新教材適用2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第5章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用5.1導(dǎo)數(shù)的概念及其意義5.1.1變化率問題學(xué)案新人教A版選擇性必修第二冊

5．1.1變更率問題課程標(biāo)準(zhǔn)1．知道瞬時速度的概念，能描述瞬時速度與平均速度的關(guān)系．2．會通過極限的方法求瞬時速度．3．會區(qū)分曲線的割線斜率與切線斜率，并知道二者的不同．學(xué)法解讀1．通過實例，領(lǐng)悟由平均速度到瞬時速度刻畫實際的變更的過程．(數(shù)學(xué)抽象)2．駕馭瞬時速度的概念，會求解瞬時速度的相關(guān)問題．(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算)3．通過求拋物線的切線的斜率和方程，體會極限思想的應(yīng)用．(數(shù)學(xué)運算、直觀想象)學(xué)問點1瞬時速度我們把物體在_某一時刻__的速度稱為瞬時速度．學(xué)問點2極限在探討t＝1時的瞬時速度時，我們發(fā)覺，當(dāng)Δt無限趨近于0，即無論t從小于1的一邊，還是從大于1的一邊無限趨近于1時，平均速度eq\x\to(v)都無限趨近于－5.事實上，由eq\x\to(v)＝eq\f(h(1＋Δt)－h(huán)(1),(1＋Δt)－1)＝－4.9Δt－5可以發(fā)覺，當(dāng)Δt無限趨近于0時，－4.9Δt也_無限趨近于0__，所以eq\x\to(v)無限趨近于_－5__.這與前面得到的結(jié)論一樣．?dāng)?shù)學(xué)中，我們把－5叫做“當(dāng)Δt無限趨近于0時，eq\x\to(v)＝eq\f(h(1＋Δt)－h(huán)(1),Δt)的極限”，記為eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\f(h(1＋Δt)－h(huán)(1),Δt)＝－5.想一想：瞬時速度與平均速度有什么關(guān)系？提示：設(shè)運動員在t0時刻旁邊的某一時間段[t0＋Δt，t0](Δt<0)或[t0，t0＋Δt](Δt>0)的平均速度是eq\x\to(v)，所以當(dāng)不斷縮短上述時間段的長度，即Δt無限趨近于0時，eq\x\to(v)將越來越趨近于運動員在t0時刻的瞬時速度．求瞬時速度體現(xiàn)了運動變更的觀點．練一練：已知某物體的運動方程是s＝eq\f(t3,9)＋t，則當(dāng)t＝3s時的瞬時速度是(C)A．2m/s B．3m/sC．4m/s D．5m/s[解析]∵Δs＝eq\f((3＋Δt)3,9)＋(3＋Δt)－eq\f(33,9)－3＝eq\f(33＋(Δt)3＋9(Δt)2＋27Δt,9)－3＋Δt＝eq\f((Δt)3,9)＋(Δt)2＋4Δt，∴eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(1,9)(Δt)2＋Δt＋4，∴eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,9)(Δt)2＋Δt＋4))＝4.故選C.學(xué)問點3曲線的切線在探討拋物線的割線時，我們發(fā)覺，當(dāng)點P無限趨近于點P0時，割線P0P無限趨近于_一個確定的位置__，這個確定位置的直線P0T稱為拋物線f(x)＝x2在點P0(1,1)處的切線．想一想：割線的斜率與切線的斜率有怎樣的區(qū)分與聯(lián)系？提示：區(qū)分：割線的斜率是經(jīng)過曲線上兩點連線的斜率；切線的斜率是以曲線上一點為切點且與曲線相切的直線的斜率．聯(lián)系：切線的斜率是割線的斜率的極限值．練一練：求函數(shù)y＝x＋eq\f(1,x)在x＝1處的切線斜率．[解析]因為Δy＝(1＋Δx)＋eq\f(1,1＋Δx)－(1＋1)＝Δx＋eq\f(1,1＋Δx)－1，所以eq\f(Δy,Δx)＝1－eq\f(1,1＋Δx)，所以k＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,1＋Δx)))＝0.題型探究題型一平均變更率的求法典例1(1)如圖所示，函數(shù)y＝f(x)在[1,3]上的平均變更率為(B)A．1 B．－1C．2 D．－2(2)(2024·陜西西安中學(xué)高二檢測)設(shè)地鐵在某段時間內(nèi)進行調(diào)試，由始點起經(jīng)過t秒后的距離為s＝eq\f(1,4)t4－4t3＋16t2(單位：米)，則列車運行10秒的平均速度為(A)A．10米/秒 B．8米/秒C．4米/秒 D．0米/秒[解析](1)eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f(3)－f(1),3－1)＝eq\f(1－3,3－1)＝－1.(2)列車從起先運行到10秒時，列車距離的增加量為s(10)－s(0)＝100－0＝100(米)，則列車運行10秒的平均速度為eq\f(s(10)－s(0),10－0)＝10(米/秒)．[規(guī)律方法]求平均變更率的方法步驟通常用“兩步”法，一作差，二作商，即：(1)先求出Δx＝x2－x1，再計算Δy＝f(x2)－f(x1)．(2)對所求得的差作商，即eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f(x2)－f(x1),x2－x1)＝eq\f(f(x1＋Δx)－f(x1),Δx).對點訓(xùn)練?一質(zhì)點做直線運動，其位移s與時間t的關(guān)系s(t)＝t2＋1，該質(zhì)點在[2,2＋Δt](Δt>0)上的平均速度不大于5，求Δt的取值范圍．[解析]質(zhì)點在[2,2＋Δt]上的平均速度為eq\x\to(v)＝eq\f([(2＋Δt)2＋1]－(22＋1),Δt)＝eq\f(4·Δt＋(Δt)2,Δt)＝4＋Δt.又eq\x\to(v)≤5，即4＋Δt≤5，∴Δt≤1.又Δt>0，∴Δt的取值范圍為(0,1]．題型二瞬時變更率(瞬時速度)的求法典例2已知質(zhì)點M按規(guī)律s＝2t2＋3做直線運動．(位移單位：cm，時間單位：s)(1)當(dāng)t＝2，Δt＝0.01時，求eq\f(Δs,Δt)；(2)當(dāng)t＝2，Δt＝0.001時，求eq\f(Δs,Δt)；(3)求質(zhì)點M在t＝2時的瞬時速度．[解析]eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s(t＋Δt)－s(t),Δt)＝eq\f(2(t＋Δt)2＋3－(2t2＋3),Δt)＝4t＋2Δt.(1)當(dāng)t＝2，Δt＝0.01時，eq\f(Δs,Δt)＝4×2＋2×0.01＝8.02(cm/s)．(2)當(dāng)t＝2，Δt＝0.001時，eq\f(Δs,Δt)＝4×2＋2×0.001＝8.002(cm/s)．(3)v＝eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))(4t＋2Δt)＝4t＝4×2＝8(cm/s)．[規(guī)律方法]求物體運動的瞬時速度的步驟：(1)由物體運動的位移s與時間t的函數(shù)關(guān)系式求出位移增量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．(2)求t0到t0＋Δt這段時間的平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt).(3)求eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)的值，即得t＝t0時的瞬時速度．對點訓(xùn)練?(1)(2024·洛陽高二檢測)一質(zhì)點運動的方程為s＝5－3t2，若該質(zhì)點在時間段[1,1＋Δt]內(nèi)相應(yīng)的平均速度為－3Δt－6，則該質(zhì)點在t＝1時的瞬時速度是(D)A．－3 B．3C．6 D．－6(2)已知物體的運動方程是s＝－4t2＋16t(s的單位為m；t的單位為s)，則該物體在t＝2s時的瞬時速度為(D)A．3m/s B．2m/sC．1m/s D．0m/s[解析](1)該質(zhì)點在t＝1時的瞬時速度為－6，故選D.(2)Δs＝－4(2＋Δt)2＋16(2＋Δt)＋4×22－16×2＝－4(Δt)2，∴eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(－4(Δt)2,Δt)＝－4Δt，∴v＝eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))(－4Δt)＝0.∴物體在t＝2s時的瞬時速度為0m/s.題型三曲線在某點處的瞬時變更率(切線斜率)的求法典例3(1)求函數(shù)y＝x2＋eq\f(1,x)＋5在x＝2處的切線斜率；(2)曲線f(x)＝3x＋x2在點(1，f(1))處的切線方程為(A)A．y＝5x－1 B．y＝－5x＋1C．y＝eq\f(1,5)x＋1 D．y＝－eq\f(1,5)x－1[解析](1)當(dāng)x＝2時，Δy＝(2＋Δx)2＋eq\f(1,2＋Δx)＋5－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(22＋\f(1,2)＋5))＝4Δx＋(Δx)2＋eq\f(－Δx,2(2＋Δx))，所以eq\f(Δy,Δx)＝4＋Δx－eq\f(1,4＋2Δx)，所以eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋Δx－\f(1,4＋2Δx)))＝4＋0－eq\f(1,4＋2×0)＝eq\f(15,4)，所以函數(shù)在x＝2處的切線斜率為k＝eq\f(15,4).(2)曲線f(x)＝3x＋x2在點(1，f(1))處的切線的斜率為k＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(3(1＋Δx)＋(1＋Δx)2－(3＋1),Δx)＝5，f(1)＝4.由點斜式得切線方程為y－4＝5(x－1)，即y＝5x－1.[規(guī)律方法]求函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變更率的步驟：(1)求函數(shù)值的變更量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．(2)求函數(shù)的平均變更率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx).(3)當(dāng)Δx無限趨近于0時，求eq\f(Δy,Δx)趨近的常數(shù)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變更率即為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的切線斜率．對點訓(xùn)練?求拋物線f(x)＝x2－x在點(2,2)處的切線方程．[解析]f(2＋Δx)－f(2)＝(2＋Δx)2－(2＋Δx)－2＝3Δx＋(Δx)2，所以切線的斜率k＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(f(2＋Δx)－f(2),Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(3Δx＋(Δx)2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))(3＋Δx)＝3.則切線方程為y－2＝3(x－2)，即3x－y－4＝0.易錯警示不能正確識圖致誤典例4A，B兩機關(guān)單位開展節(jié)能活動，活動起先后兩機關(guān)的用電量W1(t)，W2(t)與時間t(天)的關(guān)系如圖所示，則肯定有(B)A．兩機關(guān)單位節(jié)能效果一樣好B．A機關(guān)單位比B機關(guān)單位節(jié)能效果好C．A機關(guān)單位的用電量在[0，t0]上的平均變更率比B機關(guān)單位的用電量在[0，t0]上的平均變更率大D．A機關(guān)單位與B機關(guān)單位自節(jié)能以來用電量總是一樣大[錯解]選C.因為在(0，t0)上，W1(t)的圖象比W2(t)的圖象陡峭，∴在(0，t0)上用電量的平均變更率，A機關(guān)單位比B機關(guān)單位大．[誤區(qū)警示]從圖上看，兩機關(guān)單位在(0，t0)上用電量的平均變更率都取負(fù)值．[正解]由題可知，A機關(guān)單位所對應(yīng)的圖象比較陡峭，B機關(guān)單位所對應(yīng)的圖象比較平緩，且用電量在[0，t0]上的平均變更率都小于0，故肯定有A機關(guān)單位比B機關(guān)單位節(jié)能效果好．故選B.[點評]識圖時，肯定要結(jié)合題意弄清圖象所反映的量之間的關(guān)系，特殊是單調(diào)性，增長(削減)的快慢等要弄清．1．物體做直線運動所經(jīng)過的路程s可表示為時間t的函數(shù)s(t)＝2t2＋2，則該物體在一小段時間[2,2＋Δt]上的平均速度為(A)A．8＋2Δt B．4＋2ΔtC．7＋2Δt D．－8＋2Δt[解析]∵函數(shù)s＝s(t)＝2t2＋2，∴Δs＝2(2＋Δt)2＋2－(2×22＋2)＝2Δt2＋8Δt，∴物體在[2,2＋Δt]上的平均速度為eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(2Δt2＋8Δt,Δt)＝2Δt＋8.2．物體做直線運動所經(jīng)過的路程s可以表示為時間t的函數(shù)s＝s(t)，則物體在時間間隔[t0，t0＋Δt]內(nèi)的平均速度是(C)A．v0 B．eq\f(Δt,s(t0＋Δt)－s(t0))C.eq\f(s(t0＋Δt)－s(t0),Δt) D．eq\f(s(t),t)[解析]由平均變更率的概念知C正確，故選C.3．某物體的運動路程s(單位：m)與時間t(單位：s)的關(guān)系可用函數(shù)s(t)＝t3－2表示，則此物體在t＝1s時的瞬時速度(單位：m/s)為(B)A．1 B．3C．－1 D．0[解析]由s(t)＝t3－2，得eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\f((t＋Δt)3－2－(t3－2),Δt)＝eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))(3t2＋3t·Δt＋Δt2)＝3t2，∵3×12＝3，則物體在t＝1s時的瞬時速度為3m/s.故選B.4．拋物線y＝2x2在點(1,2)處切線的斜率為_4__.[解析]k＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))＝eq\f(2(1＋Δx)2－2×12,Δx)＝eq