粒子物理與核物理實(shí)驗(yàn)中的數(shù)據(jù)分析-第二講

7/19/20241粒子物理與核物理實(shí)驗(yàn)中的數(shù)據(jù)分析楊振偉清華大學(xué)第二講：基本概念（續(xù)）艾滋病檢驗(yàn)結(jié)果再認(rèn)識7/19/20242

對于個(gè)人而言，0.032

是主觀概率。如果沒有其它額外的信息時(shí)，應(yīng)把0.001當(dāng)作相對頻率解釋。但是往往在病毒檢驗(yàn)前，該相對頻率被當(dāng)作一種信念來處理個(gè)人是否患病。

如果還有其它額外的信息，應(yīng)該給出不同的先驗(yàn)概率。這種貝葉斯統(tǒng)計(jì)的特點(diǎn)必定是主觀的。例如，受檢者有過吸毒歷史。一旦驗(yàn)前概率改變，貝葉斯定理就會(huì)告訴患病的可能性。對陽性結(jié)果的詮釋就會(huì)改變。問題：能否構(gòu)造含自變量的概率？7/19/20243隨機(jī)變量與概率密度函數(shù)假設(shè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果為x(記作樣本空間中元素)的概率為那么概率密度函數(shù)p.d.f.定義為

f(x)，它對全部樣本空間S

滿足定義累積分布函數(shù)為對于離散型隨機(jī)變量

分位數(shù)、中值與模7/19/20244分位點(diǎn)x

定義為隨機(jī)變量x

的值，它使得這里0

1。因此可以容易求出分位點(diǎn)隨機(jī)變量x

的中值定義為隨機(jī)變量x

被觀測到大于或小于中值的概率是相等的。模定義為使概率密度函數(shù)值達(dá)到極大的隨機(jī)變量值。7/19/20245直方圖與概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)p.d.f.就是擁有無窮大樣本，區(qū)間寬度為零，而且歸一化到單位面積的直方圖。直方圖在統(tǒng)計(jì)分析中非常重要，應(yīng)準(zhǔn)確理解它的含義。7/19/20246多變量情形如果觀測量大于一個(gè)，例如x與y7/19/20247邊緣分布將聯(lián)合概率密度函數(shù)p.d.f.分別投影到x

與y

軸若x，y

相互獨(dú)立，則可構(gòu)造2-維p.d.f7/19/20248條件概率密度函數(shù)利用條件概率的定義，可得到定義條件概率的密度函數(shù)p.d.f.為則貝葉斯定理可寫為

h(y|x)yyx7/19/20249名詞總匯隨機(jī)事例概率條件概率相對頻率與主觀概率貝葉斯定理隨機(jī)變量概率密度函數(shù)條件密度函數(shù)直方圖7/19/202410問題條件概率如果A與B相互獨(dú)立，則從文恩圖上得到因此7/19/202411解答：概率都是條件概率由柯尓莫哥洛夫公理，我們定義了概率P(A)。但在實(shí)際應(yīng)用中，我們總是對A

相對于許多樣本空間的概率感興趣，而不僅僅只是一個(gè)空間。因此，通常以記號來表示所進(jìn)行的研究是在特定的樣本空間S中，也就是A相對于S的條件概率。因此，所有概率在實(shí)際應(yīng)用中都是條件概率。只有當(dāng)S的選擇是明白無誤時(shí)，才能簡單記為7/19/202412解答：互斥與相互獨(dú)立互斥的定義為也就是兩個(gè)事例的定義沒有交集。所給出的推論為相互獨(dú)立的定義為因此，根據(jù)定義兩個(gè)相互獨(dú)立的事例不意味著是互斥的。前面的問題屬于把兩者定義混淆了。7/19/202413證明舉例：事例與逆事例如果A

是在S

中的任意一個(gè)事例，則證明：由于

A與根據(jù)定義是互斥的，并且從文恩圖得到因此可以寫出7/19/202414舉例：檢查給定概率的合理性如果一個(gè)實(shí)驗(yàn)有三種可能并且互斥的結(jié)果A，B和C

，檢查下列各種情況給出的概率值是否是合理的：結(jié)論：只有1）與4）是合理的。評論：作為一個(gè)合格的實(shí)驗(yàn)研究人員，一定要具備判斷

結(jié)果是否合理的能力！7/19/202415舉例：檢查經(jīng)驗(yàn)概率密度函數(shù)實(shí)驗(yàn)上經(jīng)常經(jīng)驗(yàn)性地從直方圖中給出概率密度函數(shù)（例如通過擬合直方圖分布等等），但是需要確定得到的函數(shù)是否滿足概率密度函數(shù)的定義，例如試判斷哪一個(gè)可以用作概率密度函數(shù)？答案：1）有負(fù)概率值；2）累積函數(shù)值大于1。因此，兩者在給定的隨機(jī)變量范圍內(nèi)都不能用作概率密度函數(shù)。7/19/202416數(shù)據(jù)分析中的問題粒子與核物理實(shí)驗(yàn)中對動(dòng)量的測量通常是分別測量在已知兩分量測量值的概率密度函數(shù)情況下，總動(dòng)量為如何導(dǎo)出總動(dòng)量的測量值的概率密度函數(shù)？是研究隨機(jī)變量函數(shù)的p.d.f問題。7/19/202417一維隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量的函數(shù)自身也是一個(gè)隨機(jī)變量。假設(shè)x服從p.d.f.f(x)，對于函數(shù)a(x)，其p.d.f.g(a)為何？7/19/202418函數(shù)的逆不唯一情況假如a(x)

的逆不唯一，則函數(shù)的p.d.f.應(yīng)將dS中對應(yīng)于da

的所有dx

的區(qū)間包括進(jìn)來7/19/202419多維隨機(jī)變量的函數(shù)考慮隨機(jī)矢量與函數(shù)，對應(yīng)的p.d.f.如果兩個(gè)獨(dú)立變量x

與y，分別按g(x)與h(y)分布，那么函數(shù)z=xy

應(yīng)具有何種形式？多維隨機(jī)變量的函數(shù)(續(xù)一)7/19/202420記作g與h的Mellin卷積如果函數(shù)為z=x+y

，則應(yīng)具有何種形式？記作g與h的傅立葉卷積注意：通常將兩者皆稱為g與h的卷積，已相同記號表示。多維隨機(jī)變量的函數(shù)(續(xù)二)7/19/202422期待值考慮具有p.d.f.的隨機(jī)變量，定義期待(平均)值為注意:它不是的函數(shù)，而是的一個(gè)參數(shù)。通常記為：對離散型變量，有對具有p.d.f.的函數(shù)，有方差定義為通常記為：標(biāo)準(zhǔn)偏差：7/19/202423協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)定義協(xié)方差(也可用矩陣表示)為相關(guān)系數(shù)定義為如果x，y

獨(dú)立，即則7/19/202424舉例：樣本平均值假設(shè)實(shí)驗(yàn)上研究一核素衰變壽命，在探測效率為100%的情況下，每次探測到的壽命為ti，一共測量了n

次，求平均壽命（也就是壽命的期待值）。根據(jù)離散型期待值的定義問題的關(guān)鍵是ti

的概率密度函數(shù)是什么？根據(jù)概率的相對頻率定義，在n次測量中出現(xiàn)ti

頻率為一次因此，期待值（或平均壽命）為思考：如果頻率為mi

次，結(jié)果會(huì)不同嗎？7/19/202425誤差傳遞假設(shè)服從某一聯(lián)合p.d.f.，我們也許并不全部知道該函數(shù)形式，但假設(shè)我們有協(xié)方差和平均值現(xiàn)考慮一函數(shù)，方差是什么？將在附近按泰勒展開到第一級然后，計(jì)算與…7/19/202426誤差傳遞(續(xù)一)由于所以利用泰勒展開式可求7/19/202427誤差傳遞(續(xù)二)兩項(xiàng)合起來給出的方差如果之間是無關(guān)的，則，那么上式變?yōu)轭愃频?，對于組函數(shù)7/19/202428誤差傳遞(續(xù)三)或者記為矩陣形式注意：上式只對為線性時(shí)是精確的，近似程度在函數(shù)非線性區(qū)變化比要大時(shí)遭到很大的破壞。另外，上式并不需要知道的p.d.f.具體形式，例如，它可以不是高斯的。7/19/202429誤差傳遞的一些特殊情況注意在相關(guān)的情況下，最終的誤差會(huì)有很大的改變，例如當(dāng)這種特征有時(shí)候是有益的：將公共的或難以估計(jì)的誤差，通過適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)處理將它們消掉，達(dá)到減小誤差的目的。7/19/202430坐標(biāo)變換下的誤差矩陣實(shí)驗(yàn)上經(jīng)常通過測量粒子在探測器中各點(diǎn)的擊中坐標(biāo)（x,y）來擬合在極坐標(biāo)下的徑跡（r,

）。通常情況下，（x,y）的測量是不關(guān)聯(lián)的。由于因此，坐標(biāo)變換后的誤差矩陣為7/19/202431大亞灣反應(yīng)堆中微子實(shí)驗(yàn)7/19/202432反應(yīng)堆中微子反應(yīng)堆能產(chǎn)生大量反電子型中微子3GW

熱功率反應(yīng)堆中微子幾乎無損穿透物質(zhì)假設(shè)產(chǎn)生的中微子以球面波傳播，那么在任一地方任一給定面元的中微子流強(qiáng)為7/19/202433大亞灣中微子振蕩中微子振蕩中微子在運(yùn)動(dòng)過程中自己不斷改變形態(tài)測量中微子形態(tài)隨運(yùn)動(dòng)距離的改變中微子形態(tài)隨運(yùn)動(dòng)距離的改變理論預(yù)言7/19/202434如何保證1%精度？測量中微子振蕩的影響那一種方案更易實(shí)現(xiàn)1%精度的測量？為什么？7/19/202435不同坐標(biāo)系下相關(guān)性的變化通過轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)，隨機(jī)變量的相關(guān)性會(huì)發(fā)生改變。顯然，通過將坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動(dòng)450，上面的相關(guān)性在新坐標(biāo)系下消失。隨機(jī)變量作正則變換去除相關(guān)性7/19/202436對應(yīng)的協(xié)方差矩陣為非線性情況假設(shè)有n個(gè)隨機(jī)變量x1,…,xn

以及協(xié)方差矩陣Vij=cov[xi,xj]，可以證明有可能通過線性變換重新定義n個(gè)新的變量y1,…,yn

使得對應(yīng)的協(xié)方差矩陣Uij=cov[yi,yj]非對角元為零。令7/19/202437變換后的變量協(xié)方差矩陣對角化為了使協(xié)方差矩陣U對角化可先確定協(xié)方差矩陣V

的本征列矢量

，i=1,…,n。解方程變換矩陣A由本征矢量

給出，即7/19/202438正則變換后變量的協(xié)方差矩陣因此，正則變換的協(xié)方差矩陣為變量作正則變換后，其方差由原協(xié)方差矩陣V的本征值給出。對應(yīng)于矢量的轉(zhuǎn)動(dòng)不改變模的大小。|y|2=yTy=xTATAx=|x|2盡管非關(guān)聯(lián)變量經(jīng)常容易處理，但是對經(jīng)過變換的變量的理解不一定容易。帶電粒子在閃爍體的射程7/19/202439在原來的定義下，可以得到粒子射程隨動(dòng)量大