2023蘇教版新教材高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)同步練習(xí)133立體幾何初步

第13章立體幾何初步

13.3空間圖形的表面積和體積

13.3.2空間圖形的體積

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

題組一棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

1.（2022江蘇運(yùn)河中學(xué)階段檢測(cè)）已知一棱臺(tái)的上、下底面面積分別是2,4,高為3,

則該棱臺(tái)的體積是（）

A.18+6金B(yǎng).6+2V2C.24D.18

2.（2022安徽馬鞍山模擬）古埃及胡夫金字塔是一種方底尖頂?shù)氖鼋ㄖ?，其?/p>

狀可視為一個(gè)正四棱錐,是由一塊塊大小不等的石料堆砌而成的幾乎實(shí)心的巨石

體,塔底邊緣正方形的邊長(zhǎng)約為230米，塔高約為147米（不考慮風(fēng)化）.若每塊石料

的體積平均約為1.12立方米廁建造胡夫金字塔大約需要石料（）

A.23萬(wàn)塊B.69萬(wàn)塊

C.230萬(wàn)塊D.690萬(wàn)塊

3.（2021山東沂南一中期中）某中學(xué)開(kāi)展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，學(xué)習(xí)加工制作食品包裝盒.現(xiàn)有

一張邊長(zhǎng)為6的正六邊形硬紙片，如圖所示,裁掉陰影部分，然后按虛線處折成高為

機(jī)的正六棱柱無(wú)蓋包裝盒，則此包裝盒的體積為（）

A.144B.72C.36D.24

4.（2021浙江杭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校期中）在一個(gè)棱錐中，作平行于底面的截面，若這個(gè)截

面面積與底面面積之比為1:3,則棱錐被截面所分成的兩部分的體積之比為

（）

A.1：V3B.1：9C.1:3V3D.（1+3V3）:26

5.（2022江蘇橫林高級(jí)中學(xué)階段檢測(cè)）如圖所示,正方體ABCD-AJBJQDJ的棱長(zhǎng)為

過(guò)頂點(diǎn)B,D,Ai截下一個(gè)三棱錐Ay-ABD.

（1）求剩余部分的體積；D

（2）求三棱錐A-A^BD的體積及底面A加。上的高./-----

題組二圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積1------B

6.（2022山東荷澤期中）交通錐是一種交通隔離警戒設(shè)施,可近似看成一個(gè)圓錐.如

圖，某交通錐的高為70cm,底面半徑為20cm,則該交通錐的體積約為（）

A.28000兀cm3B.56000兀cm3

33

3cm3cm

7.（2022江蘇徐州期末）已知一長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬分別為3和2,則分別以長(zhǎng)與寬所在

直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周形成的圓柱的體積之比為（）

A.3：2B.2：3C.9：4D.4:9

8.（2021江蘇省宿豫中學(xué)月考）圓臺(tái)的上、下底面的面積分別是兀,4兀,側(cè)面積是6兀，

則這個(gè)圓臺(tái)的體積是（）

A.爭(zhēng)B.2南

C?&D.爭(zhēng)

9.（2022河北滄衡八校聯(lián)盟期中）已知某圓錐的側(cè)面積為倔r,該圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖

是圓心角為等的扇形，則該圓錐的體積為.

10.如圖，在四邊形ABCD中,/。48=90。,/4。。=135。43=5,。=2尤,4。=2,求四邊

形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體積.

匚

AR

題組三球的表面積和體積

11.（2022山東龍口一中階段檢測(cè)）若一個(gè)球的體積為4H冗,則它的表面積為

（）

A.3兀B.12C.12TTD.36兀

12.（2021浙江寧波期中）一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為5,3,連，則該長(zhǎng)方體的外

接球的表面積為（）

A.367TB.40兀（3.45?？?70兀

13.（2022重慶涪陵高級(jí)中學(xué)模擬）一只飛蟲(chóng)被長(zhǎng)為12cm的細(xì)繩子綁在一個(gè)封閉

的正方體空盒子內(nèi)一角（忽略捆綁長(zhǎng)度及飛蟲(chóng)的大?。艉凶拥睦忾L(zhǎng)為12cm,則

飛蟲(chóng)活動(dòng)范圍的體積為（）

A.l4421cm3B.2887rcm3

C.576兀cm3D.8647rcm3

14.如圖，在△A3c中,NAC5=90o,NABC=3（r,3C=8，在三角形內(nèi)挖去一個(gè)半圓，圓

心O在邊3c上,半圓與AC、48分別相切于點(diǎn)C、M與8C交于另一點(diǎn)N,將

△A8C繞直線旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體.

（1）求該旋轉(zhuǎn)體中間空心球的表面積的大小；

（2）求圖中陰影部分繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.

能力提升練

題組一柱體、錐體、臺(tái)體的體積

1.（2022江蘇南通期中）圖1中的機(jī)械設(shè)備叫作“轉(zhuǎn)子發(fā)動(dòng)機(jī)”，其核心零部件之一的

轉(zhuǎn)子形狀是“曲側(cè)面三棱柱”，圖2是一個(gè)曲側(cè)面三棱柱，它的側(cè)棱垂直于底面，底面

是“萊洛三角形”（如圖3）,萊洛三角形是以正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，正三角形的

邊長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓弧得到的，若曲側(cè)面三棱柱的高為4,底面任意兩頂點(diǎn)之間的距離

為10及，則其體積為（）

圖1圖2圖3

A.200（2TT-3V3）B.400（7T-V3）

C.40V27TD.400（2TT-V3）

2.（2021江蘇南通四校聯(lián)考）《九章算術(shù)》卷五《商功》中,把正四棱臺(tái)形狀的建

筑物稱為“方亭”.沿“方亭”上底面的一組對(duì)邊作垂直于底面的兩截面，去掉截面之

間的幾何體，將“方亭”的兩個(gè)邊角塊合在一起組成的幾何體稱為“芻薨”.現(xiàn)記截面

之間幾何體體積為%,“芻薨”的體積為％,若找三,臺(tái)體的體積公式為

v=M（s+屈7+s）,其中s,s分別為臺(tái)體的上、下底面的面積.則“方亭”的上、下底面

2424

3.（2022山東濟(jì)寧育才中學(xué)期中）鼎是古代烹煮用的器物，它是我國(guó)青銅文化的代

表.圖①是一種方鼎，圖②中的四棱臺(tái)ABCDA歸是鼎中盛烹煮物的部分，四

邊形A3CD是矩形淇中AD=40cm,AB=30cm,48=20cm,點(diǎn)4到平面ABCD的

距離為18cm,則這個(gè)方鼎一次最多能容納的食物的體積為.（假定烹煮的食

物全在四棱臺(tái)A88-ABG。內(nèi)）

W圖①圖②

題組二球的表面積和體積

4.（2022廣東廣州為明學(xué)校期中）蹴鞠，又名蹴球，是古人以腳蹴、蹋、踢球的活動(dòng).

已知某鞠（如圖所示）的表面上有四個(gè)點(diǎn)5、A、B、C,滿足S-A3c為正三棱錐,M

是5C的中點(diǎn)，且側(cè)棱SA=2,則該鞠的表面積為（）

A.6兀B.127TC.327TD.367T

5.（2021山東即墨一中期中）已知一個(gè)圓錐的底面圓周和頂點(diǎn)都在半徑為1的球的

球面上，當(dāng)圓錐體積為球體積的［時(shí)，圓錐的高為（）

A.1或夜B.1或竽C.1或KD.1或等

6.（2022廣東汕頭一冷期中）已知正三棱錐鼠8。的所有棱長(zhǎng)都為2.

（1）求正三棱錐尸-A3c的表面積；

⑵在下面的兩個(gè)問(wèn)題中任選一個(gè)解答.

①求正三棱錐P-ABC的外接球的表面積;②求正三棱錐P-ABC的內(nèi)切球的表面

積.

題組三與空間幾何體體積有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題

7.《烏鴉喝水》是《伊索寓言》中一個(gè)寓言故事.它通過(guò)講述一只烏鴉喝水的故

事，告訴人們遇到困難要運(yùn)用智慧、認(rèn)真思考才能讓問(wèn)題迎刃而解的道理.烏鴉想

喝水，發(fā)現(xiàn)有一個(gè)錐形瓶如圖,它上面是圓柱，下面是圓臺(tái)，瓶口直徑為3cm,瓶底直

徑為9cm,瓶口距瓶頸為28cm,瓶頸到水位線的距離和水位線到瓶底的距離均

為18cm.現(xiàn)將1顆石子投入瓶中，發(fā)現(xiàn)水位線上移當(dāng)cm,若只有當(dāng)水位線到達(dá)瓶

口時(shí)，烏鴉才能喝到水，則烏鴉共需要投入的石子（石子體積視為一致）至少有圓臺(tái)

體積公式:V圓臺(tái)=扣力（尺2+3+凡廠）,其中,//為圓臺(tái)高,R為圓臺(tái)下底面半徑,r為圓臺(tái)上底

面半徑)

A.2顆B.3顆

8.（2020上海模擬）某種“籠具”由內(nèi)、外兩層組成，無(wú)下底面,內(nèi)層和外層分別是一

個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱，其中圓柱與圓錐的底面周長(zhǎng)相等，圓柱有上底面,制作時(shí)需要將

圓錐的頂端剪去，剪去部分和接頭忽略不計(jì)，已知圓柱的底面周長(zhǎng)為247tcm,高為

30cm,圓錐的母線長(zhǎng)為20cm.

（1）求這種“籠具”的體積（結(jié)果精確到0.1cm3）;

（2）現(xiàn)要使用一種紗網(wǎng)材料制作50個(gè)“籠具”，該材料的造價(jià)為每平方米8元，共需

多少元?（結(jié)果精確到1元）

答案與分層梯度式解析

第13章立體幾何初步

13.3空間圖形的表面積和體積

13.3.2空間圖形的體積

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

1.B由臺(tái)體的體積公式可得,該棱臺(tái)的體積V=1X(2+V2V4+4)X3=6+2V2.

2.C金字塔的體積約為寺23()2義147=2592100(立方米)，

故建造胡夫金字塔大約需要石料25921007.12=2314375(塊).

故選C.

3.B如圖，正六邊形的每個(gè)內(nèi)角為120°,

按虛線處折成高為舊的正六棱柱，即BF=y/3,

BF

所以BE=;=1，

tan600

可得正六棱柱底邊邊長(zhǎng)AB=6-2xl=4,

所以正六棱柱的體積V=6xix4x4x^x＞/3=72.

故選B.

4.D設(shè)小棱錐的高為體積為％,底面面積為Si,原棱錐的高為色,體積為底面面積為S2,易得

工或I=二=回所以生=更

V2h^S23h23'

所以以=星=」_所以＞=.1--二廿3小故選D

底「以/-%3啟-126/乂匹D

5.解析(1/三棱錐&_麗=舞加4必寺24*3,

故剩余部分的體積gV正方體ABCD-&B1QDJ曝棱錐4「麗=1/=記

(2)V三棱錐A-41BO="三棱錐4I-4BO=&"3.

設(shè)三棱錐A-A^BD的底面A歸。上的高為h,

則P三棱錐A-ABDWSMIBD端'全苧(僅涉耳流

故為2人=%解得h-^-a.

663

6.C該交通錐的體積約為*0202x70=誓1cm＞故選C.

7.B以長(zhǎng)所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周形成的圓柱的高人=3,底面半徑—2,該圓柱的體積V\=Ttrh=\2Tt9

以寬所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周形成的圓柱的高加=2,底面半徑n=3,該圓柱的體積％=兀療加=18兀，所以學(xué)4.

V23

故選B.

8.D設(shè)圓臺(tái)的上、下底面的半徑分別為匚R,母線長(zhǎng)為/，高為力.由圓臺(tái)的上、下底面的面積分別是兀,4兀,

黑二m所以小=2,

得

由圓臺(tái)側(cè)面積公式可得兀x(2+l)/=6兀，所以1=2,所以h-y/22-(2-1)2=V3,

所以該圓臺(tái)的體積V=17t/?(/?2+r+7?/-)=|7txV3x(4+1+2)=午兀

故選D.

9.答案y

解析設(shè)該圓錐的母線長(zhǎng)為/,底面半徑為r,

貝吟X?等公倔!：,故/=V5.

因?yàn)?y率/，所以『1,所以該圓錐的體積為97rxi2x^=1號(hào).

10.解析如圖，過(guò)點(diǎn)C作CELA。,交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,則所求幾何體的體積可看成是由梯形ABCE

繞AE所在直線旋轉(zhuǎn)一周所得的圓臺(tái)的體積減去小EDC繞OE所在直線旋轉(zhuǎn)一周所得的圓錐的體積.

易求得E￡>=￡C=2,AE=4,所以所求幾何體的體積占匕崢-V崢=聲(52+5*2+22)*4-呆*22*2=等兀

H.C設(shè)球的半徑為R,依題意有乎?3=4北兀，所以/?=V3,

所以球的表面積S=4TT/?2=]2兀故選C.

12.B設(shè)該長(zhǎng)方體的外接球的半徑為R,則R=JS2+3；+(.)2缶歿+6=枚,

則該長(zhǎng)方體的外接球的表面積5=4兀/?2=40兀.

故選B.

13.B由題意可知，飛蟲(chóng)的活動(dòng)范圍是半徑為12cm的球的八分之一，

故飛蟲(chóng)活動(dòng)范圍的體積為:X，x123=288兀(cn?),故選B.

83

14.解析⑴如圖，連接OM,則OM1AB,

設(shè)OM寸則OB=?r,

在^BMO中,5皿/政3。=、：=3=『孚.'.5期面=4兀/=等.

(2)VZACB=90°,ZABC=30°,BC=V3,/.AC=1,

將陰影部分繞直線8C旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓錐，里面挖去一個(gè)內(nèi)切球,

所求體積V=VMm-V?=17txAC2xBC-^nr,=\xV3-\x^=^7t.

能力提升練

1.B由題意知正三角形面積為9(10a)2X*50V5,

底面三個(gè)小弓形的面積均為沔x(10偽2_508=等一508，

...底面萊洛三角形的面積5=100兀-1508+508=100兀-100遮，

曲側(cè)面三棱柱的體積占4(100兀-100百)=400(兀-6).故選B.

2.A設(shè)“方亭”的上底面邊長(zhǎng)為a,下底面邊長(zhǎng)為b,高為h,

則V=^h(a2+ab+b2),

V^ha(a+b)=^h(a2+ab),

V2=V-V\=^h(a2+ab+b2)-^h(a2+ab')=^h(-a2-ab+2b2),

...”=|^^2^=^^^/挈=旦故選A

Vi-h(az+ad)3⑥+號(hào)3b2

3.答案15200cm3

解析???幾何體ABCDABCQi為四棱臺(tái)，

延長(zhǎng)A4i、BBi、CG、。。必交于一點(diǎn)，記該點(diǎn)為。，

由普=若=若，得4。尸中號(hào)cm.

故%棱臺(tái)ABCD-A小必手眇20x^+30x40+(30X40X20x引=152OO(cm3).

4.B如圖1,取AC的中點(diǎn)N,連接BN,SN,

為4c的中點(diǎn),SA=SC,；.AC，SN,同理ACL8N,

■:SNCBN=N,SN,BNu平面SN8,，AC，平面SNB,

「SBu平面SNB,：.ACLSB,

又AM_LS8,AMClAC=A,AMACu平面SAC,

平面SAC,：.正三棱錐S-ABC的三條側(cè)棱兩兩互相垂直.

把該三棱錐放置在正方體中，如圖2,則正方體的外接球即為三棱錐的外接球,

外接球的半徑等于正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)的一半,

二半徑/?=15F=1XV22+22+22=V3.

該鞠的表面積S=47r/?2=4x7rx(V3)2=l2TI.

設(shè)球的半徑為R,圓錐的底面圓的半徑為r,高為h,

則h-R+^jR2—r2=1+V1—r2>1,

因?yàn)閳A錐體積為球體積的：，

所以與產(chǎn)力=工'4/?3,

343_____

化簡(jiǎn)得^(l+Vl-r2)=l,

令71-丁2=’,則

所以r(P+r-l)=0,解得盧宇(舍去)或盧竽或占0,

所以〃=葛法或/?=1.

如圖②所示：

c

4

I0I

圖②

設(shè)球的半徑為Ri,圓錐的底面圓的半徑為n,高為阮則hk阿不二1產(chǎn)三1,

因?yàn)閳A錐體積為球體積的;，

4

所以聲*〃1=區(qū)兀腎，

化簡(jiǎn)得號(hào)（1-廳W）=i,

令J1一詔=九則*=1-咨,

所以川片加1）=0,解得公萼（舍去）或?1=0,

所以h\=l9

綜上，力產(chǎn)等或也=1,

故選D.

6.解析（1）由題可知，在正三棱錐P-ABC中，四個(gè)面均是邊長(zhǎng)為2的正三角形，

故正三棱錐P-ABC的表面積S=4X1X2XV3=4V3.

（2）選擇①.如圖，在正三棱錐P-ABC中，過(guò)B作5MLAC,交AC于點(diǎn)M,過(guò)P點(diǎn)作PN_L平面ABC,交平面

A3C于點(diǎn)N,

易知N為正△A8C的中心，點(diǎn)N在線段8M上，且8M=3MW,線段PN上的點(diǎn)到點(diǎn)A,8,C的距離相等，所以

正三棱錐P-A8C外接球的球心在線段PN上，記為0.

在小ABC中，易得創(chuàng)仁百，則BN4,PN=VPB2-BN24,

連接0B,

設(shè)正三棱錐P-4BC外接球的半徑為R,則OB=OP=R,ON=PN-R~-R,

在408N中,082=8尸+OM,即R2=管『+（竽-R）：解得R考

則正三棱錐P-ABC的外接球的表面積S=47tR2=4兀x|=6兀

選擇②.如圖，在正三棱錐尸-ABC中，過(guò)B作BM_LAC,交AC于點(diǎn)M,過(guò)P點(diǎn)作PN_L平面ABC,交平面

ABC于點(diǎn)N,過(guò)B作5。，平面P4C,交平面PAC于點(diǎn)Q,

易知N為正△43c的中心，點(diǎn)N在線段8M上,且8M=3M/Q點(diǎn)在線段PM上，且PM=3QM記PN與BQ

交于。',則。，到正三棱錐尸-ABC四個(gè)面的距離相等，故0,點(diǎn)為正三棱錐P-