等比數(shù)列高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊+

4.3.2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和復(fù)習(xí)

話說豬八戒西天取經(jīng)后回到了高老莊，從高員外手里接下了高老莊集團(tuán)，搖身變成了CEO，可好景不長，因資金周轉(zhuǎn)不靈集團(tuán)陷入了窘境，急需大量資金投入，于是豬八戒就找到孫悟空幫忙.悟空一口就答應(yīng)：“行！我每天投資100萬元，連續(xù)一個月（30天），但是有一個條件：作為回報，從投資的第一天起你必須返還我1元，第二天返還2元，第三天返還4元,……,即后一天返還數(shù)為前一天的2倍.”八戒聽了心里打起了小算盤：“第一天：支出1元,收入100萬元;第二天：支出2元,收入100萬元;第三天：支出4元,收入100萬元……哇，發(fā)財了……”心里越想越美，再看看悟空的表情，心里又嘀咕了：“這猴子老是欺負(fù)我，會不會又在耍我？”一.新課導(dǎo)入：=?分析：30天八戒吸納的資金共3000萬元。由于后一天返還數(shù)為前一天的2倍，且共有30天，所以八戒每一天返還悟空的錢依次是：則八戒共返還悟空：問：

假如你是高老莊集團(tuán)企劃部的高參，請你幫八戒分析一下按照悟空的投資方式，30天后，八戒能吸納多少投資？又該返還給悟空多少錢？=1073741823228，２29２，２２，１，２３，…，2S30=2+22+23+…+229

+230思考3：S30與2S30的表達(dá)式中有許多相同的項(xiàng)，用什么辦法消去相同的項(xiàng)？倒序相加

不能

問題1：如何求引例中S30=1+2+22+…+228+229S30=229+228+…

+22+2+1思考1：等差數(shù)列求和用了什么方法？等比求和能否用這種方法？1+2+22+…+228+2292S30=S30=2+22+23+…+229

+230①②由①－

②得:

–

S30=

1–230S30=230–1.即=1073741823?你想得到什么樣的賞賜？陛下賞小人幾粒麥就搞定.OK每個格子里放的麥粒數(shù)都是前一個格子里放的的2倍，直到第64個格子…

請問:國王需準(zhǔn)備多少麥粒才能滿足發(fā)明者的要求?他能兌現(xiàn)自己的諾言嗎?上述問題實(shí)際上是求1,2,4,8‥‥263這個等比數(shù)列的和.

令S64=1+2+4+8+‥‥‥+263

①2S64=2+4+8+‥‥‥+263+264

，

②②－①得S64=264－1.錯位相減=18446744073709551615(粒).當(dāng)人們把一袋一袋的麥子搬來開始計數(shù)時，國王才發(fā)現(xiàn)：就是把全印度甚至全世界的麥粒全拿來，也滿足不了那位宰相的要求.那么，宰相要求得到的麥粒到底有多少呢？

算

一

算如果按1000顆麥粒40克計算，這里大約有_____麥粒；如果按人均每天吃______糧食計算,此棋盤上的糧食可供全世界_____億人吃上_____年.7000億噸702741000克設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，如何求Sn？所得結(jié)果如何？解：Sn＝a1＋a2＋

a3＋…＋an-1＋an……①qSn＝a1q＋a2q＋

a3q＋…＋an-1q＋an

q①－②

得錯位相減法qSn＝

a2＋

a3＋…＋an-1＋an＋an

q……②qSn＝

a2＋

a3＋…＋an-1＋an＋an

q探究思考：當(dāng)q＝1時，如何求Sn？Sn＝a1＋a2＋

a3＋…＋an-1＋an當(dāng)公比q≠1時，結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式，Sn可變形為什么？探究等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：新知注意：(1)運(yùn)用公式時，注意公比是否為1練習(xí)解決問題讓我們一起來分析一下.如果把各格所放的麥粒數(shù)看成一個數(shù)列，我們可以得到一個等比數(shù)列，他的首項(xiàng)是1，公比是2，求第1個格子到第64個格子各格所放的麥粒數(shù)總和就是求這個等比數(shù)列前64項(xiàng)的和。如果一千顆麥粒的質(zhì)量約為40克，那么以上這些麥粒的總質(zhì)量超過了7000億噸，約是2016-2017年度世界小麥產(chǎn)量的981倍。因此國王不可能實(shí)現(xiàn)他的諾言(1)等比數(shù)列

的前7項(xiàng)和為______.(2)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，若a1＝81，a5＝16，則它的前5項(xiàng)和是________.(3)等比數(shù)列{an}的公比q＝2，首項(xiàng)a1＝8，則S5＝______.211248練習(xí)n個判斷下列計算是否正確練習(xí)例7、已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列例題解：（1）由題意知,由

得例題解:（3）由題意知由

得例題在等比數(shù)列{an}中，(1)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n；(2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝

，求a4和S5；練習(xí)在等比數(shù)列{an}中，(1)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n；(2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝

，求a4和S5；練習(xí)例題我們知道，等差數(shù)列有這樣的性質(zhì)：那么，在等比數(shù)列中，是否也有類似的性質(zhì)？探究例題例9已知等比數(shù)列{an}的公比q≠-1，前n項(xiàng)和為Sn，證明Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比數(shù)列，并求這個數(shù)列的公比證明：當(dāng)q=1時，Sn=na1，S2n-Sn=2na1-na1=na1,S3n-S2n=3na1-2na1=na1,所以Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比數(shù)列，公比為1當(dāng)q≠1時，所以所以Sn，S2n-Sn