2024天津中考數(shù)學(xué)二輪重難題型專題訓(xùn)練 題型二 第17題幾何圖形的相關(guān)計(jì)算 (含答案)

2024天津中考數(shù)學(xué)二輪重難題型專題訓(xùn)練題型二第17題幾何圖形的相關(guān)計(jì)算類型一三角形的相關(guān)計(jì)算典例精講例1如圖，△ABC為等邊三角形，分別延長(zhǎng)BC、BA至點(diǎn)D、E，使得BD＝AE.點(diǎn)F、G分別為AE和CD的中點(diǎn)，連接FG、ED，若AB＝2，BD＝4，則FG的長(zhǎng)為________．例1題圖【思維教練】要求FG的長(zhǎng)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和AB，BD的長(zhǎng)可得到CD的長(zhǎng)，根據(jù)點(diǎn)F，G的位置可以求得AF和CG的長(zhǎng)，從而得到∠FCB＝∠FCG＝90°，利用勾股定理即可求得FG的長(zhǎng)．針對(duì)演練1.如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，且CE＝3AE.連接DE并延長(zhǎng)交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，若BC＝6eq\r(3)，則AG的長(zhǎng)為________．第1題圖2.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，連接AD，以AD為邊作等邊△ADE，連接BE，若BC＝7，BE＝4，∠CBE＝60°，則CD的長(zhǎng)為________．第2題圖3.如圖，點(diǎn)D、E分別為等邊△ABC的邊AB，AC上的點(diǎn)，以AD，DE為邊作菱形ADEF，連接BE，H是BE的中點(diǎn)，連接AH交DE于點(diǎn)G，若AB＝6，DE＝2，則DG的長(zhǎng)為________．第3題圖4.如圖，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，BD平分∠ABC，AE⊥BD，垂足E在BD的延長(zhǎng)線上，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，連接EF，則△EFD的面積是________．第4題圖5.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝4，D為線段CB的中點(diǎn)，E為CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DB＝BE，以AD，DE為鄰邊作?ADEF，過點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G，連接FG，則FG的長(zhǎng)為________．第5題圖類型二四邊形的相關(guān)計(jì)算典例精講例2如圖，在正方形ABCD外取一點(diǎn)E，連接AE，BE，DE.過點(diǎn)A作AE的垂線AP交DE于點(diǎn)P.若AE＝AP＝1，PB＝eq\r(6)，則PD的長(zhǎng)為________．例2題圖【思維教練】要求PD的長(zhǎng)，根據(jù)題設(shè)所給條件，需要先證明△APD≌△AEB，從而得到PD＝EB，再根據(jù)全等三角形和等腰直角三角形的角度關(guān)系確定∠PEB＝90°，即△PEB是直角三角形，最后根據(jù)題干給出的線段長(zhǎng)度用勾股定理即可求得PD的長(zhǎng)．針對(duì)演練1.如圖，在矩形ABCD中，BD是對(duì)角線，AE⊥BD于點(diǎn)E，連接CE，若AD＝8，AB＝4，則CE的長(zhǎng)為________．第1題圖2.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F為邊BC上一點(diǎn)，連接AF，過點(diǎn)E作EG⊥AF交BC于點(diǎn)G，若CF＝1，則EG的長(zhǎng)為________．第2題圖3.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，M為AB的中點(diǎn)，△MBE為等邊三角形，過點(diǎn)E作ME的垂線分別與邊AD，BC交于點(diǎn)P，Q，則PE的長(zhǎng)為_________．第3題圖4.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜邊AB＝eq\r(2)，過點(diǎn)C作CE∥AB，以AB為邊作菱形ABDE，若∠E＝30°，則Rt△ABC的面積為________．第4題圖5.如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，AE的垂直平分線分別交AB，BD，CD于點(diǎn)F，G，H，若GE＝5，則FH的長(zhǎng)為________．第5題圖6.如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2eq\r(3)，∠ABC＝60°，點(diǎn)E、F在對(duì)角線BD上運(yùn)動(dòng)，且EF＝2，連接AE、AF，則△AEF周長(zhǎng)的最小值是________．第6題圖類型三多邊形的相關(guān)計(jì)算典例精講例3如圖，在正六邊形ABCDEF中，連接AC，AE，CE，△ACE的面積為48eq\r(3)，則正六邊形的周長(zhǎng)為________．例3題圖【思維教練】要求正六邊形的周長(zhǎng)，求出任意一邊的長(zhǎng)即可，先根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，可判斷△AEC是等邊三角形，由△ACE的面積可求得AE的長(zhǎng)，過點(diǎn)F作FG⊥AE于點(diǎn)G，在直角三角形中求EF，即可得到正六邊形的周長(zhǎng)．針對(duì)演練1.如圖，在正五邊形ABCDE中，過頂點(diǎn)A作AF⊥CD，垂足為點(diǎn)F，連接AC，則∠CAF的度數(shù)為________．第1題圖2.如圖，在五邊形ABCDE中，AB＝BC＝5，AE＝ED＝6，∠ABC＋∠AED＝180°，M為邊CD的中點(diǎn)，若BM＝7，EM＝8，則五邊形ABCDE的面積為________．第2題圖參考答案類型一三角形的相關(guān)計(jì)算典例精講例1eq\r(13)【解析】如解圖，連接CF，∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC＝BC＝2，∠B＝60°.∵BD＝AE＝4，∴CD＝2.∵F、G分別為AE、CD的中點(diǎn)，∴AF＝2，CG＝1，∴AB＝AC＝AF＝2.∵∠BAC＝60°，∴∠AFC＝eq\f(1,2)∠BAC＝30°，∴∠B＋∠BFC＝90°，∴∠FCB＝90°.在Rt△BCF中，CF＝BF·sin60°＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)，在Rt△FCG中，由勾股定理得FG＝eq\r(FC2＋CG2)＝eq\r(13).例1題解圖針對(duì)演練1.3【解析】如解圖，連接AD，過點(diǎn)D作DF∥AB交AC于點(diǎn)F.∵AB＝AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∠BAC＝120°，∴AD⊥BC，BD＝eq\f(1,2)BC＝3eq\r(3)，∠BAD＝60°，∴AB＝6.∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DF∥AB，∴DF是△ABC的中位線，∴DF＝eq\f(1,2)AB＝3，點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)．∵CE＝3AE，∴AE＝EF.∵DF∥AG，∴∠FDE＝∠AGE，∠DFE＝∠GAE，∴△DEF≌△GEA，∴AG＝DF＝3.第1題解圖2.1【解析】如解圖，在BC的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F，連接CF，AF，使得∠AFD＝60°，∵△ADE是等邊三角形，∴AD＝DE＝AE，∠ADE＝60°，∵∠ADB＝∠AFD＋∠DAF＝∠ADE＋∠EDB，∴∠DAF＝∠EDB，在△AFD和△DBE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AFD＝∠DBE,∠DAF＝∠EDB,AD＝DE))，∴△AFD≌△DBE，∴FD＝BE＝4，AF＝BD，設(shè)CF＝x，則CD＝4－x，BD＝7－(4－x)＝3＋x，∵∠ACB＝90°，∴∠ACF＝90°，∴∠CAF＝30°，∴AF＝2CF＝2x，∴2x＝x＋3，解得x＝3，∴CD＝4－x＝1.第2題解圖3.eq\f(1,2)【解析】如解圖，延長(zhǎng)GH交BC于點(diǎn)M，∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝60°，∵四邊形ADEF是菱形，∴AD＝DE＝2，∴△ADE是等邊三角形，∴∠ADE＝60°＝∠ABC，∴DE∥BC，∴∠GEH＝∠MBH，△ADG∽△ABM，∴eq\f(DG,BM)＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，∴BM＝3DG，∵H為BE的中點(diǎn)，∴EH＝BH，∵∠GHE＝∠MHB，∴△GHE≌△MHB，∴GE＝MB，∴GE＝3DG，∴DG＝eq\f(1,4)DE＝eq\f(1,2).第3題解圖4.eq\f(5\r(2)－7,2)【解析】如解圖，延長(zhǎng)AE與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，∴AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝2eq\r(2).∵BD平分∠ABC，∴∠1＝∠2.∵AE⊥BD，∴∠AEB＝∠GEB＝90°，在△AEB和△GEB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AEB＝∠GEB,BE＝BE,∠1＝∠2))，∴△AEB≌△GEB，∴AB＝GB＝2eq\r(2)，AE＝GE.∵BC＝2，∴GC＝GB－BC＝2eq\r(2)－2.∵E為AG的中點(diǎn)，F(xiàn)為AC的中點(diǎn)，∴EF＝eq\f(1,2)GC＝eq\r(2)－1，且EF∥GB，∴∠FED＝∠2，∠EFD＝∠BCD＝90°，∴△EDF∽△BDC，∴eq\f(EF,BC)＝eq\f(FD,CD)＝eq\f(\r(2)－1,2)，∴FD＝eq\f(\r(2)－1,2)CD.∵FD＋CD＝eq\f(AC,2)＝1，∴(eq\f(\r(2)－1,2)＋1)CD＝1，解得CD＝2eq\r(2)－2，∴FD＝3－2eq\r(2)，∴S△EFD＝eq\f(EF·FD,2)＝eq\f(5\r(2)－7,2).第4題解圖5.eq\r(10)【解析】如解圖，過點(diǎn)F作FH⊥AB于點(diǎn)H，∵∠C＝90°，CA＝CB＝4，∴∠ABC＝45°，AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝4eq\r(2).∵D為BC的中點(diǎn)，∴BD＝2.∵BD＝BE，∴DE＝4，在Rt△BGD中，BG＝BD·cos45°＝eq\r(2)，∵四邊形ADEF是平行四邊形，∴AF＝DE＝4，AF∥DE，∴∠FAH＝∠ABC＝45°，∴AH＝FH＝AF·cos45°＝2eq\r(2)，∴HG＝AB－AH－BG＝eq\r(2)，∴在Rt△FHG中，F(xiàn)G＝eq\r(HG2＋FH2)＝eq\r(10).第5題解圖類型二四邊形的相關(guān)計(jì)算典例精講例22【解析】∵AE⊥AP，∴∠EAP＝90°.∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠EAB＝∠PAD.又∵AE＝AP，AB＝AD，∴△APD≌△AEB，∴PD＝EB，∠APD＝∠AEB.∵AE⊥AP，AE＝AP＝1，∴∠APE＝∠AEP＝45°，EP＝eq\r(2)，∴∠APD＝∠AEB＝135°，∴∠PEB＝∠AEB－∠AEP＝90°，即△PEB是直角三角形，由勾股定理得EB＝eq\r(PB2－PE2)＝2，∴PD＝EB＝2.針對(duì)演練1.eq\f(4\r(65),5)【解析】∵四邊形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝8，AE⊥BD于點(diǎn)E，∴BD＝eq\r(AB2＋AD2)＝4eq\r(5).∵∠ADB＋∠EAD＝90°，∠EAB＋∠EAD＝90°，∴∠ADB＝∠EAB，∵∠AEB＝∠BAD＝90°，∴△ABE∽△DBA，∴eq\f(BE,AB)＝eq\f(AB,BD)，∴AB2＝BE·BD，∴BE＝eq\f(4\r(5),5)，∴DE＝eq\f(16\r(5),5)，如解圖，過點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F，則EF∥DC，∴△BEF∽△BDC，∴eq\f(EF,DC)＝eq\f(BF,BC)＝eq\f(BE,BD)＝eq\f(1,5)，∴EF＝eq\f(4,5)，BF＝eq\f(8,5)，∴CF＝eq\f(32,5)，∴在Rt△CEF中，由勾股定理得CE＝eq\r(EF2＋CF2)＝eq\f(4\r(65),5).第1題解圖2.eq\f(10,3)【解析】如解圖，連接AE并延長(zhǎng)與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H，連接AG，EF，設(shè)EG與AF交于點(diǎn)N，∵點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，∴DE＝CE＝2，∵在△ADE和△HCE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠D＝∠ECH＝90°,DE＝EC,∠DEA＝∠CEH))，∴△ADE≌△HCE，∴AE＝EH，AD＝CH＝4，∵CF＝1，∴FH＝FC＋CH＝5，BF＝3，∵AF＝eq\r(AB2＋BF2)＝5，∴AF＝FH，∵AE＝EH，∴EF⊥AH，∠AFE＝∠HFE，∵EG⊥AF，∠DCB＝90°，∴EC＝EN＝2，∵在Rt△ADE和Rt△ANE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(DE＝EN,AE＝AE))，∴Rt△ADE≌Rt△ANE，∴AD＝AN＝4＝AB，∵在Rt△AGN和Rt△AGB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AN＝AB,AG＝AG))，∴Rt△AGN≌Rt△AGB，∴BG＝GN，∵EG2＝EC2＋CG2，∴(2＋BG)2＝22＋(4－BG)2，解得BG＝eq\f(4,3)，∴EG＝eq\f(10,3).第2題解圖3.3eq\r(3)【解析】如解圖，連接MP.∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BAD＝90°.∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，∴AM＝BM＝eq\f(1,2)AB＝3.∵△BME是等邊三角形，∴∠EMB＝60°，ME＝BE＝BM，∴EM＝AM＝3.∵PE⊥ME，∴∠PEM＝90°，∴∠PEM＝∠BAD＝90°.∵PM＝PM，∴Rt△PEM≌Rt△PAM，∴∠AMP＝∠EMP＝eq\f(180°－∠EMB,2)＝60°，∴∠MPE＝30°，∴MP＝2ME＝6，∴在Rt△PEM中，PE＝eq\r(MP2－ME2)＝3eq\r(3).第3題解圖4.eq\f(1,2)【解析】如解圖，分別過點(diǎn)D，C作DH，CG垂直于AB，垂足為點(diǎn)H，G，∵四邊形ABDE為菱形，∴AB＝BD＝eq\r(2)，∵∠ABD＝∠E＝30°，∴在Rt△BHD中，DH＝eq\f(\r(2),2)，∵AB∥CE，根據(jù)平行線間的距離處處相等，∴HD＝CG＝eq\f(\r(2),2)，∴Rt△ABC的面積為eq\f(1,2)AB·CG＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,2).第4題解圖5.5eq\r(2)【解析】如解圖，連接AG，過點(diǎn)G分別作GP⊥AB于點(diǎn)P，GQ⊥BC于點(diǎn)Q，過點(diǎn)F作FM⊥CD于點(diǎn)M，∵BD是正方形ABCD的對(duì)角線，點(diǎn)G在BD上，BG平分∠ABC，∴GP＝GQ.又∵∠GPB＝∠PBQ＝∠GQB＝90°，∴四邊形GPBQ為正方形．又∵FH是AE的垂直平分線，∴GA＝GE，∵在Rt△AGP和Rt△EGQ中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(GA＝GE,GP＝GQ))，∴Rt△AGP≌Rt△EGQ，∴∠AGP＝∠EGQ，∴∠AGE＝∠AGP＋∠PGE＝∠EGQ＋∠PGE＝∠PGQ＝90°，∴△AGE為等腰直角三角形，∴在Rt△AGE中，AE＝eq\r(AG2＋EG2)＝5eq\r(2)，∵FM⊥CD，∴∠FMC＝∠MCB＝∠CBF＝90°，∴四邊形FMCB為矩形，∴FM＝BC＝AB，∵FH⊥AE，∴∠BAE＋∠AFH＝∠AFH＋∠MFH＝90°，∴∠BAE＝∠MFH，∴在△ABE和△FMH中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BAE＝∠MFH,AB＝FM,∠ABE＝∠FMH))，∴△ABE≌△FMH，∴FH＝AE＝5eq\r(2).第5題解圖6.6【解析】如解圖，過點(diǎn)A作AH∥BD，使得AH＝EF＝2，連接AC，連接CH交BD于點(diǎn)F，則AE＋AF的值最小，即△AEF的周長(zhǎng)最?。逜H＝EF，AH∥EF，∴四邊形EFHA是平行四邊形，∴EA＝FH，∵在菱形ABCD中，BD為對(duì)角線，∴AF＝CF，∴AE＋AF＝FH＋CF，∴當(dāng)C，F(xiàn)，H三點(diǎn)共線時(shí)，AE＋AF取最小值CH，∵菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2eq\r(3)，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝2eq\r(3)，AC⊥BD，∵AH∥DB，∴AC⊥AH，∴∠CAH＝90°，∵在Rt△CAH中，CH＝eq\r(AC2＋AH2)＝4，∴AE＋AF的最小值是4，∴△AEF的周長(zhǎng)的最小值＝4＋2＝6.第6題解圖類型三多邊形的相關(guān)計(jì)算典例精講例348【解析】如解圖，過點(diǎn)F作FG⊥AE于點(diǎn)G，由題意可得AC＝EC＝AE，∴△ACE為等邊三角形，設(shè)等邊△ACE的邊長(zhǎng)為a，∵S△ACE＝48eq\r(3)，∴eq\f(1,2)a2·sin60°