于，該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率為，故選項(xiàng)正確；對(duì)于，該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率為，故選項(xiàng)正確；對(duì)于，估計(jì)該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入的平均值為萬(wàn)元，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間的頻率為，故估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶(hù)，其家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間，故選項(xiàng)正確．故選．4．(2018高考全國(guó)卷Ⅰ)某地區(qū)經(jīng)過(guò)一一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，實(shí)現(xiàn)翻番．為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖:則下面結(jié)論中不正確的是 ()A．新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少 B．新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以C．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍D．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過(guò)了經(jīng)濟(jì)收入的一半【答案】A【解析】設(shè)建設(shè)前經(jīng)濟(jì)收入為，建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入為．A項(xiàng)，種植收入37×﹣60%=14%＞0，故建設(shè)后，種植收入增加，故A項(xiàng)錯(cuò)誤．B項(xiàng)，建設(shè)后，其他收入為5%×2=10%，建設(shè)前，其他收入為4%，故10%÷4%=2．5＞2，故B項(xiàng)正確．C項(xiàng)，建設(shè)后，養(yǎng)殖收入為30%×2=60%，建設(shè)前，養(yǎng)殖收入為30%，故60%÷30%=2，故C項(xiàng)正確．D項(xiàng)，建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入總和為(30%+28%)×2=58%×2a，經(jīng)濟(jì)收入為2，故(58%×2a)÷2a=58%＞50%，故D項(xiàng)正確，因?yàn)槭沁x擇不正確的一項(xiàng)．故選A．5.(2021高考全國(guó)卷Ⅰ)某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無(wú)提高，用一臺(tái)舊設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為和．(1)求，，，；(2)判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高(如果，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高)．【解析】(1)由題中的數(shù)據(jù)可得，，，；；(2)，，所以，故新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高．6．(2019高考全國(guó)卷Ⅲ)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200只小鼠隨機(jī)分成兩組，每組100只，其中組小鼠給服甲離子溶液，組小鼠給服乙離子溶液．每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比．根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：記為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于”，根據(jù)直方圖得到的估計(jì)值為．(1)求乙離子殘留百分比直方圖中的值；(2)分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)．【解析】(1)由已知得，故，．(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為．乙離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】1.(2022學(xué)年河南省豫西部分名校高一下學(xué)期月考)某實(shí)驗(yàn)圍種植甲、乙兩種水稻，面積相等的兩塊稻田(種植環(huán)境相同)連續(xù)5次的產(chǎn)量如下：甲/kg260250210250280乙/kg220260230250290則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(

)A．甲種水稻產(chǎn)量的眾數(shù)為250B．乙種水稻產(chǎn)量的極差為70C．甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)大于乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)D．甲種水稻產(chǎn)量的方差小于乙種水稻產(chǎn)量的方差【答案】C【解析】根據(jù)給定數(shù)表知，甲種水稻產(chǎn)量的眾數(shù)為250，乙種水稻產(chǎn)量的極差為，A，B都正確；甲種水稻產(chǎn)量平均數(shù)為，乙種水稻產(chǎn)量平均數(shù)為，C錯(cuò)誤；甲種水稻產(chǎn)量方差為，乙種水稻產(chǎn)量方差為，D正確.故選C2.(2022學(xué)年山東省淄博市博山區(qū)、沂源縣聯(lián)考高一6月份月考)排球社的同學(xué)為訓(xùn)練動(dòng)作組織了墊排球比賽，以下為排球社50位同學(xué)的墊球個(gè)數(shù)所做的頻率分布直方圖，所有同學(xué)墊球數(shù)都在5——40之間，估計(jì)墊球數(shù)的樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)是(

)A．25 B．26 C．27 D．28【答案】D【解析】由已知，根據(jù)頻率分布直方圖可得：墊球數(shù)在的人數(shù)為，占總數(shù)的；墊球數(shù)在的人數(shù)為，占總數(shù)的；墊球數(shù)在的人數(shù)為，占總數(shù)的；墊球數(shù)在的人數(shù)為，占總數(shù)的；墊球數(shù)在的人數(shù)為，占總數(shù)的；墊球數(shù)在的人數(shù)為，占總數(shù)的；墊球數(shù)在的人數(shù)為，占總數(shù)的；因?yàn)榉治粩?shù)位于內(nèi)，由，所以估計(jì)墊球數(shù)的樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)是.故選D.3.(2022學(xué)年河北省邢臺(tái)市卓越聯(lián)盟高一下學(xué)期第三次月考)已知某7個(gè)數(shù)的平均數(shù)為4，方差為2，現(xiàn)加入一個(gè)新數(shù)據(jù)4，此時(shí)這8個(gè)數(shù)的平均數(shù)為，方差為，則(

)A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】設(shè)7個(gè)數(shù)為，則，，所以，所以，則這個(gè)數(shù)的平均數(shù)為，方差為．故選D．4.(2022學(xué)年山西省高一下學(xué)期第三次月考)有一組樣本數(shù)據(jù)，由這組數(shù)據(jù)得到的另一組數(shù)據(jù)，，…，，滿(mǎn)足(c為非零常數(shù))，則下列結(jié)論一定成立的是(

)A．兩組數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)不同 B．兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相同C．兩組數(shù)據(jù)的樣本方差相同 D．兩組數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差不同【答案】C【解析】設(shè)的平均數(shù)是，，，…，的平均數(shù)是，由題意，如果，則，否則，A不正確；同理如果的中位數(shù)是，則兩者中位數(shù)相同，否則不相同，B不正確；設(shè)的方差是，，，…，的差是，則，又，，所以，，2，…，n，所以，從而，所以方差相同，標(biāo)準(zhǔn)差也相同，C正確，D不正確，故選C．5．(多選)(2022學(xué)年山東省濟(jì)南市第一中學(xué)高一5月月考)根據(jù)關(guān)于世界人口變化情況的三幅統(tǒng)計(jì)圖(如圖所示)，有下列四個(gè)結(jié)論：①?gòu)恼劬€統(tǒng)計(jì)圖能看出世界人口的變化情況；②2050年非洲人口將達(dá)到大約15億；③2050年亞洲人口比其他各洲人口的總和還要多；④從1957年到2050年各洲中北美洲人口增長(zhǎng)速度最慢．其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是(

)A．① B．② C．③ D．④【答案】AC【解析】①?gòu)恼劬€統(tǒng)計(jì)圖能看出世界人口的變化情況，故①正確；②從條形統(tǒng)計(jì)圖中可得到：2050年非洲人口大約將達(dá)到18億，故②錯(cuò)；③從扇形統(tǒng)計(jì)圖中能夠明顯的得到結(jié)論：2050年亞洲人口比其他各洲人口的總和還要多，故③正確；④由上述三幅統(tǒng)計(jì)圖并不能得出從1957年到2050年中哪個(gè)洲人口增長(zhǎng)速度最慢，故④錯(cuò)誤．因此正確的命題有①③．故選AC．6.(多選)(2022學(xué)年三湘名校教育聯(lián)盟高一下學(xué)期5月聯(lián)考)在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，有專(zhuān)業(yè)機(jī)構(gòu)認(rèn)為該事件在一段時(shí)間沒(méi)有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標(biāo)準(zhǔn)為“連續(xù)天，每天新增疑似病例不超過(guò)人”，過(guò)去天，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)信息如下：甲地：中位數(shù)為，極差為；乙地：平均數(shù)為，眾數(shù)為；丙地：平均數(shù)為，中位數(shù)為；丁地：平均數(shù)為，方差為，甲、乙、丙、丁四地中，一定沒(méi)有發(fā)生大規(guī)模群體感染的是(

)A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地【答案】ACD【解析】甲地的中位數(shù)為，極差為，所以，最大值不大于，故A符合；若乙地過(guò)去天每天新增疑似病例人數(shù)分別為、、、、、、、、、，則滿(mǎn)足平均數(shù)為，眾數(shù)為，但不滿(mǎn)足每天新增疑似病例不超過(guò)人，故B不符合；假設(shè)丙地至少有一天新增疑似病例人數(shù)超過(guò)人，由中位數(shù)為可得平均數(shù)的最小值為，與題意矛盾，故C符合；假設(shè)至少有一天新增疑似病例超過(guò)人，則方差的最小值為，與題意矛盾，故D符合．故選ACD.7.(2022學(xué)年廣東省廣州市八十六中高一下學(xué)期期中)若樣本數(shù)據(jù)的方差為8，則數(shù)據(jù)的方差為_(kāi)_______．【答案】32【解析】若樣本數(shù)據(jù)的方差為8，則數(shù)據(jù)的方差為8.(2022學(xué)年湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)高一下學(xué)期期中)棉花的纖維長(zhǎng)度是棉花質(zhì)量的重要指標(biāo)．在一批棉花中隨機(jī)抽測(cè)了60根棉花的纖維長(zhǎng)度(單位：mm)，按從小到大排序結(jié)果如下：2528335052585