高中數(shù)學(xué)第3章統(tǒng)計案例3-1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用課件新人教A版選修2-3

3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用目標(biāo)定位重點難點1.了解隨機誤差、殘差、殘差圖的概念．2．會通過分析殘差判斷線性回歸模型的擬合效果．3．掌握建立回歸模型的步驟．4．了解回歸分析的基本思想方法和初步應(yīng)用.重點：了解回歸模型與函數(shù)模型的區(qū)別及模型擬合效果的分析工具．難點：殘差變量的分析及指標(biāo)的理解.隨機誤差

0

越小

解釋變量

預(yù)報變量

(xi，yi)

越小

越好

1．下列變量是相關(guān)關(guān)系的是(

)A．人的身高與視力B．角的大小與所對的圓弧長C．小麥畝產(chǎn)量與總產(chǎn)量D．人的年齡與身高【答案】D【例1】某商場經(jīng)營一批進價是30元/臺的小商品，在市場試驗中發(fā)現(xiàn)，此商品的銷售單價x(x取整數(shù))元與日銷售量y臺之間有如下關(guān)系：線性回歸分析x35404550y56412811(1)畫出散點圖，并判斷y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系；(2)求日銷售量y對銷售單價x的線性回歸方程；(3)設(shè)經(jīng)營此商品的日銷售利潤為P元，根據(jù)(1)寫出P關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并預(yù)測當(dāng)銷售單價x為多少元時，才能獲得最大日銷售利潤．【解題探究】作出散點圖，根據(jù)散點圖觀察是否具有線性相關(guān)關(guān)系．【解析】(1)散點圖如圖所示，從圖中可以看出這些點大致分布在一條直線附近，因此兩個變量線性相關(guān)．8求線性回歸方程的最大難點是系數(shù)計算較為煩瑣，計算時要仔細認真，隨時做好檢查，防止錯誤數(shù)據(jù)給后續(xù)步驟帶來連鎖反應(yīng)．為避免出錯，以及出錯后便于檢查，可將公式分解分別求出．1.(2020年江西模擬)某品牌2020款汽車即將上市，為了對這款汽車進行合理定價，某公司在某市五家4S店分別進行了兩天試銷售，得到如下數(shù)據(jù)：(1)分別以五家4S店的平均單價與平均銷量為散點，求出單價與銷量的回歸直線方程＝x＋；(2)在大量投入市場后，銷量與單價仍服從(1)中的關(guān)系，且該款汽車的成本為12萬元/輛，為使該款汽車獲得最大利潤，則該款汽車的單價約為多少萬元(保留一位小數(shù))？【例2】一個車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進行了10次試驗，測得的數(shù)據(jù)如下：(1)建立零件數(shù)為解釋變量，加工時間為預(yù)報變量的回歸模型，并計算殘差；(2)你認為這個模型能較好地刻畫零件數(shù)和加工時間的關(guān)系嗎？擬合效果分析編號12345678910零件數(shù)x/個102030405060708090100加工時間y/分626875818995102108115122【解題探究】利用公式分別計算即可．【解析】(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)作出散點圖(圖略)，從而可以判斷出用線性回歸模型來擬合數(shù)據(jù)．計算得加工時間對零件數(shù)的線性回歸方程為＝0.668x＋54.96.殘差數(shù)據(jù)如下表，(2)以零件數(shù)為橫坐標(biāo)，殘差為縱坐標(biāo)作出殘差圖如上圖所示．由圖可知殘差點分布較均勻，即用上述回歸模型擬合數(shù)據(jù)效果很好．但需注意，由殘差圖也可以看出，第4個樣本點和第5個樣本點的殘差比較大，需要確認在采集這兩個樣本點的過程中是否有人為的錯誤．8(1)殘差平方和越小，預(yù)報精確度越高．(2)相關(guān)指數(shù)R2越大，說明模型的擬合效果越好．2．在一段時間內(nèi)，某種商品的價格x(元)和需求量y(件)之間的一組數(shù)據(jù)為：求出y對x的回歸直線方程，并說明擬合效果的好壞．價格x1416182022需求量y1210753【例3】在一化學(xué)反應(yīng)過程中，化學(xué)物質(zhì)的反應(yīng)速度y(g/min)與一種催化劑的量x(g)有關(guān)，現(xiàn)收集了8組觀測數(shù)據(jù)列于表中：試建立y與x之間的回歸方程．非線性回歸分析催化劑的量x1518212427303336化學(xué)物質(zhì)的反應(yīng)速度y6830277020565350【解題探究】作出散點圖可看出此題是非線性回歸分析問題，樣本點分布在一條指數(shù)函數(shù)曲線y＝c1ec2x的周圍．不妨設(shè)變量z＝lny，然后對x與z作相關(guān)性檢驗，如果它們具有線性相關(guān)關(guān)系，就可以進一步求z對x的回歸直線方程，這時再回代z＝lny，就得到了y對x的回歸方程．【解析】根據(jù)收集的數(shù)據(jù)，作散點圖(如圖)，根據(jù)已有的函數(shù)知識，可以發(fā)現(xiàn)樣本點分布在某一條指數(shù)函數(shù)曲線y＝c1ec2x

的周圍，其中c1和c2是待定的參數(shù)，令z＝lny，則z＝lny＝c2x＋lnc1，即變換后的樣本點應(yīng)該分布在直線z＝bx＋a(a＝lnc1，b＝c2)的周圍．由y與x的數(shù)據(jù)表可得到變換后的z與x的數(shù)據(jù)表，作出z與x的散點圖(如圖)．x1518212427303336z1.7922.0793.4013.2964.2485.3234.1745.8588非線性回歸問題有時并不給出經(jīng)驗公式，此時可以由已知的數(shù)據(jù)畫出散點圖，再把散點圖與已經(jīng)學(xué)習(xí)過的函數(shù)(如冪函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等)做比較，挑選出這些散點圖擬合最好的函數(shù)模型，然后采用變量置換，把問題轉(zhuǎn)化為線性回歸分析問題，使問題得以解決．3．某種書每冊的成本費y(元)與印刷冊數(shù)x(千冊)有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計得到數(shù)據(jù)如下：x123510203050100200y10.155.524.082.852.111.621.411.301.211.15【示例】關(guān)于x與y有如下數(shù)據(jù)：對相關(guān)指數(shù)R2利用不當(dāng)致錯x24568y3040605070錯因分析：用相關(guān)指數(shù)R2來比較模型的擬合效果，R2越大，模型的擬合效果越好，并不是R2越小擬合效果越好．5．若兩個變量不呈線性關(guān)系，就不能直接利用線性回歸方程建立兩個變量的關(guān)系，可以通過變換的方法轉(zhuǎn)化為線性回歸模型．例如y＝c1ec2x，我們可以通過對數(shù)變換把指數(shù)關(guān)系變?yōu)榫€性關(guān)系．令z＝lny，則變換后樣本點應(yīng)該分布在直線z＝bx＋a(a＝lnc1，b＝c2)的周圍．2．一位母親記錄了兒子3～9歲的身高，由此建立的身高與年齡的回歸模型為y＝7.19x＋73.93.若用此模型預(yù)測這個孩子10歲時的身高，則正確的敘述是(

)A．身高一定是145.83cmB．身高在145.83cm以上C．身高在145.83cm以下D．身高在145.83cm左右【答案】DThebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個孩子在你的臂彎入睡,你會體會到世間最安寧的感覺.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時候,一個人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime