高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列2-1-1數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法同步課件新人教A版必修5

第二章數(shù)列2.1數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法第1課時(shí)數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法主題1數(shù)列的有關(guān)概念①全體自然數(shù)按從小到大排成一列數(shù):0,1,2,3,4,….②正整數(shù)1,2,3,4,5的倒數(shù)排成一列數(shù):1,③π精確到1,0.1,0.01,0.001,…的不足近似值排成一列數(shù):3,3.1,3.14,3.141,….④無(wú)窮多個(gè)1排成一列數(shù):1,1,1,1,1,….⑤當(dāng)n分別取1,2,3,4,5,…時(shí),(-1)n的值排成一列數(shù):-1,1,-1,1,-1,….1.觀察上面幾列數(shù),它們有什么共同特征?提示:這五列數(shù)的共同特征:都是按照一定順序排列的一列數(shù).2.這5列數(shù),按項(xiàng)的個(gè)數(shù)來(lái)分,可以把數(shù)列分為幾類?提示:從項(xiàng)數(shù)的多少可以把數(shù)列分為兩類:有窮數(shù)列如②和無(wú)窮數(shù)列如①③④⑤.3.這5列數(shù),按項(xiàng)的大小又可以把數(shù)列分為哪幾類?提示:從項(xiàng)的大小可以把數(shù)列分為遞增數(shù)列如①③;遞減數(shù)列如②;常數(shù)列如④;擺動(dòng)數(shù)列如⑤.結(jié)論:1.數(shù)列的概念(1)數(shù)列:按照_____________的一列數(shù)稱為數(shù)列.(2)項(xiàng):數(shù)列中的_________叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng),排在_______的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)(通常也叫做首項(xiàng)).一定順序排列每一個(gè)數(shù)第一位(3)表示:數(shù)列的一般形式可以寫(xiě)成_______________,簡(jiǎn)記為_(kāi)___.a1,a2,a3,…,an…{an}(3)表示:數(shù)列的一般形式可以寫(xiě)成_______________,簡(jiǎn)記為_(kāi)___.a1,a2,a3,…,an…{an}2.數(shù)列的分類類別含義按項(xiàng)的個(gè)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)_____的數(shù)列無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)_____的數(shù)列按項(xiàng)的變化趨勢(shì)遞增數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都_____它的前一項(xiàng)的數(shù)列遞減數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都_____它的前一項(xiàng)的數(shù)列常數(shù)列各項(xiàng)_____的數(shù)列擺動(dòng)數(shù)列從第2項(xiàng)起,有些項(xiàng)_____它的前一項(xiàng),有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列有限無(wú)限大于小于相等大于【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.下列敘述正確的是 (

)A.數(shù)列1,3,5,7與7,5,3,1是相同的數(shù)列B.數(shù)列0,1,2,3,…是有窮數(shù)列C.數(shù)列0,1,0,1,…是常數(shù)列D.數(shù)列…是遞增數(shù)列【解析】選D.數(shù)列1,3,5,7與7,5,3,1是不同的兩個(gè)數(shù)列;數(shù)列0,1,2,3…是無(wú)窮數(shù)列;數(shù)列0,1,0,1…是擺動(dòng)數(shù)列不是常數(shù)列;數(shù)列…是遞增數(shù)列.2.已知數(shù)列-1,0,…,則是其(

)A.第14項(xiàng) B.第12項(xiàng) C.第10項(xiàng) D.第8項(xiàng)【解析】選B.令,化為:5n2-72n+144=0,解得n=12,或n=(舍去).3.下列數(shù)列中,既是遞增數(shù)列又是無(wú)窮數(shù)列的是(

)A.1,…B.-1,-2,-3,-4,…C.-1, …D.3.下列數(shù)列中,既是遞增數(shù)列又是無(wú)窮數(shù)列的是(

)A.1,…B.-1,-2,-3,-4,…C.-1, …D.【解析】選C.對(duì)于A,它是無(wú)窮遞減數(shù)列;對(duì)于B,它也是無(wú)窮遞減數(shù)列;D是有窮數(shù)列;對(duì)于C,既是遞增數(shù)列又是無(wú)窮數(shù)列,故C符合題意.主題2數(shù)列的表示法觀察如圖所示內(nèi)容,回答下列問(wèn)題:1.在上面的數(shù)列中,你能表示項(xiàng)an與項(xiàng)的序號(hào)n之間的關(guān)系嗎?提示:能,an=2n-1.2.是否任意一個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)an與序號(hào)n之間都能用一個(gè)公式an=f(n)來(lái)表示?提示:不一定,如精確到1,0.1,0.01,…的不足近似值構(gòu)成的數(shù)列的第n項(xiàng)an與n之間就無(wú)法用一個(gè)公式an=f(n)來(lái)表示.結(jié)論:1.數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與______之間的關(guān)系可以用_________來(lái)表示,那么這個(gè)_____叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.序號(hào)n一個(gè)式子公式2.數(shù)列的表示法數(shù)列的表示法有三種,分別是_____法、_____法、_____法.列表圖象解析【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.下列說(shuō)法不正確的是 (

)A.數(shù)列可以用圖象來(lái)表示B.數(shù)列的通項(xiàng)公式不唯一C.數(shù)列的項(xiàng)不能相等D.數(shù)列可以用一群孤立的點(diǎn)表示【解析】選C.數(shù)列的項(xiàng)可以相等,例如數(shù)列1,1,2,3,所以C不正確.2.數(shù)列 的一個(gè)通項(xiàng)公式為 (

)A.an=(-1)n· B.an=(-1)n·C.an=(-1)n+1· D.an=(-1)n+1·

【解析】選D.根據(jù)分子、分母還有正負(fù)號(hào)的變化,可知題干中數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式可以為an=(-1)n+1·.3.根據(jù)下面數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,寫(xiě)出它的前5項(xiàng):(1)an=.(2)an=(-1)nn.【解析】(1) .(2)a1=-1,a2=2,a3=-3,a4=4,a5=-5.類型一數(shù)列的概念與分類【典例1】(1)下列說(shuō)法正確的是 (

)A.數(shù)列1,2,3,5,7可表示為{1,2,3,5,7}B.數(shù)列1,0,-1,-2與數(shù)列-2,-1,0,1是相同的數(shù)列C.數(shù)列的第k項(xiàng)是1+D.數(shù)列0,2,4,6,8,…,可記為{2n}(2)下列四個(gè)數(shù)列中,既是無(wú)窮數(shù)列又是遞增數(shù)列的是 (

)A.B.sin0,sin,sinπ,sin,sin2π,…C.-1,…D.1,【解題指南】(1)根據(jù)數(shù)列的定義去判斷.(2)結(jié)合無(wú)窮數(shù)列與遞增數(shù)列的定義去判斷.【解析】(1)選C.A中的{1,2,3,5,7}表示集合而不是數(shù)列,故A錯(cuò),B中的兩個(gè)數(shù)列是不同的兩個(gè)數(shù)列,因?yàn)?,0,-1,-2這四個(gè)數(shù)的順序不一樣,所表示的數(shù)列也不同,故B錯(cuò)誤,數(shù)列0,2,4,6,8…可記為{2(n-1)},而不是{2n},故D錯(cuò).(2)選C.A中數(shù)列是遞減數(shù)列,B中數(shù)列是擺動(dòng)數(shù)列,C中數(shù)列是遞增數(shù)列,又是無(wú)窮數(shù)列,D中數(shù)列是有窮數(shù)列,故C正確.【方法總結(jié)】數(shù)列分類問(wèn)題的關(guān)注點(diǎn)(1)有窮數(shù)列與無(wú)窮數(shù)列.判斷給出的數(shù)列是有窮數(shù)列還是無(wú)窮數(shù)列,只需觀察數(shù)列是有限項(xiàng)還是無(wú)限項(xiàng).若數(shù)列含有限項(xiàng),則是有窮數(shù)列,否則為無(wú)窮數(shù)列.(2)數(shù)列的單調(diào)性.若滿足an<an+1(n∈N*),則是遞增數(shù)列;若滿足an>an+1(n∈N*),則是遞減數(shù)列;若滿足an=an+1(n∈N*),則是常數(shù)列;若an與an+1(n∈N*)的大小關(guān)系不確定時(shí),則是擺動(dòng)數(shù)列.【跟蹤訓(xùn)練】若數(shù)列{an}滿足an=2n,則數(shù)列{an}是 (

)A.遞增數(shù)列 B.遞減數(shù)列C.常數(shù)列 D.擺動(dòng)數(shù)列【解析】選A.an+1-an=2n+1-2n=2n>0,所以an+1>an,即{an}是遞增數(shù)列.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知下列數(shù)列:(1)0,0,0,0,0,0;(2)0,-1,2,-3,4,-5,…;(3)0,;(4)1,0.2,0.22,0.23,…;(5)0,-1,0,…,cosπ,….其中,________是有窮數(shù)列,________是無(wú)窮數(shù)列,________是遞增數(shù)列,________是遞減數(shù)列,________是常數(shù)列,________是擺動(dòng)數(shù)列(填序號(hào)).

【解析】由數(shù)列中項(xiàng)的多少可知(1)是有窮數(shù)列,(2)(3)(4)(5)是無(wú)窮數(shù)列,根據(jù)數(shù)列單調(diào)性的定義知(3)是遞增數(shù)列,(4)是遞減數(shù)列,(1)是常數(shù)列,(2)(5)是擺動(dòng)數(shù)列.答案:(1)

(2)(3)(4)(5)

(3)

(4)

(1)

(2)(5)類型二用觀察法求數(shù)列的通項(xiàng)公式【典例2】(1)數(shù)列 …的一個(gè)通項(xiàng)公式是 (

)

A.an= B.an=C.an= D.an=

(2)(2019·無(wú)錫高二檢測(cè))觀察下列等式,1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,則第n個(gè)式子為_(kāi)_______.

【解題指南】分析數(shù)列的前幾項(xiàng),探索變化部分的規(guī)律與對(duì)應(yīng)序號(hào)間的函數(shù)關(guān)系式.【解析】(1)選B.通過(guò)觀察,各項(xiàng)分母是2n的形式,符號(hào)與項(xiàng)數(shù)存在(-1)n的關(guān)系,所以an=.(2)根據(jù)題意,第一個(gè)式子從1開(kāi)始,左邊按順序相加,有1項(xiàng),和為12;第二個(gè)式子從2開(kāi)始,有3項(xiàng),和為32;第三個(gè)式子從3開(kāi)始,有5項(xiàng),和為52,于是可歸納出,第n個(gè)式子從n開(kāi)始,有2n-1項(xiàng),和為(2n-1)2,于是答案為:n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.答案:n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2【方法總結(jié)】求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法主要靠觀察、比較、歸納、轉(zhuǎn)化、聯(lián)想等方法.具體關(guān)注點(diǎn)為:①分式中分子、分母的特征;②相鄰項(xiàng)的變化特征;③拆項(xiàng)后的特征;④各項(xiàng)的符號(hào)特征和絕對(duì)值特征;⑤化異為同.對(duì)于分式,還可以考慮對(duì)分子、分母各個(gè)擊破,或?qū)ふ曳肿?、分母的關(guān)系.【跟蹤訓(xùn)練】根據(jù)數(shù)列的前4項(xiàng),寫(xiě)出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.(1)0.9,0.99,0.999,0.9999,….(2)….(3)….【解析】(1)0.9=1-0.1=1-10-1,0.99=1-10-2,0.999=1-10-3,0.9999=1-10-4,故an=1-10-n(n∈N*).(2)故an=n+(n∈N*).(3)故an=(n∈N*).【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知數(shù)列{an},{bn}的前4項(xiàng)分別為:

寫(xiě)出數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式.【解析】數(shù)列{an}中的第n項(xiàng)的分母是項(xiàng)數(shù)加1,分子是項(xiàng)數(shù)加1的平方再減去1,故an=.數(shù)列{bn}中的第n項(xiàng)分母是3n+1,分子是3n-2,故bn=.類型三數(shù)列通項(xiàng)公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用【典例3】已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=.(1)寫(xiě)出數(shù)列的第4項(xiàng)和第6項(xiàng).(2)試問(wèn)是該數(shù)列中的項(xiàng)嗎?若是,是第幾項(xiàng)?若不是請(qǐng)說(shuō)明理由.【解題指南】(1)利用通項(xiàng)公式an=,分別令n=4與n=6即可求出a4與a6.(2)解答本題的關(guān)鍵是看方程an=有無(wú)正整數(shù)解,若有,則該方程的正整數(shù)解即為項(xiàng)數(shù),若沒(méi)有則不是該數(shù)列中的項(xiàng).【解析】(1)因?yàn)閍n=,所以a4=,a6=.(2)是該數(shù)列中的項(xiàng),令an==,整理得n2+3n-40=0,解得n=5,n=-8(舍),故是數(shù)列{an}中的第5項(xiàng).【方法總結(jié)】1.利用數(shù)列的通項(xiàng)公式求某項(xiàng)的方法數(shù)列的通項(xiàng)公式給出了第n項(xiàng)an與它的位置序號(hào)n之間的關(guān)系,只要用序號(hào)代替公式中的n,就可以求出數(shù)列的相應(yīng)項(xiàng).2.判斷某數(shù)值是否為該數(shù)列的項(xiàng)的方法先假定它是數(shù)列中的第n項(xiàng),然后列出關(guān)于n的方程.若方程解為正整數(shù),則是數(shù)列中的一項(xiàng);若方程無(wú)解或解不是正整數(shù),則不是該數(shù)列中的一項(xiàng).【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=,其中n∈N*.(1)寫(xiě)出a10,an+1和.(2)79是不是這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)?如果是,是第幾項(xiàng);如果不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】(1)a10=,an+1=,.(2)令an=,整理得n2+n-240=0,解得n=15或n=-16(舍),故79是該數(shù)列中的第15項(xiàng).【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)=2x-2-x,數(shù)列{an}滿足f(log2an)=-2n(n∈N*).(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(2)討論數(shù)列{an}的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論.【解析】(1)因?yàn)閒(x)=2x-2-x,f(log2an)=-2n,所以有即an-=-2n,所以+2nan-1=0,解得an=-n±.因?yàn)閍n>0,所以an=-n(n∈N*).(2)因?yàn)?/p>

<1,又an>0,所以an+1<an,即數(shù)列{an}是遞減數(shù)列.【知識(shí)思維導(dǎo)圖】Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個(gè)孩子在你的臂彎入睡,你會(huì)體會(huì)到世間最安寧的感覺(jué).Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠(yuǎn)不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時(shí)候,一個(gè)人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創(chuàng)傷的并非時(shí)間,而是愛(ài).Lifeistough,butI